利用挤压持续时间测试二元状态切换模型

程序如下所示（a）给定一个时间序列S，确定了零假设下的p-容许类CPI。CPI的非空子类a是固定的。（b） 对于每个θ∈ 时间序列{X，X，…，XB}的A，B个数由相应的模型θ以与S相同的时间步长进行模拟。我们称之为与θ相对应的S的替代数据。（c） 让t*:= T（S）是观测数据S的T值，T：={T，T，…，tB}是替代数据{X，X，…，XB}的值，其中ti=（ti，ti，…，tir）=T（Xi）。（d） 通过牢记双面测试，我们用以下方式定义αθrinαθr：=2 minj≤rgBBXi=1[0，∞)（t*j- tij）！，其中gB（x）：=x∧（B）-x） B和t*= （t*, t型*, . . . , t型*r） 。（e） 因此，A类试验的α值由αr=maxθ给出∈Aαθr.（f）我们拒绝假设S是来自类别中的模型样本，置信度为100（1-αr）%，提供的αris相当小。备注2.9。值得注意的是，由于“维度诅咒”，上述方法有一个可怜的局限性或者换句话说，对于给定的模型θ，当r较大时，观察到αθrto小于非常小的值的概率并不小。但众所周知，对于小于5维的r，诅咒并不是致命的。因此，我们限制自己进行四维测试。为了便于说明，我们考虑一个特定的时间序列S和r=2，即检验统计量T=（T，T）。在下图1中，分别针对水平轴和垂直轴绘制了值和皮重。点t的位置*= T（S）在图中表示为一个圆。在GBM的完全假设下，Cp类被证明是单态的（详见第3.1节）。通过设置B=200计算T在零假设下的采样分布，并使用二维箱图表示。

此外，在MMGBM的零假设下，其次是B=1，以及a子类：={λ∈ （N）∩ [5，15]，σ（1）=^F←^σ（p）}对于Cp，T的值绘制为点。在下一节中，我们将实现此处提出的更具体的模型选择思想，并详细讨论实现问题。3、实证研究对于实证研究，我们认为，从2016年12月1日到2017年6月30日，印度几大股指的5分钟数据。假设一年有250个交易日，每天有6个小时的交易，weset =250×360≈ 5.5 ×10-在本节中，我们将p=15%。t的组件*下表1给出了每个索引的数据。表中的每一行对应一个索引，该索引在第二列中提到，其id在第一列中。第三列给出了L的值，即每个指数数据的p压缩持续时间的观察次数。3.1. GBM假设。让(Ohm, F、 P）是{Wt}t的概率空间≥0是布朗运动。由几何布朗运动（简称GBM）建模的股票价格由dst=St（udt+σdWt）t给出≥ 0，S>0，（3.1），其中u和σ分别是漂移系数和波动系数。方程（3.1）有一个强解，其形式为st=Sexput-σt+σWt, t型≥ 0。（3.2）6米兰库马尔·达斯和阿尼迪亚·戈斯瓦米图1。观察（T，T）图和各种不同的替代数据。表1：。2016年12月1日至2017年6月30日期间，印度5分钟数据的鉴别统计值（p=15%）数据指数出现在*t型*t型*t型*I01 NIFTY 100 159 10.52 11.31 1.17 3.41I02 NIFTY 200 160 10.45 11.18 1.29 3.79I03 NIFTY 50 155 10.78 11.00 1.08 3.28I04 NIFTY 500 152 11.01 11.40 1.20 3.63I05 NIFTY BANK 159 10.52 11.62 1.39 4.03I06 NIFTY商品169 9.89 10.49 1.47 4.59I07 NIFTY能源168 9.96 11.44 1.59 4.80I08 NIFTY FIN。序列号。

168 9.95 10.72 1.46 4.39I09 NIFTY快速消费品178 9.40 10.15 1.58 5.01I10 NIFTY INFRA 174 9.61 11.70 1.72 5.41I11 NIFTY IT 159 10.52 11.36 1.19 3.35I12 NIFTY媒体173 9.66 9.49 1.19 3.77I13 NIFTY金属188 8.89 10.53 1.92 6.52I14 NIFTY MNC 178 9.40 10.63 1.54 4.67I15 NIFTY PHARMA 175 9.56 11.13 1.59 4.69I14 16 NIFTY PSE 148 11.29 12.73 1.28 3.76I17 NIFTY REALTY 177 9.45 10.49 1.83 6.02I18 NIFTY服务第。172 9.72 11.13 1.33 3.773.1.1. 代理数据。需要注意的是，Cp类是单态的，根据定义2.8（i）-（ii），u=^u，σ=^σ，其中条形符号表示时间平均值。设Sbe为由N个数据点组成的股票的初始价格。设{0=t<t<…<tN}为观测数据序列时间间隔的分区，其中ti+1-ti= 对于i=1，2，N-1和是以年为单位的时间步长长度。然后，可以使用（3.2）的离散版本生成代理GBM的Cp类，该版本由ti+1=Stiexp给出(^u -^σ) +\'^σZi, St=S（3.3）使用挤压持续时间7测试二元状态切换模型，其中{Zi | i=1，…，N- 1} 均为独立同分布（i.i.d.）正态随机变量，均值为0，方差为. 我们进一步强调，用于离散化的步长δ与观测时间序列中的步长相同。我们在本文中使用这个约定。3.1.2. 假设检验。我们打算测试观察到的指数价格的T值是否是来自GBM模型的T值的离群值。对于表1中的每个指标，我们设置了我们的零假设H：时间序列属于GBM的Cp类。我们再次回顾，Cp类实际上是单例的。以下图表说明了所有18个指数的结果。图2和图3分别为色调图。通过对Cp类的GBMmodel进行200次模拟，得到每个方框图。

三角形图是所有指数原始数据的代表。在这里，我们看到三角形看起来远离长方体图。图2：。Tunder GBM假设的抽样分布图3。Tunder GBM假设的抽样分布因此，上图2和图3表明GBM模型的无效假设遭到强烈拒绝。在下面的小节中，我们继续研究二进制区域切换马尔可夫调制几何布朗运动。3.2. 马尔可夫调制GBM假说。在本小节中，我们研究了二元制度下MMGBM假设的CP类假设的检验。在这种情况下，方程（1.1）依赖于两态马尔可夫过程{Xt}t≥值得注意的是，连续时间马尔可夫链可以通过其瞬时转移率矩阵来表征。3.2.1. 代理数据。在本小节中，我们将我们的研究局限于嵌入在Θ={θ=（u（1），σ（1），λ，u（2），σ（2），λ）|u（i）中的Cpwhichare的特定亚类a∈ R、 σ（i）>0，λi>0，i=1，2}。（3.4）这里，马尔可夫链的转移率矩阵由∧给出：=-λλλ-λ.因此，对于i=1，2，状态i的逗留时间分布为Exp（λi）。现在自从 内容提供商 Θ，通过使用定义2.8（iii），我们得到λλ+λ=p.（3.5），使用定义2.8（i），（3.5）漂移系数u（i）满足以下关系pu（1）+（1- p） u（2）=u。（3.6）同样使用定义2.8（ii）和（3.5），波动系数σ（i）的关系低于σ（1）+（1- p） σ（2）=σ。（3.7）8 MILAN KUMAR DAS和ANINDYA Goswami在简单计算（3.5）后变为λ=p- 1.λ. （3.8）因此Cp Θ是满足方程式（3.6）、（3.7）和（3.8）的六个参数的集合。我们通过选择u（1）=u（2）和σ（1）=^F来选择A←σ（p）。因此，A是五个方程在六个未知量中的解空间的子集，或者换句话说，A可以被视为一个单参数模型族。

接下来，要生成代理数据，我们需要将对应于的每个成员的MMGBM模型离散化。为此，我们将（1.1）离散化并进行蒙特卡罗模拟。形式（1.1）的MMGBM代理的离散化由ti+1=Stiexp给出u（Xi）-σ（Xi） + σ（Xi）子,Xi+1=Xi- (-1） XiPi，（3.9），其中{Pi | i=1，…，N-1} 对于所有j和每个给定的Xi，π的条件分布独立于{P，P，…，Pi-1} 遵循伯努利（λXi), P rob（Pi=1 | Xi）=λXi的伯努利随机变量, 假如  最小值{1/λi | i=1，2}。对于每个i，zi如（3.3）所示。对于足够小的, 上述离散模型近似于连续时间MMGBM模型。这里排除了这一事实的证明。3.2.2. 假设检验。我们打算测试观察到的指数价格的T值是否是来自MMGBM模型的T值的离群值。对于表1中的每个索引，我们设置了我们的零假设H：时间序列属于MMGBM的A类。为了测试H，我们采用了典型的实现代理数据方法，并考虑了离散模型（3.9）。对于每个θ∈ 我们进行了200次蒙特卡罗模拟（B=200）。然后，我们将每个指数的α、α、α和α值记录在表2中。为了加深对复合假设的理解，这里我们考虑第一个时间序列I01，以使用以下四个二维投影图来说明A中某些模型的T采样分布。在每个图4-7中，圆图表示*, I01的T值。此外，还有三个分别对应于λ等式5、10和15的二维盒形图。通过滥用符号，我们把λ写成θ。从图4可以看出，就（T，T）而言，λ的最小平方估计值应该在5到10之间。实际上，如表2所示，仅取决于Tand T的α值（0.395）相当大。

然而，图5表明，通过仅考虑（T，T），λ>15的最小二乘估计。另一方面，图6和图7中的每一个都表明圆图是一个异常值。因此，复合假设中的参数组合无法解释观察到的数据。我们还可以从这四个图中观察到另一个非常重要的特征。统计量的抽样分布随参数θ的变化而单调变化。统计数据的这种单调敏感性对于成功的推理至关重要。从表2中可以明显看出，对于α值为5%或更小的每个指数，可以拒绝Hc。最后，由于表2 MMGBM列中的所有α均小于5%，我们拒绝了对每个指数数据95%置信度的零假设。使用挤压持续时间9测试二元状态切换模型图4。Tand TunderMMGBM假设图5。Tand TunderMMGBM假设图6。Tand TunderMMGBM假设图7。Tand TunderMMGBM假设3.3。半马尔可夫调制GBM。在本小节中，我们考虑二元制度下的SMGBM假设。在这种情况下，方程（1.1）依赖于两态半马尔可夫过程{Xt}t≥半马尔可夫过程可以用其瞬时转移率函数来描述。或者，也可以通过拟合嵌入链的转移概率矩阵和每个状态下保持时间的条件分布来描述半马尔可夫过程。3.3.1. 代理数据。以下所有类别模型的一个子类Θ={θ=（u（1），σ（1），λ（·），u（2），σ（2），λ（·）|u（i）∈ R、 σ（i）>0，λi（·）>0，i=1，2}。10米兰库马尔·达斯和阿尼迪亚·戈斯瓦米现在将被考虑。对于Cp中的每个θ Θ、u（i）和σ（i）满足方程式（3.6）和（3.7）。

半马尔可夫链的转移率矩阵是[0]上的矩阵值函数，∞), 由∧（y）给出：=-λ（y）λ（y）λ（y）-λ（y） y∈ [0, ∞).现在，为了便于说明，按以下方式选择A。当i=1，2时，状态i的保持时间分布为Γ（ki，λi），其中Γ（ki，λi）表示形状为ki且速率为λi的伽马分布。从[9]可以看出，λi（y）是Γ（ki，λi）的危险率，由λi（y）=λkiiyki给出-1e级-λiyΓ（ki）-γ（ki，λiy），其中γ是较低的不完全γ函数。由于Γ（ki，λi）的期望值为kiλi，因此根据定义2.8（iii），kλkλ+kλ=p，即kλ=p- 1.kλ。除此之外，如前所述，我们进一步假设u（1）=u（2），σ（1）=^F←σ（p）和k=k。因此，Ais是八个未知量中六个方程的解空间，或者换句话说，A是一个双参数子族f。为了使用蒙特卡罗模拟从A的每个成员中提取样本，我们首先离散化（1.1）。（1.1）的SMGBM代词的离散化方案由Ti+1=Stiexp给出u（Xi）-σ（Xi） + σ（Xi）子,Xi+1=Xi+(-1） 西皮，一+1=（一+一) (1 -Pi），（3.10），其中{Zi}如（3.3）所示，{Pi | i=1，…，N- 1} 对于所有j和每一对（Xi，Yi），π的条件分布独立于{P，P，…，Pi-1} 和followsBernoulli（λXi（Yi）), P rob（Pi=1 | Xi，Yi）=λXi（Yi）的伯努利随机变量, 假如  最小{1/λi（y）| y≥ 0，i=1，2}。这种离散化是从半马尔可夫过程的半鞅表示中获得的，如[9]所示。读者可以参考[9]了解关于半马尔可夫过程表示的更多细节。3.3.2. 假设检验。我们为所有指数设置了零假设：时间序列属于SMGBM的A类。从下表2中可以看出，对于任何具有显著置信度的指数，H都不能被拒绝。因此，我们也不能拒绝超集。

或者换句话说，我们不能拒绝这样一个综合假设，即所研究的数据来自SMGBM人群。结论在本文中，我们开发了一种统计技术来检验GBM的二元区域切换扩展假设。拟议的统计程序包括四个步骤。在第一步中，我们将连续时间模型离散化。在第二步中，使用特定的参数组合对离散模型进行蒙特卡罗模拟。在第三步中，我们计算各种参数组合的模型假设下统计量的抽样分布。在最后一步中，我们将观察数据的统计值与第三步中获得的抽样分布进行比较。尽管数学上很难处理，但我们还是以非常严格的方式系统地介绍了该程序。鉴于没有任何关于政权转换模型推断的报告调查，我们对这个问题采取了最自然和最简单的方法。我们已经成功地观察到，即使使用这种简单的方法，统计数据的抽样分布对模型参数也表现出单调敏感性。因此，所提出的统计方法适用于推理问题。这篇论文是为普通读者撰写的，省去了一些技术术语。从原则上讲，这项工作提供了一个框架，并为许多研究调查提供了机会，这些研究调查涉及在几个不同应用领域产生的政权转换动态的推断。使用挤压持续时间测试二元状态切换模型11表2。

所有指标的α值SMGBMIndexαααααα1 I01 0.490 0.395 0.045 0.040 0 0.495 0.485 0.225 0.0952 I02 0.490 0 0.400 0.050 0.045 0.500 0.455 0.195 0.1053 I03 0.470 0.420 0.050 0 0.035 0.495 0.470 0.230 0.1004 I04 0.435 0.395 0.055 0.040 0.455 0.180 0.1055 I05 0.415 0.395 0.055 0.040 0.495 0.415 0.195 0.1056 I06 0.465 0.390 0.055 0.040 0 0.485 0.415 0.200 0.1157 I07 0.4300.430 0.060 0.040 0.500 0.420 0.205 0.1008 I08 0.475 0.420 0.050 0 0.035 0.495 0.455 0.235 0.1009 I09 0.455 0.420 0.085 0.050 0 0.495 0.425 0.220 0.10510 I10 0.460 0.390 0.055 0.040 0 0.485 0.425 0.200 0.11511 I11 0.455 0.420 0.055 0.040 0 0 0 0.430 0.190 0.10012 I12 0.480 0.395 0.050 0.050 0.500 0.470 0.210 0.11513 I13 0.490 0 0.405 0.050 0 0.040 0 0.500 0.470 0.215 0.10514 I14 0.430 0.395 0.055 0.040 0 0 0.4850.415 0.195 0.10015 I15 0.490 0 0.410 0.050 0.035 0.480 0.480 0.235 0.10016 I16 0.435 0.395 0.055 0.040 0 0.495 0.425 0.200 0.10517 I17 0.470 0.410 0.045 0.030 0.495 0.400 0.195 0.09518 I18 0.425 0.395 0.055 0.040 0 0.490 0 0 0 0.430 0.205 0.1005。致谢作者感谢Uttara Naik Nimbalkar教授和Kedar Mukherjee博士提供的一些非常必要的帮助。作者还感谢Sanket Nandan进行了一些有益的讨论。参考文献【1】Basak、Gopal K.、Mrinal K.Ghosh和Anindya Goswami。马尔可夫调制市场中一类奇异期权的风险最小化期权定价。随机分析与应用29.2（2011），259-281。[2] 薄熙来、李军、王永进和杨学伟。货币期权定价的马尔可夫调制跳跃效应。保险：数学与经济学46.3（2010），461-469。[3] 伯林格，约翰。布林格带上的布林格。McGraw-Hill Professional，2001年。[4] Bulla、Jan和Ingo Bulla。，金融时间序列和隐半马尔可夫模型的程式化事实。计算统计与数据分析51.4（2006），2192-2209。[5] 达斯、米兰·库马尔、阿尼迪亚·戈斯瓦米和坦迈·S·帕坦卡。

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