无鞅测度定价

第一个等式是提案2.15的直接结果。如果G是凹形的，u.s.c.，则结果微不足道。2当d=1时，我们通过计算凸导数的最小超边缘成本来完成一个周期的研究。在这种情况下，成本实际上是一个超级套期保值价格，我们明确地得到了超级套期保值策略。推论2.27。假设AIP为true，d=1。让g：R→ Rbe一个dom g=R且limx的非负凸函数→∞x个-1g（x）=M∈ [0, ∞), 那么a.s.p（g）=θ*y+β*= g（ess infHY）+θ*（y）- ess infHY），（2.17）θ*=g（ess supHY）- g（ess infHY）ess SUHY- ess infHY，（2.18）其中我们使用约定θ*== 如果ess supHY=ess infHYa，则为0。s、 和θ*=g级(∞)∞= 如果ess infHY<ess supHY=+∞ a、 s.此外，p（g）∈ P（g）。示例2.28。在d=1的情况下，我们计算AIP下看涨期权的价格。设G=G（Y）=（Y- K） +对于某些K≥ 0./19o如果K≥ ess supHY然后Y- K≤ ess supHY公司- K和G=0。当AIP条件成立时，p（g）=p（0）=0如果K≤ ess infHY然后Y- K≥ ess infHY公司- K和G=Y- K、 当gis凹面和u.s.c.时，p（g）=g（y）=y- K a.s.o如果ess infHY≤ K≤ ess supHY。那么（2.18）和（2.17）意味着p（g）=ess supHY- 凯斯苏菲- ess infHY（y- {ess supHY 6=ess infHY}上的ess infHY）和0 else。所以p（g）=0，当且仅当ify=ess infHY或ess supHY=ess infHY。非负买入期权的价格为零。最后，我们给出了AIP下的买入价格计算示例，但如果存在一些套利机会。我们选择一个将在第4节中研究的简单模型。我们假设ess infHY=dy a.s.和ess supHY=uya。s、 对于备注2.18中的两个常数u和d，AIP等于tod∈ [0，1]和u≥ 1、如果d=1（且u>1）或u=1且（0≤ d<1），但NA条件不成立。

假设d=1，u>1。如果K∈ [是，∞), AIP下的超级复制价格为0，如果为K≤ 是的，是的- K、 假设u=1和0≤ d<1。如果K∈ [0，y]，AIP下的超级复制价格为y- K和if K≥ y为零。证据由于g是凸的，g相对于Supphy的相对凹包络是在区间convsuppHY和（2.17）和（2.18）的极值点上与g重合的函数，见备注2.18。然后使用（2.17），我们得到θ*Y+β*≥ g（Y）a.s.（回想一下Y∈ suppHY）这意味着（2.17）thatp（g）+θ*（Y）- y）≥ g（Y）a.s.（2.19）和p（g）∈ P（g）如下。23、多阶段框架3.1。每t的多期超级套期保值价格∈ {0，…，T}，在T时可以从零初始禀赋超级复制的所有权利要求的集合由tt定义：=（TXu=T+1θu-1.苏- +T、 θu-1.∈ L（Rd，Fu-1), +T∈ L（R+，FT））。（3.20）/20一些或有权益的（多期）超级套期保值价格和（多期）最高超级套期保值成本的集合gT∈ L（R，FT）在皮重给定的时间，对于所有t∈ {0，…，T}，byPT，T（gT）={gT}和πT，T（gT）=gTPt，T（gT）={xt∈ L（R，Ft），R∈ RTt，xt+R=gTa。s、 }（3.21）πt，t（gT）=ess infFtPt，t（gT）。与单期情况一样，很明显，在πt，t（gT）的意义上，最大超级套期保值成本不一定是一个价格/∈ Pt，T（gT）当Pt，T（gT）未闭合时。我们现在定义了本地版本的超级对冲价格。让gt+1∈ L（R，Ft+1），则gt+1的一步超级套期保值价格集及其相关的超级套期保值成本由PT，t+1（gt+1）给出=xt公司∈ L（R，Ft）， θt∈ L（Rd，Ft），xt+θtSt+1≥ 燃气轮机+1a。sπt，t+1（gt+1）=ess infFtPt，t+1（gt+1）。以下引理在假设内部（全球）超级复制成本是一个价格的情况下，建立了本地和全球超级混合价格之间的联系。它还提供了动态规划原理。引理3.1。

让gT∈ L（R，FT）和t∈ {0，…，T}。然后，T（gT） Pt，t+1（πt+1，t（gT））和πt，t（gT）≥ πt，t+1（πt+1，t（gT））。此外，假设πt+1，t（gT）∈ Pt+1，T（gT）。然后，T（gT）=Pt，T+1（πT+1，T（gT））和πT，T（gT）=πT，T+1（πT+1，T（gT））。备注3.2。我们将在命题3.9中给出πt+1，t（gT）的条件∈ Pt+1，T（gT）。在AIP下，如果在每一步，πt+1，t（gT）∈ Pt+1，T（gT）如果πT+1，T（gT）=gT+1（St+1），对于一些“好”Ft正规被积函数gT+1，我们将从推论2.26中得到πT，T（gT）=conc（gT+1，supportftst+1）（St）a.s。我们将在第4节中提出一个非常普遍的设置，其中这是正确的。证据设∏T，T={gT}，对于所有T∈ {0，…，T- 1} ∏t，t（gT）={xt∈ L（R，Ft），θt∈ L（Rd，Ft），pt+1∈ ∏t+1，t（gT），xt+θtSt+1≥ pt+1a。s、 }。/21集合∏t，t（gT）在时间t包含某些价格pt+1的所有超级套期保值价格∈ 时间t+1时的∏t+1，t（gT）。首先，我们证明∈ {0，…，T}Pt，T（gT）=∏T，T（gT）。（3.22）时间T清晰可见。让t∈ {0，…，T}。让xt∈ Pt，T（gT）。那么所有的人都存在∈ {t，…，t- 1} ，θu∈ L（Rd，Fu）使xt+PT-1u=t+1θu-1.Su+θT-1.装货单≥ gTa。s、 Soxt+T-2Xu=t+1θu-1.Su+θT-2.装货单-1=xt+T-1Xu=t+1θu-1.苏∈ ∏T-1、T（gT）和xt+PT-2u=t+1θu-1.苏∈ ∏T-2，T（gT）和递归xt∈ ∏t，t（gT）。相反，让xt∈ πt，t（gT），则存在θt∈ L（Rd，Ft）和pt+1∈πt+1，t（gT），使得xt+θtSt+1≥ pt+1a。s、 然后为pt+1∈ πt+1，t（gT），存在θt+1∈ L（Rd，Ft+1）和pt+2∈ πt+2，t（gT），使得pt+1+θt+1St+2≥ pt+2a。s、 前进到T，pT-1+θT-1.装货单≥ gTa。s、 ，我们得到xt+PTu=t+1θu-1.苏≥ gTa。s、 和xt∈ Pt、T（gT）如下。这实现了（3.22）的证明。让xt∈ Pt，T（gT），则存在θT∈ L（Rd，Ft）和pt+1∈ Pt+1，T（gT）使得（回忆（3.22））xt+θTSt+1≥ pt+1≥ ess infFtPt+1，T（gT）=πT+1，T（gT）a.s.第一条陈述如下。第二个直接来自（3.22）和πt+1，t（gT）∈ Pt+1，T（gT）。23.2.

多期AIPWe现在定义了时间t的全球和本地即时利润的概念。全球（分别为本地）利润意味着可以从时间t的负成本超级复制时间t（分别为时间t+1）支付的索赔0。我们将看到它们是等效的。定义3.3。修复t∈ {0，…，T}。timet的全局立即数（IP）是Pt，t（0）的非空元素∩ L（R-, 英尺）。我们说，如果t处没有全局IP，那么AIP条件在t时成立：Pt，t（0）∩ L（R-, Ft）={0}。/22A时间t的局部立即数（LIP）是Pt的非空元素，t+1（0）∩L（R-, 英尺）。我们说（ALIP）条件在t时成立，如果t时没有localIP:Pt，t+1（0）∩ L（R-, Ft）={0}。最后，我们说如果AIP（resp.ALIP）条件在时间t对所有t都成立，那么AIP（resp.ALIP）条件成立∈ {0，…，T}。下面的定理3.4提出了（AIP）条件的几个特征。定理3.4。当且仅当以下断言之一成立时，AIP成立。1、ALIP为真。2、St∈ CONVSUPFTST+1a。s、 或0∈ CONVSUPFFT（St+1- St）所有t的a.s∈{0，…，T- 1}.σsuppFt（St+1-St）≥ 所有t均为0 a.s∈ {0，…，T- 1}.4、πt，t（0）=所有t的0 a.s∈ {0，…，T}。备注3.5。在d=1的情况下，之前的条件等效于oess infFtSt+1≤ St公司≤ ess支持+1a。s、 尽管如此，t∈ {0，…，T- 1}.o ess infFtSu≤ St公司≤ ess supFtSua。s、 适用于所有u∈ {u，…，T}。2之间的等价关系。第一项（分别为第二项）来自（2.4）（分别为引理2.7）。证据在时间T，PT，T（0）={0}，因此AIP在T和πT保持不变，T（0）=0。我们通过归纳证明，如果0∈ Pt+1，T（0），如果AIP在时间T+1保持，则为0∈ Pt，T（0）和以下等价物为真：πT，T（0）=0 a.s。<=> St公司∈ CONVSUPFTST+1a。s<=> σ支持（St+1-St）≥ 0 a.s。<=> AIP在时间t保持<=> ALIP在时间t保持不变。因为对于所有t，AIP在时间t等于AIP∈ {0, . . .

，T}，这证明了AIP，1之间的等价性。，2. , 3. 和4。考虑t∈ {0，…，T- 1} ，假设归纳假设在t+1，0时成立∈ Pt+1，T（0），AIP在时间T+1保持。当πt+1时，t（0）=0∈ Pt+1，T（0），引理3.1表明Pt，T（0）=Pt，T+1（0）和πT，T（0）=πT，T+1（0）。这意味着AIP时间t等于时间t的ALIP，并且与命题2.17/23一起，定义2.16表明诱导步骤在时间t成立，并且πt，t+1（0）=0∈ Pt，t+1（0）=Pt，t（0）。23.3. 在本节中，我们本着无免费午餐的精神，研究了一种比AIP更强的条件，即通过考虑set RTt的关闭。之前，我们回顾了经典的多周期无套利NA条件。定义3.6。无套利NA条件适用于所有t∈ {0，…，T}，RTt∩ L（R+，FT）={0}。很容易看出，NA条件也可以公式化为：V0，θT≥ 0 a.s.意味着V0，θT=0 a.s.回想一下，时间T时零索赔的所有超级混合价格集由Pt，T（0）=(-RTt）∩ L（R，Ft）（见（3.20）和（3.21））。因此（见定义3.3）AIP读作RTt∩ 对于所有t，L（R+，Ft）={0}∈ {0，…，T}。很明显，NA条件意味着AIP条件，而通过引理2.22的反例，等价性并不成立：AIP条件严格弱于NA条件。我们现在介绍一种较弱的IP形式。定义3.7。如果对所有人都适用，则不存在弱即时利益（AWIP）条件∈ {0，…，T}RTt∩ L（R+，Ft）={0}，其中RTTI的闭包是关于概率收敛的。我们将在引理3.10中看到，AIP条件不一定等同于AWIP。之前，在d=1的情况下，我们证明了在一个额外的封闭条件下，AWIP可能等价于AIP条件。

它还通过（绝对连续）鞅测度提供了非特征化。定理3.8。假设情况d=1。以下陈述是等效的：1。AWIP保持。/242、每t∈ {0，…，T}，存在Q P，其中E（dQ/dP | Ft）=1等于（Su）u∈{t，…，t}是一个Q-鞅。AIP持有和RTt∩L（R，Ft）=RTt∩L（R，Ft）表示每t∈ {0，…，T}。该证明基于经典的哈恩-巴拿赫定理参数，例如参见教科书【11】和【17】。备注3.9。从上面可以看出，AIP和AWIP是等效的ifRTtis关闭。因此，我们通过引理3.10推断，在AIP条件下，RTtis不必循环。现在假设P（ess infFtSt+1=St）=P（ess SUFFST+1=St）=0 for all t∈ {0…，T- 1}. 然后，使用引理2.24，AIP等价于NA。在NA下，集合RTtis在每t的概率中闭合∈ {0…，T- 1} 而第3.8条意味着AWIP、AIP和NA是等效条件。证据首先我们证明1。意味着2。假设AWIP持有并固定一些t∈ {0，…，T}。我们可以假定过程S在P下是可积的，而不失一般性。在AWIP下，我们有RTt∩L（R+，Ft）={0}，其中闭包取L。因此，对于everynonzero x∈ L（R+，Ft），Hahn-Banach定理存在一个非零Zx∈ L∞（R+，FT）使得（回想一下，RTtis是一个圆锥体）EZxx>0和Zxξ≤ 每ξ0∈ RTt。自从-L（R+，英尺） RTt，我们推断thatZx≥ 0，我们重新规范化Zxso，使kZxk∞= 让我们考虑这个族={{E（Zx | Ft）>0}，x∈ L（R+，Ft）\\{0}}。考虑任何非空集Γ∈ Ft.取x=1Γ∈ L（R+，Ft）\\{0}，由于（ZxΓ）>0，我们推导出Γ与{E（Zx | Ft）>0}有一个非空相交。通过[17，引理2.1.3]，我们推导出一个最多可数的亚家族（xi）i≥因此，unionSi{E（Zxi | Ft）>0}是完全测量的。

因此，Z=∞Xi=1-Izzi公司≥ 0表示E（Z | Ft）>0，我们定义Q 使dQ=（Z/E（Z | Ft））dP。作为子集{PTu=t+1θu-1.Su，θu-1.∈ L（R，Fu-1） }是RTt中包含的线性向量空间，我们推导出（Su）u∈{t，…，t}是一个Q-鞅。我们现在证明2。意味着3。假设每t∈ {0，…，T}，存在Q P使得（Su）u=t，。。。，这是一个E（dQ/dP | Ft）=1的Q鞅。/25让我们定义u∈ {t，…，t}，ρu=EP（dQ/dP | Fu），然后ρu≥ 0和ρt=1。考虑γt∈ RTt公司∩ L（R+，Ft），即γt为Ft，可测量，其形式为γt=PT-1u=tθuSu+1- +T、 由于θuis Fu可测量，θuSu+1在Q已知fu的情况下给出了广义条件期望，我们假设EQ（θuSu+1 | Fu）=0。塔定律意味着a.s.γt=等式（γt | Ft）=t-1Xu=tEQ（等式（θuSu+1 | Fu）| Ft）- 均衡器(+T | Ft）=-均衡器(+T | Ft）。因此γt=0 a.s.，即AIP保持不变。还有待证明RTt∩ L（R，Ft）RTt公司∩ L（R，Ft）。首先考虑一个一步模型，其中（Su）u∈{T-1，T}是ρT的Q-鞅≥ 0和ρT-1= 1. 假设γn=θnT-1.装货单- n+T∈ L（R，FT-1） 概率收敛于γ∞∈ L（R，FT-1). 我们需要证明γ∞∈RTT公司-1.∩ L（R，FT-1).在FT上-1-可测集∧T-1： ={lim infn |θnT-1| < ∞}, 根据[17，引理2.1.2]，我们可以假设w.l.o.g.θnT-1收敛到某个θ∞T-1因此n+t也是收敛的，我们可以得出结论γ∞∧T-1.∈ RTT公司-1.∩ L（R，FT-1).否则，打开Ohm \\∧T-1，我们使用归一化序列∈ {1，…，d}θn，iT-1： =θn，iT-1/（|θnT）-1| + 1), ~n+T：=n+T/（|θnT）-1| + 1).通过[17，引理2.1.2]，我们可以假设取d+1的子序列a。s、 θnT-1.→~θ∞T-1, ~n+T→ ~∞+Tand￠θ∞T-1.装货单- ~∞+T=0 a.s.注意|θ∞T-1 |=1 a.s.首先考虑子集∧T-1:= (Ohm \\ ∧T-1) ∩{~θ∞T-1= 1} ∈ 英尺-1其中装货单≥ 0 a.s.自等式(ST∧T-1 |英尺-1） =0a。s、 ，我们得到ρTST∧T-1=0 a.s.因此ρTγn∧T-1= -ρTn+T∧T-1.≤ 0a。s

取极限，我们得到ρTγ∞∧T-1.≤ 0 a.s.和，自γ起∞∈L（R，FT-1） ，我们推断ρT-1γ∞∧T-1.≤ 0 a.s.回想一下ρT-1=1因此γ∞∧T-1.≤ 0 a.s.和γ∞∧T-1.∈ RTT公司-1.∩ L（R，FT-1). 关于子集(Ohm \\ ∧T-1) ∩ {~θ∞T-1= -1} 我们可以进行类似的论证，结论遵循一步模型。现在，我们通过递归在多步骤模型中显示结果。修复一些s∈{t，…，t-1}. 我们显示RTS+1∩L（R，Fs+1） RTs+1∩L（R，Fs+1）表示/26 s的属性相同，而不是s+1。假设（Su）u∈{s，…，T}是aQ鞅，其中EP（dQ/dP | Fu）=ρu≥ 0表示u∈ {s，…，T}和ρs=1。假设γn=TXu=s+1θnu-1.苏- n+T∈ RTs∩ L（R，Fs）收敛于γ∞∈ L（R，Fs）。如果γ∞= 没有什么可以证明的。与前面一样，关于Fs可测集∧s：={lim infn |θns |<∞}, 我们可以假设w.l.o.g.θnsconverge toθ∞s、 因此在∧sTXu=s+2θnu上-1.苏- n+T=γn- θnsSs+1→ γ∞- θ∞sSs+1，根据归纳假设，PTu=s+2θnu-1.苏- n+Talso收敛为RTs+1的元素∩L（R，Fs+1），我们得出结论γ∞∧s∈ RTs∩L（R，Fs）。在…上Ohm \\ ∧s-1，我们像以前一样使用归一化过程，并推导出质量Txu=s+1|θ∞u-1.苏- ~∞+T=0 a.s.对于某些|θ∞u∈ L（R，Fu），u∈ {s，…，T- 1} 和▄∞+T≥ 0，使|￠θ∞s |=1 a.s.然后我们讨论∧s：=(Ohm \\ ∧s-1) ∩ {~θ∞s=1}∈ Fsand∧s：=(Ohm \\ ∧s-1) ∩ {~θ∞s=-1} ∈ 分别是。当￠θ∞s=1，我们推断Ss+1+TXu=s+2￠θ∞u-1.苏- ~∞+T=0 a.s.，即。Ss+1∈ Ps+1，T（0）因此Ss+1≥ πs+1，T（0）=0 a.s.在AIP下，见定理3.4。自EQ起(Ss+1∧s | Fs）=0 a.s.，ρs+1Ss+1∧s=0 a.s.So，ρs+1γn∧s=TXu=s+2θnu-1ρs+1∧s苏- n+Tρs+1∧s∈ RTs+1∩ L（R，Fs+1）。因此ρs+1γ∞∧s∈ RTs+1∩ L（R，Fs+1）通过归纳法。Asρs+1γ∞∧sadmitsa广义条件期望已知Fs，我们利用tower/27定律推导出a.s∧sE（ρsγ∞|Fs）=E（ρs+1γ∞∧s | Fs）=TXu=s+2∧sEθ∞u-1E级dQdP苏|富-1.|Fs公司- 1∧sE(∞+Tρs+1 | Fs）≤ 0，自（Su）u∈{s，…，T}是一个Q-鞅。因此ρsγ∞∧s≤ 0 a.s。

ρs=1，γ∞∧s≤ 0 a.s.以便γ∞∧s∈ RTs∩ L（R，Fs）。最后，请注意，AIP条件意味着一旦equalityRTt∩ L（R+，Ft）=RTt∩ L（R+，Ft）每t保持一次∈ {0，…，T}。2Lemma 3.10。AIP条件不一定等同于AWIP。证据假设d=1。让我们考虑一个积极的过程∈{0，…，T}，这是一个P鞅。我们假设ess infFS<Sa。s、 ，当ess infFs=0 a.s时，尤其是当s为几何布朗运动时，它保持不变。让usde FIST：=Stfor t∈ {1，…，T}和S：=ess infFS。我们有ess INFF≤无砂supFS≥ ess infFS=Shence AIP在时间0时有效（见备注2.18）。此外，根据鞅性质（见定理3.8），AIP和alsoAWIP在t的任何时间都成立∈ {1，…，T}。让我们假设AWIP在t=0时成立。利用定理3.8，存在ρT≥ 0，E（ρT）=1，这样s是Q鞅，其中dQ=ρTdP。因此，E（ρTS） =0。自从S> 通过假设，我们推断ρT=0，因此存在矛盾。24、AIP下凸支付的明确定价本节的目的是在D=1的特定模型中获得一些结果，ess infFt-1St=kdt-第一个-1a。s、 和ess supFt-1St=kut-第一个-1a。s、 对于everyt∈ {1，…，T}带（kdt-1） t型∈{1，…，T}，（kut-1） t型∈{1，…，T}和是确定性非负数。我们得到了与[9]中相同的计算方案（见（4.23）），但仅假设AIP而非NA。我们还提出了一些数值实验。4.1. 算法定理4.1。假设该模型由ess infFt定义-1St=kdt-第一个-1a。s、 和ess supFt-1St=kut-第一个-1a。s、 其中（kdt-1） t型∈{1，…，T}，（kut-1） t型∈{1，…，T}和是确定性非负数。/28o当且仅当kdt时，AIP条件成立-1.∈ [0，1]和kut-1.∈[1, +∞] 对于所有t∈ {1，…，T}。o假设AIP条件成立。设h:R→ R是dom h=R的非负凸函数，使得limz→+∞h（z）z∈ [0, ∞).

欧洲未定权益h（ST）的最大超级套期保值成本是一个价格，由πt，t（h）=h（t，ST）给出∈ Pt，T（h（ST））a.s.h（T，x）=h（x）h（T- 1，x）=λt-1小时t、 kdt公司-1台+ (1 - λt-1） h类t、 库特-1台,（4.23）式中λt-1=kut-1.-1切口-1.-kdt公司-1.∈ [0、1]和1-λt-1=1-kdt公司-1切口-1.-kdt公司-1.∈ [0，1]，具有以下约定。当kdt-1=kut-1=1或St-1=0，λt-1==0和1- λt-1=1，当kdt-1<kut-1= ∞,λt-1=∞∞= 1(1 - λt-1） h（t(+∞)x） =（1）- kdt公司-1） xh（t(+∞x） （）(+∞x） =（1）- kdt公司-1） x林茨→+∞h（z）z.（4.24）此外，对于每t∈ {1，…，T}，limz→+∞h（z）z=limz→+∞h（t，z）zand h（·，x）对于所有x都不增加≥ 证明中给出了与最大超级套期保值价格相关的策略，并通过第4.2节中的数值实验对该结果进行了说明。证据kdt的条件-1.∈ [0，1]和kut-1.∈ [1, +∞] 对于所有t∈ {1，…，T}等同于AIP条件（见备注2.18）。我们表示M=h(∞)∞Mt=limz→+∞h（t，z）z.我们证明了第二个陈述。假设AIPholds为真。我们建立了（i）由（4.23），（ii）h（t，·）给出的递归公式πt，t（h（ST））=h（t，ST）≥ h（t+1，·）和（iii）Mt=Mt+1。情况t=t是即时的。同h:R→ R是一个凸函数，dom h=R，h显然是aFT-1-正规被积函数，我们可以应用推论2.27（参见（2.17）和（2.18）），得到a.s.πT-1，T（h（ST））=h（kdT-第一个-1) + θ*T-1.装货单-1.- kdT公司-第一个-1.,θ*T-1=h（kuT-第一个-1) - h（kdT-第一个-1） 库特-第一个-1.- kdT公司-第一个-1，（4.25）/29我们使用约定θ的地方*T-1==0，如果ST-1=0或kuT-1=kdT-1=1和θ*T-1=小时(∞)∞= M如果kdT-1<kuT-1= +∞. 此外，利用（2.19），我们得到πT-1，T（h（ST））+θ*T-1.装货单≥ h（ST）a.s.即。