短期内证券间相关性的出现

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英文标题：
《Emergence of correlations between securities at short time scales》
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作者：
S. Valeyre, D. S. Grebenkov, and S. Aboura
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  The correlation matrix is the key element in optimal portfolio allocation and risk management. In particular, the eigenvectors of the correlation matrix corresponding to large eigenvalues can be used to identify the market mode, sectors and style factors. We investigate how these eigenvalues depend on the time scale of securities returns in the U.S. market. For this purpose, one-minute returns of the largest 533 U.S. stocks are aggregated at different time scales and used to estimate the correlation matrix and its spectral properties. We propose a simple lead-lag factor model to capture and reproduce the observed time-scale dependence of eigenvalues. We reveal the emergence of several dominant eigenvalues as the time scale increases. This important finding evidences that the underlying economic and financial mechanisms determining the correlation structure of securities depend as well on time scales.
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中文摘要：
相关矩阵是最优投资组合配置和风险管理的关键要素。特别是，对应于大特征值的相关矩阵的特征向量可用于识别市场模式、部门和风格因素。我们研究这些特征值如何依赖于美国市场证券回报的时间尺度。为此，将533只最大的美国股票的一分钟收益率在不同的时间尺度上进行聚合，并用于估计相关矩阵及其光谱特性。我们提出了一个简单的超前-滞后因子模型来捕获和再现观测到的特征值的时间尺度依赖性。我们揭示了随着时间尺度的增加，几个主要特征值的出现。这一重要发现证明，决定证券相关性结构的基本经济和金融机制也取决于时间尺度。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Emergence_of_correlations_between_securities_at_short_time_scales.pdf (217.83 KB)

2022-6-10 06:51:02 上传

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关键词：相关性 Quantitative Eigenvectors correlations correlation

短期规模证券间相关性的出现巴斯蒂安·瓦雷约恩·洛克投资公司，38 Avenue Franklin Roosevelt，77210 Font ainebleau Avon，FranceDenis S.GrebenkovLaboratoroire de Physique de la Mati\'ere Condens\'ee，CNRS–Ecole Polytechnique，91128 Palaiseau，FranceSo fiane Aboutrauniversit\'e de Paris XIII，Sorbonne Paris Cit\'e，93430 Villetaneuse，FranceAbstract相关矩阵是投资组合分配和风险管理中的关键元素。特别是，与大特征值相对应的相关矩阵的特征向量可用于识别市场模式、部门和风格因素。我们研究这些特征值如何依赖于美国市场证券回报的时间尺度。为此，最大的533只美国股票的一分钟收益在不同的时间尺度上进行聚合，并用于估计相关矩阵及其光谱特性。我们提出了一个简单的超前-滞后因子模型来捕获和再现特征值的观测时间依赖性。我们揭示了随着时间尺度的增加，几个显性特征值的出现。这一重要发现证明，决定证券相关性结构的基本经济和财政机制也取决于时间尺度。电子邮件地址：sebastien。valeyre@jl-投资。com（塞巴斯蒂安·瓦尔·伊尔），丹尼斯。grebenkov@polytechnique.edu（丹尼斯·格雷本科夫），索菲安。aboura@univ-paris13.fr（So fiane Abour a）预印本于2018年7月16日提交给Physica a。证券相关性模型的特征值是如何在不同的时间尺度上出现的？这一基本问题很重要，因为互相关在不同的投资期限内发生变化，而由于其时间和频率依赖性，相关性矩阵的可靠经验确定仍然存在困难。

EPP首先证明了这一点，他们证明了当从日常时间尺度（或频率）转换到日内时间尺度（或频率）时，美国股票之间的相关性会衰减【1】。在另一个世界，价格相关性随着衡量价格变化的时间间隔的持续时间而降低。Epps效应背后的经济学论据是，信息不是在较短的时间间隔内即时传输的，而价格的平均调整滞后时间大约在10到60分钟之间。这似乎在短时间尺度上缩小了有效市场假说[2]的范围，因为单一数据价格似乎仅在一段滞后时间后才适应新信息，因此不会反映所有可用信息。自成立以来，Epps效应已被多项研究证实，尽管其影响在纽约州逐渐减弱，这表明市场变得越来越有效[3]。通过关联矩阵的特征值，可以捕捉证券互相关对时间尺度的依赖性。特别是，最大的特征值反映了股票之间平均相关性的变化，其中相应的特征向量与“市场模式”相关。Kwapienet等人利用纽约证券交易所、纳斯达克和德意志证券交易所（1997-1999）从1分钟到2天的数据显示，随着时间尺度的增加，最大特征值显著提高[4]。Plerou等人利用纽约证券交易所、美国运通和纳斯达克（1994-19 97）的高频股票收益率，支持最大特征值的观点，其特征向量反映了整个市场对刺激的集体反应，如某些新闻报道（如中央银行利率上调）[5]。在集体行为增强的高波动期尤其如此。Coronnello等人。

证实了根据5分钟数据计算的最大特征值描述了构成伦敦证交所股票指数的股票的常见行为（2002）[6]。由于具有类似业务活动的公司相互关联，因此一些其他投资者在经济上可以被解释为商业部门[7]。因此，Gopikrishnan等人计算了1000只美国股票在30分钟尺度（1994-1995）和1天尺度（19621996）下的互相关矩阵的特征向量[7]。他们发现，通过特征向量获得的商业部门的相关性在时间上是稳定的，可以用于构建夏普比率稳定的最优投资组合。同样，由于相似的交易策略会导致股票的相互关联，一些特征向量在财务上可以解释为fa-cto r s。相应的特征值预计会对时间尺度表现出非平凡的依赖性。然而，由于测量噪声的影响，在不同时间尺度下对多重特征值进行准确的统计分析是一个挑战。事实上，由于相关矩阵是根据股票收益的时间序列估计的，其元素不可避免地是随机的，因此容易发生波动。随着时间序列长度的减少，即时间尺度的增加，这些波动变得更大。虽然最大特征值通常超过波动水平两个数量级，但其他特征值迅速达到这一水平，并变得无信息。一些研究人员利用随机矩阵理论来区分具有经济意义的特征值和噪声【8、9、10、11、12】。Laloux等人特别指出，只有6%的特征值携带了标准普尔500指数（1991-1996）的一些信息，而剩下的94%的特征值被噪声所掩盖[8]。

Guhr和Kalber提出了另一种统计方法来减少噪声，他们称之为“功率映射”[13]。Andersson等人将幂映射方法与标准过滤方法进行了比较，从而扩展了这项工作，该方法使用瑞典股票市场每日收益率（1999-2003）对马科维茨投资组合进行优化，从而去除了噪音值。在本文中，我们考虑金融证券的相关矩阵，并研究其特征值在小时间尺度上的出现。由于关于这一关键问题的财务数据仍然很少，本研究通过使用1分钟收益率调查日内时间尺度的特征值来填补这一空白。我们提出了一个简单的模型，即“领先-滞后因素模型”，这是对著名的“单因素马尔克模型”的一种改编，适用于小规模、多部门和风格因素。在该模型中，股票收益率与早期时间步中选定因素的收益率相关。然后导出了特征值作为时间尺度函数的详细描述。本文对美国股市的1分钟收益率的长时间序列进行了实证验证。为了在1分钟到2小时的时间尺度上获得几个重要的特征值，在整个可用期（2013-2017年）内对相关矩阵进行了估计，从而忽略了交叉相关性随时间的变化（注意，其他地方已经研究了特征值和特征向量随时间的动态变化[16,17,18]）。尽管超前-滞后因子模型的特点很简单，但它能够再现大特征值对时间尺度的依赖性。本文的组织结构如下。以秒为单位。2、我们估计了不同时间尺度下美国股票收益率的相关矩阵，并给出了大特征值在时间尺度上的经验依赖性。为了对观察到的行为进行大鼠化，我们在第。

3领先-滞后因子模型，并将其与实证结果进行比较。第4节总结和总结。附录中给出了超前-滞后因子模型的一些推导和更多技术分析。2、实证结果2.1。数据描述我们研究了一个宇宙的相关结构，其中包括533只美国股票，2013年其资本化超过10亿美元。在2013年1月1日至2017年6月28日的考虑期内，我们的数据库包含338 176只股票的1分钟回报。我们还验证了回报的算术聚合，ri（1）+…+ri（τ），几乎与考虑乘积（1+ri（1））。（1+ri（τ））- 1，假设1-minreturns ri（t）非常小。从1分钟收益的时间序列，我们估计整个可用周期的相关矩阵，然后计算其特征值。然后我们将收益汇总为2分钟，4分钟。。。，128分钟返回，生成时间序列169 088，84 544。。。，分别为2 64 2点s。在每个时间尺度τ上，我们重复计算，以研究这些值对τ的依赖性。2.2. 实证结果图1a显示了533只美国股票收益率协方差矩阵的四个最大特征值，通过1分钟到128分钟（2小时）的时间尺度τ计算得出。前两个特征值几乎与τ呈线性增长，其他特征值在小τ处表现出与线性的小偏差，但在大geτ处与τ呈线性比例。这种行为反映了聚合回报方差的差异性增长；特别是，如果收益是独立的，则相应协方差矩阵的特征值Cij=τσiδij将正好是λi=τσi，并且与τ成正比。尽管相关性会影响这种线性增长，但其影响是次显性的，至少对于较大的特征值而言，如图所示。

1a。时间尺度（min）-6-4-2IGENVALUES（a）20 40 60 80 100 120时间尺度（min）特征值（b）图1：533只美国股票收益的协方差矩阵（a）和相关矩阵（b）的四个最大特征值，通过将1分钟收益与时间尺度τ相加计算，从1分钟到128分钟不等（2小时）。为了突出相关性的影响，我们关注相关性矩阵的特征值。从财务角度来看，这一选择也是合理的，以降低库存波动率的可变性。图1 b显示了相同533只美国股票收益率的相关矩阵的四个最大特征值。如果收益是独立的，则相关矩阵将是恒等式，因此其所有特征值将等于t到1。这些特征值随时间标度τ的增长表明股票之间存在较强的互相关。最大的特征值自然可以归因于市场模式，而下一个特征值则取决于不同的部门和风格因素。在短时间尺度（几分钟）急剧增长后，特征值慢慢接近其长期极限。这些上界的存在是预期的，因为相关矩阵的特征值之和与其大小相等（即与股票数量N）。这种饱和效应与协方差矩阵特征值的无限增长形成对比（图1a）。找到这种方法的函数形式并确定其特征时间尺度是我们工作的主要目标。最近，Benzaquenetal.提出了一个多元线性propa-gator模型，用于剖析股票市场的交叉影响并揭示其动态【19】。由于该模型的一般形式同时考虑了股票的互相关和自相关，因此该模型包含了太多的参数，而结果公式并不明确。

我们的抱负恰恰相反，我们的抱负是建立一个尽可能简单的明确模型，该模型将捕获图1b所示的实证结果，从而为财务解释提供一个最低限度的框架。超前滞后系数模型3.1。基本超前滞后单因素模型我们考虑一个具有N个资产的交易宇宙。在传统的单因素模型中，时间t时第i项资产的回报率ri（t）被建模为特定的、资产相关的随机波动εi（t）和总体市场贡献r（t），ri（t）=εi（t）+βr（t），（1）与市场敏感度β的组合（我们在下文将其推广到其他因素）。资产特定随机波动εi（t）通常被建模为波动率σi的独立中心高斯变量。我们建议通过引入超前-滞后效应对传统模型进行修改，其中t时的第i个资产回报率受公共因子R（t）的影响- k） 早期t- k、 逐步衰减权重：ri（t）=εi（t）+β∞Xk=0αkR（t- k） ，（2）其中0≤ α<1表示记忆衰减的弛豫时间。请注意，公式（2）中总和的上限被正式扩展到单位，要记住，对于非常大的k的贡献是指数级的。我们将在静态状态下对模型进行分析，如下所示：→ ∞ 为了消除瞬态影响。公共项R（t）可以被解释为一个理想化因子，在一个大多数股票都具有超前滞后的有效市场中没有自相关性。因此，我们通过波动率为∑的独立中心高斯变量对R（t）进行建模。术语R（t）可以表示市场模式，但也可以表示因素或风格因素，或任何流行的交易组合。此外，R（t）也可以被解释为与特定战略（市场、部门或风格）的市场秩序交易相关。

有鉴于此，我们的模型可以被视为凯尔模型（Kyle model）[20]的扩展，该模型解释了交易对单个股票价格的影响，并且没有延迟。在这里，我们考虑了多个股票，并包含了影响的指数衰减。虽然提出了更复杂的冲击幂律衰减模型[19，21]，但我们将证明我们的极简模型足以再现相关矩阵特征值的缓慢增长。为了澄清，我们首先分析了这个基本的超前-滞后单因素模型，然后讨论了它的几个直接扩展。单因素关系（2）是最短时间尺度下收益的基本模型。然后，我们考虑在时间尺度τ上聚合的收益：rτi（t）=τ-1台l=0ri（t- l), （3） t是τ的倍数。在之前的高斯假设下，a聚合收益的方差函数读取（见附录a）：Cτij=hrτi（t）rτj（t）i=τσδij+β∑τ(1 - α) - 2α(1 - ατ)(1 - α)(1 - α） ，（4）其中h···i表示期望值，δij=1或i=j，否则为0。请注意，为了简单起见，我们在这里为所有资产设置σi=σ（下面将放宽此简化）。当我们考虑平稳区域时，协方差函数不依赖于时间t。表示κα（τ）=τ（1- α) - 2α(1 - ατ)1 - α、 （5）得到相关矩阵ixCτij=CτijpCτiiCτjj=（1 i=j，ρ（τ）i 6=j，（6）与ρ（τ）=1 + η(τ )/γ-1/2，（7），其中γ=∑βσ（8），η（τ）=τκα（τ）/（1- α )=(1 - α)1 -2α1-α(1 - ατ)/τ. （9） 在我们的分析中起中心作用的函数η（τ）从η（1）=1单调递减- α至η(∞) = (1 - α ).由于矩阵Cτ-(1 -ρ（τ））I的秩为1（I为恒等式N×Nmatrix），有N- 1特征值λi=1- ρ(τ). 反过来，相关矩阵Cτ的最大特征值可以如下所示：N=Tr（Cτ）=λ+（N- 1） λi，其中λ=1+（N- 1)ρ(τ).

我们得到了特征值作为时间尺度τ：λ=1+（N）函数的完整描述- 1） ρ（τ），（10）λi=1- ρ（τ）（i=2，3，…，N）。（11） 在非常大的τ极限下，一个结果是ρ(∞) =1 + (1 - α)/γ-1.（12）这个最简单的超前-滞后单因素模型预测最大特征值（对应于市场模式）随时间尺度τ单调增长，直至饱和平台。反过来，其他特征值呈现出一个平稳的下降趋势。尽管式（2）中的领先-滞后记忆效应呈指数衰减，但平台的方法是由缓慢的1/τ幂律控制的，这与经验观测的定性一致（定量比较见第3.5节）。在某种程度上，这种方法没有明确的时间尺度。虽然基本模型可能捕获最大特征值的行为，但它显然无法区分其他特征值。因此，我们需要放松一些简化假设，以使模型更真实。3.2. 一般超前-滞后单因素模型我们首先引入任意波动率σi，并将第i项资产的敏感性βi引入公因子r（t）：ri（t）=εi（t）+βi∞Xk=0αkR（t- k） 。（13） 在这种情况下，计算结果完全相同，唯一的区别是cτij=τσiδij+∑βiβjκα（τ）。（14） 因此，相关矩阵的结构完全由βi决定，而对时间尺度τ的依赖仍然由κα（τ）表示。相关矩阵readsCτij=（1（i=j），ρi（τ）ρj（τ）（i 6=j），（15）与ρi（τ）=1+η（τ）/γi-1/2，γi=∑βiσi。（16）该相关矩阵的特征值可计算如下。如果所有γ都不同，则特征向量的分量为vi=ρiQλ- 1+ρi（i=1，…，N），Q=NXi=1ρivi，（17），从中可以得到关于特征值λNXi=1ρiλ的方程- 1+ρi=1。