风险厌恶型投资者在市场冲击博弈中的纳什均衡

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英文标题：
《Nash equilibrium for risk-averse investors in a market impact game with
  transient price impact》
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作者：
Xiangge Luo and Alexander Schied
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We consider a market impact game for $n$ risk-averse agents that are competing in a market model with linear transient price impact and additional transaction costs. For both finite and infinite time horizons, the agents aim to minimize a mean-variance functional of their costs or to maximize the expected exponential utility of their revenues. We give explicit representations for corresponding Nash equilibria and prove uniqueness in the case of mean-variance optimization. A qualitative analysis of these Nash equilibria is conducted by means of numerical analysis.
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中文摘要：
我们考虑了在具有线性瞬时价格影响和额外交易成本的市场模型中竞争的n$风险厌恶代理的市场影响博弈。对于有限和无限时间范围，代理的目标是最小化其成本的均值-方差函数，或最大化其收入的预期指数效用。我们给出了相应纳什均衡的显式表示，并证明了均值-方差优化情况下的唯一性。通过数值分析对这些纳什均衡进行了定性分析。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Nash_equilibrium_for_risk-averse_investors_in_a_market_impact_game_with_transien.pdf (862.01 KB)

2022-6-10 06:33:43 上传

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关键词：纳什均衡 风险厌恶 投资者 Quantitative Mathematical

具有瞬时价格冲击的市场冲击博弈中风险厌恶投资者的纳什均衡*亚历山大·希德**第一个版本：2018年7月10日此版本：2019年5月19日摘要我们考虑n个风险厌恶代理的市场影响博弈，这些代理在具有线性瞬时价格影响和额外交易成本的市场模型中竞争。在有限和有限的时间范围内，代理人的目标是最小化其成本的平均方差函数，或最大化其收入的预期指数效用。我们给出了相应纳什均衡的显式表示，并证明了均值-方差优化情况下的唯一性。通过数值分析对这些纳什均衡进行了定性分析。关键词：市场影响博弈、高频交易、纳什均衡、瞬时价格影响、市场影响、掠夺性交易1介绍在市场影响博弈中，金融代理人在市场框架中相互竞争，其中每笔交易都会产生价格影响。关于这一主题的早期论文，如Brunnermeier和Pedersen【6】、Carlin等人【7】、Schoneborn和Schied【24】，考虑了在alinear Almgren-Chris市场影响模型中活跃的风险中性因素。在这个相对简单的设置中，有趣的效果已经显现出来，例如代理的捕食或合作行为的转变。Almgren-Chriss框架中的风险规避扩展如[9，21]中所述。有关市场影响游戏文献的进一步发展，请参阅[8、16、10]。在本文中，我们考虑了在一个具有线性瞬时价格影响的离散时间模型中活跃的风险规避主体。对于单代理优化问题，Obizhaeva和Wang【17】引入了此类价格影响模型，并在后来进一步发展，例如【2，12】。

Schoneborn（23）首先考虑了两个风险中性代理的市场影响博弈，他观察到，如果交易速度足够快，均衡策略可能会在买入和卖出交易之间表现出强烈的波动。[20，22]进一步研究了这种情况，通过引入额外的二次交易成本，模型也得到了增强，二次交易成本的强度由一个数字θ参数化≥ 特别证明了存在一个显式给定的临界值θ*> 使平衡策略显示θ<θ的至少一些振荡*, 而θ的所有振荡都消失了≥ θ*.*统计研讨会，ETH Zurich，CH-8092 Zurich，瑞士。电子邮件：luox@student.ethz.ch**滑铁卢大学统计与精算科学系，滑铁卢，加拿大N2L3G1。电子邮件：aschied@uwaterloo.caThe作者衷心感谢加拿大自然科学和工程研究委员会通过RGPIN-2017-04054和USRA-515434-2017的资助。在[22]中，只考虑了两个相互竞争的风险中性代理。本论文的主要目的是将结果和观察结果从[22]扩展到更灵活的环境，在这种环境中，任意数量（但有限）的代理人在风险规避下优化其策略。更准确地说，代理人要么在确定性策略上最小化交易成本的均值-方差函数，要么在适应性策略上最大化其收入的预期CARA效用。我们证明了这两个问题都有一个相同的纳什均衡，它以显式形式给出，并且在均值方差优化的情况下是唯一的。更准确地说，均衡策略是两种极端基本策略v和w的线性组合。第一种策略v是所有玩家的标准化共同策略，前提是每个玩家的初始位置相同。

第二个是w，如果所有参与者的初始位置加起来为零，则为所有参与者的标准化公共策略。然后，我们对均衡策略进行数值分析，以数值方式确定交易成本的临界阈值，在该阈值以上，所有波动都会停止。与[22]中研究的风险中性两人案例相比，我们现在观察到v和w的两个不同阈值。此外，v的阈值将不取决于风险规避，而是取决于参与者的数量。相比之下，w的阈值将不取决于参与者的数量，而是取决于风险规避。如果代理人表现出严格的积极风险规避，则可以在有限的时间范围内研究市场影响博弈。当一个人不想强加一个外部固定的时间范围，而是旨在对交易范围进行内在推导时，这个问题很有趣。我们证明，在θ等于临界值θ的情况下，这样的无限期市场冲击博弈允许纳什均衡*, 这是在有限的时间范围内通过数值确定的。如果θ6=θ*, 纳什均衡可能不存在。这种推测的不存在是承认许多等级的理想化的结果，在连续时间模型的背景下，这种理想化也被证明并非如人们最初所希望的那样是无辜的。具体而言，文献[20]表明，在两个风险中性主体的情况下，只有当θ=θ时，才能存在非平凡的纳什均衡*. 这一负面结果促使Strehle【25】在成本函数中加入了对连续时间策略导数的额外惩罚。这个附加项规范化了可接受的策略，使纳什均衡普遍存在。本文的组织结构如下。在第2.1节中，我们介绍了设置并陈述了有限时间范围内的所有结果。

第2.2节包含我们对有限时间范围内的市场影响博弈的讨论。所有证明均在第3.2节主要结果2.1有限时间范围内给出。我们考虑了离散时间市场影响模型的n-agent扩展，该模型具有线性瞬态价格影响，例如在[1、2、17、22、23]中进行了研究。该模型有时也称为离散时间线性传播子模型，我们参考[13]了解讨论和进一步背景。假设n个金融代理人活跃于一项风险资产的市场影响模型中。市场影响文献中通常假设，未受影响的价格过程S=（St）t≥0将是过滤概率空间上的平方可积右连续鞅(Ohm, F，（Ft）t≥0，P）。一个重要的特例是形式st=S+σBt，t的Bachelier模型≥ 0，（1）对于常数S，σ>0和标准布朗运动B。所有代理的交易次数均为0≤ 代理人i的交易策略将是一个向量ξi=（ξi，0，…，ξi，N）>，其中ξi，kre表示在tk时出售的股份数量。也就是说，ξi，k>0表示卖出订单，ξi，k<0表示买入订单。所有策略的矩阵用Ξ=[ξ，…，ξn]表示。当所有代理应用其策略时，资产价格由SΞt=St给出-Xtk<thG（t- tk）nXi=1ξi，ki，（2）其中G:R+→ R+称为衰变核。数量G（t-tk）描述了在tk时间进行的单位交易的时间-时间价格影响≤ t、 当代理j在时间tk首次下订单ξj，k>0时，资产价格从SΞtkt线性移动到SΞtk+：=SΞtk- G（0）ξj，k。因此，代理人j的清算成本为：-（SΞtk++SΞtk）ξj，k=G（0）ξj，k- SΞtkξj，k。假设在代理j之后，另一个代理i放置一个命令ξi，k>0。

代理人i的清算费用如下：-（SΞtk++SΞtk+- G（0）ξi，k）ξi，k=G（0）ξi，k- SΞtkξi，k+G（0）ξj，kξi，k，（3）其中G（0）ξj，kξi，kis是由于执行时间延迟而产生的额外成本项。平均而言，百分之五十的时间，代理j的订单将在代理i的订单之前执行。因此，代理i在时间tkw的延迟成本的形式为（0）Xj6=iξi，kξj，k。除了上述执行成本外，我们还按照[20，22]假设二次交易成本θξi，kwithθ≥ 我们的目标之一是分析这些交易成本对最优策略的定性影响。此类二次交易成本通常用于模拟因交易（见[3，5]和[12，第2.2节]）或交易税（见[20，22]）产生的各种成本而产生的“滑移”。正如Strehle【25，第5页】所讨论的，这些交易成本不应被理解为临时价格影响造成的，因为价格影响产生的所有成本已经包含在（3）中。此外，我们可以如[22]的命题2.6所述，认为我们的二次交易成本函数可以被原点附近的比例交易成本所取代，而不会影响我们将要推导的纳什均衡。由于二次交易成本和比例交易成本的主要区别在于它们在原点的行为，因此很有可能在以下章节中获得的二次交易成本的类似结果也适用于比例交易成本。因此，前面的讨论激发了以下定义。定义2.1。给定时间网格T={T，T，…，tN}，策略ξi分配者策略ξjj j=i的执行成本定义为T（ξi |ξ-i） =NXk=0hG（0）ξi，k- SΞtkξi，k+G（0）Xj6=iξi，kξj，k+θξi，ki，（4）其中ξ-i=[ξ，…，ξi-1，ξi+1。

，ξn]。在续集中，我们将假设代理i的初始位置为Xi∈ R股，并被限制在交易日结束前持有零终端头寸。通常假设[17，22]，代理可以最小化以下策略类别的预期成本，X（Xi，T）=nξ=（ξ，…ξn）ξiis Fti可测且有界，且nxi=0ξi=Xio。然而，在实践中，也很流行纳入代理人的风险规避，并优化交易成本的以下均值-方差函数MVγ（ξi |ξ-i） =E[CT（ξi |ξ-i） ]+γVar[CT（ξi |ξ-i） 】。（5） 这里，γ≥ 0是风险规避参数。对于γ>0，如果策略是确定性的，则平均方差函数（5）通常仅在时间上一致；参见，例如，【3，15】。因此，它的最小化通常局限于X（Xi，T）中的确定性策略类，我们用xdet（Xi，T）=nξ表示∈ X（Xi，T）ξ是确定性的o=nξ∈ R | T|>ξ=Xio，对于1=（1，…，1）>∈ RN+1。将收入的预期效用最大化也是有意义的，这只不过是负成本。这里，我们将使用以下效用泛函，Uγ（ξi |ξ-i） ：=E[uγ(-CT（ξi |ξ-i） ）]，其中uγ（x）是以下指数或CARA效用函数，uγ（x）=（γ（1- e-γx）如果γ>0，-如果γ=0，则为x。由于预期效用函数的时间一致性，我们可以从类X（Xi，T）考虑其最大化整体适应策略。此外，例如，在[7、20、21、22、25]中，我们假设每个代理都有关于其他代理使用的策略的完整信息。定义2.2。假设有n个代理具有初始库存X，Xn公司∈ R和风险规避参数γ≥ 0，T：={T，T，…，tN}是一个固定的时间网格。（a） 均值-方差优化的纳什均衡是一组策略（ξ*, . . .

, ξ*n）∈Xdet（X，T）×···×Xdet（Xn，T），使得每个ξ*最小化平均方差函数MVγ（ξ|ξ*-i） ξ以上∈ Xdet（Xi，T）。（b） 卡拉效用最大化的纳什均衡是一组策略（ξ*, . . . , ξ*n）∈X（X，T）×····×X（Xn，T），使得每个ξ*最大化CARA效用函数Uγ（ξ|ξ*-i） ξ以上∈ X（Xi，T）。在上述定义中，我们假设所有代理人共享相同的风险规避参数γ≥ 代理人具有不同风险规避参数的情况是当前模型的直接但间接的扩展。这将大大复杂化符号，但不会提供重要的额外见解。因此，我们将只考虑相同风险规避参数的情况。现在让ν（t）：=t的Var（St）≥ 我们定义θ、γ≥ 0，Γγ，θij=G（| ti- tj |）+γД（ti∧ tj）+2θδij，i，j=0，1，N、 （6）其中δij是Kronecker三角洲。然后我们定义=如果i<j，则为0，如果i=j，则为0，如果i>j，则为0。（7）注意，如果i=j，则为0，则为0。我们进一步定义了nev=>[γ，θ+（n- 1） eΓ]-1[Γγ，θ+（n- 1） eΓ]-11，（8）w=>[Γγ，θ-eΓ]-1[Γγ,θ-eΓ]-11.（9）回想一下函数g:R→ R被称为严格正定义（在Bochner的意义上），如果为alln∈ N和s，序号∈ R、 矩阵（g（si- sj））i，j=1，。。。，nis正定义。假设2.3。因此，我们假设函数R 3 x 7→ G（| x |）是严格的正定义。根据P'olya【18】，只要G是凸的、非递增的和非恒定的，就可以满足假设2.3（参见Young【26】的早期论点）。这意味着矩阵Γ0,0对于所有时间网格T都是正的。正如在[2]中观察到的，假设2.3也排除了Huberman和Stanzl意义上的价格操纵策略的存在。现在我们可以陈述我们的第一个结果，即纳什均衡的存在性和唯一性。

它扩展了[22]中的定理2.5，其中处理了n=2和γ=0的情况。定理2.4。假设假设2.3成立。然后，对于任何时间网格T，参数θ，γ≥ 0，初始库存X，Xn公司∈ R、 和'X=nPnj=1Xj，策略ξ*i=(R)Xv+（Xi-(R)X）w，i=1，n、 （10）形成均值-方差优化的唯一纳什均衡。此外，如果Sis是形式（1）的Bachelier模型，那么策略（10）也会形成CARA效用最大化的纳什均衡。备注2.5。注意，均值方差优化的纳什均衡是唯一的，但我们不知道卡拉效用最大化的纳什均衡是否也是唯一的。这与卡拉效用最大化所采用的更大类别的适应策略有关。然而，从定理2.4的第一部分可以很容易地看出，当Sis是一个Bachelier模型且所有代理都被限制使用确定性策略时，策略（10）形成了CARA效用最大化的唯一纳什均衡。从定理2.4可以看出，在以下两种特殊情况下，纳什均衡具有特别简单的结构：o如果X=···=Xn，则ξ*i=Xv表示i=1，n、 o如果X+···+Xn=0，则ξ*i=Xiw表示i=1，n、 [2]的推论1表明，对于凸的和非递增的G和凸的Д，单代理策略（n=1）总是只买或只卖。另一方面，Schoneborn（23）观察到，对于G（t）=e-t、 n=2，γ=0，θ=0均衡策略在买卖订单之间振荡。因此，这些振荡是两个代理之间相互作用的真实影响。[20、22、23]中解释了这种影响，因为需要防止竞争对手的掠夺性交易。这些波动也类似于2010年5月10日金融危机期间高频交易者之间的“烫手山芋”游戏（见[11，p。

2]). 在[22]中，分析了n=2和γ=0时θ对平衡策略振荡的影响。发现存在一个临界水平θ*使得平衡策略至少显示θ<θ的一些振荡*,而θ的所有振荡都消失了≥ θ*. 在[22]中，临界水平θ*被确定为asG（0）。这里，我们的目标是从数值上分析代理人数量n及其风险规避水平γ对θ值的影响*.假设2.6。在数值分析中，我们做出以下假设。（i） T=1，时间网格等距：TN：=kN | k=0，1，N对于N∈ N、 （ii）G的形式为G（t）=e-t、 （iii）Sis是σ=1的形式（10）的学士模型。在图1中，我们观察到增加风险规避γ并不能阻止向量V中的振荡。相反，增加γ实际上会加剧早期交易期间的波动。然而，增加交易成本水平θ将明显减小波动的大小。因此，对于fixedn、N和γ，我们可以寻找minivi变为非负的水平θv=θv（N、N、γ）。图2表明，至少对于足够大的N，该水平完全独立于风险规避参数γ，我们发现这一观察结果非常令人惊讶。在图3中，我们提供了函数（N，γ）7的数值曲面图→ θv（n，n，γ），n=2，n=5。结合作者进行的其他模拟，图3和图2表明，对于每一个n，都有一个临界水平，在该水平上v的所有振荡都停止，由θ给出*v（n）=supN，γθv（n，n，γ）=n- 1.