保险公司的最优信贷投资与风险控制

在这个市场模型中，从（3）可以看出，股票的违约前价格由dS（t）S（t）={u（Y（t））+h（Y（t），Z（t））}dt+Pj=1σ1j（Y（t））dWj（t）；dS（t）S（t）={u（Y（t））+h（Y（t），Z（t））}dt+Pj=1σ2j（Y（t））dWj（t），其中Z：=（Z，Z）∈ S={0，1}是股票的二维默认状态过程，W是二维布朗运动（即d=2）。区域切换过程Y是一个状态空间为{1，2}（即m=2）的连续时间（保守）马尔可夫链。风险控制中每个保单的索赔（风险）由DC（t）=c（Y（t））dt+Xj=1φj（Y（t））dWj（t）+φ（Y（t））d'W（t）+X（i，z）给出∈{1,2}×{0,1}g（Y（t-))1年（t-)=i、 Z（t-)=zdNi，z（t）。这里，W是标量布朗运动（即，d=1），Ni，zfor（i，z）∈ {1，2}×{0，1}是具有各自强度νz（i）：=ν（i，z）的独立泊松过程。在本节中，我们使用表1中给出的以下基准参数。特别地，我们使用符号hzk：=（hk（1，z），hk（2，z））来表示默认状态z下第k个股票的默认强度向量∈ {0, 1}. 此外我们将风险规避参数设置为u（1）u（2）r（1）r（2）p（1）p（2）c（1）c（2）（1，0.55）（1.4，0.8）0.1 0.06 0.8 0.5 0.1 0.05’’φ（1）φ（2）g（1）g（2）h（1,0）h（0,1）h（0,0）0.3 0.6 0.1（0.9，1.3）（0.7，1）（0.5，0.3.75）（0.75，1.1）φ（1）φ（2）ν（0,0）（1）ν（0,0）（2）ν（1,0）（1）ν（1,0）（2）ν（0,1）（1）ν（0,1）（2）（0.4，0.8）（0.7，1.2）2 3 2.5 4 2.3 3 3.7ν（1,1）（1）ν（1,1）（2）2.6表1：市场参数值γ=0.5。马尔可夫链Y的生成元和股票的波动矩阵分别由Q=Q=”-0.5 0.51 -1#, σ(1) =\"0.7 00 1#, σ(2) =\"1 00 1.5#.我们首先进行比较静态分析，以检查违约风险溢价如何影响保险公司的最优股票策略和风险控制。

图1显示了当股票违约强度发生变化时，在不同时间给定制度下股票和风险控制的最优策略。首先考虑库存1处于活动状态而库存2处于默认状态的情况（即，它对应于默认状态z=（0，1））。图1左上角的图表表明，随着制度2中股票1的违约强度变得更高，即h（0,1）（2）增加，保险人减少了他/她对可违约股票1的投资。回想一下，对于固定的制度i∈ {1，2}，νz（i）表示默认状态z下风险控制中每个保单的索赔（风险）跳跃强度∈ {0, 1}. 在基准参数配置下，我们有ν（1,1）（2）>ν（0,1）（2）和ν（1,1）（1）>ν（1,0）（1）。这意味着违约事件可能导致在固定时间段内发生的预期索赔数量增加。换句话说，当股票的默认强度增加时，1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2h（0,1）1（2）0.60.650.70.750.80.85π*（0,1）1（t）t=0.3t=0.5t=0.7t=0.91 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2h（0,1）1（2）0.250.260.270.280.290.30.310.32l*（0,1）（t）t=0.3t=0.5t=0.7t=0.90.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1 1.2h（1,0）2（1）0.50.550.60.650.70.750.80.850.90.95π*（1,0）2（t）t=0.3t=0.5t=0.7t=0.90.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1 1.2h（1,0）2（1）0.80.850.90.9511.051.11.15l*（1,0）（t）t=0.3t=0.5t=0.7t=0.9图1：阿吉文制度下股票和风险控制的最优策略对违约强度的依赖性。顶部面板：库存1的最优策略和风险控制对制度2中库存1的违约强度的依赖性。默认状态z=（0，1）。

底部面板：制度1中股票2的最优策略和风险控制对股票2违约强度的依赖性。默认状态z=（1，0）。不仅是可违约的股票，债务也变得更具风险。图1右上角的图表显示，随着股票1违约强度的增加，考虑到股票和负债的较高风险，保险人将减少其对股票的投资，同时将更多负债分给再保险人。如果库存1已违约，库存2的违约强度将增加（即，它对应于默认状态z=（1，0）），则图1的底部图表也证实了这条推理路线。接下来，我们将举例说明市场波动如何影响股票和风险控制的最优投资策略。图2绘制了在股票波动性变化的不同时间，制度1中股票和风险控制的最优策略。此处考虑的默认状态是z=（0，1）和（1，0）。图2左面板和右面板之间的比较表明，保险人减少了他/她的股票投资，并分配了0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.740.760.780.80.820.840.86σ11（1）π*（0,1）1（t）t=0.3t=0.5t=0.7t=0.90.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10.640.660.680.70.720.740.760.780.80.820.84σ11（1）l*（0,1）（t）t=0.3t=0.5t=0.7t=0.90.8 0.9 1 1.1 1.2 1.30.580.590.60.610.620.630.64σ22（1）π*（1,0）2（t）t=0.3t=0.5t=0.7t=0.90.8 0.9 1 1 1.1 1 1.2 1.30.750.80.850.90.9511.051.1σ22（1）l*（1,0）（t）t=0.3t=0.5t=0.7t=0.9图2：制度1中股票最佳策略和风险控制对不同时间股票波动性的依赖性。当股票波动性增加时，财富占负债的比例更大。

发生这种情况的原因是，较高的波动率会促使保险人减少其对违约股票的投资，并增加分配给负债的财富比例。这也可以从图2的右面板中确认。研究还表明，负债最优策略对股票波动性的变化比对时间的变化更敏感。因此，上述比较表明，负债的最佳策略对风险变化的敏感性高于对时间变化的敏感性。最后，我们分别评估了违约传染对股票最优投资策略和价值函数的影响。特别地，我们解释了如何解开0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5h（0,0）2（1）0.870.880.890.90.910.920.93π*（0,0）1（t）t=0.3t=0.5t=0.7t=0.90.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5h（0,0）2（1）0.30.40.50.60.70.80.9π*（0,0）2（t）t=0.3t=0.5t=0.7t=0.9图3：两种股票的最优策略对制度1中股票2的默认强度h（0,0）（1）的依赖性。当前默认状态z=（0，0），即两个股票都处于活动状态。左面板：库存1的最优策略对制度1中库存2的默认强度h（0,0）（1）的依赖性；右图：制度1.0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.6 1.8 2h（0,0）1（2）0.650.70.750.8π中股票2的默认强度h（0,0）（1）对股票2的最佳策略的依赖性*（0,0）2（t）t=0.3t=0.5t=0.7t=0.90.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2h（0,0）1（2）0.650.70.750.80.850.90.951π*（0,0）1（t）t=0.3t=0.5t=0.7t=0.9图4：两种股票的最优策略对制度2中股票1的默认强度h（0,0）（2）的依赖性。当前默认状态z=（0，0），即两个股票都是活跃的。

左面板：区域2中Stock2的最优策略与区域2中stock1的默认强度h（0,0）（2）的依赖关系；右面板：制度2中股票1的最优策略与制度2中股票1的违约强度h（0,0）（2）的依赖关系。违约强度增加的直接和间接（传染）影响。图3和图4说明了违约传染如何影响股票的投资策略。他们指出，当一只股票的违约强度增加时，保险人倾向于在两只股票都活着的情况下减少他/她对这两只股票的投资。这一事实反映了该模型中违约的传染性：当一项资产的违约概率较高时，违约的传染性也会使投资者减少对另一项资产的投资。0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.035-0.03-0.025-0.02-0.015-0.01-0.0050tД（0,0）（t，1）- Д（0,0）（t，2）Q=Q0Q=2Q0Q=3Q0Q=4Q00 0.2 0.4 0.6 0.8 100.010.020.030.040.050.06tД（1,0）（t，1）- ν（1,0）（t，2）Q=Q0Q=2Q0Q=3Q0Q=4Q00 0.20.40.6 0.8 1-0.018-0.016-0.014-0.012-0.01-0.008-0.006-0.004-0.0020tД（0,1）（t，1）- Д（0,1）（t，2）Q=Q0Q=2Q0Q=3Q0Q=4Q00 0.2 0.4 0.6 0.8 100.0050.010.0150.020.0250.030.0350.04tД（1,1）（t，1）- ^1（1,1）（t，2）Q=Q0Q=2Q0Q=3Q0Q=4q0图5：在不同的默认状态z=（0，0），（1，0），（0，1）和（0，0）下，给定Markovchain Y的不同生成器的两个状态之间的值函数的差异。如图3左面板所示，当股票2的违约传染增加时，保险公司会减少分配给股票1的财富比例。这是因为在股票2违约时，股票1的违约强度将瞬间增加（违约强度从h（0,0）=（0.5，0.75）向h（0,1）=（0.7，1）大幅跃升），从而导致股票1的违约风险增加。

因此，厌恶风险的保险公司会将一小部分财富分配给这只股票。请注意，在股票1的默认情况下，股票2的默认强度将立即增加，因为默认强度从h（0,0）=（0.75，1.1）向上跳跃到h（1,0）=（0.9，1.3）。图4的右侧面板证实了股票2的类似趋势，然而，股票2的间接传染效应更加明显。默认强度的直接影响如图3的左面板所示（分别如图4的右面板所示）。对于股票1（分别为股票2）的固定违约强度，当到期时间减少时，保险人将在股票1（分别为股票2）上投资较少的财富。在这方面，可以注意到，T<T的股票P（τi>T | Gt）的条件生存概率由1τi>tE[e]给出-RTthZ（s）i（Y（s））ds | Gt]。正如预期的那样，该概率相对于违约强度hzi递减，并且对于到期时间较短的情况，在所有其他条件相同的情况下，该概率相对于违约强度的变化率变小（即，在所有其他条件相同的情况下，当t趋于t时，条件生存概率对违约强度不太敏感）。因此，当股票1（分别为股票2）的违约强度增加时，保险公司倾向于减少对股票1（分别为股票2）的投资，以缩短到期时间。此外，随着股票1（分别为股票2）违约强度的增加，保险人将减少其财富分配给股票1（分别为股票2）的比例。焦等人也进行了类似的观察。图5描述了在四种不同的默认状态z=（0，0），（1，0），（0，1）和（1，1）下，两种状态之间的值函数的差异。

图5中的图表证实了生成器Q中元素绝对值的变化如何影响两个区域之间值函数的差异。在每个默认状态下，对于generatorQ中元素的绝对值越大，两种状态之间的值函数差异越小。这是因为Q中元素的绝对值越大，马尔可夫链的状态切换就越频繁。因此，当面对一个制度频繁转换的市场时，保险人更多地依赖于他/她的投资策略，而不是他/她所处的制度。致谢作者感谢一位匿名评论员兼主编Ulrich Horst教授提供的富有建设性和深刻见解的评论，这有助于极大地提高手稿的质量。L.Bo和H.Liao的这项研究得到了中国国家科学基金会11471254资助、前沿科学重点研究项目、中国科学院QYZDB-SSW-SYS009资助和中央大学基础研究基金WK34700008资助。引理4.1证明的技术支持。定义f（x）=x的Bx∈ Rm。根据史密斯（Smith）[19]第3章第1.1条，有必要验证f:Rm→ K型RMI，即任何x、y∈ RMX令人满意≤ y和xi=yi对于某些i=1，m、 然后fi（x）≤ fi（y）。请注意，bij≥ 0对于所有i 6=j。那么，它认为fi（x）=（Bx）i=mXj=1bijxj=biixi+mXj=1，j6=ibijxj=biiyi+mXj=1，j6=ibijxj≤ biiyi+mXj=1，j6=ibijyj=fi（y），（A.1），因此f是K型的。因此，我们完成了引理的证明。引理顶4.2。由（24）给出的溶液Д（t，en）的表达式是显而易见的。注意em 0和qij≥ 0表示所有i 6=j，因为Q=（qij）m×mis是马尔可夫链的生成器。

然后，为了证明Д（t，en） 0表示所有t∈ [0，T]，使用引理4.1，可以验证[A（n）]ij≥ 0表示所有i 6=j，然而，[A（n）]ij=qij表示所有i 6=j，使用（21）。因此，我们验证了引理4.1中给出的条件，从而验证了Д（t，en） 0表示所有t∈ [0，T]。引理顶4.3。必须证明，对于任何x，y∈ rm满足x，y≥ εe>m当ε>0时，存在一个常数C=C（ε）>0，取决于ε>0，仅使得| G（k）i（t，x）- G（k）i（t，y）|≤ Ckx公司- 对于每个i=1，…，yk，m、 由于σ（i）σ（i）>也是正定义，因此σ（k）（i）σ（k）（i）>是正定义。因此，存在一个常数δ>0，使得（π（k））>σ（k）（i）σ（k）（i）>π（k）≥ δkπ（k）k.那么，对于任何（π（k），l）∈ U（k），存在一个正常数C>0，使得γ（γ- 1） n（π（k））>σ（k）（i）σ（k）（i）>π（k）+lφ（i）φ（i）>+’φ（i）’φ（i）>- 2l（π（k））>σ（k）（i）φ（i）o=γ（γ- 1） nl'φ（i）'φ（i）>+kσ（k）（i）>π（k）- lφ（i）ko≤γ(γ - 1)αl’’φ（i）’φ（i）>+（1- α） kσ（k）（i）>π（k）k- (1 - α） klφ（i）k=γ(γ - 1)l（α′φ（i）’φ（i）>- (1 - α） kφ（i）k）+（1- α） kσ（k）（i）>π（k）k≤ -C（kπ（k）k+l），（A.2）其中常数α∈ （最大值=1，…，mkφ（i）k′φ（i）’φ（i）>+kφ（i）k, 1). 另一方面，对于任何（π（k），l）∈ U（k），它认为γ（π（k））>θ（k）（i）+（p（k）（i）- c（i））l≤ γkθ（k）（i）kkπ（k）k+γ| p（k）（i）- c（i）| l≤ Cqkπ（k）k+l，（A.3），其中常数C：=maxi=1，。。。，m级γpkθ（k）（i）k+| p（k）（i）- c（一）|> 最后，对于任何（π（k），l）∈ U（k），我们有{（1- lg（i））γ- 1} ν（k）（i）≤ Cl，其中常数C：=maxi=1，。。。，m{γg（i）ν（k）（i）}>0。然后，根据（29），可以得出，对于任何（π（k），l）∈ U（k）和i=1，m、 H（k）（（π（k），l），i）≤ -Ckπ（k）k+l+ Cqkπ（k）k+l.（A.4）这里C=C+C。这产生了一个常数C>0，当（π（k），l）∈ U（k）和kπ（k）k+l>C，对于所有i=1，…，我们有H（k）（（π（k），l），i）<0。

，m，同时，对于x≥ εe>m，ε>0，Xj/∈{j，…，jk}（1- π（k）j）γh（k）j（i）Д（l+1），j（t，i）+h（k）（（π（k，l），i）xi≤1+kπ（k）kγXj/∈{j，…，jk}h（k）j（i）Д（l+1），j（t，i）+εh（k）（（π（k），l），i）≤ C1+kπ（k）kγXj公司/∈{j，…，jk}h（k）j（i）+ε-C（kπ（k）k+l）+Cqkπ（k）k+l≤ -εCkπ（k）k+l+ εCqkπ（k）k+l+Cqkπ（k）k+lγ+C，（A.5）对于某些常数C，C，C>0。请注意，我们使用了递归假设，即HJB系统（18）允许正唯一（经典）解ν（k+1），t上的j（t）∈ [0，T]forj/∈ {j，…，jk}。那么φ（k+1），j（t）在[0，t]上是连续的，因此φ（k+1），j（t）在[0，t]上是有界的。根据估算（A.5），可以得出，对于任何x≥ εe>m，存在正常数C=C（ε），当（π（k），l）∈ U（k），kπ（k）k+l>坎德x≥ εe>m，对于每个i=1，m、 Xj公司/∈{j，…，jk}（1- π（k）j）γh（k）j（i）Д（l+1），j（t，i）+h（k）（（π（k，l），i）xi xi<0。（A.6）另一方面，对于i=1，m、 它认为g（k）i（t，x）=sup（π（k），l）∈U（k）Xj公司/∈{j，…，jk}（1- π（k）j）γh（k）j（i）Д（k+1），j（t，i）+h（k）（（π（k，l），i）xi≥Xj公司/∈{j，…，jk}h（k）j（i）Д（k+1），j（t，i）+h（k）（（0e>n-k、 0），i）xi=Xj/∈{j，…，jk}h（k）j（i）Д（k+1），j（t，i）>0。（A.7）因此，使用估计值（A.6），我们得到，对于所有x≥ εe>m，G（k）i（t，x）=sup（π（k），l）∈U（k）kπ（k）k+l≤C（ε）Xj公司/∈{j，…，jk}（1- π（k）j）γh（k）j（i）Д（k+1），j（t，i）+h（k）（（π（k，l），i）xi.（A.8）根据（A.8）和（29），对于所有x，y≥ εe>m，G（k）i（t，x）=sup（π（k），l）∈U（k）kπ（k）k+l≤C（ε）（Xj/∈{j，…，jk}（1- π（k）j）γh（k）j（i）Д（k+1），j（t，i）+h（k）（（π（k），l），i）yi+h（k）（（π（k），l），i）（xi）- yi））≤ sup（π（k），l）∈U（k）kπ（k）k+l≤C（ε）（Xj/∈{j，…，jk}（1- π（k）j）γh（k）j（i）Д（k+1），j（t，i）+h（k）（（π（k，l），i）yi+H（k）（（π（k），l），i）|xi- 易|）≤G（k）i（t，y）+xi- yi | sup（π（k），l）∈U（k）kπ（k）k+l≤C（ε）nH（k）（（π（k），l），i）o≤G（k）i（t，y）+C（ε）| xi- yi |，，（A.9），其中C（ε）>0是一个仅取决于ε>0的常数。