交换期权定价中执行约定的最优选择

对于第二个公式，请注意Clark-Ocone公式（参见Nua lart（2005））给出了（σit）=E（σit）+中兴通讯Dr（σit）dZr，i=X，Y，从这里我们可以很容易地推导出thatdMit=ZTtEtDt（σiu）杜！dZt=2ZTtEt（σiuDtσiu）du！dZt，i=X，Y，其中第二个等式成立。备注6上述结果表明二z、 i=X，Y取决于M和login之间的二次协变量和波动率σi。定义的^PdP=eYT-Y、 集合D1,2^Z将表示派生运算符^D在^P下的域，分别为t到^Z。我们将写出L1,2^Z=L（[0，t]，D1,2^Z））。注意，作为T→ 0，supr，s∈[0，T]Et | Dsσi- D+σi |→ 0，对于i=X，Y，其中d+σi定义为（H5）中的值，而^Etis是关于^P的条件期望值。定理7考虑模型（1）和假设∈ L1,2^Z.ThenlimT→0^γy（x，x）=ρxσx- ρYσY2σD+σX（σX- ρσY）+D+σY（σY- ρσX）.（12） 证明。我们有v=BS（0，x，y，γ）。（13） 一方面，直接计算得到的结果是，b（0，x，y，^γ）=eyBS（0，x- y、 0，^γ）（14）另一方面V=E提取- eYT公司+= eY^E提取-年初至今- 1.+= ey^E提取-年初至今- 1.+（15） 式中，^E表示对概率测度^P的期望。注意，在^P下，进程Ut：=eXt-Ytsatis fiesdut=Ut（σXtd^WXt- σYtd^WYt），其中^WX，^WYare^P-布朗运动。然后，（14）和（15）给出了（13）等于^e（UT- 1） +=BS（0，x- y、 0，γ）。请注意，^γ是一个普通期权的隐含波动率，在一个底层Ut上执行1次，波动率为σ。那么orem 5给了我们这个极限→0^γz（x，x）=4￠σTlimT→0hU，~手套。现在，asd▄Mt=ZTt^Er（^Dr▄σt）Dr！d^Ztand^Dr▄σt=2σXt^DrσXt+2σYt^DrσYt- 2ρσXt^DrσYt- 2ρσYt^DrσXt。我们得到t4σTlimT→0hU，~Mi=ρXσX- ρYσY2σD+σX（σX- ρσY）+D+σY（σY- ρσX）.这就完成了证明。在下一个定理中，我们建立了一个罢工约定为a1 STOSC的条件。

这是本文的主要结果。定理8考虑模型（1）并假设假设假设（H1）-（H5）成立。那么，走向坐标（k，k）是1-STOSC当且仅当ρXσX- ρYσY2σD+σX（σX- ρσY）+D+σY（σY- ρσX）（16） =限制→0γ九九zkX公司y+IYIY公司z肯塔基州y型+IY公司y-ρIXIY公司z肯塔基州y型+IY公司y- ρIY九zkX公司y（x，x）证据我们必须证明这一点→0γy-^γy（x，x）=0。定理5和7直接给出了期望的结果。备注9如果ρX6=0且ρY6=0，则D+σi=σiρilimT→0二Z或i=X，Y。然后，可以将（19）中的左侧ide写为LIMT→0ρXIX- ρYIYγ九zIXρX（IX- ρIY）+IY公司zIYρY（IY- ρIX）（x，x）。（17） 这为我们提供了一个1-STOSC的无模型条件，即不需要波动过程的特定模型。虽然可以考虑上述一般规则的各种不同情况，但如果σXt=λXσ和σYt=λYσt，则可以获得走向转换的一个方便的特殊情况，其中λX和λYare是正常数，σ是一个非负的、右连续的平方可积过程，适用于Zt评级的过滤。我们注意到，这两种资产的单一波动率过程均按常数变化的情况是Bakshi和Madan（2000）中相关期权以及inDempster和Hong（2000）中sprea d期权引入的模型的推广。为方便起见，我们将该模型称为一个波动率两个水平（1V2L）模型。以下推论表明，对于1V2L模型，可以根据模型参数或市场观察值，即对应于一般隐含波动率水平和偏差的短期限制，推导出罢工约定。推论10假设为1V2L模型。

那么，一个罢工契约（k，k）是a1 STOSC当且仅当iflimT→01.- ρIYIX九zkX公司y型+IYIX公司- ρIY公司z肯塔基州y型+IY公司y(18)-九z+IYIXIY公司z（x，x）=0。或等效（就模型参数而言）：1.- ρλYλXρXρYkX公司y型+λYλX- ρ肯塔基州y- 1.=ρXρY-λYλX（19）证明。在1V2L模型中（σXt=λXσt，σYt=λYσt），定理5意味着IY公司z=ρYρX九z、 扩展（17）中的表达式并替换为IY公司zwe获得=极限→0γ（ρXIX- ρYIY）九zρX（IX（IX- ρIY）+IY（IY- ρIX））（x，x）=极限→0γ九九z- IYρYρX九z（九）（九）- ρIY）+IY（IY- ρIX））（x，x）=极限→0γ九九z- IY公司IY公司zγ（x，x）=极限→0γ九九z- IY公司IY公司z（x，x）将其与（16）的右侧相等，然后重新排列，得到所需的结果。根据定理5可以找到关于模型参数ρX、ρY、λX、λY的e等价结果，并且事实上，在货币（ATM）隐含的波动性趋向于时间零点对应的即期波动性。4最佳线性对数走向约定文献中提出了几种走向约定。一些经典的例子（参见Alexander和Venkatramanan（2011）和Swindle（2014））的形式为（kX（x，y）=（1- a） x+aykY（x，y）=ax+（1- a） y，（20）表示一些实数a。例如，在Swindle（2014）中，作者sugge st totake kX=ln SYtand kY=ln SXt。在a=1的情况下，此选项对应于（20）。另一方面，在Alexander和Venkatramana n（2011）中，作者主要研究罢工惯例kX=ln Sx和kY=ln SYt，即案例a=0。在本节中，我们将找到一个最佳的线性原木走向选项（20）。给定两次打击kX，kYof形式（2 0），我们有kX公司y=a，肯塔基州y=1- a、 因此，方程式（19）减少了toaρXρY1.-ρλYλX-λYλX- ρ=ρXρY-λYλX。

（21）或者，交替地，a[ρX（λX- ρλY）- ρY（λY- ρλX）]=λXρX- ρYλY。那么，如果[ρX（λX- ρλY）- ρY（λY- ρλX）6=0存在一个uniq ue 1-STOSC，由a=a给出, 何处=ρXλX- ρYλYρX（λX- ρλY）- ρY（λY- ρλX）（22）备注11我们注意到与此结果相关的几个有趣的特殊情况：1。基本价格Sx和Sy不相关（ρ=0）：a=ρXλX- ρYλYρXλX- ρYλY=1反过来，将交换期权视为具有浮动打击的常规期权，如果打击不相关，则最好使用与浮动打击相对应的隐含效用，即欺诈的“波动率查找启发式”（2014）。2、两种挥发物具有相同的水平（λX=λY）：a=ρX- ρYρX（1- ρ) - ρY（1- ρ)=1 - ρ注意，在这种情况下，a不再依赖于ρX，ρY，λX，λY.3。两个资产与波动率的相关性相等（ρX=ρY）：a=λX- λYλX- ρλY- λY+ρλX）=1+ρ，这里a不再依赖于相关性ρX，ρYor水平λX，λY.4。资产与波动率的相关性为零（ρY=0）：a=λXρXρX（λX- ρλY）=λXλX- ρλy相似，如果ρX=0，则a=λYλY-ρλX。在这些情况下，我们还可以得出结论（因为λX，λY>0），ρ>0对应于a> 1（ρ<0至a< 1） ，这是一个直观的浮动罢工选项，其中罢工倾向于随着S向其移动而移动。备注12与推论10中的等价表达式类似，请注意，由于λYλX=limT→0iyix和ρYρX=极限→0IY公司/z九/z、 我们的结果可以从模型参数转换为市场观察值。

因此，可以从方程（21）计算最优市场价格约定，只需知道ρ（通常根据价格历史估计）和相应的一般隐含波动率水平和偏差的短期限制。5数值示例为了研究（22）给出的最优对数线性走向转换的性能，我们考虑了一些spre采用定价的数值示例，并对参数值进行了不同的假设。在每种情况下，我们都会比较使用其他commonstrike约定“at the money”（ATM）隐含的ea ch资产波动率（即a=0）或波动率查找启发式（即a=1）得出的结果。作为一个简单且常用的b e nchmark，我们始终使用赫斯顿模型，但在各种不同的参数集下进行测试。波动动力学由以下公式给出：dσt=κθ - σtdt+νqσtdZ（3）t，在1V2L模型中，在推论10.5.1测试用例之前引入的mo de l（1）的一个版本。现在，我们考虑两个参数如下所述的测试用例，两个用例之间仅变化ρy：o期权到期日：t=0.05（几周）o波动过程（σt）参数：κ=1.5，θ=0.15，ν=0.5，σ=0.15o波动率标度因子：λX=1.5，λY=1o相关参数：ρ=0.5，ρX=-0.4，ρY=-0.6或ρY=0.4注意，ρY=-0.6对应两种资产的两个向下倾斜隐含波动率偏差，而ρY=0.4的测试用例2对应第二种资产的向上倾斜。图1的顶行显示了这些隐含波动率图，这些图是根据赫斯顿模型对单一资产期权进行定价而生成的。然后，我们使用保存的隐含波动率对带有payoff（SXT）的交易所期权进行定价- SYT）+跨越一系列货币，SX=100固定和SY∈ [80, 120].

使用1000,00条模拟路径（以恒定波动率解为控制变量），将具有三种不同罢工惯例（选择a）的Margrabe公式与“精确解”进行比较。80 85 90 95 100 105 110 115 120罢工0.250.30.350.40.450.50.550.60.65资产1资产280 85 90 95 100 105 110 120罢工0.250.30.350.40.450.50.550.60.65资产1资产280 85 95 100 105 110 115 120 SY0.470.480.490.50.510.520.530.54a=0a=1最佳a80 90 95 100 105 110 120 SY0.350.450.50.550.60.65a=0a=1最佳a80 90 95 100 100 100 110 110 110 110 110 115 120SY0.920.940.960.981.021.04a=0a=1最佳a80 85 9095 100 105 110 115 120SY0.91.11.21.31.41.51.61.7a=0a=1最佳a80 85 90 95 100 105 110 115 120SY-0.03-0.02-0.010.010.020.030.04a=0a=1最佳a80 85 90 95 100 105 110 115 120SY-0.2-0.15-0.1-0.050.10.150.2a=0a=1最佳A图1：针对货币性的测试案例结果：隐含波动率偏斜（Firstrow），隐含c相关性（第二行），差价期权价格比率（第三行）和价格差异（第四行）。左列为测试用例1（ρY=-0.6），右侧共柱为测试用例2（ρY=0.4）。与其他方法相比，图1第2-4行提供了三种可视化我们的最佳罢工惯例（最暗线）在莫内表现的替代方法：（i）通过将差价期权价格转换为隐含相关性ρ，以便与ρ=0.5的模型相关性进行比较，回顾备注1；（ii）通过绘制保证金价格与实际价格的比率；（iii）通过绘制Margrabe和exa c t之间的差异。注意，ATM值（SY=100）在走向惯例中是相等的，因为此时雅尔克灭绝，ρ≈ ^ρ.

然而，离开ATMpoint（SY=100），我们可以清楚地看到表现明显优于其他竞争者。在测试案例1（左列）中，我们看到，当SY<SX（in the money，或ITM，Case）时，a=0显著高估了扩展选项n（ρ<ρ），而当SY>SX（out of the money，或OTM，Case）时，a=1则相反。因此，一个相当武断的中点a=1/2可能会在其他规则之间起到协调作用，但考虑到= 在这种情况下，0.429是最佳值。相反，在测试用例2（右列）上= 1.917是最优的，因此，其他罢工惯例都会对ITM定价过高，而对OTM定价过低，有时甚至过高。我们的方法在不同的SYvalues中，将情况1的绝对误差保持在0.01以下，情况2的绝对误差保持在0.03以下。在不同的资金水平上对期权进行一致的定价是一个主要优势。在实践中，市场上不同价差期权的指示性报价可能因此更准确地用于为另一份合同定价。尽管主要是歪斜，但图1中的隐含相关图显示，在第一个测试案例中，市场上有时会出现轻微的“皱眉”。理想情况下，我们希望观察^ρ=0.5处的流线，因为理论规定应在足够短的T和接近货币的情况下进行冷却，但我们的结果并不重要。请注意，当查看第三排地块中的相对定价错误时，错误在OTM期权中占主导地位，这并不奇怪，因为OTM期权的内在价值总是为零，价格比ITM低得多。

更有趣的是，请注意下面绝对误差情况下的模式，特别是deepITM和OTM选项显示的定价误差小于适度ITM和OTM。这种影响可以通过以下事实来解释：准确定价的外部价值较少（取决于模型）。5.2广泛的数值研究现在，我们不再考虑上述参数集的个别情况，而是在广泛的不同参数值和特别是相关结构上测试该方法。我们使用以下参数范围：oT∈ [0.05、0.1、0.25、0.5、1]oSX=100，SY∈ [80，84，…，100，…，116，12 0]oλX=1，λY=1.24（注：不同λs的测试执行类似）o赫斯顿参数（如前所述）：κ=1.5，θ=0.15，ν=0.5，σ=0.15oρ∈ [-0.9, -0.7, -0.5, -0 .3.-0.1、0.1、0.3、0.5、0.7、0.9]oρX∈ [-0.72, -0.42, -0.12、0.18、0.48]oρY∈ [-0.61, -0.31, -0.01、0.29、0.59]。前两个对应于图1中的价格比和价格差异图，而最后一个是评估方法的目标，即对货币进行统一定价，或者换句话说，影响我们将观察到的隐含相关性偏斜或皱眉。表1显示了在ρ、T和当然a的不同选择下，平均SY、ρx和ρYgrids的MAE（在模拟价格和边际价格之间）。我们这里只显示了一半的ρ值作为合理样本。在计算平均误差时，我们首先排除没有n有效（非正定义）相关矩阵的参数集。

这是c asesoveral的19.6%，ρ=±0.9的最极端值约占一半。我们还排除了极少数蒙特卡罗价格低于1美分的OTM案例。而表的第1列到第3列比较了a=0和a=1的交替罢工惯例与我们的最佳a, 最后一列指出，由于| a的值太大，有时特别避免使用舍入数（和零）| 他们可以在（22）中生产。考虑到数据拟合很少产生整数，这并非不合理！因此，表中的每个数字的平均值为11×5×5=275个案例（网格点）。ρa=0 a=1 a有界aATM错误-0.7 0.0646 0.053 0.0069 0.0069 0.0036-0.3 0.0591 0.0241 0.0066 0.0066 0.00480.1 0.0567 0.0064 0.0107 0.01 0.0050.5 0.0408 0.0189 0.0193 0.0117 0.00390.9 0.0147 0.0121 0.005 0.0052 0.0018-0.7 0.1108 0.0838 0.0117 0.0117 0.01 17 0.01-0.3 0.1064 0.0395 0.0132 0.0132 0.0120.1 0.1093 0.0159 0.0217 0.0203 0.01210.5 0.091 0.0439 0.0426 0.0277 0.01 020.9 0.0369 0.0304 0.0126 0.0138 0.004-0.7 0.19430.1413 0.039 0.039 0.0426-0.3 0.1932 0.0787 0.0465 0.0465 0.04870.1 0.2074 0.0497 0.0561 0.0536 0.04410.5 0.1933 0.1004 0.095 0.0681 0.03450.9 0.1145 0.0948 0.0434 0.0465 0.0181-0.7 0.3634 0.3097 0.2243 0.2252-0.3 0.3976 0.2855 0.2632 0.2632 0.27240.1 0.4134 0.2436 0.2519 0.2488 0.23980.5 0.3898 0.2575 0.2464 0.2195 0.18560.9 0.3246 0.2735 0.1471 0.156 0.102表1：走向比较通过在ρX、ρYand和SYgrids上平均的平均绝对误差（MAE）的约定，改变ρ和T，如左图所示。显示“at the money（at M）error”，表示仅在SY=SX=100的情况下平均的错误。回想一下图1，ATM价格在所有罢工协议中都是一致的（对于任何a），因为它们都崩溃到kX，kY的相同价格上。

如第2节所述，ATM错误为零→ 0，但从T开始这里就不是零≥ 0.05. 从某种意义上讲，ATM错误是我们在对所有MON-Neynes值进行平均时，希望达到的最佳打击约定。如表1所示，最佳的在绝大多数情况下，outp执行其他罢工约定，与a=0或a=1相比，MAE通常减少50%以上，并且c可能更接近ATM错误。有趣的是，a=1比a=0更具竞争力，似乎略优于a当ρ接近零时，作为约定。然而，考虑到在这种情况下，通常接近1，与之前标记11中的第一个特殊情况一致。此外，性能最差的情况通常可归因于, 因为他们暗示了来自深度ITM或OTM普通期权的隐含波动性，特别是当SX公司- SY公司不小。这当然在现实世界中也是不切实际的。作为一种可能的改进，在表的最后一列中，我们显示了在限定在范围内[-1, 2]. 极值这种情况在ρ为正且相当高的情况下更为常见。例如，这里ρ=0.5时，a碰巧在一些网格点达到了7.6，低至-3.7。因此，当在中[-1，2]不会影响所有行，因为ρ=0.5会缩小ATM错误率约为50%。需要对数据进行测试，以便更好地评估这一点的影响，但我们将此留作进一步研究。T=0.05 T=0.1 T=0.25 T=0.5 T=1期权到期日0.51.52.53.54.5a=0a=1最佳a*有界a*排除a*ATM错误图2：不同T（包括。