短期内证券间相关性的出现

（18） 该方程有N个不同的解，可以用ρi表示（见附录B）。当N为la r ge时，最大特征值预计为t obe large，公式（18）的渐近展开式得出λ≈NXi=1ρi=NXi=11+η（τ）/γi-1.（19）反过来，其他特征值低于1（见附录B）。因此，这样一个超前-滞后一fa cto r模型无法再现多个大于1的特征值。为此，需要考虑多个因素。3.3. 一般超前-滞后多因素模型现在我们考虑一个一般超前-滞后多因素模型ri（t）=εi（t）+∞Xk=0αkFXf=1βi，fRf（t- k） ，（20）当某些γ值相同时，特征值的分析变得更加复杂（见附录B），但最大eig值仍然满足等式（18），因此可以用等式（19）近似。特别是，如果所有γi=γ，则得到λ≈ Nρ（τ），接近精确解（10）。式中，εi（t）是方差为σi的独立中心高斯变量（代表股票i的特定随机波动），F是因子数，Rf（t）是因子F的独立中心高斯回报，方差为∑F，βi，F是股票i对因子F的灵敏度，α设置松弛时间。重复附录A中的计算，onegetsCτij=δij+（1- δij）FXf=1ρi，fρj，f，（21），其中ρi，f（τ）=∑fβi，fβiρi（τ）（22）和ρi（τ）=1+η（τ）/γi-1/2，γi=βiσi，βi=FXf=1∑fβi，f.（23）考虑到ρi，fas n×f矩阵ρ的元素，可以将公式（21）改写为矩阵形式cτ=（i- P）+ρρ+，（24）其中P是由ρi表示的med的对角矩阵，且+表示矩阵传输。尺寸为N×F的基体ρ在以下分析中起着中心作用。作为矩阵ρar e r eal的元素，ρρ+以及ρ+ρ都是具有非负特征值的正半限定矩阵。

矩阵ρ的秩等于矩阵ρ+和ρ+ρ的秩，因此不能超过min{F，N}。考虑到F<< N、 相关矩阵r ix Cτ表现为低秩矩阵对对角矩阵的扰动。相关矩阵的特征值是行列式0=det的零λI- Cτ= det公司λI- I+P- ρρ+. （25）由于ρρ+是低阶扰动，如附录B中的单因素情况，可以预计大多数特征值与未扰动对角矩阵I的特征值一致-P，即由1给出-ρi对于某些指数i.这些特征值本质上被噪声所隐藏，在实践中不可利用。我们对（明显）超过1的大特征值感兴趣。如果λ超过1，则不能等于1-ρi对于所有i，矩阵λi-I+Pis是非奇异的，它的逆函数存在，因此可以重写公式（25），因为0=detλI- I+Pdet公司我- ρ+（λI- I+P）-1ρ, （26）从中可以得到一个关于特征值的新方程：0=det我- ρ+（λI- I+P）-1ρ|{z}φ（λ）. （27）（这里我们使用了一个通用属性：如果∈ Cm×mis非奇异矩阵andU，V∈ Cm×r，t hen det（A+UV*) = det（A）det（I+V*A.-1U），见【22】）。将行列式中的F×F矩阵表示为φ（λ），可以明确地将其元素表示为φF，g（λ）=NXi=1ρi，Fρi，gλ- 1+ρi.（28）式（27）的解确定式（21）中相关矩阵的一些特征值λ。正如人们通常处理的情况N>> F，将大小为N×F的矩阵的原始行列式方程（25）简化为大小为F×F的矩阵的公式（27），这是问题的一个重要数值简化。最重要的是，这种形式化的解决方案允许我们对特征值进行分析，就像我们在附录B中的单因素案例中所做的那样。

注意，在单因素情况下（F=1），行列式方程（27）简化为0=det（I- φ(λ)) = 1 - φ1,1(λ) = 1 -NXi=1ρiλ- 1+ρi，（29），即我们检索公式（18）。如果搜索大特征值，λ>> 1、可以忽略矩阵- I与式（27）中的λI相比，屈服强度λI- ρ+ρ= 0。（30）换句话说，相关矩阵的大特征值可以用大小为F×F的矩阵ρ+ρ的特征值来近似。该对称正半有限矩阵ix具有与F因子对应的F非负特征值。3.4. 我们将在第节详细讨论实际近似值。3.5、经验数据显示，与股票规格波动相比，短期记忆效应（α较小）和f因素对单个股票方差的影响相对较小（γ较小）。在这种情况下，特别是在所考虑的时间尺度上的证券周转时间序列，有η（τ）/γi>> 1因此，式（23）中的ρi（τ）可近似为ρi（τ）γiη（τ）。（31）这种近似极大地简化了矩阵ρ+ρ的元素：（ρ+ρ）f，g=NXi=1∑fβi，fρi（τ）βi |{z}=ρi，f∑gβi，gρi（τ）βi |{z}=ρi，g≈Nη（τ）Γf，g，（32）其中矩阵元素Γf，gdo不依赖于时间尺度：Γf，g=∑f∑gNNXi=1βi，fβi，gσi。（33）因此，矩阵的所有元素ρ+ρ及其特征值禁止对时间尺度τ的相同依赖，通过式（9）给出的显式函数η（τ）表示。将矩阵Γ的特征值表示为γf（f=1，…，f），可以得到相关矩阵大特征值的以下近似值：λf≈Nγfη（τ）（f=1，…，f）。

（34）根据η（τ）的显式形式（16），可以推导出随时间尺度τ增加，饱和水平特征值的缓慢、1/τ幂律方法。在这个近似计算中，所有大的特征值在时间尺度上表现出相同的依赖性。在实践中，一个目标是构建因子RFR，以捕获市场中cro-ss相关性的独立特征。因此，预计库存i对因子Rf和Rg的灵敏度βi、fandβi、Go为“正交”，通过要求非对角F 1 2 3 4γ0.17 0.03 0.02 0.0 1α0.16 0.25 0.18 0.2 6tα（最小值）0.55 0.72 0.58 0.74，可以正式表达这一特性。表1：拟合公式（34）的两个可调参数适用于N=533美国股票收益率的相关矩阵的四个最大特征值。相应的弛豫时间tα（以分钟为单位）为s 1 min/ln（1/α）。矩阵Γ的元素可以忽略。在这种情况下，特征值γ由对角元素γf=Γf，f=NNXi=1∑fβi，fσi给出。（35）这是敏感性平方βi，f的一种经验平均值，由挥发性平方σi归一化。3.5。实证数据的应用我们的目标是应用超前-滞后因子模型来拟合美国股票收益的经验相关矩阵的特征值。拟合f公式（34）有两个可调参数：函数η（τ）中的弛豫时间α和振幅Nγf。使用在Matlab中作为常规LSQ曲线拟合实现的最小二乘拟合算法，我们将公式（34）分别应用于每个经验特征值。图2显示了四个最大特征值的拟合。超前-滞后因子模型的良好质量表明，尽管建立该模型所依据的无数简化假设，但它在定性上很好地捕捉了总体行为。

特别是，特征值收敛到极限值，至少对于所考虑的短期尺度（长达2小时）。此外，该饱和水平接近缓慢，具有1/τ幂律依赖性。表1总结了可调参数。将超前滞后因子模型（2）中的衰减因子α改写为exp(-t/tα），其中t=kτ，tα=τ/ln（1/α），其中τ=1 min是所用时间序列的最新时间尺度，得到弛豫时间tα，单位为分钟。我们可以看到，四个特征值的弛豫时间α（或tα）彼此接近。换言之，所有主要特征模式都会演变为时间尺度（min）经验衰减时间尺度（min）经验衰减时间尺度（min）经验衰减时间尺度（min）经验衰减时间尺度（min）经验衰减时间尺度（min）经验衰减图2：通过将1分钟的r值与时间尺度τ相加计算得出的n=533美国股票收益率的相关矩阵的四个最大特征值的公式（34）拟合。表1总结了可调参数α和γar e。在可比较的时间尺度上。这是一个重要的结论，驳斥了一种普遍的观点，即市场模式（对应于最大特征值）在时间尺度上发展，与其他模式（部门和风格因素）有显著不同。tα的值约为一分钟，与Benzaquen等人的预测一致。值得注意的是，尽管超前-滞后记忆效应消失得如此迅速，但它们会在更长的时间尺度上影响特征值的行为。特别是，如果忽略超前滞后（通过设置α=0），则最大特征值为 Nγ，与时间标度τ无关。例如，使用估计值γ=0.17，设置α=0，可以得到最大特征值90，这明显小于α=0.16的预期限值128或τ=128 min时的观测值13 0。

结论我们研究了相关矩阵的特征值对时间尺度τ的依赖性。将la r gest 533只美国股票（2013-2017）的1分钟回报加总，以估计不同时间尺度下的相关矩阵，我们发现其大特征值随τ增长，且明显饱和耐受值。这种增长反映了一个重要的现象，即岩石间的相关性随着时间的推移而累积。为了使这一现象合理化并解释经验观察结果，我们开发了超前-滞后因子模型。在单因素情况下，每个股票被认为与给定的超前-滞后因素部分相关。在几个简化的假设下，我们导出了一个有关大特征值的简单公式。该公式只包含两个易于解释的可调整参数，然后通过经验数据进行验证。股票市场的放松时间估计在1分钟左右。对这一观察结果的一种可能解释是，交易可以产生一系列在1分钟内衰减的交易，从而使交易对价格的影响在1分钟内衰减。由于交易对价格的交叉影响产生了相关性，我们通过将凯尔模型扩展到交易对具有超前滞后效应的优先投资组合的影响来模拟这种影响。观察到的松弛时间的较小值表明，基于5分钟收益率的相关性测量应为风险管理提供日收益率相关性的良好代理，这与byLiu等人关于波动率估计的结论一致【23】。然而，其他现象可能会在更大的时间尺度上发生（从一天到一个月），例如，由于羊群效应或缺乏流动性，财务因素（账面、规模、动量）的回报率的自相关。

在更大的时间尺度上准确估计相关性仍然是一个具有挑战性的问题，因为可用收益的数量有限，因此估计的相关性矩阵中噪声的影响更大。为了克服这一限制，我们可以考虑几十年的时间范围（在这种情况下，忽略校正时间的变化是有争议的），或者减少所考虑证券的数量和相关矩阵的维数（在这种情况下，估计相关性的财务意义可能是有争议的）。正如我们基于因素的模型所建议的那样，一个可能的解决方案包括构建相关的财务因素，并研究它们的相关性如何随时间尺度变化。附录A.协方差矩阵的计算公式（3）isCτij=hrτi（t）rτj（t）i（A.1）=τσδij+βτ定义的聚集中心高斯回报rτi（t）的协方差矩阵-1台l,l=0∞Xk，k=0αkαkhR（t- l- k） R（t- l- k） i.该表达式中的第一个术语来自不相关的股票相关函数。收益R（k）的独立性意味着cτij=τσδij+βσmτ-1台l,l=0∞Xk，k=0αkαkδl+kl+k、 （A.2）为了计算这些金额，可以方便地分别考虑不同的条款，具体取决于l和l:o 有τ项l= l这意味着k=k，其贡献为τ∞Xk=0α2k=τ1- α; （A.3）o有τ- 1条款l= l+ 1表示k=k- 1，谁的贡献是（τ- 1)∞Xk=0α2k+1=（τ- 1)α1 - α. （A.4）此外，同样的贡献来自l= l- 1和k=k+1同样，也存在r eτ-j条款l= l+j表示k=k-j、 其贡献为（τ- j）∞Xk=0α2k+j=（τ- j） αj1- α、 （A.5）对称性论证使这一贡献加倍最后，有一个术语l= l+(τ -1） 因此k=k-(τ -1） 其贡献为ατ-1/(1 - α).将所有这些术语结合起来，可以得到简化后的等式（4）。附录B。

超前-滞后单因素模型分析我们更详细地研究了相关矩阵C的模型（15），ρi（τ）由公式（16）给出。该矩阵是一个秩一矩阵对恒等矩阵的扰动，对于秩一矩阵，许多光谱特性是已知的（例如，参见[24]）。该矩阵综合了两种影响：相关系数ρ和指数移动平均值的影响（系数α）。我们搜索该矩阵的特征向量为v=（v，v，…，vn）+。显式写入Cv=λv，我们得到vi（1- ρi）+ρiQ=λvi（i=1，…，N），（B.1），其中q=NXi=1viρi.（B.2）首先，我们注意到，对于某些i，如果ρi=0，则上述方程导出为vi=λ，有两个解：λ=1和vican bearbitrary；或vi=0。如果ρi=…=ρik=0，对于k个股票，则相关矩阵的特征值λ=1，重数为k。相应的特征向量可以选择为子空间Rk中的正交基。依次，剩余的n- k特征值是非平凡的，可以如下所述确定。在下面的内容中，我们讨论这些非平凡的特征值，即我们假设所有ρi6=0。方程（B.1）有两个解：（i）λ=1- ρi和Q=0；或（ii）λ6=1- ρiandvi=ρiQλ- 1+ρi.（B.3）在第三种情况下，可以将此表达式替换为等式（B.2），以获得关于特征值λ的方程式：NXi=1ρiλ- 1+ρi=1。（B.4）该方程可以看作是一个N次多项式，其中有N个（一个优先复数值）零点。最后，通过将归一化条件设置为v:1=NXi=1vi=QNXi=1ρi（λ- 1+ρi）。（B.5）这是一种普遍情况。让我们回到第一个选项，即假设λ=1- ρk表示Q=0的指数k。如果所有ρ都不同，即ρ6=ρ6=。6=ρN，因此对于所有i 6=k，vi=0，但由于Q=0，它也意味着vk=0。

因此，v=0，但这不是特征向量。我们得出结论，如果所有ρ都不同，那么λ不能由1给出- ρi，不包括该选项。现在，我们考虑两个或多个值ρ相同的情况。例如，假设tρ=ρ6=ρ6=。6=ρN。在这种情况下，λ=1- ρ确实是一个特征值。事实上，当i>2时，Q=0，因此vi=0。然而，其中Q=ρv+ρv=ρ（v+v）=0，意味着v=-v、 归一化条件意味着v=-v=1/√2.我们得出结论λ=1- ρ是单个特征值。更一般地说，如果ρ=ρ=…=ρk6=ρk+16=。6=ρN，则特征值λ=1- ρhas重数k- 1、一般情况下，表示zi=1比较方便-ρi以递增顺序排列：z≤ z≤ z≤ . . . ≤ zN（B.6）或等效地，通过对最终相同值进行分组：z=z=…=zi<zi+1=zi+2=…=zi+i<…<zi++im=zi++im+1=…=锌。（B.7）换言之，存在一个固有值z=…=zi；IIdentialValues zi+1=…=zi+i等（注意，当所有zi都不同时，一个hasi=i=…=1）。在此配置中，相关矩阵具有：带多重数i的初始值z- 1（如果i>1）；重数为i的特征值z1- 1（如果i>1）；等。如果对于某些k，zik=1，则该特征值具有多重性ik。最后，将主要特征值确定为等式（B.4）的解，其可写成f（z）=1，其中f（z）=NXi=1ρiz- 1+ρi=NXi=11- 齐兹- zi。（B.8）zi=1的项（导致特征值λ=1）不包括在此总和中。此外，如果一些zi是相同的，则相应的术语只是分组在一起。因此，方程f（z）=1被简化为至多N次的多项式（N次对应于所有zi都不同的情况）。值得注意的是，函数f（z）处处递减：f′（z）=-NXi=1ρi（z- zi）<0。

（B.9）因此，可以立即得到每个间隔（zi，zi+1）（zi<zi+1，zN+1=∞) 只有方程f（z）=0的一个解，即一个特征值。特别地，我们得到了最小特征值z的以下边界≤ 最小1≤我≤N{λi}≤ z、 （B.10）我们得出结论，所有特征值都是正的当且仅当z≥ 0，即ρi≤ 对于所有i，换句话说，不等式ρi≤ 1尽管如此，我提出了矩阵正不确定性的必要和充分条件。这些条件在我们的环境中显然得到了满足。自f（1）起≥ 1，也可以得到最大特征值λ=max1的下界≤我≤N{λi}≥ 1（B.11）（注意，特征值按降序排列，λ≥ λ≥ . . .,与zk相反）。然而，这一界限相当薄弱。反过来，由于λ≤zN=1- ρN<1，所有其他特征值均小于1：λi<1（i=2，3，…，N）。（B.12）参考文献【1】T.W.Epps，《短期内股价的共同变动》，J.Am。统计助理。74, 2 91-298 (1979).[2] E.F.Fama，《有效资本市场：理论与实证工作回顾》，J.Finance 25383-417（1970）。[3] B.T'oth和J.Kert'esz，《提高市场效率：股票回报相互关联的演变》，Physica A 360505-515（2006）。[4] J.Kwapien、S.Drozdz和J.Speth，《涉及紧急市场一致性的时间尺度》，Physica A 337231-242（2004）。[5] V.Plerou、P.Gopikrishnan、B.Rosenow、L.A.Nunes Amaral、T.Guhr和H.E.Stanley，《金融数据交叉相关的随机矩阵方法》，Phys。牧师。E 65，066126（2002年）。[6] C.Coronnello、M.Tumminello、F.Lillo、S.Michich、R.N.Mantegna，《伦敦证券交易所交易的一组股票收益时间序列中的部门识别》，物理学报。波尔。B 362653（2005年）。[7] P.Gopikrishnan、B.Rosenow、V.Plerou和H.E。