无鞅测度定价

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Pricing without martingale measure》
---
作者：
Julien Baptiste, Laurence Carassus and Emmanuel L\\\'epinette
---
最新提交年份：
2019
---
英文摘要：
  For several decades, the no-arbitrage (NA) condition and the martingale measures have played a major role in the financial asset\'s pricing theory. We propose a new approach for estimating the super-replication cost based on convex duality instead of martingale measures duality: Our prices will be expressed using Fenchel conjugate and bi-conjugate. The super-hedging problem leads endogenously to a weak condition of NA called Absence of Immediate Profit (AIP). We propose several characterizations of AIP and study the relation with the classical notions of no-arbitrage. We also give some promising numerical illustrations.
---
中文摘要：
几十年来，无套利（NA）条件和鞅测度在金融资产定价理论中发挥了重要作用。我们提出了一种基于凸对偶而非鞅测度对偶估计超级复制成本的新方法：我们的价格将使用芬切尔共轭和双共轭表示。超级套期保值问题内在地导致了一种称为无即时利润（AIP）的弱NA状态。我们提出了AIP的几个特征，并研究了AIP与无套利的经典概念之间的关系。我们也给出了一些有希望的数值例子。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--

---
PDF下载：
--> Pricing_without_martingale_measure.pdf (644.68 KB)

2022-6-10 06:48:45 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Mathematical Quantitative Endogenously illustration mathematica

不含鞅计量的定价朱利安·巴蒂斯特、劳伦斯·卡拉索斯、艾曼纽尔·伊皮内特、1,3巴黎多芬大学、巴黎研究大学、塞雷梅德、法国北爱尔兰共和国、UMR、杜马·德拉特雷·德塔西尼广场，法国巴黎塞德斯16号，邮编75775。电子邮件：baptiste@ceremade.dauphine.fr，emmanuel。lepinette@ceremade.dauphine.frL法国兰斯香槟大学阿尔登分校研究中心，92 916 Paris La D’efense，Franceand LMR，eonard de Vinci P^ole Universitaire，研究中心，FranceEmail:laurence。carassus@devinci.frGosaef，突尼斯科学学院，2092 Manar II Tunis，Tunis。摘要：几十年来，无套利（NA）条件和可套利测度在金融资产定价理论中发挥了重要作用。我们提出了一种基于凸对偶而非鞅测度对偶估计超复制成本的新方法：我们的价格将使用芬切尔共轭和双共轭来表示。超级套期保值问题内在地导致了一种称为无即时收益（AIP）的NA弱条件。我们提出了AIP的几个特征，并研究了它们与无套利的经典概念之间的关系。我们也给出了一些有希望的数值澄清。关键词和短语：金融市场模型，超级套期保值价格，无套利条件，条件支持，本质上确界。2000 MSC:60G44，G11-G13.1。金融资产G的公允价格问题是经济和金融理论的核心。销售价格应该是一个足以启动G对冲策略的金额，即到期价值始终高于G的策略。要求该金额的上限似乎也是很自然的。这就是所谓的超级复制价格，它是由[7]在交易成本的二项式设置中产生的。

描述和计算超级复制价格已成为数学金融理论的核心问题之一。到目前为止，它与无套利（NA）条件密切相关。该条件断言，从零财富开始，不可能达到正财富（几乎为非负/2严格正，概率测度为正）。描述NA条件，或者更一般地说，无免费午餐条件，可以得出资产定价的基本定理（简称FTAP）。该定理证明了不存在套利条件与存在等价风险中性概率测度（也称为partingale测度或定价测度）之间的等价性，这些测度是等价概率测度，在此概率测度下（贴现）资产价格过程是鞅。这一点最初在【13】、【14】和【20】中正式化，而在【10】中，FTAP是在NA条件下的一般离散时间设置中制定的。关于这一主题的文献非常多，我们参考了[11]和[17]来了解一般概况。在NA条件下，G的超级复制价格等于在风险中性概率测度下计算的G的（折扣）期望的上确界。这就是所谓的超复制价格或超边缘定理的对偶公式。我们参考了[29]和[12]以及其中的参考文献。在本文中，超套期保值或超复制价格是某些超套期保值策略的初始值。

我们不对金融市场进行任何假设，并从头开始分析超级套期保值价格及其上限值，即所谓的上限超级套期保值成本。在温和的假设条件下，我们证明了一步超级混合价格集可以用芬切尔-勒让德共轭表示，而数量上的超级复制成本是由芬切尔-勒让德双共轭得到的。因此，我们在这里使用凸对偶，而不是通常的基于NA条件下鞅测度的财务对偶。为此，我们使用了条件本质上确界的概念。利用可测量的选择技术，我们证明了Y函数的条件本质上确界等于在随机集上计算的函数的通常上确界，即Y的条件支持（见命题2.9）。我们获得的定价公式（见（2.13））表明，如果初始股票价格y不属于y期末股票价值条件支持的凸包，则超级套期保值成本等于-∞. 为了排除这种可能性，我们假设不存在即时利润（AIP）的情况。AIP是定价的内生条件，实际上非常弱：如果初始信息微不足道，则一段时间的即时收益是一种从0开始的策略，并在时间1导致确定性严格正收益。我们提出了AIP条件的几个特征。特别是，我们证明了AIP等价于任何固定看涨期权的超级混合价格的非负性。我们还详细讨论了AIP/3与其他无套利条件之间的联系，如第一类和第二类无套利、无风险套利[15]和无无界利润（有界风险[19]）。所有这些条件都不等同于AIP，最差的是无风险套利。

在AIP条件下，我们表明，相对于条件支持的凸面包络，一步最小超套期保值成本是支付的凹面包络。芬切尔传奇性（Fenchel Legendreduality）已经被用于获得超级复制价格的双重表示，这要归功于定义（见[24，示例4.2]和[25，定理10和推论15]）。在[25，定理10]中，结果是在假设可以从0超复制的声明集是闭合的情况下显示的，这在NA下成立。我们的方法有所不同，因为我们没有对市场做出任何假设，实际上，我们也没有寻求（最小）超级对冲价格的双重表示。然后，我们考虑多期框架。我们证明了全局极限条件和局部极限条件是等价的。我们研究了NAIP、NA与不存在弱即时利益（AWIP）条件之间的联系。我们证明了AIP条件是最弱的，我们还提供了AIP与AWIP条件等价的条件，以及通过绝对连续鞅测度刻画的条件。然后，我们将重点放在一个特定但仍然是一般的设置上，在这里，我们提出了一个计算对流期权超级套期保值价格的草书方案。我们得到了与[8]和[9]中相同的计算方案，但此处仅通过假设AIP而不是更强的NA条件来获得。我们也给出了一些数值例子。我们将法国指数CAC 40的历史数据校准到我们的模型中，并实施看涨期权的超级对冲策略。我们的程序某种程度上是无模型的，因为它只基于统计估计。本文的组织结构如下。在第2节中，我们研究了单周期框架，而在第3节中，我们研究了多周期框架。

第4节提出了凸payoff的显式定价和数值实验。在本简介的剩余部分中，我们将介绍我们的框架和符号。让(Ohm, （Ft）t∈{0，…，T}FT，P）是一个完整的过滤概率空间，其中T是时间范围。对于任意σ-代数H和任意k≥ 1，我们用L（Rk，H）表示H-可测和Rk值随机变量集。我们考虑一个非负过程S：={St，t∈ {0，…，T}，}这样∈ L（Rd，Ft）代表所有t∈ {0，…，T}。向量图显示了所考虑金融市场中风险资产的价格。交易策略由一个过程θ给出：={θt，t∈ {0，…，T- 1} ，}使得/4θt∈ L（Rd，Ft）表示所有t∈ {0，…，T- 1},. 向量θt表示投资者在时间t和时间t+1之间持有的d风险资产。我们假设交易是自我融资的，无风险资产的价格恒定等于1。从初始资本x开始的投资组合θ在时间t的值∈ R由vx给出，θt=x+tXu=1θu-1.苏，哪里Su=Su- 苏-1适用于u≥ 1和xy是x和y的标量积。单周期框架集H和F是F的两个完全次σ-代数 Fand分别表示初始和最终信息。莱蒂∈ L（Rd，H）和Y∈ L（Rd，F）是两个非负态变量。它们代表d风险资产的初始和最终价格。最后，我们介绍g：Ohm ×R→ R和相关导数g（Y），其中g（Y）：ω→ g（Y）（ω）=g（ω，Y（ω））。本节的目的是在适当的假设下，获得P（g）的特征、g（Y）的一步超级对冲（或超级复制）价格及其最大值。该设置将在第3节中使用选项H=Ft、F=Ft+1、Y=St+1和Y=St定义2.1。

或有索赔（Y）的超级套期保值价格集P（g）由超级套期保值策略的初始值θ：P（g）={x组成∈ L（R，H）， θ ∈ L（Rd，H），x+θ（Y- y）≥ g（Y）a.s.}。g（Y）的最大超级套期保值成本由p（g）：=ess infHP（g）确定。本研究的核心是有条件的基本ess的概念，将在下面的第2.5部分中定义。我们还将使用Y Suphy的有条件支持，该支持在下面的定义2.2中介绍。在第2.2节中，我们从以下步骤推导出P（g）和P（g）的特征：为了便于记法，我们假设y（ω）≥ 0和Y（ω）≥ 所有ω为0∈ Ohm./ 观察超级套期保值价格集可以使用传统的基本上确界重写（见（2.8））。证明在温和条件下，Y函数的条件本质上确界等于随机集suppHY上计算的函数的通常上确界（见命题2.9）。3、认识到超级套期保值价格可以使用芬切勒让德共轭来书写（见（2.9））。4、掌握超级套期保值价格集的基本知识，并完成三个第一步，以确认Fenchel Legendre biconjugate（见（2.11））。使用经典的凸双共轭定理（见（2.12）和命题2.15）来评估最小超级套期保值成本。有了这一定价公式（见（2.13）），即时利润（AIP）缺失的条件似乎是内生的。在第2.3节中，我们发展了AIP的概念，提出了AIP条件的几个特征，并将其与经典的无套利NA条件进行了比较。2.1. 有条件的支持和有条件的必要性本节是本文的工具箱。我们回顾了一些结果和符号，这些结果和符号将在本文其余部分中使用，无需进一步参考。莱思：Ohm ×Rd→ R

h（ω，·）的有效域由dom h（ω，·）定义：={x∈ Rd，h（ω，x）<∞}如果dom h（ω，·）6= h（ω，x）>-∞ 对于所有x∈ Rd.接下来，如果h是h-正规被积函数（参见[28]中的定义14.27），则h为 B（Rd）-可测量且在x中是下半连续的（l.s.c.在后文中，请参见[28，定义1.5]），如果H对于某些度量是完整的，则反之成立，请参见[28，推论14.34]。注意，如果Z∈ L（Rd，H）和他的H B（Rd）-可测量，然后是h（Z）∈ L（Rd，H）。随机集K：Ohm  Rdis表示，对于Rd的所有开集O，子集{ω∈ Ohm, O∩ K（ω）6=} ∈ H、 如果K是Rd的H-可测闭值随机集，则K允许Castaing表示（ηn）n∈N（见[28]中的定理14.5）。这意味着K（ω）=cl{ηn（ω），n∈ N} 对于所有ω∈ dom K={ω∈ Ohm, K（ω）∩ Rd6=}, 在Rd中取闭包。首先，我们引入X的条件支持∈ L（Rd，F）与H/6定义2.2有关。设u为H-随机核（即所有ω∈ Ohm, u（·，ω）是B（Rd）上的概率，u（A，·）是H-可测量的所有A∈ B（Rd））。我们确定随机集Du：Ohm  Rdby:Du（ω）：=\\A. Rd，闭合，u（A，ω）=1. （2.1）对于ω∈ Ohm, Du（ω） Rdis称为u（·，ω）的支持。让X∈ L（Rd，F），当u（A，ω）=P（X）时，我们用suppHX表示（2.1）中定义的集合∈ A | H）（ω）是Xknowing H的条件定律的正则版本。随机集suppHX被称为x相对于H的条件支持。备注2.3。当H是平凡的sigma代数时，suppHX只是X的通常支持（参见[1]的p441）。[1]的定理12.7和12.14表明p（X∈ .|H） 提供独特的支持支持 Rd使得我们有p（X∈ suppHX | H）=1 a.s.即suppHX为a.s.非空。为简单起见，我们假设Y（ω）∈ 所有ω的suppHY（ω）∈ Ohm.此外，作为0≤ Y<∞, Dom供应=Ohm.引理2.4。

Du是非空、闭值、H-可测和图可测随机集（即图（Du））∈ H B（Rd））。证据从（2.1）中可以清楚地看出，对于所有ω∈ Ohm, Du（ω）是Rd的一个非空闭子集。我们证明Du是H-可测的。设O是Rd中的固定开集，uO：ω∈ Ohm 7.→ uO（ω）：=u（O，ω）。由于u是一个离散的内核，所以uOis是可测量的。通过定义Du（ω），我们得到{ω∈ Ohm, Du（ω）∩ O 6=} = {ω ∈ Ohm, uO（ω）>0}∈ H、 Du是可测量的。现在使用[28]的定理14.8，图（Du）∈ HB（Rd）（重新定义Du为闭值），Du为H图可测。2可以将可测量性纳入基本上确界的定义中（关于经典基本上确界的定义和存在性证明，请参见[17，第5.3.1节”）。[3]针对单实值随机变量，以及[18]针对向量值随机变量族和随机偏序（见[18，定义3.1和引理3.9]）。命题2.5的提出和证明是为了完整性和教学目的。作者感谢T.Jeulin提出了这个（优雅的）证据。提案2.5。让H F是概率空间上的两个σ-代数。设Γ=（γi）i∈Ibe实值F-可测随机变量族。存在唯一的H-可测随机变量γH∈ L（R∪{∞}, H） 表示满足以下特性的DESS supHΓ：1。每一个我∈ 一、 γH≥ γia。s、 2。如果ζ∈ L（R∪ {∞}, H） 满意度ζ≥ γia。s我∈ 一、 然后ζ≥ γHa。s、 条件本质信息对称定义。证据考虑到同胚arctan，我们可以将我们的自我限制为[0，1]中的γitaking值。我们用Pγi | Ha表示γi已知H.Letζ的条件allw的正则版本∈ L（R∪ {∞}, H） 使ζ≥ γia。s我∈ 一、 这相当于PγI | H（]- ∞, x] ）| x=ζ=1 a.s.和suppHγi] - ∞, ζ] a.s.遵循定义2.2。

设∧γi | H=sup{x∈ [0，1]，x∈ 补充γi}。（2.2）然后∧γi | H≤ ζa.s.，很容易看出∧γi | His H-可测。利用经典的本质上确界，我们得到ess supi∧γi | H≤ ζa.s.和ess supi∧γi | His H-可测。我们得出结论，γH=ess supi∧γi | Ha。s、 因为每一个我∈ 一、 P（γI∈ suppHγi | H）=1（见备注2.3）。2标记2.6。设Q是关于P的绝对连续概率测度。设Z=dQ/dP，eqq是Q下的期望值∈ 一、 ess supHΓ≥ γia。s、 ess supHΓ是H-可测的，ess supHΓ≥E（Zγi | H）E（Z | H）=等式（γi | H）。（2.3）受[3]中定理2.8的启发，我们可以很容易地展示以下tower定律性质。引理2.7。让H H F是σ-代数，letΓ=（γi）i∈Ibe是实值F-可测随机变量族。然后，ess supHess supHΓ= ess supHΓ。引理2.8。假设d=1，考虑X∈ L（R+，F）。那么，我们有一个a.s.，即ess infHX=inf suppHX，ess supHX=sup suppHX，ess infHX∈ suppHX，在集合{ess infHX>-∞},ess supHX公司∈ suppHX，在集合{ess supHX<∞},convsuppHX=[ess infHX，ess supHX]∩ R、 （2.4）/8其中convsuppHX是suppHX的凸面包络，即包含suppHX的最小凸面集。证据前两项陈述源自ess supHXin提案2.5的构建（见（2.2））。假设ess infHX/∈ 某些非空测度子集∧上的suppHX∈ H of{ess infHX>-∞}. 由于suppHX是H可测且闭值的，通过一个可测的选择参数，我们推导出r的存在性∈ L（R+，H），使得R>0和（ess infHX-r、 ess infHX+r） R\\suppHX on∧。作为X∈ suppHX a.s.（见备注2.3）和X≥ 根据infHX a.s.，我们推断≥ ess infHX+r在∧上，这与ess infHX的定义相矛盾。下一条语句类似地显示出来，最后一条语句紧跟其后。2以下命题是本文的主要内容之一。它扩展了ess supHX=supx这一事实∈供应XX a.s。