无鞅测度定价

（见（2.2）），并允许将条件本质上确界计算为随机集上的经典上确界。提案2.9。让X∈ L（Rd，F）使得dom suppHX=Ohm 和leth：Ohm ×Rd→ R为H B（Rd）-x中的l.s.c.可测函数。然后，ess supHh（x）=supx∈补充xh（x）a.s.（2.5）该命题有以下简单的扩展。证据被推迟到附录中。推论2.10。让X L（Rd，F）使得dom suppHX=Ohm 对于allX∈ X和∪十、∈XsuppHX是一个H-可测闭值随机集。设h：Ohm ×Rd→ R为H B（Rd）-在x中为l.s.c.的可测函数。然后，ess supH{h（x），x∈ X}=supx∈∪十、∈XsuppHXh（x）a.s.（2.6）注意，如果x是可数的，∪十、∈XsuppHX显然是H-可测量的。如果x=L（Rd，F），则∪十、∈XsuppHX=Rd，这也是H-可测的，也是闭值的。命题2.9的证明基于以下两个有用的引理。/9引理2.11。让K：Ohm  Rdbe是一个H-可测闭值随机集，使得dom K=Ohm 让h：Ohm ×Rd→ R在x中为l.s.c.然后，supx∈Kh（x）=supn∈Nh（ηn），（2.7），其中（ηn）n∈Nis是K.Proof的Castaing表示。Letω∈ Ohm. As（ηn（ω））n∈N K（ω），h（ω，ηn（ω））≤ supx公司∈K（ω）h（ω，x）和supnh（ηn）≤ supx公司∈Kh（x）。让x∈ K（ω）=cl{ηn（ω），n∈ N} ，由hh（ω，x）的下半连续性≤ lim infnh（ω，ηn（ω））≤ supnh（ω，ηn（ω））。我们得出结论，supx∈Kh（x）≤ 证明了supnh（ηn）和（2.7）。2Lemma 2.12。让K：Ohm  Rdbe是一个H-可测闭值随机集，使得dom K=Ohm 让h：Ohm×Rk×Rd→ R为HB（Rk）B（Rd）可测函数，使得h（ω，x，·）是所有（ω，x）的l.s.c∈ Ohm ×Rk。然后（ω，x）∈ Ohm ×Rk7→ s（ω，x）=supz∈K（ω）h（ω，x，z）是h B（Rk）-可测量。证据引理2.11表示s（ω，x）=supnh（ω，x，ηn（ω）），其中（ηn）n∈Nis是K的Castaing表示。

这意味着对于任何固定的c∈ R{（ω，x）∈ Ohm ×Rd，s（ω，x）≤ c} =\\n{（ω，x）∈ Ohm ×Rd，h（ω，x，ηn（ω））≤ c} 。因为h是h B（Rk） B（Rd）-可测和ηnis H-可测，（ω，x）7→h（ω，x，ηn（ω））是h B（Rk）-可测量，命题2.9的s.2Proof也是如此。作为P（X∈ suppHX | H）=1（见备注2.3）我们有该supx∈suppHXh（x）≥ h（X）a.s.和ess supHh（X）的定义意味着supx∈suppHXh（x）≥ ess supHh（X）自supx以来每年∈补充引理2.4和2.12可测量的xh（x）isH。Let（γn）n∈Nbe suppHX的Castaing表示。引理2.11意味着supx∈suphxh（x）=supnh（γn）。固定一些有理数ε>0，设置zε=1B（γn，ε）（X），其中B（γn，ε）是中心γ和半径ε的闭合球。注意E（Zε| H）=P（X∈ B（γn，ε）| H）>0。事实上，如果它不保持trueP（X∈ 在某些H上，Rd\\B（γn，ε）| H）=1∈ H使得P（H）>0，根据定义2.2，suppHX H上的Rd\\B（γn，ε），与γn相矛盾∈ 供应商。通过对本质上确界的定义，我们得到了ess supHh（X）≥ h（X）/10a。s、 ess supHh（X）是H-可测的。这意味着所有固定ω∈ Ohmε、 在哪里Ohmε为全量，即supHh（X）（ω）≥E（Zεh（X）| h）E（Zε| h）（ω）=RB（γn（ω），ε）（X）h（ω，X）PX | h（dx；ω）E（Zε| h）（ω）≥Rinfy公司∈B（γn（ω），ε）h（ω，y）B（γn（ω），ε）（x）PX | H（dx；ω）E（Zε| H）（ω）≥ infy公司∈B（γn（ω），ε）h（ω，y）。由于h是l.s.c.（回想一下[28，定义1.5，方程式1（2）]，我们得到了thatlimε→0通知∈B（γn，ε）h（y）=lim infx→γnh（x）=h（γn）。所以在全度量集上∩ε∈Q、 ε>0Ohme、 ess supHh（X）≥ h（γn）。把这个supremum覆盖所有n，我们得到了这个supHh（X）≥ supnh（γn）=supx∈suppHXh（x）≥ ess supHh（X）a.s.2.2。Fenchel Legendre conjugate和bi conjugate to expresssuper复制价格和成本我们现在可以执行本节开头宣布的计划的第1点到第4点。提案2.13。P（g）=ess supH（g（Y）- θY）+θY，θ∈ L（Rd，H）+ L（R+，H）。（2.8）假设g是H-正规被积函数。

那么，对于θ∈ L（Rd，H），we gethatess supH（g（Y）- θY）=supz∈供应（g（z）- θz）=f*(-θ） a.s.（2.9），其中f*是f i.e.f的Fenchel-Legendre共轭*（ω，x）=supz∈Rd（xz- f（ω，z））f（ω，z）=-g（ω，z）+δsuppHY（ω，z），（2.10）/11其中，如果z，δC（ω，z）=0∈ C（ω）和+∞ 其他的此外，我们还有p（g）=-f**（y） a.s.（2.11），其中f**是f i.e.f的Fenchel Legendre双共轭**（ω，x）=supz∈Rd（xz- f*（ω，z））。请注意，最大超级套期保值成本不是先验价格，即P（g）的一个元素，因为后者可能是开放区间。备注2.14。芬切尔-勒让德对偶在金融数学中已经被多次使用。尤其是，Pennanen获得了超级复制价格的双重表示，这要归功于定义（见[24，示例4.2]和[25，定理10和推论15]）。[25，定理10]的证明也是基于凸双共轭定理，但结果是在假设可以从0超复制的权利要求集R（见（2.15））是闭合的情况下显示的，这在无套利条件下成立。在文献[26]中，通过动态规划，在不依赖inf紧性的线性条件下，证明了一般随机优化问题中对偶间隙的存在与否。经典数学金融问题中的这一条件相当于无套利条件（见[26，示例1]）。我们的方法有所不同，因为我们没有对市场做出任何假设，我们从双共轭表示中推断出市场应该满足的条件。特别是，目标并不是由于偏差或鞅度量而获得双重表示。证据

作为x∈ P（g）当且仅当存在θ∈ L（Rd，H）使x- θy≥ g（Y）- θY a.s.，我们通过对（2.8）成立的条件本质上限的定义（见命题2.5）得出结论。然后（2.9）来自命题2.9。引理2.4将生效。首先，它意味着δsuppHYisH B（Rd）-可测量和l.s.c.因为dom f=suppHY为非空（见备注2.3）f*（ω，·）是凸的，l.s.c.作为a ffne函数的上确界。因此x 7→ f*(ω, -x） 也是l.s.c.和凸面。此外，使用引理2.12，f*（ω，x）=supz∈suphy（ω）（xz+g（ω，z））是H B（Rd）-可测量。我们得到/12 a.s.p（g）=ess infH{f*(-θ） +θy，θ∈ L（Rd，H）}=-ess supH{θy- f*(θ), θ ∈ L（Rd，H）}=- supz公司∈Rd（zy- f*（z） ）=-f**（y） 。第一个等式是（2.8）的直接结果，第二个等式微不足道。我们证明了第三个。首先，注意ess supH{θy- f*(θ), θ ∈ L（Rd，H）}与ess supH{θy}重合- f*(θ), θ ∈ L（Rd，H）∩ dom f*}. 此外，asf*是H B（Rd）-可测量，图dom f*= {（ω，x）∈ Ohm ×Rd，f*（ω，x）<∞} ∈ H B（Rd）和dom f*是H-可测的（见[28，定理14.8]）。自（ω，z）7→ zy（ω）-f*（ω，z）是H B（Rd）-可测函数和f*（ω，·）是凸的和thusu。s、 c.在dom f上*（ω） ，我们可以应用推论2.10，得到a.s.ess supH{θy- f*(θ), θ ∈ L（Rd，H）∩ dom f*} = supz公司∈dom（f*)（zy- f*（z） ）=supz∈Rd（zy- f*（z） ）。现在我们介绍执行程序第5点所需的符号。让h：Rd→ R、 conv h是h的凸包络，即由h支配的最大凸函数：conv h（x）=sup{u（x），u凸和u≤ h} 。凹面包络对称定义，并用conc h表示。Wealso将h的（下）闭合h定义为最大l.s.c.函数，该函数由h主导，即h（x）=极限→xh（y）。上部闭合对称。

很容易看出conv h（y）=sup{αy+β，α∈ Rd，β∈ R、 h（x）≥ αx+β，x个∈ Rd}。众所周知（参见示例【28，定理11.1】）*= （转换h）*= （h）*= （转换h）*.此外，如果conv h合适，则h**也是正确的，凸的，l.s.c.和H**= conv h.（2.12）我们现在可以获得最小超边缘成本的表示。/13提案2.15。假设g是一个H-正规被积函数，并且存在一些凹函数，使得g≤ 供应时和供应时∞ onconvsuppHY公司。那么，a.s.p（g）=浓度（g，suppHY）（y）- δconvsuphy（y）（2.13）=inf{αx+β，α∈ Rd，β∈ R、 αz+β≥ g（z），z∈ 供应}-δconvsuphy（y），（2.14），其中g相对于suphy的相对凹包络由conc（g，suphy）（x）=inf{v（x），v是凹的，v（z）给出≥ g（z），z∈ 补充}。请注意，[8]和[6]已将超级套期保值价格表示为凹面包络，但这是在无套利条件下通过鞅测度使用超级复制价格的双重表示进行的。证据我们想用（2.12）来计算p（g）。f的凸包络可以写成如下（见[28，命题2.31]）：conv f（x）=infPni=1λif（xi），n≥ 1，（λi）i∈{1，…，n}∈ Rn+，（xi）i∈{1，…，n}∈ Rd×n，x=Pni=1λixi，Pni=1λi=1}。对于某些n，设x=Pni=1λixif≥ 1，（λi）i∈{1，…，n}∈ Rn+使得Pni=1λi=1和（xi）i∈{1，…，n}∈ Rd×n.假设x/∈ Convsuphy公司。然后（见[28，命题2.27，定理2.29]），至少存在一个xi/∈ suppHY andf（xi）=+∞ 还有conv f（x）=+∞.

如果x∈ Convsuphy，按定义Conv f（x）=-混凝土（g，suppHY）（x）。由于convsuphy非空（见备注2.3），当且仅当conc（g，suphy）（x）<+∞ 对于所有x∈ convsuphy，这也适用于ceconc（g，suphy）≤ φ < ∞ 在Convsuphy上。对于所有x∈ CONVSUPHY，conc（g，suppHY）（x）≥ g（x）>-∞, 我们得到thatconc（g，suppHY）（x）∈ R可以写为conv f=-浓度（g，suppHY）+δconvsuppHYa。s、 并使用命题2.13和（2.12）p（g）=-f**（y） =-conv f（y）=conc（g，suppHY）（y）- δconvsuphy（y）a.s.这相当于假设存在α，β∈ R、 这样g（x）≤ 所有x的αx+β∈ 供应/142.3. AIP条件命题2.15表明，如果/∈ Convsuphy，欧洲索赔p（g）的最大超级hedgingprice等于-∞. 这导致了我们现在提出的缺乏即时利益的自然概念。值得注意的是，这个概念是与NA条件相反的超级复制问题所固有的。设R是所有F-可测声明的集合，这些声明可以从0超级复制。R=θ（Y- y）- +, θ ∈ L（Rd，H），+∈ L（R+，F）. （2.15）那么，P（0）={x∈ L（R，H）， θ ∈ L（Rd，H），x+θ（Y- y）≥ 0 a.s.}=(-R）∩ L（R，H）。请注意，0∈ P（0），so P（0）≤ 0.我们认为，当P（P（0）<0）>0时，即如果有可能以负的超级对冲价格超级复制或有目标0，则会有一个即时收益。定义2.16。如果P（P（0）<0）>0，则存在即时利润（IP）。相反的情况是，如果p（0）=0 a.s.我们认为不存在即时利润（AIP）条件成立。我们知道提出了AIP条件的几个特征。我们将在引理2.22和备注2.23中讨论与经典无轨条件的联系，并表明AIP确实非常弱。提案2.17。当且仅当下列条件之一成立时，AIP成立。1、y∈ CONVSUPHY a.s.或0∈ convsuppH（Y- y） a.s.2。σsuppH（Y-y）≥ 0 a.s。

式中σD（z）=supx∈D(-xz）是-D3.P（0）∩ L（R-, H） ={0}或R∩ L（R+，H）={0}。备注2.18。在d=1的情况下，（2.4）意味着前面的条件等价于y∈ 【ess infHY，ess supHY】∩ R a.s./15示例2.19。AIP条件在实践中很容易检查。Ford=1，Z=Y/Y。要检查AIP，请计算suppHZ或ess infHZand ess suppHZ并与1进行比较。例如，设Z=e（u-σ） +σ（Bt+1-Bt）其中（Bt）t∈R+是布朗运动，H=σ（{Bu，0≤ u≤ t} ）和f=σ（{Bu，0≤ u≤ t+1}）。然后suppHZ=[0，∞) AIP是正确的。我们在示例2.25中提出了AIP易于验证的其他情况。命题2.15的假设满足g=0，我们得到p（0）=-δconvsuphy（y）a.s.因此，AIP在且仅在ify时成立∈ ConvSuphy a.s.或等效0∈ convsuppH（Y- y） a.s.和AIP相当于1。利用命题2.13，我们得到p（0）=ess supH(-θ（Y- y） ），θ∈ L（Rd，H）+ L（R+，H）。命题2.9意味着θ∈ L（Rd，H）ess supH(-θ（Y- y） ）=supx∈补充（Y）-y）(-θx）=σsuppH（Y-y） （θ）。所以，P（0）∩ L（R-, H） ={0}当且仅当σsuppH（Y-y）≥ 0 a.s.和2。和3。是等效的。为了得到证明，还需要证明σsuppH（Y-y）≥ 0a。s、 等于0∈ convsuppH（Y- y） a.s.第一句话是σsuppH（y-y） =σconvsuppH（y-y） 。所以，对于任何闭凸集D∈ Rd，σD≥ 0当且仅当0∈ D、 如果0∈ D很明显σD≥ 0。假设0/∈ D、 然后byHahn-Banach定理存在一些β>0和一些θ∈ Rd \\{0}这样的-xθ≤ -所有x的β∈ D和σD（θ）≤ -随后为β<0。2冠状动脉2.20。当且仅当p（g）时，AIP条件成立≥ 0 a.s。

对于一些非负H-正规被积函数g，存在一些凹函数，验证g≤ φ < ∞.特别是，当且仅当某些欧洲看涨期权的超级对冲成本为非负时，AIP条件才成立。请注意，在AIP下，一些非零看涨期权的价格可能为零（参见下面的示例2.28）。证据假设AIP条件为true。然后，从定义2.16，/16我们得到p（0）=0 a.s.作为g≥ 0，很明显p（g）≥ p（0）=0 a.s。相反，假设存在一些IP。命题2.15意味着p（g）=conc（g，suppHY）（y）- δconvsuphy（y）。IP和提案2.17导致P（y∈ convsuphy）<1和，sinceconc（g，suphy）（y）≤ φ < ∞,P（P（g）=-∞) > 证明了反之。2我们现在将AIP条件与经典的无套利NAone进行比较，NAone的定义如下。定义2.21。如果θ为，则无套利NA条件成立∈L（Rd，H），θ（Y- y）≥ 0 a.s.意味着θ（Y- y） =0 a.s.或同等ifR∩ L（R+，F）={0}。引理2.22。AIP条件严格弱于NA条件。备注2.23。AIP条件是为定价问题量身定制的。即使存在套利机会，也可以给出超级套期保值价格（参见下面的示例2.28）。请注意，IP是一种非常强大的策略。假设H是平凡的，那么IP对应于某个θ∈ Rd使得θ（Y-y） 是决定论的，而且是绝对积极的。因此，在期望效用最大化问题中，排除IP而不是NA可能是不够的。我们将其与英格索尔（Ingersoll）（见[15]）提出的其他套利概念进行了比较，并将其与世界上的一系列国家进行了一步设置。第一类套利机会是经典套利。第二类套利机会θ是当前负承诺的有限责任投资。

当我们假设存在无风险资产时，它意味着θ（Y- y） 不是决定论的，但总是大于某个严格正的决定论数。最后，无风险套利机会是一种具有恒定正收益的非积极投资。这一概念相当于我们在微不足道的初始过滤背景下的IP概念（回想一下，存在无风险资产）。如果H不再是微不足道的，那么无风险套利就是IP，但反过来就不再是真的了。风险有界的无界利润是θ∈ L（Rd，H）使得p（θ（Y- y）≥ 0）=1和P（θ（Y- y） >1）>0。让我们证明，一个人可以有AIP和一些风险有界的无界利润。固定d=1并选择一些随机变量Y和Y，使ess infHY=Y和P（Γ）>0，其中Γ={ess supHY>Y+1}。这里，AIP成立（回忆备注2.18）。观察/17（Y- y）≥ ess infHY公司- y=0 a.s.如果y- y≤ 1 a.s.然后P（Γ）=0，即矛盾。因此，等于1的常数策略是一个有界风险的无界利润。证据从命题2.17和定义2.21可以清楚地看出，NA意味着AIP。固定d=1并选择一些随机变量Y和Y，使得ess infHY=Y和P（Γ）>0，其中Γ={ess supHY>Y}。此处，AIP Holdstue（回忆备注2.18）。观察（Y- y）≥ ess infHY公司- y=0 a.s.如果y- y=0 a.s.然后P（Γ）=0，即矛盾。所以恒量策略等于1是一个套利机会。2我们现在提出了当d=1时NA和AIP之间等效的条件。引理2.24。假设d=1，且P（ess infHY=y）=P（ess supHY=y）=0。那么AIP和NA是等价条件。引理2.24适用于ess infHY=0，ess supHY=∞ 和y∈ (0, ∞).证据我们已经看到NA意味着AIP。假设AIP保持不变。使用备注2.18，y∈ 【ess infHY，ess supHY】∩ R a.s.Letθ∈ L（R，H）使得θ（Y- y）≥ 0

关于集{θ>0}∈ H、 我们有那个Y≥ y henceess infHY公司≥ y≥ ess infHY。我们推断P（θ>0）=0。同样，我们得到P（θ<0）=0，最终θ=0。2示例2.25。我们现在提供另一个示例，其中AIP成立，并且在d=1的情况下严格弱于NA。首先，注意，如果存在Q，Q 使得（y，y）是Q-超鞅和Q-次鞅，那么AIP成立。实际上，对于i，让Zi=dQi/dP∈ {1, 2}. Asess infHY公司≤ Y≤ ess supHY a.s.，ess supHY和ess infHY是H-可测的，我们得到a.s.ess supHY≥ 等式（Y | H）≥ y（见（2.3））和ess infHY≥等式（Y | H）≤ y、 因此，备注2.18意味着AIP成立。让我们考虑一下M∈ L（（0，∞), F） ，因此ess infH（M）<M<ess supH（M）a.s.我们定义：=M- ess infH（M）>0且y=αHess supH（M）-ess infH（M）>0，其中αH∈ 选择L（R，H），使得αH∈ （ess infH（M）ess supH（M），1）a.s.Morever，我们假设αH=1在非空集AH上∈ 这是我们唯一的选择。根据构造，AIP成立，因为ess infH（Y）=0<Y，且SS supH（Y）=ess supH（M）- ess infH（米）≥ y、 假设NA成立，那么/18根据FTAP，存在Q~ P使得等式（Y | H）=Y。这意味着Y=等式（M | H）- ess infH（M）=αHess supH（M）- ess infH（M）。特别是，我们在AH上有等式（M | H）=ess supH（M）。这与假设M<ess supH（M）a.s.相矛盾。我们还可以直接表明θ=-1这是一个套利机会。的确-1AH（Y- y） =1AH（ess supH（M））- M） 这是非常积极的。2我们现在提供AIP条件下最大超级对冲成本的特征。推论2.26。假设AIP成立。设g是H-正规被积函数，这样就存在一些凹函数，验证g≤ ^1on suppHY和Д<∞ 在Convsuphy上。那么，a.s.p（g）=conc（g，suppHY）（y）（2.16）=inf{αy+β，α∈ Rd，β∈ R、 αx+β≥ g（x），x个∈ 补充}。如果g为凹形且u.s.c.，则p（g）=g（y）a.s.证明。