具有非占优先验和无界参数的投资组合优化

那么，对于任何m∈ NEQti[| g |]=mXj=1αjEQjti[| g |]，pmj=1αj=1和αj≥ 特别是映射Q→ EQti[| log（XπT）|]是准凸的。e、 eαQ+（1-α） Qti[| log（XπT）|]≤ max{EQti[| log（XπT）|]、EQti[| log（XπT）|]}证明。使用Q的空集，Qmas NQ，Nqm分别，我们注意到Nq=∩mj=1NQj。在不丧失一般性的情况下，取g（ω）≥ 0，Q-a.s.我们通过Lebesgue积分t hatnXj=1cjIAj（ω）g（ω），Q-a、 对于一些实常数cj，for i=j，n、 使用∪nj=1Aj=Ohm 和Aj∩Ak= fo r j 6=k。这里，IAj（·）是集合Aj的指示器功能∈ Fti。因此，我们通过近似的gumenteqti[g]=mXj=1αjEQjti[g]Sincemaxγ得出结论∈ΓEPti[| log（XπT）|]<∞,我们有Q→ EQti[log（XπT）]是凸的，实际上是线性的。因此，我们得出结论。我们继续下面的引理。引理2.4。设π和πnbe为πadwithπn→ πin L(Ohm; [0，T]）作为n→ ∞, πn（s）=0的π（s）≤ s≤ t代表所有n∈ N、 让P∈ Qc【ti，T】固定。然后，映射π→ EPti[log（XπT）]是连续的P-a.s，即EPti[log（XπnT）]→ EPti[对数（XπT）]为πn→ π在L（[ti，T]）Pa.s.证明中。通过引理2.3，我们得到了任何P∈ Qc[ti，T]EPti[log（XπT）]=mXj=1αjEPjti[log（XπT）]。因此，显示π的连续性→ EPjti[log（XπT）]，用于Pj∈ Q【ti，T】，因此对于固定γ∈ Γ足以显示P的连续性∈ Qc【ti，T】。自πn→ π在L（[ti，T]）中，我们注意到supnepti[ZTti（πns）]<∞, P-a、 利用引理2.1我们得到了| EPti[log（Xπ，γT）]- EPti[log（Xπn，γT）]|=| EPti[ZTt（πs- πns）（us- r）-πsσs-（πns）σsds]|≤ CEPti[ZTtmaxγ∈Γ（us- r） ds]1/2EPti[ZTt[（πs- πns）ds]1/2+CEPti[ZTt（πs- πns）（πs+πns）σsds]≤ EPti[ZTt（πs+πns）ds]1/2EPti[ZTtmaxγ∈Γ（σSs）ds]1/2+CEPti[ZTt（π- πns）ds]→ 0，作为n→ ∞. 因此，我们有epti[log（Xπn，γT）]→ EPti[对数（Xπ，γT）]，为πn→ π表示n→ ∞ Pa.s.因此，我们得出结论。引理2.5。设π在∏ad中。设Q∈ Qc【ti，T】固定。

然后，mappi ngπ→ EQti[log（XπT）]是凹的，尤其是π中的准凹。证据通过引理2.3，它足以显示语句f或Q∈ Q【ti，T】。因此，对于固定γ∈ 通过Ito引理，我们得到了epti[log（Xπ，γT）]=log（xti）+EPxiZTtiπs（us- r）-πs（σSs）ds,很容易看出π→ EPti[log（XπT）]是凹的，因此在π中是准凹的。因此，我们得出结论。接下来，我们继续下面的引理。引理2.6。Letπ∈ ∏adbe固定和Q，Qn∈ Qc【ti，T】。然后，地图pingQn→ EQnti[对数（XπT）]是较低的sem i-连续Pa.s。。即lim infn→∞等式[对数（XπT）]≥ EQti[对数（XπT）]，作为Qn Q在定义2的意义上。2作为n→ ∞, P-a.s.证明。我们有qn=mXj=1αjnqjn其中0≤ αjn≤ 1和Qjn∈ Q【ti，T】对于j=1，m、 引理2。3，这意味着eqnti[log（XπT）]=mXj=1αjnEPti[log（Xπ，ujn，σSjnT）]，其中（ujn，σjn）表示j=1，唯一定义Pj∈ Q【ti，T】。因此，我们有epnti[log（XπT）]≤ EPnti[| log（XπT）|]≤ EPti[最大γ∈Γ| log（Xπ，γT）|]<∞,其中log（Xπ，γT）=log（xti）+ZTti公司πs（us- r） +r-πsσsds+ZTtiπs（σSs）dWSs.接下来，我们截断实用函数log（x）asVk（x）=k如果日志（x）≥ klog（x）if | log（x）|≤ k-k如果日志（x）≤ -k对于x>0和k>0。我们注意到epti[log（Xπ，γT）]+（k）≥ EPti[Vk（Xπ，γT）]，对所有γ都是一致的∈ Γ对于某些（k），仅取决于k与（k）↓ 0作为k→ ∞. 事实上，我们有epti[log Xπ，γTI{| log Xπ，γT |>k}]≤ 最大γ∈ΓEPti[对数Xπ，γTI{|对数Xπ，γT |>k}]<对于足够大的k。此外，由于引理2.1EPt[最大γ∈Γ| log（Xπ，u，σ，rT）|]<∞ P-a.s.可与Vk（x）积分≤ | 对数（x）|对于任何k≥ 0（2.9）EPti【Vk（XπT）】≤ EPti[最大γ∈Γ| log（XπT）|]<∞ Pa.s.，我们有LIM infn→∞EPnti[对数（XπT）]=线性信息→∞mXj=1αjnEPti[对数（Xπ，unj，σnjT）]≥ lim信息→∞mXj=1αjnEPt[Vk（Xπ，unj，σnjT）]- （k）=EPti[Vk（XπT）]- （k），Pa.s.其中最后一个等式是由于收敛Pn P

最后，让k→ ∞ 带（k）↓ 0，通过方程（2.6）的Lebesgue支配收敛定理，我们得出了结果。定理2.1的证明。通过定义2.1，我们得到了∏adi是一个凸集。类似地，等式（2.4）中的Qc[ti，T]是P的凸拓扑子集(Ohm|Fti）。此外，通过引理2.3，我们得到了thatEPti[log（XπT）]=mXj=1αjEPti[log（Xπ，uj，σjT）]。因此，对于任何固定π，EPti[log（XπT）]都是实值∈ ∏adand任意P∈ Qc【ti，T】。此外，根据Emma 2.2、2.4和2.6，我们已经满足定理2.2的条件。因此，我们通过Sion的极大极小定理得出结论。3投资问题的最优解我们有以下一系列方程fq∈Q[ti，T]supπ∈∏adEQti[对数（XπT）]= infQ公司∈Qc[ti，T]supπ∈πadEQti[对数（XπT）]=supπ∈∏adinfQ∈Qc[ti，T]EQti[log（XπT）]≤ supπ∈∏adinfQ∈Q[ti，T]EQti[对数（XπT）]≤ infQ公司∈Q[ti，T]supπ∈∏adEQti[log（XπT）]，其中第一个等式由引理2.3表示，第二个等式由定理2.1表示，而第一个不等式由Qc[ti，T] Q[ti，T]和第二个不等式是由经典的极大极小不等式得到的。因此，我们有v（ti，x，ν，σ）=infQ∈Q[ti，T]supπ∈∏adEQti[对数（XπT）]V（ti，u，ν）=log（xti）+infγ∈Γ{EQtiZTtir+（us- r） σsds。为了便于标注usand（σSs）的抑制指数s并表示ν=（σSs），相应的汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程读数为0=minγ∈Γr+（u- r） ν+Vt+Vu（θu（ηu- u））+Vν（θσ（ησ- ν） ）+Vu（σu）+Vννξνo 对于u<r，因此Vu<01。如果u∈ [ηumin，ηumax]，选择ηu=ηumax和θu=θumax.2。如果u<ηumin，选择ηu=ηumax和θu=θumax.3。如果u>ηumax，选择ηu=ηumin和θu=θumax.o表示u>r，因此Vu>01。如果u∈ [ηumin，ηumax]，选择ηu=ηumin和θu=θumax.2。如果u<ηumin，选择ηu=ηumin和θu=θumin.3。如果u>ηumax，选择ηu=ηumin和θu=θumax。对于任何ν>0，我们都有Vν<0。1、如果ν∈ [ησmin，ησmax]，选择ησ=ησmax和θσ=θσmax.2。如果ν>ησmax，选择ησ=ησmin和θσ=θσmin.3。

如果ν<ησmin，则选择ησ=ησmin和θσ=θσmax。因此，在每个时间间隔【ti，ti+1】，存在唯一的参数集γ*= (θu*, ηu*, θσ*, ησ*) ∈ Γ满意0=r+（u- r） ν+Vu（θu（ηu- u））+Vν（θσ（ησ- ν） ）（3.10）+Vu（σu）+VννξνV（T，u，ν）=log（xT）（3.11）（3）和（3）的溶液由Feynman KacV（ti，u，ν，x）=log（xti）+EM众所周知ZTtir+（us- r） νsdsuti=u，νti=ν受试者todut=θu*(ηu*- ut）dt+σu*dWMtdνt=θν*(ησ*- νt）dt+ξ（σS*)dWMt，在t=ti时，其中wm是概率测度M下的二维布朗运动，初始条件为uti=u，νti=ν，EM[·]代表对M的期望值。因此，投资者在每次ti时使用Γ中相应区间的一个端点解出。我们注意到，由于状态变量u和ν的连续性，最佳参数集γ*在一段时间间隔内保持不变，然后随着区域f或状态变量的变化，从一个角切换到另一个角。因此，（γ*t） 0个≤t型≤T作为[0，T]上的分段常数函数，属于L emma 2.1的Γ。同样，最佳参数π*踏板为ut-rσSt，是所有0的∏Ad元素≤ t型≤ T因此，最优控制（π*, γ*) 如可接受策略集（Γ，πad）所规定，证明了最优控制问题（2.6）的一致性。4结论我们研究了一个对数效用最大化问题，其中存在裂谷u和挥发σ的不确定性。我们假设漂移项和波动项分别是OU和GARCH（1）过程。因此，它们在R的非紧子集中取实值。我们假设u和σ漂移项的相应参数不确定，但假设可以在某个紧区间内估计。

我们显示，每次0≤ t型≤ T，在相应可用参数区间的右角或左角选择最佳参数。因此，我们表明，在每一时刻，最佳π*值函数V（t，x）与动力学参数没有不确定性的情况完全相同，但在每个时间t，相应的最优参数由可用参数区间的角点给出。参考文献[1]Bachelier，L.Theorie de la Projection，Paris，1900。[2] Samuelson，P.A.，《合理预期价格随机波动的证明》，《工业管理评论》第6期，第41-491965年。[3] Dow，J.和S.Werlang（1992）《不确定性厌恶、风险厌恶和投资组合的最佳选择》。《计量经济学》，60（1），1 97-204。[4] Fischer，B.和Scholes，M.《期权定价和公司负债》。《政治经济杂志》，第81卷，第1期。3，第637-6541973页【5】Lin，Q.和Riedel，F.（2014）《具有模糊性的最优消费和投资组合选择》，工作论文，比勒费尔德大学数学经济学中心。[6] Hernandez Hernandez，D.和Schied，A.（2006）《随机因素模型统计与决策中的稳健效用最大化》，24，第3期，109-125。[7] Quenez，M.C.（2004）《多重风险模型中的最优投资组合》。随机分析、随机场和应用研讨会IV，渐进概率第58卷291-321。Birkhauser，Basel，[8]Schied，A.Ris k度量和稳健优化问题。随机模型22（4）：753-8312006。[9] Nutz，M.《离散时间模型不确定性下的效用最大化》。《数学金融》，26（2）：252-2682016。[10] Lim，A.、Shanthikumar，J.G.和Watewai，T.H.《具有基准目标的稳健资产配置》。《数学金融》第21卷，第4期643-6792011。[11] F.Maccheroni、M.Marinacci和D.Ruffino。

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