风险厌恶型投资者在市场冲击博弈中的纳什均衡

（11） 对于n=1和n=2，该猜想与[2]和[22]中分别获得的理论结果一致。图1：对于n=2、n=100和θ=0，向量v的γ=0（左）、γ=1（中）和γ=3（右）。图2：θv（n，n，γ）的曲面图（左）和水平曲线（右）与玩家数量n和风险规避参数γ（n=500）有关。图3:n=2（左）和n=5（右）的θv（n，n，γ）相对于n和风险厌恶参数γ的曲面图。现在我们转向向量w。第一个观察结果是，w与代理的数量n无关。因此，振荡停止的临界水平θwat仅是N和γ的函数。对于γ=0，w必须与[20，22]中研究的值相同，并且从[22]的定理2.7可以看出，这种情况下的关键交易成本水平为。此外，从图4和图5可以看出，与v相比，向量w的振荡通过改变风险规避γ而受到影响。更准确地说，增加γ确实会减少w的振荡。因此，我们推测θ*w=supN，γθw（N，γ）=。（12） 这一猜想也得到了图6的支持，并与[22]的定理2.7相一致。备注2.7。为简单起见，我们在假设G的形式为G（t）=e的情况下进行了上述模拟-t、 我们可以假设G（t）=e-ρt对于某些ρ>0，验证上述数值结果仍然有效。请注意，对于较大的ρ，需要一个足够大的N才能将θ收敛到临界值。此外，我们还将模拟扩展到p＞0的G（t）=1/（1+t）pw形式的幂律衰变核。向量v和w的行为以及θ的临界值再次与上述分析一致。因此，省略了相应的绘图。备注2.8。

如上所述，对于两个风险中性代理的特殊情况，在[22]中证明了猜想（11）和（12）。在这种特殊情况下，（11）的证明已经相当复杂。部分原因在于Γ0,0是一个Kac–Murdock–Szeg"o矩阵，其逆矩阵是明确已知的。然而，对于γ>0，Γγ，θ的倒数未知，因此[22]中的证明方法。在[22]的特例中，（12）的证明依赖于Γ0，θ这一事实-eΓ是上三角Toeplitz矩阵。这样一个矩阵的逆可以通过由系数Γ0，θ形成的幂级数倒数的系数来计算-eΓ。然后在[22]中应用著名的Kalusza符号准则来描述倒数幂级数的所有系数均为非负的情况。然而，对于γ>0，Γ0，θ-eΓ不再是上三角Toeplitz矩阵，因此[22]的证明不能推广到我们目前的情况。图4：当N=100，θ=0时，γ=1（左）、γ=3（中）和γ=10（右）的向量w。图5：矢量w中负分量之和的大小作为γ与θ的函数∈N=100时{0，0.005，0.01，0.1}。图6：θw（N，γ）相对于N和风险规避参数γ的曲面图。有趣的是，对于γ=0和θ=，向量w的结构特别简单。这在以下理论结果中有所说明。提案2.9。假设2.6（i）、（iii）和G（t）=e-ρtwithρ>0，对于θ=和γ=0，w=···=wN-1=1 - e-ρ/NN（1- e-ρ/N）+1和wN=N（1- e-ρ/N）+1.2.2有限时间范围对于非消失风险规避γ>0，也可以在有限时间范围内研究我们的问题。直观的原因是，任何厌恶风险的投资者都会自动尝试清算价格过程为鞅的资产中持有的任何头寸。假设2.10。

在第2.2节中，我们做出以下假设。（i） 时间网格为N={0，1，…}。（ii）G的形式为G（t）=e-ρt对于某些ρ>0。（iii）Sis形式的学士模型（10）。在假设2.10（i）下，代理人i的策略为初始位置Xi∈ R将用序列ξ=（ξ，ξ，…）表示满足以下条件的随机变量：o每个ξiis Fi可测量；o随机变量ξ取绝对可和实数序列空间中的值；o随机变量ξ在Banach空间中有界`∞有界序列；o我们有∞k=0ξk（ω）=xi对于每个ω∈ Ohm.所有这些策略的集合将用X（Xi，N）表示。同样，X（Xi，N）中所有确定性策略的类别将由Xdet（Xi，N）表示。自` `, 很明显，（4）可以扩展为策略ξi∈ X（Xi，N），i=1，n、 CN（ξi |ξ-（一）=∞Xk=0hG（0）ξi，k- SΞtkξi，k+G（0）ξi，kXj6=iξj，k+θξi，ki。同样，每个代理的目标是最小化以下平均方差函数MVγ（ξi |ξ-i） =E[CN（ξi |ξ-i） ]+γVar[CN（ξi |ξ-i） ]，ξi∈ Xdet（Xi，N），或最大化CARA效用函数uγ（ξi |ξ-i） =E[uγ(-CN（ξi |ξ-i） ）]，ξi∈ X（Xi，N）。均值方差优化和CARA效用最大化的纳什均衡概念可以用与定义2.2完全相同的方式定义。然而，目前尚不清楚v和w的公式（8）和（9）是否也可以扩展到有限的时间范围，因为向量1是否属于线性算子γ，θ+（n- 1） eΓ和Γγ，θ-eΓ。以下结果表明，在特定情况下，存在一个无限期纳什均衡。定理2.11。除假设2.10外，假设γ>0且θ=θ*:=n- 1.

（13） 那么这两个方程存在唯一的正解α和βs0=e（α+ρ）- 1.-ne（α-ρ)- 1.-γσe-α(1 - e-α） ，（14）0=2θ++e（β+ρ）- 1.-γσe-β(1 - e-β). （15） 此外，α∈ (0, ρ). 对于这些，我们定义了v∈ `通过HV=eα- 1eα- eα-ρ和，对于i=1，2，vi=e-αieα-1+1-eα-ρ和w∈ `通过WI=（1- e-β） e类-βi.然后，对于任何初始位置X，Xn，策略ξ*i=(R)Xv+（Xi-(R)X）w，i=1，n、 （16）在Xdet（X，n）×····×Xdet（Xn，n）中形成均值方差优化的纳什均衡，在X（X，n）×····×X（Xn，n）中形成CARA效用最大化的阿纳什均衡。在前面的定理中，我们假设θ=θ*. 在一般情况下，定理2.11的证明会立即得出以下结果。提案2.12。除假设2.10外，假设γ>0.1。如果X+···+Xn=0，则公式ξ*i=Xiw，对于定理2.11中的w，为θ的每个选择提供了一个纳什均衡≥ 0.2. 如果X=···=Xn，则不存在策略在时间上呈指数衰减的纳什均衡，除非条件θ=θ*:=n-1令人满意。事实上，我们推测，在命题2.12（b）的情况下，除非θ=θ，否则不存在纳什均衡*持有。这种情况与[20]中定理4.5的情况非常相似，其中分析了n=2和γ=0的连续时间版本的游戏。结果表明，只有当θ=θ时，才能存在连续时间纳什均衡*或X=X=0。在这两种情况下，纳什均衡不存在的潜在直觉来自于经常交易的可能性，无论是在连续时间内还是在有限的时间范围内。

这表明，理想化地接纳大量交易并不像看上去那样无害，例如，在自由贸易协定的背景下也有这样的观察。（14）和（15）各自溶液α和β的定性行为如图7和图8所示。在n=1的情况下，我们得到以下显式结果。提案2.13。如果n=1，则（14）的解α由α=cosh给出-1hγσcosh（ρ）+2 sinh（ρ）γσ+2 sinh（ρ）i.（17）图7：（14）的解α作为γ（左）和ρ（右）的函数，不同的值为n，θ=n-1，并且相应的其余参数设置为1。图8：（15）的解β是θ（左）、ρ（中）和γ（右）的函数，相应的参数设置为1.3 ProofsLemma 3.1。一个可容许策略ξi∈ Xdet（Xi，T）给出了所有竞争对手的策略ξj∈j 6=i的Xdet（Xj，T）具有以下平均方差函数：MVγ（ξi |ξ-i） =-XiS+ξ>iΓγ，θξi+ξ>ieΓXj6=iξj.（18）证明。

由于所有策略都是确定性的，E[CT（ξi |ξ-i） ]=NXk=0hG（0）ξi，k- E[SΞtkξi，k]+G（0）Xj6=iξi，kξj，k+θξi，ki。由于是鞅，NXk=0E[SΞtkξi，k]=NXk=0ξi，kE[Stk]-NXk=0ξi，kk-1Xm=0G（tk- tm）nXj=1ξj，m= XiS公司-NXk=0ξi，kk-1Xm=0ξi，mG（tk- tm）-NXk=0ξi，kk-1Xm=0G（tk- tm）Xj6=iξj，m。此外，使用矩阵表示法，G（0）+2θNXk=0ξi，k+NXk=0ξi，kk-1Xm=0ξi，mG（tk- tm）=h2θNXk=0ξi，k+NXk，m=0ξi，kξi，mG（| tk- tm |）i=ξ>iΓ0，θξi，and nxk=0ξi，khG（0）Xj6=iξj，k+k-1Xm=0G（tk- tm）Xj6=iξj，mξj，mi=ξ>ieΓXj6=iξj。再次利用ξi的确定性和S，Var[CT（ξi |ξ）的鞅性质-i） ]=VarhNXk=0SΞtkξi，ki=VarhNXk=0Stkξi，ki=NXp，q=0ξpξqCov（Stp，Stq）=NXp，q=0ξpξqД（tp∧ tq）。通过将上述结果代入（5），我们得到了所需的公式：MVγ（ξi |ξ-i） =E[CT（ξi |ξ-i） ]+γVar[CT（ξi |ξ-i） ]=-XiS+ξ>iΓ0，θξi+ξ>ieΓXj6=iξj+γNXp，q=0ξpξqν（tp∧ tq）=-XiS+ξ>iΓγ，θξi+ξ>ieΓXj6=iξj。如果x>Ax>0表示所有非零x，我们将使用这样的约定，即n×n矩阵A为正∈ Rn，如果A不一定是对称的，这也是有意义的。很明显，对于正矩阵a，它不是非零x∈ Rn，其中Ax=0，因此A是可逆的。引理3.2。对于所有γ，θ≥ 0和n≥ 1，矩阵Γγ，θ，eΓ，Γγ，θ-eΓ和γ，θ+（n-1） eΓ为正值。证据根据[22]中的引理3.2，矩阵Γ，Γ0，θ，eΓ和Γ0，θ-eΓ为正值。自C开始：=（Д（ti∧tj）i，j=1，。。。，Nis随机变量的协方差矩阵，St。StN，它是非负定义。由此得出，Γγ，θ=Γ0，θ+γC和Γγ，θ-eΓ=（Γ0，θ-eΓ）+γC也是正的。因此，Γγ，θ+（n- 1） eΓ也是积极的。引理3.3。对于给定的时间网格T和初始值X，Xn公司∈ R、 均值-方差优化至多存在一个纳什均衡。证据这个证明类似于[22]中的引理3.3或[21]中的引理4，因此省略了。现在我们准备证明定理2.4。定理2.4的证明。

根据定义2.2和引理3.1，我们有以下线性二次优化问题：对于所有i=1，n、 MVγ（ξ*i |ξ*-i） =-XiS+minξi∈Xdet（Xi，T）ξ> iΓγ，θξi+ξ>ieΓXj6=iξj.约束ξi∈ Xdet（Xi，T）可以重写为线性等式约束1>ξi=Xi。为了解决这个问题，我们使用拉格朗日乘子定理[4，pp.276-283]来获得αi∈ Rfor i=1，n以使最优策略满足以下必要条件：Γγ,θξ*i+eΓPj6=iξ*j=αi1，>ξ*i=Xi。（19） 我们将在下文中说明，这些方程也适用于我们的优化问题。在（19）的第一行中求和i，得到[γ，θ+（n- 1） eΓ]nXj=1ξ*j=nXj=1αj1。引理3.2，Γ，θ+（n- 1） eΓ是可逆矩阵。因此，nXj=1ξ*j=nXj=1αj[γ，θ+（n- 1） eΓ]-1=>Pnj=1αj[γ，θ+（n- 1） eΓ]-1> γ，θ+（n- 1） eΓ]-1[Γγ，θ+（n- 1） eΓ]-1=nXj=1>ξ*j> γ，θ+（n- 1） eΓ]-1[Γγ，θ+（n- 1） eΓ]-1=nXj=1Xjv，（20），其中我们在最后一步中使用了（19）中的第二个条件。现在考虑（19）中的第一个条件。选取ITH方程，乘以（n- 1） ，然后减去另一个（n- 1） 方程式。我们得到Γ，θh（n- 1)ξ*我-Xj6=iξ*冀-eΓh（n- 1)ξ*我-Xj6=iξ*ji=h（n- 1） αi-Xj6=iαji1。进一步的简化表明（γ，θ-eΓ）hnξ*我-nXj=1ξ*ji=hnαi-nXj=1αji1。矩阵Γγ，θ-通过引理3.2，eΓ是可逆的。If后接nξ*我-nXj=1ξ*j=hnXi-nXj=1Xjiw。（21）使用（20）和（21）现在得到ξ*i=(R)Xv+（Xi-\'\'X）wwhere\'\'X=nPnj=1Xj。现在，我们证明方程（19）对于最小化平均方差函数是有效的。为此，我们将目标均值-方差泛函改写为：ξ>iΓγ，θξi+ξ>ieΓXj6=iξ*j=ξ>iΓγ，θξi+g>iξi，其中gi=eΓPj6=iξ*j、 接下来，对于i=1，n、 我们考虑任意ηi∈ Xdet（Xi，T）。

然后，通过（19），η>iΓγ，θηi+g>iηi-hξ*i> Γγ，θξ*i+g>iξ*ii=（ηi+ξ）*i） >Γγ，θ（ηi- ξ*i） +g>i（ηi- ξ*i） =h（Γ，θ）>（ηi+ξ）*i） +gii>（ηi- ξ*i） =h（Γ，θξ）*i+gi）+（Γγ，θ）>（ηi- ξ*i） i>（ηi- ξ*i） =hαi1+（Γγ，θ）>（ηi- ξ*i） i>（ηi- ξ*i） =αi>（ηi- ξ*i） +（ηi- ξ*i） >Γγ，θ（ηi- ξ*（一）≥ 0，（22）当且仅当ηi=ξ时相等*i、 总之，我们得出（10）定义了唯一的纳什均衡Xdet（X，T）×····×Xdet（Xn，T）。现在我们转向卡拉效用最大化。我们首先注意到成本函数CT（ξi |ξ-i） 如果Sis是Bachelier模型，则为isa高斯随机变量，并给出了策略ξ。ξ具有确定性。因此，对于γ>0，Uγ（ξi |ξ-i） =γ1.- 经验值γE[CT（ξi |ξ-i） ]+γVar[CT（ξi |ξ-i） ]= uγ- MVγ（ξi |ξ-（一）.对于γ=0，我们显然有u（ξi |ξ-i） =-E[CT（ξi |ξ-i） ]=-MV（ξi |ξ-i） 。因此，当在确定性策略类上执行时，均值-方差优化和CARA效用最大化是等价的。接下来，假设策略ξ-我是确定性的。然后，如[19]的定理2.1所示，函数Uγ（ξ|ξ）的最大化子-i） 所有适应策略ξ类∈ X（Xi，T）是确定性的。即Uγ（ξ|ξ）的最大值-i） X（Xi，T）上的最大值等于Xdet（Xi，T）上的最大值。因此，正如【21】推论2.1的证明所示，策略（10）形成了卡拉效用最大化的纳什均衡。命题2.9的证明。让我们用ωi=1定义一个向量ω，对于i=0，N-1和ωN=1/（1-e-ρ/N）。那么断言将遵循if（Γ0，θ-eΓ）ω=c1（23），c=1-e-ρN。

为此，我们注意到，δij表示Kronecker三角洲，(Γ0,θ-eΓ）ω我=（eΓ>+2θId）ωi=（eΓ>ω）i+（2θIdω）i=G（0）ωi+N-1Xj=i+1GjN公司-在里面ωj+G1.-在里面ωN+2θNXj=0δijωj=+ 2θωi+N-1Xj=i+1GjN公司-在里面ωj+G1.-在里面ωN。由于θ=，我们有(Γ0,θ-eΓ）ωi=N-1Xj=iGjN公司-在里面ωj+G1.-在里面ωN=eρiNN-1Xj=ie-ρjN+e-ρ(1-iN）1- e-ρ/N=1- e-ρ/N。这证明了（23），从而证明了断言。现在我们准备证明定理2.11。引理3.4。对于γ，σ，ρ>0，以下方程具有唯一的正解α，e（α+ρ）- 1.-ne（α-ρ)- 1.-γσe-α(1 - e-α)= 0. （24）此外，α∈ (0, ρ).证据通过重新排列方程（24），我们得到0=-（eρ- e-ρ） +（n- 1） （e）-α- eρ）（eα+e-α) - （eρ+e-ρ)+γσ2 - （eα+e-α)=γσ2 - 2 cosh（α）+-2正弦（ρ）+（n- 1） （cosh（α）- sinh（α）- （cosh（ρ）+sinh（ρ）））2 cosh（α）- 2 cosh（ρ）=γσ2- 2 cosh（α）-sinh（ρ）cosh（α）- cosh（ρ）+n- 1.h1-sinh（α）+sinh（ρ）cosh（α）- cosh（ρ）i=：f（α）（25），当α>ρ>0时，则f（α）<0。因此，如果f的零存在，它必须在（0，ρ）之内。很容易就能看到thatlimα↓0f（α）=-∞ 和limα↑ρf（α）=+∞.因此，f在（0，ρ）中至少允许一个零。此外，df（α）dα=2γσsinh（α）（2- 2 cosh（α））+sinh（α）sinh（ρ）（cosh（α）- cosh（ρ））+n- 1.hsinh（α）（sinh（α）+sinh（ρ））（cosh（α）- cosh（ρ））-cosh（α）cosh（α）- cosh（ρ）i>0，因此零必须是唯一的。引理3.5。假设γ，σ，ρ>0和θ≥ 那么下面的方程有唯一的正解β，2θ++e（β+ρ）- 1.-γσe-β(1 - e-β)= 0. （26）证明。Letg（β）=2θ++e（β+ρ）- 1.-γσe-β(1 - e-β).很明显，limβ↓0g（β）=-∞ 和limβ↑∞g（β）=2θ+>0。（27）因此，（0，∞).

接下来，我们看dg（β）dβ=-e（β+ρ）（e（β+ρ）- 1） +γσe-β(1 - e-β） +2γσe-2β(1 - e-β） =γσe（β+ρ）（e（β+ρ）- 1)-2.（e（β+ρ）- 1） （e）-β+1）e（2β+ρ）（1- e-β)-γσ.注意dg（β）dβ>0 if（e（β+ρ）- 1） （e）-β+1）e（2β+ρ）（1- e-β)-γσ> 0.这里，（e（β+ρ）-1） （e）-β+1）e（2β+ρ）（1-e-β） 严格递减，并以eρ为界，因为对于所有β>0，ddβ（e（β+ρ）- 1） （e）-β+1）e（2β+ρ）（1- e-β)= -2e（β-ρ） （e（β+ρ）- 1） （2e（β+ρ）- eβ+eρ- 2） （eβ- 1） <0，因为根据L\'H^opital规则，limβ↑∞（e（β+ρ）- 1） （e）-β+1）e（2β+ρ）（1- e-β)= limβ↑∞（e（β+ρ）- 1） e（2β+ρ）=limβ↑∞2e（β+ρ）（e（β+ρ）- 1） 2e（2β+ρ）=limβ↑∞eρ- e-β=eρ。因此，我们有两种情况需要考虑：1。当γσ≥ e-ρ、 对于所有的β>0，我们得到dg（β）dβ>0。因此，存在唯一的β>0，使得g（β）=0；2、当0<γσ<e时-ρ、 我们总能找到唯一的β*当β<β时，dg（β）dβ>0*β>β时，dg（β）dβ<0*. 换句话说，（β*, g（β*)) 是g（β）在（0，∞). 现在假设g（β*) ≤ 我们知道g（β）在（β）上严格递减*, ∞), 那么对于所有β∈ (β*, ∞),g（β）<g（β*) ≤ 0，这与（27）相矛盾。因此，g（β*) > 0和0<2θ+<g（β）<g（β*)对于所有β∈ (β*, ∞), 这意味着（β）中不存在零*, ∞). 因为g（β）在（0，β）上严格递增*), 因此，存在唯一的β∈ (0, β*) 使得g（β）=0。在任何一种情况下，都存在一个唯一的正解β，它可以解（26）。定理2.11的证明。让我们首先通过设置Γγ，θij=e，将矩阵（6）和（7）扩展到我们的有限时间范围-ρ| i-j |+γσ（i∧ j） +2θδij，i，j=0，1，安第斯=如果i<j，则为0，如果i=j，则为0，如果i>j，则为0。接下来，让α由引理3.4提供，并定义向量ν∈ `通过ν=1- e（α-ρ） ，并且，对于i=1，2，νi=e-αi。我们现在将显示[γ，θ+（n- 1） 对于c=γσe，eΓ]ν=c1-α(1 - e-α） >0，（28），其中1∈ `∞是序列（1，1，…）。