保险公司的最优信贷投资与风险控制

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英文标题：
《Optimal Credit Investment and Risk Control for an Insurer with
  Regime-Switching》
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作者：
Lijun Bo, Huafu Liao, Yongjin Wang
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  This paper studies an optimal investment and risk control problem for an insurer with default contagion and regime-switching. The insurer in our model allocates his/her wealth across multi-name defaultable stocks and a riskless bond under regime-switching risk. Default events have an impact on the distress state of the surviving stocks in the portfolio. The aim of the insurer is to maximize the expected utility of the terminal wealth by selecting optimal investment and risk control strategies. We characterize the optimal trading strategy of defaultable stocks and risk control for the insurer. By developing a truncation technique, we analyze the existence and uniqueness of global (classical) solutions to the recursive HJB system. We prove the verification theorem based on the (classical) solutions of the recursive HJB system.
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中文摘要：
研究了具有违约传染和制度变迁的保险公司的最优投资和风险控制问题。在我们的模型中，保险人在制度转换风险下将其财富分配到多个名字的可违约股票和无风险债券。违约事件会影响投资组合中幸存股票的困境状态。保险人的目标是通过选择最优的投资和风险控制策略，使终端财富的预期效用最大化。我们刻画了可违约股票的最优交易策略和保险公司的风险控制。通过发展截断技术，我们分析了递归HJB系统全局（经典）解的存在唯一性。我们证明了基于递归HJB系统（经典）解的验证定理。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Optimal_Credit_Investment_and_Risk_Control_for_an_Insurer_with_Regime-Switching.pdf (636.62 KB)

2022-6-10 07:03:49 上传

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关键词：保险公司 风险控制 Mathematical Quantitative Verification

制度变迁下保险人的最优信用投资与风险控制*廖华富+王永金2018年7月17日摘要本文研究了一类具有违约传染和制度转换的保险人的最优投资和风险控制问题。在我们的模型中，保险人在制度转换风险下，将其财富分配给多个名字的可违约股票和无风险债券。违约事件会影响投资组合中幸存股票的困境状态。保险人的目标是通过选择最优投资和风险控制策略，最大限度地提高终端财富的预期效用。我们刻画了可违约股票的最优交易策略和保险公司的风险控制。通过发展截断技术，我们分析了递归HJB系统全局（经典）解的存在唯一性。我们证明了基于递归HJB系统（经典）解的验证理论。AMS 2000科目分类：3E20、60J20。关键词和短语：最优投资；违约传染；制度转换；递归动力系统。自默顿的开创性工作【15，16】以来，投资组合优化问题一直是大量研究的主题。近年来，混合扩散模型受到了研究人员和从业者的大量关注。特别是，制度转换模型（作为一类混合模型）通常是为了捕捉宏观经济体系转型或宏观调控对市场行为的影响而提出的。

张周研究*电子邮件：lijunbo@ustc.edu.cn，中国科学技术大学数学科学学院，合肥，安徽省，230026；中国科学院吴文村数学重点实验室，合肥，安徽省，230026。+电子邮件：lh FLhf@mail.ustc.edu.cn，中国科学技术大学数学科学学院，安徽合肥，230026，中国电子邮件：yjwang@nankai.edu.cn，南开大学商学院，天津，300071，中国。股票贷款的估值，其中，潜在股票价格使用两状态隐马尔可夫链建模为马尔可夫调制的几何布朗运动。Elliott等人【10】考虑广义马尔可夫调制跳跃扩散模型下的期权定价。Capponi等人[8]获得了由潜在连续时间Markovchain驱动的市场中脆弱未定权益的无套利价格过程的泊松级数表示。除了经典的默顿终端财富效用最大化模型外，近年来越来越多地考虑了不同的港口组合管理随机控制标准。Zhou和Yin[21]研究了连续时间模型中具有制度转换的马科维茨均值-方差投资组合选择。Elliott和Siu【9】研究了当经济主体面临模型不确定性时，马尔可夫调制Black-Scholes市场中的最优投资组合选择问题。Shen和Siu[18]讨论了一个具有多个风险集的隐马尔可夫调制资产价格模型中的消费组合优化问题，在这种情况下，经济主体只能获得有关风险股定价过程的信息。Andruszkiewicz等人。

[1] 考虑一个跳跃-扩散机制转换市场模型下的风险敏感投资问题。本文的目的是考虑一个保险公司投资组合分配和风险控制的分析框架，该框架明确说明了制度转换和信用风险之间的相互作用。在实证研究中，这两种风险源被确定为紧密相关的，例如，坎贝尔和塔克斯勒【6】。对于定价，Carr和Linetsky【5】、Carr和Wu【4】提出了考虑违约强度对资产波动性依赖性的模型，Mendoza Arriaga和Linetsky【14】将其扩展到了多名称上下文。我们提出了一个模型，在该模型中，转换机制，捕捉基础信贷市场的状态或模式，驱动风险资产价格过程的波动性和违约风险。此外，保险人负债控制的总风险由投资组合的转换机制和信用状态驱动。Zou和Cadenilas[22]考虑了一个单一无违约资产的最优投资和风险控制问题。Zou和Cadenilas[23]对多重无违约资产和制度转换的情况进行了扩展。最近，彭和王[17]研究了对保险业务有一定内幕信息的保险公司的最优投资策略和风险控制。Bo和Wang[3]关注的是随机差异因素下保险人的最优投资和风险控制问题。我们将制度转换和违约传染风险之间的相互作用纳入风险控制模型。与无违约情况不同，违约事件对投资组合中幸存股票的困境状态有影响。由于违约可能按顺序发生，存续名称的违约强度受到投资组合中其他股票违约事件的影响。

因此，就投资组合的违约状态而言，与随机控制问题相关的HJB系统是递归的。递归的深度等于投资组合中的股票数量。我们使用向后递归分析了HJB方程和股票最优策略所满足的约束方程。递归过程从所有股票都处于默认状态开始，然后回归到所有股票都处于活动状态。由于我们的控制问题的策略空间不是紧的，因此分析这个耦合系统的解的主要困难在于系统的一般默认状态和非Lipschitz非线性。Andruszkiewicz等[1]在一个紧凑的政策空间下，在有限的因子模型中处理风险敏感的投资问题。通过验证全局Lipschitz连续系数，可以建立RHJB方程解的存在性和唯一性。本文证明，仅当对应于解的变量不接近零时，耦合系统的非线性才是Lipschitz连续的（见引理4.3）。这建议开发一种截断技术，使系统中的截断非线性是全局Lipschitz连续的，并考虑截断递归耦合系统的近似。为此，我们建立了两个耦合单调动力系统的关键比较结果（见引理4.4）。关于单调动力系统的定义，请读者参考Smith[19]。为了构造近似截断系统的极限，我们证明近似系统允许一致（严格正）下界，然后可以验证该极限是递归HJB系统的唯一全局解（见定理4.5）。论文的其余部分组织如下。

第二节介绍了制度转换和信用风险互动的市场模型。第3节阐述了保险公司的动态优化问题，并推导了递归HJB系统。第4节分析了递归HJB系统的（经典）解。最优投资和风险控制策略在同一节中有所描述。同一节还证明了一个验证定理。第5节进行了数值分析。附录中提供了其他技术证明。2该模型我们认为金融市场由n≥ 1可违约股票和无风险货币市场账户。让(Ohm, G、 G，P）是一个完整的过滤概率空间，其中全局过滤G：=F∨Z∨Zis被所有P-null集扩充，以满足通常的条件。设T>0为最终目标视界。过滤F：=（Ft）t∈[0，T]，其中fti是由独立的多维标准布朗运动生成的西格玛代数，用w表示：=（Wj（T）；j=1，d） >t∈[0，T]，\'W：=（\'Wj（T）；j=1，\'\'d）>t∈[0，T]和状态切换过程Y：=（Y（T））T∈[0，T]介绍如下。这里是d，\'d≥ 1，我们使用>表示Transpose操作符。接下来，我们指定过滤Zand Z。默认状态由n维默认指标过程Z描述：=（Zj（t）；j=1，n） t型∈[0，T]取S上的值：={0，1}n。对于j=1，n、 第j个股票的默认时间由τj：=inf{t给出≥ 0; Zj（t）=1}。（1） 过滤Z：=（Z1t）t∈[0，T]，其中σ代数Z1t：=Wnj=1σ（Zj（s）；s≤ t） 。Hencez保存有关默认事件的所有信息，直到目标地平线T。过滤Z：=（Z2t）t∈其中σ代数Z2t：=σ（（Ni，z（s），（i，z）∈ {1，…，m}×S）；s≤ t） 。这里Ni，z：=（Ni，z（t））t∈（i，z）的[0，T]∈ {1, . . .

，m}×S是独立的泊松过程，其各自的强度ν（i，z）>0，将用于建模下文（6）和（7）中介绍的保险人的风险控制过程。我们的模型由四个部分组成：保险公司的注册切换过程、信用模型、价格过程和风险过程。这些模块中的每一个都将在续集中详细介绍。制度转换过程。这里的区域切换过程Y被描述为状态空间为{1，…，m}的连续时间（保守）马尔可夫链，其中m≥ 1，它独立于多维布朗运动（W，’W）。马尔可夫链Y的生成元由m×m维矩阵Q：=（qij）m×m给出。这就得到了qii≤ 0 fori∈ {1，…，m}，qij≥ 0表示i 6=j，PMJ=1qij=0表示i∈ {1，…，m}（即Pj6=iqij=-奇福一号∈ {1，…，m}）。信用风险模型。状态切换过程和缺省指标过程的联合过程（Y，Z）是状态空间{1，…，m}×S的联合马尔可夫过程∈ [0，T]，默认指示器进程从状态Z（T）：=（Z（T），Zj公司-1（t），Zj（t），Zj+1（t），Zn（t）），其中股票j对相邻状态Zj（t）有效（Zj（t）=0）：=（Z（t），Zj公司-1（t），1- Zj（t），Zj+1（t），其中股票j以随机利率1Zj（t）=0hj（Y（t），Z（t））违约。这里hj（i，z）>0表示所有（i，z）∈ {1，…，m}×S。我们假设Y（t），Z（t），Zn（t）几乎肯定不会同时跳跃。因此，如果投资组合中的任何其他股票违约（传染效应），或者如果存在制度转换（市场风险效应），则第j支股票的违约强度可能会发生变化。

因此，我们的默认模型属于Frey和Backhaus[11]引入的丰富的交互强度模型（另请参见Birge等人[2]引入的具有不同因子的交互默认强度模型）。此后，我们设定（i，z）：=（hj（i，z）；j=1，n） >对于（i，z）∈ {1，…，m}×S.价格过程。n个可违约股票的价格过程向量表示为▄S：=（▄Sj（t）；j=1，n） >t∈[0，T]。对于t∈ [0，T]，第j个可违约股票的价格过程由▄Sj（T）=（1）给出- Zj（t））Sj（t），j=1，n、 （2）换句话说，第j个股票的价格由预设价格Sj（t）到τj给出-,在时间τj跳到0，之后它将永远保持不变。违约前价格过程的动力学S：=（Sj（t）；j=1，n） >t∈n个可违约库存中的[0，T]是给定的nbyds（T）=diag（S（T））[（u（Y（T））+h（Y（T），Z（T）））dt+σ（Y（T））dW（T）]。（3） 上面，diag（S（t））是对角线n×n维矩阵，其中对角线元素Sj（t）为j=1，n、 对于每个i∈ {1，…，m}，向量u（i）为Rn值，σ（i）为Rn×d值矩阵，因此σ（i）σ（i）>为正定义。式（3）表示持有信用敏感证券的投资者以最低利率h（Y（t），Z（t））补偿所产生的违约风险。利用方程（2）、（3）和分部积分，可违约股票价格的动态可由以下公式得出：bydS（t）=diag（S（t））[u（Y（t））dt+σ（Y（t））dW（t）- dM（t）]，（4）式中，M：=（Mj（t）；j=1，n） >t∈[0，T]是由mj（T）：=Zj（T）给出的纯跳P-鞅-Zt公司∧τjhj（Y（s），Z（s））ds，t∈ [0，T]。（5） 风险控制流程。对于风险控制过程，用η（t）表示t时G-可预测的未偿付保单（负债）总数。

索赔的风险模型被描述为广泛的Cram'er-Lundberg模型，其中每个保单的索赔（风险）C=（C（t））t∈[0，T]由以下动力学c（T）=c（Y（T））dt+φ（Y（T））dW（T）+φ（Y（T））d'W（T）+g（Y（T）给出-))dN（t），（6），其中，对于每个i=1，m、 挥发度φ（i）和φ（i）分别是d维和d维非零行向量，漂移c（i）∈ R、 和正跳跃大小（claimsize）g（i）∈ R+：=（0，∞). 这里，跳转过程N：=（N（t））t∈[0，T]是一个马尔可夫调制泊松过程，其正强度过程由（ν（Y（T），Z（T）））T给出∈[0，T]。对于t∈ [0，T]，过程N（T）表示在时间间隔[0，T]中发生的索赔数量。更准确地说，我们可以重写N（t）asN（t）=X（i，z）∈{1，…，m}×SZtY（s-)=i、 Z（s）-)=zdNi，z（s）。（7） 我们回顾一下（i，z）∈ {1，…，m}×S，Ni，z=（Ni，z（t））t∈[0，T]是具有各自强度ν（i，z）的独立泊松过程，而且它们也独立于随机过程（W，\'W，Y）。那么，我们就有了，对于t∈ [0，T]，~N（T）：=N（T）-X（i，z）∈{1，…，m}×SZtY（s）=i，Z（s）=Zν（i，Z）ds=N（t）-Ztν（Y（s），Z（s））ds（8）是一个P-鞅。所谓的贸易信用保险是一种保险产品，其索赔强度取决于股票的违约状态和经济体制（见Jones[13]）。贸易信用保险保护供应商免受买方不付款的风险。供应商向买方交付未付款的货物或服务，并允许买方延期付款。为了确保付款，供应商购买了tradecredit保险产品。如果买方违约，保险公司将支付保费。这意味着，当买方由于长期违约、资不抵债和破产等信用风险而未能向供应商付款时，索赔就会到来。

因此，买方违约的可能性与股票违约状态和经济区域相关。（6）中的唯一术语c（Y（t））dt+φ（Y（t））dW（t）+φ（Y（t））d'W（t）模拟了每个保单索赔价值的变化。从等式（4）和（6）可以看出，除了索赔的风险（纯跳跃）模型外，保单C（t）的索赔（风险）也由特殊的风险源W驱动，并且与可预测的股票价格S（t）具有共同的风险源W。因此，Zou和Cadenilas【22】认为，在我们的案例中，被保险人的总风险可以描述为Drη（t）=η（t）dC（t）。（9） 下一节将阐述保险公司的动态优化问题，并使用动态规划原理正式推导递归HJB系统。3保险人的动态优化在本节中，我们制定了保险人的最优投资和风险控制问题，并相应地导出了递归HJB系统。因此，对于j=1，n、 设∧πj（t）为时间t时第j个可违约股票的G-可预测分数策略。我们假设一旦发生违约，保险人不会投资该股票。然后是1- §π（t）>e>是时间t时无风险货币市场账户的分拆策略。货币市场账户B（t）的动态由dB（t）=r（Y（t））B（t）dt给出，其中，i=1时的制度转换利率r（i）>0，m、 这里|π（t）：=（|πj（t）；j=1，n） >和EndNotesN维行向量，其所有实体均为1。我们假设保险人的平均每项责任保费为p（Y（t），Z（t））（即，它不仅取决于宏观经济，还取决于投资组合的违约状态），那么保险风险的价格满足动态dP（t）=p（Y（t），Z（t））dt- dC（t）。