保险公司的最优信贷投资与风险控制

事实上，保险人可以通过销售保险产品并将其部分或全部业务割让给再保险人来交易这一风险过程。回想一下，η（t）代表第2节中引入的时间t时G-可预测的未偿付保单（负债）总数。设X▄π，▄l（t）代表对应于策略（▄π，▄l）的时间t财富水平，则自融资条件产生dx▄π，▄l（t）X▄π，▄l（t-)= ~π（t）>诊断（~S（t-))-1dS（t）+1.- π（t）>e>ndB（t）B（t）+l（t）dP（t）（10）=π（t）>诊断（~S（t-))-1dS（t）+1.- π（t）>e>ndB（t）B（t）+p（Y（t），Z（t））~l（t）dt- dR▄l（t），其中▄l（t）是时间t时负债与财富的比率。根据动力学（9），我认为dR▄l（t）=▄l（t）c（Y（t））dt+φ（Y（t））dW（t）+φ（Y（t））d'W（t）+g（Y（t-))dN（t）. （11） 使用方程式（10）和（11），保险人的财富过程可以改写为dxπ，l（t）Xπ，l（t-)=r（Y（t））+￠π（t）>（u（Y（t））- r（Y（t））e>n）+l（t）（p（Y（t），Z（t））- c（Y（t）））dt公司+π（t）>σ（Y（t））-l（t）φ（Y（t））dW（t）-l（t）(R)φ（Y（t））d'W（t）（12）- ~π（t）>dM（t）-l（t）g（Y（t-))dN（t）。接下来，我们给出本文将使用的容许控制集的定义。定义3.1。容许控制集U是一类G-可预测反馈策略（△π（t），△l（t））t∈[0，T]：=（§πj（T）；j=1，n） >，▄l（t））t∈[0，T]，由马尔可夫控制▄πj（T）给出：=πj（T，X▄π，▄l（T-), Y（t-), Z（t-)) 对于j=1，n、 非负马尔可夫控制▄l（t）：=l（t，X▄π，▄l（t-), Y（t-), Z（t-)) 这样保险人的财富过程X▄π，▄l（t）对于所有t都是非负的∈ [0，T]。此外，πj（t）=πj（t）（1-Zj（t-)) 对于j=1，n、 反馈控制函数πj，j=1，假设n和l是局部有界的。我们用U表示上述反馈函数的集合（π，l）：=（（πj；j=1，…，n）>，l）。对于x∈ R+，设U（x）：=γxγ，带γ∈ （0，1）是电源（CRRA）实用程序。

我们从被保险人的最终财富考虑以下期望效用最大化问题，由，for（t，x，i，z）∈ [0，T]×R+×{1，…，m}×S，V（T，x，i，z）：=sup（￠π，l）∈UEhU（X▄π，▄l（T））X▄π，▄l（t）=X，Y（t）=i，Z（t）=zi。（13） 假设V是C1,2in（t，x）∈ [0，T]×R+每个（i，z）∈ {1，…，m}×S。然后，It^o\'S公式产生thatdV（t，X|π，|l（t），Y（t），Z（t））=五、t+X|π，|l（t）五、x个r（Y（t））+～π（t）>θ（Y（t），Z（t））+～l（t）（p（Y（t），Z（t））- c（Y（t）））+（X|π，|l（t））五、x个π（t）>σ（Y（t））σ（Y（t））>▄π（t）+（▄l（t））（φ（Yt）φ（Yt）>+(R)φ（Y（t））(R)φ（Y（t））>）- 2▄l（t）▄π（t）>σ（Y（t））φ（Y（t））>dt+X|π，|l（t）五、xn公司π（t）>σ（Y（t））-l（t）φ（Y（t））]dW（t）-l（t）(R)φ（Y（t））d'W（t）o+V（t，X|π，|l（t-) -~l（t）X▄π，~l（t-)g（Y（t-)), Y（t-), Z（t-)) - V（t，X|π，|l（t-), Y（t-), Z（t-))dN（t）+nXj=1V（t，X|π，|l（t-) - ~πj（t）X ~π，~l（t-), Y（t-), Zj（t-)) - V（t，X|π，|l（t-), Y（t-), Z（t-))dZj（t）+Xj6=Y（t-)[V（t，X∏，l（t-), j、 Z（t-)) - V（t，X|π，|l（t-), Y（t-), Z（t-))dHY（t-),j（t）。（14） 这里，系数θ（i，z）：=u（i）- （i，z）的r（i）e>n+h（i，z）∈ {1，…，m}×S，和过程，对于t∈ [0，T]，Hij（T）：=X0<s≤tY（t-)=i、 Y（t）=j，i，j∈ {1，…，m}和i 6=j.（15）动态规划原理得出值函数V满足以下HJB方程，即（t，x，i，z）∈ [0，T）×R+×{1，…，m}×S，0=V（t，x，i，z）t+r（i）xV（t，x，i，z）x+Xj6=iV（t，x，j，z）- V（t，x，i，z）qij+sup（π，l）∈U（xV（t，x，i，z）x个π> （一）- diag（z））θ（i，z）+l（p（i，z）- c（i））+x个V（t，x，i，z）x个π> （一）- diag（z））σ（i）σ（i）>（i- diag（z））π+l（φ（i）φ（i）>+(R)φ（i）(R)φ（i）>）- 2lπ>（I- diag（z））σ（i）φ（i）>+V（t，x- xlg（i），i，z）- V（t，x，i，z）ν（i，z）+nXj=1V（t，x- πjx，i，zj）- V（t，x，i，z）(1 - zj）hj（i，z））（16），终端条件V（T，x，i，z）=所有（x，i，z）的U（x）∈ R+×{1，…，m}×S。这里，对于J=1，n、 和z∈ S、 泄漏状态定义为ZJ=（z，…）。

，zj-1, 1 - zj，zj+1，锌）。（17） 特别是，如果j=0，我们设置zj=z。可以观察到，等式（16）实际上是一个关于默认状态z的递归动力系统∈ S、 此外，如果我们考虑V（t，x，i，z）=xγД（t，i，z）形式的值函数，则Д（t，i，z）满足由，for（i，z）给出的递归动力系统∈{1，…，m}×S，在t上∈ [0，T），0=^1（t、i、z）t+γr（i）Д（t，i，z）+mXj=1Д（t，j，z）qij+sup（π，l）∈UH（π，l）；i、 z，（Д（t，i，zj）；j=0，1，n）（18） 对于所有（i，z），终端条件Д（T，i，z）=γ∈ {1，…，m}×S.对于（π，l）∈ (-∞, 1] n×[0，∞) 和（i，z）∈ {1，…，m}×S，函数h（π，l）；t、 i、z、f（z）= γπ> （一）- diag（z））θ（i，z）+（p（i，z）- c（i））lf（z）+γ(γ - 1） π>（I- diag（z））σ（i）σ（i）>（i- diag（z））π+[（1- lg（i））γ- 1] ν（i，z）+γ（γ- 1） lφ（i）φ（i）>+’φ（i）’φ（i）>- γ(γ - 1） lπ>（I- diag（z））σ（i）φ（i）>f（z）+nXj=1[（1- πj）γf（zj）- f（z）]（1- zj）hj（i，z），（19），其中'f（z）=（f（zj）；j=0，1，n） 是定义在z上的任意向量值函数∈ S、 在下一节中，我们将研究递归HJB系统（18）的（经典）解的存在性和唯一性。4迭代HJB方程分析本节分析递归动力系统（18）在默认状态z下全局（经典）解的存在性和唯一性∈ S、 我们将介绍本节中经常使用的符号。对于x∈ Rm，我们写x=（x，…，xm）>作为m维列向量。对于任意x，y∈ Rm，我们写了≤ y如果xi≤ Yi对于所有i=1，m、 当我们写x<y如果x≤ 是的，还有一些∈ {1，…，m}这样xi<yi。特别是，我们写x y如果xi<yi对于所有i=1，2。。。，m、 回想一下，endenotes是一个n维行向量，其所有实体都是一。

对于常规默认状态z∈ S、 我们引入了一般的默认状态表示z=0j，。。。，指数j6=···6=属于{1，…，n}，和k的jk∈ {0，1，…，n}。这样的向量z是通过复制条目j，零向量的jk为1，即zj=···=zjk=1，对于j，zj=0/∈ {j，…，jk}（如果k=0，我们设置z=0j，…，jk=0）。显然是0j，。。。，jn=en。回想一下递归动力系统（18），默认状态z=0j，。。。，jk（其中k=0，1，…，n）。可解性实际上可以按照默认状态的递归形式进行分析。因此，我们分析系统的证明策略基于递归过程，从默认状态z=en（即所有股票都已默认）开始，然后返回到默认状态z=0（即所有股票都处于活动状态）。（i） k=n（即所有股票都已违约）。在这种违约状态下，保险人不会投资股票，因为他们已经违约，因此π给出了股票的最优分数策略*= · · · = π*根据定义3.1，n=0。设Д（t，en）=（Д（t，i，en）；i=1，m） >。然后，动力系统（18）减少到滴滴涕Д（t，en）=- A（n）Д（t，en），in[0，t）；Д（t，en）=γe>m.（20）这里系数矩阵由A（n）=diag“γr（i）+supl给出∈U（n）H（n）（l，i）；i=1，m！#+Q、 （21）在这种情况下，（21）中的策略空间减少为toU（n）：={l=l（i）∈ [0, +∞); 1.- lg（一）≥ 0}. （22）此外，函数H（n）（l，i）由，for（l，i）给出∈ [0, ∞) ×{1，…，m}，H（n）（l，i）：=γ（p（i，en）- c（i））l+γ（γ- 1） lφ（i）φ（i）>+’φ（i）’φ（i）>+ [(1 - lg（i））γ- 1] ν（i，en）。自γ起∈ （0，1），不难验证每个i=1，m、 H（n）（l，i）是紧U（n）上l上连续且严格凹的。因此，存在唯一的optimuml*∈ U（n），由byl给出*= l*（i） =参数最大值∈U（n）H（n）（l，i），i=1，m。

（23）此外，我们还有supl∈U（n）H（n）（l，i）=H（n）（l*, （一）∈ [0, ∞) 对于每个i=1，m、 然后，由（21）给出的系数A（n）矩阵是有限的。接下来我们证明了动力系统（20）有唯一的严格正解。为此，我们需要以下辅助结果，这些结果也将用于与一般违约情况相关的证明。附录中提供了证明。引理4.1。设g（t）：=（gi（t）；i=1，m） >满足以下给定动力系统ddtg（t）=Bg（t）in（0，t）；g（0）=ξ。如果B=（bij）m×msatis fies bij≥ 0表示i 6=j和ξ 0，然后g（t） 0表示所有t∈ [0，T]。然后我们有下面的引理，其证明在附录中给出。引理4.2。动力系统（20）有一个唯一的解，由fort给出∈ [0，T]，Д（T，en）=γeA（n）（T-t） e>m=γ∞Xi=0（A（n））i（T- t） ii！e> m，（24），其中m×m维矩阵A（n）由（21）给出。此外，它认为Д（t，en）0表示所有t∈ [0，T]。接下来我们考虑一般默认状态，其形式为z=0j，。。。，0的JK≤ k≤ n-1，即股票j，jk已经默认，股票{jk+1，…，jn}：={1，…，n}\\{j，…，jk}仍然有效。那么，我们有（ii）自股票j，jk默认，股票的最优分数策略j，jk由π（k，*)j=0表示j∈ {j，…，jk}根据定义3.1。设Д（k）（t）=（Д（t，i，0j，…，jk）；i=1，m） >，p（k）（i）=p（i，0j，…，jk），对于j，h（k）j（i）=hj（i，0j，…，jk）/∈ {j，…，jk}和i=1，m、 因此，此默认状态下的相应HJBsystem（18）减少为滴滴涕Д（k）（t）=- A（k）Д（k）（t）- G（k）（t，Д（k）（t）），in[0，t）；Д（k）（t）=γe>m.（25）这里，m×m维矩阵A（k）由A（k）=diag给出γr（i）-Xj公司/∈{j，…，jk}h（k）j（i）；i=1，m级+ Q、 （26）系数G（k）（t，x）=（G（k）i（t，x）；i=1。

，m）>对于（t，x）∈ [0，T]×Rmis givenby，对于i=1，m、 G（k）i（t，x）=sup（π（k），l）∈U（k）Xj公司/∈{j，…，jk}（1- π（k）j）γh（k）j（i）~n（k+1），j（t，i）+h（k）（（π（k），l），i）xi,（27）在此默认情况下，策略空间由u（k）给定：=n（π（k），l）=（π（k）（t，i），l（t，i））∈ (-∞, 1] n个-k×[0，∞); 1.- lg（一）≥ 0度。（28）函数Д（k+1），j（t，i）：=j的Д（t，i，0j，…，jk，j）/∈ {j，…，jk}对应于默认状态z=j，…，下HJB系统（18）正解的第i个元素，。。。，函数H（k）（（π（k），l），i）由，for（π（k），l）给出∈ U（k），i=1，m、 H（k）（（π（k），l），i）=γ（π（k））>θ（k）（i）+（p（k）（i）- c（i））l+γ(γ - 1） n（π（k））>σ（k）（i）σ（k）（i）>π（k）+lφ（i）φ（i）>+’φ（i）’φ（i）>- 2l（π（k））>σ（k）（i）φ（i）>o+(1 - lg（i））γ- 1.ν（k）（i）。（29）这里，对于每个i=1，m、 我们使用符号π（k）=（π（k）j；j/∈ {j，…，jk}）>，θ（k）（i）=（θj（i）；j/∈ {j，…，jk}）>，σ（k）（i）=（σjκ（i）；j/∈ {j，…，jk}，κ∈ {1，…，d}），和ν（k）（i）=ν（i，0j，…，jk）。从（27）给出的G（k）i（t，x）的表达式中可以看出，解Д（k）（t）ont∈ 公式（18）的[0，T]在z=0j，。。。，jk取决于解ν（k+1），j（t）取决于t∈ [0，T]ofEq。（18） z=0j时，。。。，jk，jfor j/∈ {j，…，jk}。特别是，对于k=n- 1，溶液Д（k+1），j（t）=Д（t，en） 引理4.2中得到了与方程（18）在z=en（即k=n）下的解相对应的0。这建议按照默认状态z=0j，…，递归地解决HJB系统（18）的反向问题，。。。，jk。因此，为了分析动力系统（25）正（经典）解的存在性和唯一性，我们首先假设HJB系统（18）在t∈ 对于j，[0，T]/∈ {j，…，jk}。我们对（27）给出的G（k）（t，x）有如下估计，这在下面的引理中说明。证据见附录。引理4.3。

对于每个k=0，1，n- 1，假设HJB系统（18）允许正唯一（经典）解ν（k+1），t上的j（t）∈ 对于j，[0，T]/∈ {j，…，jk}。然后，对于任何x，y∈ rm满足x，y≥ εe>m当ε>0时，存在一个正常数C=C（ε），取决于ε>0，只有这样G（k）（t，x）- G（k）（t，y）≤ C kx- yk。（30）这里k·k表示欧几里得范数。为了研究HJB系统（25）解的存在性和唯一性，我们还需要以下比较结果。证明委托给附录。引理4.4。设gκ（t）：=（gκi（t）；i=1，m） >当k=1时，2分别满足[0，T]上的下列动力系统ddtg（t）=f（t，g（t））+~f（t，g（t）），in（0，t）；g（0）=ξ，ddtg（t）=f（t，g（t）），in（0，t）；g（0）=ξ。这里的函数f（t，x），~f（t，x）：[0，t]×Rm→ Rmare-Lipschitz连续w.r.t.x∈ RMT均匀分布在t中∈ [0，T]。函数f（t，·）满足每个t的K型条件∈ [0，T]（即，对于任何x，y∈ RMX令人满意≤ y和xi=yi对于某些i=1，m、 它认为fi（t，x）≤ 每个t的fi（t，y）∈ [0，T]）。如果▄f（t，x）≥ 0表示（t，x）∈ [0，T]×Rmandξ≥ ξ、 theng（t）≥ g（t）表示所有t∈ [0，T]。我们现在可以说明HJB系统正（经典）解的存在性和唯一性的结果（25）。定理4.5。对于每个k=0，1，n- 1，假设HJB系统（18）允许正唯一（经典）解ν（k+1），t上的j（t）∈ 对于j，[0，T]/∈ {j，…，jk}。然后，在t上存在唯一的正（经典）解ν（k）（t）∈ HJB系统（18）在默认状态z=0j时的[0，T]，。。。，jk（即HJB系统（25）允许唯一的正（经典）解）。证据

对于常数a>0，考虑以下截断动力系统，由滴滴涕Д（k）a（t）=- A（k）Д（k）A（t）- G（k）a（t，Д（k）a（t）），in[0，t）；Д（k）a（t）=γe>m，（31），其中截断非线性G（k）a（t，x）：=G（k）（t，x∨（t，x）的ae>m）∈ [0，T]×Rm。感谢引理4.3，存在一个正常数C=C（a），它只依赖于a>0，对于所有t∈ [0，T]，G（k）a（t，x）- G（k）a（t，y）≤ Ckx公司- yk，x，y，∈ Rm，（32）即G（k）a（t，x）是全局Lipschitz连续w.r.t.x∈ RMT均匀分布在t中∈ [0，T]。通过翻转时间流，考虑（k）a（t）：=Д（k）a（t- t） 对于t∈ [0，T]。然后（k）a（t）满足以下动力系统：滴滴涕（k）a（t）=a（k）（k）a（t）+G（k）a（t- t、 ИИ（k）a（t）），in（0，t]；И（k）a（0）=γe>m.（33）设ψ（k）（t）=（ψ（k）i（t）；i=1，m） >满足以下动力系统：ddtψ（k）（t）=A（k）ψ（k）（t），in（0，t）；ψ（k）（0）=γe>m。（34）回忆一下（26）给出的系数A（k）的m×m维矩阵。然后，我们使用（26）得到所有i 6=j的[A（k）]ij=qij。由于Q=（qij）m×mis是Markovchain的生成器，它认为qij≥ 0表示所有i 6=j。因此[A（k）]ij≥ 0表示所有i 6=j，因此线性函数A（k）x是x中的k类型∈ Rm。也因为ψ（k）（0）=γe>m 0，从引理4.1可以看出，动力系统（34）在[0，t]上有唯一的（经典）解ψ（k）（t），而且ψ（k）（t） 0表示所有t∈ [0，T]。设置ε（k）：=最小值=1，。。。，m级输入∈[0，T]ψ（k）i（T）. （35）然后，通过ψ（k）（t）在t中的连续性∈ [0，T]和ψ（k）（T） 0表示所有t∈ [0，T]，ε（k）>0。此外，根据附录中的估计值（32）和（A.7），以及初始条件Д（k）A（0）=ψ（k）（0）=γe>m 0，由引理4.4得出（k）a（t）≥ ψ（k）（t）≥ ε（k）e>m，对于所有t∈ [0，T]。（36）注意，正常数ε（k）与a>0无关。

那么∈ （0，ε（k）），i表示g（k）a（T- t、 И（k）a（t））=G（k）T- t、 И（k）a（t）∨ ae>米= G（k）（T）- t、 И（k）a（t））。这就产生了∈ （0，ε（k）），函数￠Д（k）a（t）求解动力系统滴滴涕（k）a（t）=a（k）（k）a（t）+G（k）（t- t、 §Д（k）a（t）），in（0，t]；§Д（k）a（0）=γe>m。通过动力系统（33）解的唯一性并使用估计值（36），可以得出，对于∈ （0，ε（k）），ν（k）a（t）：=- t） [0，t]是HJB系统（25）的唯一（经典）解决方案。这样，我们就完成了定理的证明。2我们接下来讨论最优策略的特征（π（k），l）∈ U（k）在默认状态z=0j，。。。，jk其中k=0，1，n- 1、让我们回顾一下HJB系统（25），即：。，滴滴涕Д（k）（t）=- A（k）Д（k）（t）- G（k）（t，ν（k）（t）），在[0，t]中；Д（k）（t）=γe>m。定理4.5表明，上述系统在[0，t]上允许唯一的正（经典）解Д（k）（t），此外还有Д（k）（t）≥ ε（k）e>M对于所有t∈ [0，T]使用（36）。这里ε（k）>0由（35）给出。然后，根据附录中给出的等式（A.8），存在依赖于ε（k）>0的正恒量C（ε（k）），因此对于每个i=1，m、 G（k）i（t，ν（k）（t，i））（37）=sup（π（k），l）∈U（k）kπ（k）k+l≤C（ε（k））Xj公司/∈{j，…，jk}（1- π（k）j）γh（k）j（i）Д（k+1），j（t，i）+h（k）（（π（k，l），i）Д（k）（t，i）.这里，对于每个i=1，m、 ν（k+1），t上的j（t，i）∈ [0，T]是HJB系统（18）在默认状态z=0j，…，的正（经典）解的第i个元素И（k+1），j（T），。。。，jk，jforj/∈ {j，…，jk}。不难验证，对于每个i=1，m和固定t∈ [0，T]，Xj/∈{j，…，jk}（1- π（k）j）γh（k）j（i）Д（k+1），j（t，i）+h（k）（（π（k，l），i）Д（k）（t，i）在（π（k，l）中是严格凹的）∈ U（k）。还请注意，空间U（k）∩ {（π（k），l）；kπ（k）k+| l|≤ C（ε（k））}是紧的。

因此，存在唯一的最优值（π（k，*), l*) ∈ U（k）使得（π（k，*), l*) = （π（k，*)（t，i），l*（t，i））（38）=arg max（π（k），l）∈U（k）kπ（k）k+l≤C（ε（k））Xj公司/∈{j，…，jk}（1- π（k）j）γh（k）j（i）Д（k+1），j（t，i）+h（k）（（π（k，l），i）Д（k）（t，i）= arg max（π（k），l）∈U（k）Xj公司/∈{j，…，jk}（1- π（k）j）γh（k）j（i）Д（k+1），j（t，i）+h（k）（（π（k，l），i）Д（k）（t，i）对于所有i=1，m、 我们以一个验证定理结束本节，其证明见附录。定理4.6。在任何默认状态z=0j，。。。，k=0，1，n、 设Д（t，z）为HJB方程（18）动力系统的唯一正（经典）解（即，对于k=n，Д（t，z）=Д（t，en），在引理4.2中给出，对于k=0，1，n- 定理4.5给出了1，Д（t，z）=Д（k）（t）。也让最优策略（π*, l*) = (π*（t，i，z），l*（t，i，z））对于i=1，对于k=n，mbe由（23）给出，对于k=0，1，…，由（38）给出，n- 那么，我们得到了（t，x，i，z）的（i）∈ [0，T]×R+×{1，…，m}×S，以及任何容许的反馈策略（π，l）∈ U、 它保持xγИ（t，i，z）≥ EU（Xπ，l（T））| Xπ，l（T）=X，Y（T）=i，Z（T）=Z.（ii）（t，x，i，z）的值函数V（t，x，i，z）∈ [0，T]×R+×{1，…，m}×S允许以下表示v（T，x，i，z）=EU（Xπ*,l*（T））| Xπ*,l*（t） =x，Y（t）=i，Z（t）=Z]=xγИ（t，i，Z）。5数值分析在本节中，我们研究了股票和风险控制的最优策略对市场参数变化的敏感性。敏感性分析是在一个简单的市场模型上进行的，该模型由两个可违约股票和一个无风险债券组成，即n=2。