交换期权定价中执行约定的最优选择

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英文标题：
《On the optimal choice of strike conventions in exchange option pricing》
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作者：
Elisa Al\\`os and Michael Coulon
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  An important but rarely-addressed option pricing question is how to choose appropriate strikes for implied volatility inputs when pricing more exotic multi-asset derivatives. By means of Malliavin Calculus we construct an optimal log-linear strikevconvention for exchange options under stochastic volatility models. This novel approach allows us to minimize the difference between the corresponding Margrabe computed price and the true option price. We show that this optimal convention does not depend on the specific stochastic volatility model chosen. Numerical examples are given which provide strong support to the new methodology.
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中文摘要：
一个重要但很少涉及的期权定价问题是，在为更奇异的多资产衍生品定价时，如何为隐含波动率输入选择适当的冲击。利用Malliavin演算，我们构造了随机波动率模型下交换期权的最优对数线性罢工约定。这种新颖的方法使我们能够最小化相应的Margrabe计算价格与真实期权价格之间的差异。我们证明了这种最优约定不依赖于所选的特定随机波动率模型。给出了数值算例，为新方法提供了有力的支持。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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关键词：期权定价中 最优选择 期权定价 Quantitative Mathematical

论期权定价中罢工惯例的最优选择*Dpt。Pompeu Fabraand Barcelona GSEc/Ramon Trias Fargas，25-2708005 Barcelona，西班牙邮政：elisa。alos@upf.eduMichael英国苏塞克斯布莱顿大学商业与管理系，邮编：BN1 9SL，邮箱：m。coulon@sussex.ac.ukJuly2018年1月18日摘要一个重要但很少涉及的期权定价问题是，在为更奇异的多资产衍生品定价时，如何为隐含波动率输入选择适当的打击。利用Malliavin演算，我们构造了股票期权波动率模型下的最优对数线性罢工约定。这种新颖的方法允许我们将相应的保证金计算价格与真实期权价格之间的差异降至最低。我们表明，这种最优约定不依赖于所选的特定随机波动率模型。给出了数值算例，为新方法提供了有力的支持。*由GENTS ECO2014-59885-P和MTM2013-40782-PKeywords支持：交换期权、Margrabe公式、Ma lliavin演算。AMS主题分类：91G99、60H071简介价差期权在许多金融市场中被视为重要合同，并已被从业者和学术研究人员广泛研究。特别是，尽管商品差价期权也在其他市场交易，但由于其与电厂、能源、储存设施或管道等实物资产类似，因此商品差价期权与实物市场以及生产者和消费者的对冲或估价需求密切相关。

这些资产都具有期权性质，运营决策和相应的支付主要取决于两种商品现货或远期价格之间的价差。虽然各种不同的考虑因素会影响不同的价差期权类型（从日历价差到区位价差，再到像crack或spark这样的输入/输出价差），但主要的衍生品定价挑战仍然是一样的。特别是，基础价格常用的对数正态假设（如几何布朗运动模型）和简化的封闭式定价公式，即Margrabe公式（见Margrabe（1978）），给出了“交换期权”支付（SX- SYt）+。在随机波动率模型的背景下，我们并没有相应期权价格的显式闭式表达式。例如，Demspter和Hong（2000年）、Antonelli、Ramponi和Scarlati（2009年）、Borovkova、Permana和van der Weide（2007年）、Al\'os和Le\'on（2016年）或Al\'osand Rheinl¨ander（2016年））中可以找到一些近似值。所有这些方法都需要事先校准相应的模型参数。在某些情况下，价格只能通过模拟或其他数值方法确定。计算时间对于实物资产估值或套期保值来说尤其重要，因此需要多年甚至几十年的连续或每日价差期权。对于此类原因，Margrabe公式经常被用于有用且快速的基准近似值，以分摊期权价格。尽管此类工具非常重要，但对于如何为Margrabe公式选择一对适当的常数波动率输入σx和σy这一关键问题，关注相对较少，理想情况下，保持与市场数据和建模偏好的一致性。

一个自然的起点是spr e ad的两个分支的隐含波动性，通常可以从流动性更高的单一资产的普通信用证或认沽权证中观察到。然而，在大多数市场中都存在显著的隐含效用偏差或微笑（以及期限结构），这意味着σx和σ都有许多可能的选择，并且没有明显的规则来确定哪一对是最合适的。事实上，也没有标准尺度来衡量所谓的“罢工公约”规则在这种情况下是最好的。InSwindle（2014）强调并讨论了这一重要问题，以及一些数字示例，这些示例表明，与简单跳跃扩散模式l中的蒙特卡罗值相比，通用行业解决方案（称为“波动率查找启发式”）可能会导致显着的定价差异，为了回答这个关键问题，我们制定了一个最佳短期s trike约定的新理论，定义为隐含波动率的选择，以使由此产生的估计期权价格（从Margrabe公式中获得）与真实期权价格尽可能接近。这与相应的隐含相关性（从Margrabe公式中提取）与模型相关性ρ匹配的选择是等效的。

值得注意的是，Swindle（2014）和Alexander and Venkatramanan（2011）都评论了罢工惯例的选择如何影响在不同货币利差选项中观察到的隐含相关性偏斜、微笑或皱眉。由于标的资产的收益率相关性显然与合同货币性无关，Swindle（2014）将其描述为“纯粹是偏差与Margrabe公式相互作用的产物”，解释为“由于查找启发式，偏差风险可以表现为虚假的相关风险”。为了研究此类影响并推荐一致的spr e ad期权定价的履约约定，我们依赖Malliavin演算工具，在随机波动率模型的背景下，推导出隐含波动率对货币敏感性的短期限制。据我们所知，我们提出的最佳打击约定是解决该问题的最系统的方法。此外，它是独立于模型的，因为它只取决于货币隐含的波动性水平和相应的普通期权的偏差。因此，它可以作为一种非常有用和实用的“金融工程”工具，提高金融行业内期权定价的准确性。本文的组织结构如下。第2节专门介绍主要问题和符号。在第3节中，我们利用Malliavin CalculustTechnologies推导出了我们的罢工协议的方程式。在第4节中，我们明确地确定了对数线性删除约定类中的这个最优约定。第5节提供了一系列数值示例和测试，以调查pape r中提出的理论及其在实践中的意义。2为了简单起见，目标、价格模型和符号假设利率r=0。

考虑两个资产随机波动率模型，在ris k-中性概率P下，形式为dsxtsxt=σXtdWXtdSYtSYt=σYtdWYt，（1）。WX，WYare-Br-ownian运动和σXt，σy是非负的、右连续的和平方可积的过程，适用于另一个布朗运动Z生成的过滤。我们将使用符号WXt，Z= ρX，WYt，Z= ρY，WXt，WYt= ρ.It^o表示定理告诉我们，对于任何固定的sσ=Eσ为+Zsai（s，u）dZu，i=X，Y。对于一些平方可积过程，ai（s，·）适用于Z生成的过滤。现在我们描述本文中使用的一些基本符号。为此，我们假设读者对Malliavincalculus的基本结果非常熟悉，如Nualar t（2006）中所述。集合D1,2z表示导数算子D相对于布朗运动Z的域。众所周知，D1,2zi是一个稠密的子集L(Ohm) D是一个闭的无界算子fr om L(Ohm) intoL（[0，T]×Ohm). 我们还将考虑n>1的迭代导数Dn，其域将由Dn，2Z表示。

我们还将使用符号ln，2：=L（[0，T]；Dn，2Z）。我们注意到，如果σ∈ L1,2Clark-Ocone公式给出了ai（s，u）=EuDu（σis）, i=X，Y。然后，在适当的可积性条件下，Malliavin导数算子的change规则（参见Nualart（2006））给出了ai（s，u）=2EuσisDuσis, i=X，Y。我们还将使用以下符号：oBS（t，X，k，σ）表示具有成熟时间t的经典Black-Scholes看涨期权价格- t、 对数股价x、对数履约价格k和波动率σ磅=t+σxx号- x个表示经典的Black-Scholes算子。注意，（LBSBS）（t，x，k，σ）=0Xt：=对数SXt，Yt：=对数SYt.oVt=Et（SXT- SYT）+是模型（1）下的交换期权价格对于每0<t<t和x，k>0，IX（t，x，z）是带payoff（SXT）的期权的隐含波动率- exp（z））+且Xt=x。也就是说，BS（t，x，k，IX（t，x，z））=Et（SXT- exp（z））+。类似地，IY（t，y，z）是一个有支付的期权的隐含波动率SYT公司- exp（z）+当Yt=y.o<<vt：=rT时-t型RTt￠σsdso Mit：=EtRT（σis）ds，i=X，Y.oσt：=p（σXt）+（σYt）- 2ρσXσYo~Mt：=EtRT（￠σs）ds为了简单起见，我们将取t=0，并表示IX（X，z）=IX（0，X，z）和IY（Y，z）=IY（0，Y，z）。此外，我们表示x=x和y=y。众所周知，在Black-Scholes模型下，σXt=σx和σYt=σy，对于所有t∈ [0，T]和一些正常数σx和σY。在这种情况下，期权价格vc可以通过Margra-be公式进行解析计算。更准确地说，在这种情况下，价格是由BS给出的0，x，y，qσx+σy- 2ρσXσY（2） 在一般随机波动率情况下，该期权价格没有分析公式。一种常见的策略是用Vanilla隐含挥发度IX（x，kX）和IY（y，kY）代替σx和σyb，以代替一些测井走向kX，kY。

但请注意，由于这些隐含的波动率并不是作为打击的函数而恒定的，因此相应的价格估计为0，x，y，qIX（x，kX）+IY（y，kY）- 2ρIX（x，kX）IY（y，kY）（3） 将很大程度上取决于对原木trikes Kx和kY的选择。尽管这个问题相关，但目前没有选择Kx和kY的标准规则（参见示例Swindle（2014））。我们在本文中的目的是制定一个标准规则，允许我们以这样的方式选择这些三重奏，即近似值（3）将尽可能接近一系列货币情况下的真实期权价格。更准确地说，我们希望找到使差异| V最小化的pairkX：=kX（x，y）和kY：=kY（x，y）- BS（0，x，y，γ（x，y））；，（4）表示短期，表示货币（x≈ y） 选项，其中γ（x，y）：=qIX（x，kX）+IY（y，kY）- 2ρIX（x，kX）IY（y，kY）。（5） 请注意，如果我们将^γ（x，y）定义为V=BS（0，x，y，^γ（x，y））的量，（6）最小化（4），则有必要最小化^γ（x，y）- γ（x，y）。备注1注意，也有必要将数量ρ最小化- ^ρ，其中^ρ表示隐含相关性，由等式^γ（x，y）定义：=qIX（x，kX）+IY（y，kY）- 2^ρIX（x，kX）IY（y，kY）。在下一节中，我们将开发一种方法来选择这对（kX，kY）。由于γ和^γ没有明确的表达式，所以我们的主要想法是近似这两个量，并找到使这些近似相等的一对（kX，kY）。为此，我们将考虑函数γ（x，·）泰勒展开的短期极限- γ（x，·）。这促使人们对任何秩序的罢工惯例进行以下定义。定义2假设模型（1）。

我们会说一对（k，k）∈ L（R；R）是n阶（a n-STOSC）iflimT的短时最优打击约定→0iγiy（x，x）=极限→0^γiiy（x，x），（7）对于任何i=0。。。，n、 其中γ和^γ的定义分别如5和6所示。备注3注意，随着n的增加，预计s短期内和货币期权附近的^γ将更接近γ（且^ρ更接近ρ）。3最优罢工惯例的构建将利用以下假设。（H1）对于ny x∈ R、 kX（x，x）=kY（x，x）=x.（H2）σ∈ L2,4。（H3）存在两个正常数a和b，对于任何t∈ [0，T]，a<σT<b.（H4）假设（H2）成立，并且存在一个正常数C>0，因此，对于任何0<r<s<T，ErDr（σis）≤ C、 i=X，Y.（H5）假设（H2）和（H4）成立，对于任何t∈ [0，T]，存在常数D+σ，如T→ 0，supr，s∈[0，T]Et | Dsσir- D+σi |→ 0，i=X，Y。我们注意到，为了简单起见，我们选择（H3）和（H4），但这些假设可以用适当的可积性条件代替。另一方面，（H2）和（H5）被经典随机波动率模型所满足，其中波动率被假设为一个分离过程（例如，赫斯顿案例见Al\'osand Ewald（2008））。对于H<的分数波动率模型（例如，见Al\'os、Le\'on和Vives（2007）、Fukasawa（2011）或Bayer、Friz和Gatheral（201 6）），（H5）不是sa tis FIE d。将我们的结果与这些模型相适应将留待未来研究。我们的第一个结果表明，所有满足假设（H1）-（H5）的罢工惯例都是0-STOSCs。命题4考虑模型（1），并假设（kX，kY）是一个s trikeconvention，假设（H1）-（H5）成立。那么（kX，kY）是0-STOSC。证据必须看到这一限制→0γ（x，x）=极限→0^γ（x，x）。

此证明将分解为两个步骤。第一步，让我们证明Limt→0γ（x，x）=σ（8）众所周知（例如，见Durrle man（200 8）），货币中的香草意味着波动率IX，Iy趋向于相应的即期波动率。就是limT→0Ii（x，x）- Eσi= 0，i=X，Y。现在，考虑到account（H1）和σX和σ是正确的连续过程这一事实，它遵循这一限制→0Ii（x，ki）=σi，i=x，Y，其中ki=ki（x，x）。现在，作为γ（x，y）：=qIX（x，kX）+IY（y，kY）- 2ρIX（x，kX）IY（y，kY），（8）如下。第二步让我们看看限制→0^γ（x，x）=σ。（9） 根据其定义，我们有^γ（x，x）=BS-1（0，x，y，V），其中BS-1是Black-Scholes函数的逆函数，即v=BS（0，x，y，BS-1（0，x，y，V））。然后，Al\'os和L e\'on（2016）中的定理5给出了v=e（BS（0，x，x，v））+o（1），这意味着^γ（x，x）=BS-1（E（BS（0，x，x，~v））+o（1））。（10） 此外，鞅表示定理给出了e（BS（0，x，x，x，v））=BS（0，x，x，v）+ZTA（T，s）dZs，对于一些自适应的平方可积过程A（T，·）。这与（10）一起给了我们thatlimT→0^γ（x，x）=极限→0BS-10，x，x，BS（0，x，x，~v）+ZTA（T，s）dZs+o（1）！！=限制→0BS-1（0，x，x，（BS（0，x，x，v））=极限→0▄v=▄σ，（11）这使我们能够完成证明。为了确定1-STOC的罢工惯例，我们需要以下结果（见Al\'os、Le\'on和Vives（200 7））。定理5考虑模型（1），并假设假设假设（H1）-（H5）成立。那么，对于i=X，Y，limT→0二z=ρiD+σit2σit=4σlimT→0hlog Si，MiiT- hlog Si，MiiTProof。Al\'os，Le\'on and Vives（2007）中的定理6.3给出了二y=-ρiD+σi2σi。对于i=X，Y。现在，作为二z=-二z、 第一个等式如下。