具有非占优先验和无界参数的投资组合优化

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英文标题：
《Portfolio Optimization with Nondominated Priors and Unbounded Parameters》
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作者：
Kerem Ugurlu
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We consider classical Merton problem of terminal wealth maximization in finite horizon. We assume that the drift of the stock is following Ornstein-Uhlenbeck process and the volatility of it is following GARCH(1) process. In particular, both mean and volatility are unbounded. We assume that there is Knightian uncertainty on the parameters of both mean and volatility. We take that the investor has logarithmic utility function, and solve the corresponding utility maximization problem explicitly. To the best of our knowledge, this is the first work on utility maximization with unbounded mean and volatility in Knightian uncertainty under nondominated priors.
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中文摘要：
我们考虑了有限时间内终端财富最大化的经典默顿问题。我们假设股票的漂移遵循Ornstein-Uhlenbeck过程，波动遵循GARCH（1）过程。特别是，均值和波动率都是无界的。我们假设均值和波动率的参数都存在Knightian不确定性。我们假定投资者具有对数效用函数，并显式地求解相应的效用最大化问题。据我们所知，这是第一次在非占优先验条件下，研究奈特不确定性中具有无界均值和波动性的效用最大化问题。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Portfolio_Optimization_with_Nondominated_Priors_and_Unbounded_Parameters.pdf (212.75 KB)

2022-6-10 07:10:17 上传

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关键词：投资组合优化 投资组合 maximization Optimization Quantitative

具有非支配先验和无界参数的投资组合优化Kerem UGurlu 2021年11月15日星期一华盛顿大学应用数学系，华盛顿州西雅图，邮编98195电子邮件：keremu@uw.eduAbstractWe考虑一个经典的莫顿问题，即最终财富最大化问题。我们假设股票的漂移遵循Ornstein-Uhlenbeck过程，波动遵循GARCH（1）过程。特别是，均值和波动率都是无界的。我们假设均值和波动率的参数都存在Knightian不确定性。我们假设投资者具有对数效用函数，并显式地解决了相应的效用最大化问题。据我们所知，这是关于在非支配先验条件下，骑士联合国确定性中具有无界平均值和波动性的效用最大化的第一项工作。数学学科分类：91B28；93E20关键词：默顿问题；骑士式的不确定性；稳健优化1简介从[23、1、8、30、4]的开创性工作开始，基础风险资产被建模为马尔可夫差异，其中存在一个固定的基础参考概率测度P，该测度从价格变动的历史数据中检索。然而，人们几乎一致认为，不可能精确识别P。因此，不可避免地要考虑效用最大化中的模型模糊性，也称为奈特不确定性。也就是说，投资者对可能性持不同态度，并对效用最大化问题采取反对的态度，在这种情况下，她会根据不同的情景最小化先验值，然后最大化投资策略。关于数学金融中稳健效用最大化的文献（参见。

[3、7、8、10、29、14、32]），主要假设设定的先验值由参考度量值P决定。因此，它假设一个设定，即风险资产的波动性是完全已知的，但漂移是不确定的。也就是说，这些方法假定先验知识是等价的。特别是，他们假设概率测度P与主要参考先验相等。在这个方向上，提到一些相关的工作，[15]建议削弱强大的独立性公理（也称为[16]和[17]之前使用的确定原则），以证明（主观）预期效用。后来，【18】本着【15】中的施工精神，引入了连贯的风险措施。这种连贯风险度量理论后来在多个方向上得到了推广（参见[11、12、19、22、24、20、33、34]等）。相比之下，我们正在研究这样的情况，其中由P表示的先验集合(Ohm), 不受支配。因此，不存在占主导地位的参考优先级。这方面的一些相关工作如下：[6]研究了这种情况，其中相对论的不确定性是由于不可观察的因素引起的；[9] 研究了离散时间内的类似情况，证明了最优投资组合的存在性；[26，7]在跳跃差异的背景下工作，具有模糊漂移、可变性和跳跃强度。【27】在价格具有连续路径且效用函数有界的情况下，建立了极大极小结果和最坏情况测度的存在性。[5] 在差异环境下工作，不确定性通过允许漂移和波动性在两个恒定的顺序区间内变化来建模。然后，通过鲁棒控制（GBrownian motion）技术，对0<γ<1的情况下，使用从U（x）=xγ的功率效用进行优化，这要求不确定波动率矩阵ix限制为对角型。

我们请读者参考文献[21]，详细了解G-布朗运动及其应用。在更一般的情况下[13]是在连续时间的情况下工作的，在这种情况下，股票价格被允许是一般的不连续半鞅，策略被要求是紧的。与现有文献相反，我们假设股票过程的漂移由Ornstein-Uhlenbeck（OU）过程建模，股票过程的波动性由GARCH（1）过程建模。特别是，股票的平均值和波动率在R中取无界值。我们假设平均值和波动率的参数都存在Knightian不确定性。我们进一步认为，投资者有对数偏好，但对潜在的动态参数有所不同，希望在规定的小时间间隔内重新考虑最佳参数。据我们所知，这是在非支配先验条件下，奈特不确定性中具有无界均值和波动性的效用最大化的第一个工作。论文的其余部分如下。在第2节中，我们描述了问题的模型动力学，并陈述了我们的一般主要问题。在第3节中，我们使用loga r ithmic效用来解决投资者的问题。最后，在第4节中，我们讨论了我们的结果并总结了本文。2模型动力学和投资者价值函数2.1我们提供的框架Ohm = C[0，T]是所有连续路径（ωT）T的集合≥0从ω=0开始，在配备有统一标准ωk的有限时间范围[0，t]上取R中的值∞= 支持∈[0，T]|ωT |。我们进一步将相应的诱导度量Ohm 按通常方式d（f，g）：=kf- gk公司∞,并将该度量中的开集生成的拓扑y作为[0，T]上一致收敛的拓扑。我们进一步将WTA定义为坐标函数，即ω∈ Ohm andt公司∈ [0，T]，我们让Wt（ω）：=ωT。

我们将相应的Borel-sigma代数表示为Ohm byFt=σ{Ws（ω）；s≤ t} ，以及Pon的标准维纳测度Ohm. 也就是说，Pis是Ohm, 满足以下性质：oP（ω∈ Ohm : W（ω）=0）=1，o对于任何f∈ C∞b（R），C∞b（R）是连续多次微分有界函数，随机过程（t，ω）→ f（Wt（ω））-Zt公司f（Ws（ω））dsis a（Ft，P）-鞅，我们将维纳测度作为参考测度，P(Ohm) 具有概率测度弱拓扑的波兰空间Ohm. 我们进一步用P表示(Ohm|Ft）对于0≤ t型≤ T上正则条件概率测度（r.c.p.m.）的波兰空间Ohm（见[31]，第5.1.9条）。2.2模型动态我们考虑一个由一个风险资产St和一个无风险资产Rt组成的市场。我们假设，表示风险资产价格的半鞅应满足以下动态s=s，s>0dSt=St（utdt+σStdWSt），Pa.s。。（2.1）此处wst和Wσ皮重独立(Ohm, Ft）布朗运动，漂移项u和波动率σStare随机过程满足以下动力学dut=θut（ηut- ut）dt+σudWut，（2.2）d（σSt）=θσt（ησt- （σSt））dt+ξ（σSt）dWσt.（2.3）这里，θut，ηut，θσt，ησtar是[ti，ti+1]上的分段常数，对于i=0，…，N，t=0和tn=t且严格正，而σu，ξ>0是正常数。即，我们假设漂移项ut是一个Ornstein-Uhlenbeck（OU）过程，而波动率（σSt）是一个GARCH（1）过程。很容易看出utand（σSt）的显式解是（σSt）=（σS）ZtθSσηsexp{-Zts（θσr+ξ）dr+ξ（Wt- Ws）}dsut=uexp{-Ztθusds}+Ztexp{-Ztsθurdr}∑udWsWe进一步假设无风险资产的动力学满足dRt=rRdt，r>0.2.3模型不确定性，我们用γ表示，（θu，θσ，ηu，ησ）为分段常数正函数的四倍，并让γ∈ Γ是它们的集合。

我们假设Γ是一致有界的，即|γ（t）|≤ Mf对于所有γ的某个常数M∈ Γ和0≤ t型≤ T备注2.1。utandσtca的二次变化项可以从路径ω中确定地推导出来，但这些过程的漂移参数只能从历史数据中估计出来。因此，自然只在u和σt的相应漂移项中引入不确定性，而二次变化项ξ、σu是固定的已知常数。接下来，我们将给出本文其余部分将使用的以下先验估计。引理2.1。设（σSt）和utbe分别在（2.2）和（2.2）中定义。n，我们有EP[ZTmaxγ∈Γ（σSt）2ndt]<∞EP[ZTmaxγ∈Γ（ut）无损检测]<∞对于任意n∈ N、 特别是，EPt[ZTtmaxγ∈Γ（σSs）2nds]<∞ P-a.s.EPt[ZTtmaxγ∈Γ（us）nds]<∞ 任何t的P-a.s∈ [0，T]。证据为了便于记法，在下面互换使用常数C表示（σSt）=νtand，我们有νt≤Zt |θσsησs | expZts（θσr+ξ）dr+ ξ| Wt- Ws | dsSinceθσ，ησ和ξar e一致有界，我们有maxγ|νt | n≤ZtC exp公司C（t- s） +C |重量- Ws系列|因此，对于任何n≥ 1，通过Jensen不等式，我们得到了maxγ|νt | n≤ZtC exp公司C（1+| Wt- Ws |）ds。因此，EP[最大γ|νt | n]≤ CZtE[exp（C（1+| Wt- Ws |））]ds<∞andE[ZTmaxγ|νt | n]<∞.对于utand n≥ 1，我们有以下不等式模P-a.s.|ut |≤ 中兴通讯-RtsθurdWs |ut | 2n≤ C+C中兴通讯-RtsθurdWs2nEP[最大γ∈Γ|ut | 2n]≤ C+CZTe-2nRtsθurdrds≤ C（1+T）<∞自xn起≤ x2n+1表示x>0和任意n≥ 1，我们有EP[maxγ∈Γ|ut | n]<∞EP[ZT（最大γ∈Γut | n）dt]<∞.因此，我们总结了证明。2.4每个固定时间的替代模型ti∈ [0，T]0=T<T<…<tN=T我们考虑用Q[ti，T]表示的一类交替模型。这些是r.c.p.m.上的一组Ohm 由方程（2.2）中的过程S（·）诱导的。即Q【ti，T】=P∈ P(Ohm|Fti）| P是r.c.P.m。

由（2.4）S诱导，满足dSu=Su（uudu+σSudWSu）du，P-a、 美国代表美国∈ [ti，T]给定{Sr（ω），0≤ r≤ ti}（θuu，θσu，ησu，ηuu）0≤u≤T∈ Γ.这里我们注意到，根据[25]中的定理11.2，方程（2.2）存在一个强解(Ohm, 英尺，P）。即表示C[0，T]=Ohm, 存在可测量的映射：Ohm → Ohm 这样X（·）≡ G（xti，W（·））在(Ohm, FT，P），定义为10.9 in【25】。我们进一步注意到，r的集合之间有一对一的对应关系。c、 p.m.的Q[ti，T]和紧集Γ。即γ=（θu，θσ，ησηu）∈ Γuniquelydefines Ston[0，T]P-a.s.我们表示由St诱导的固定γ的r.c.P.m∈ ΓandA∈ FTas Pγti（A）与Pγti（A）。=Pω ∈ Ohm : {Su（ω），ti≤ u≤ T}∈ A.给定{Sr（ω）：0≤ r≤ ti}.我们进一步构造了Q[ti，T]的凸包，并用Qc[ti，T]表示它。即Qc【ti，T】=P∈ P(Ohm|Fti）| P（A）=mXi=1αiPi（A）, （2.5）对于所有A∈ FTwith Pi∈ Q【ti，T】，0≤ αi≤ 1，其中pmi=1αi=1，i=1，m、 2.5财务支持我们考虑投资风险资产的问题，即无风险资产Rt=ert，其中R>0是固定利率。我们假设（2.2）中的风险资产动态isdSt=utStdt+σtStdWSt，P-a.s。对于初始捐赠x>0，投资者以自我融资的方式进行交易。也就是说，表示^πtas是一个Ftadapted随机过程，它表示在风险资产统计时间t中投资的总金额，0≤ t型≤ T，我们有dx^πT=^πtS-1tdSt+（X^πt- πt）rdtdXπt=πt（utdt+σStdWSt）+（Xπt- ^πt）rdtWe通过^πt=Xπtπt，进一步表示投资于风险资产的金额，作为当前财富的一部分≤ t型≤ T，其中πT代表相应的分馏时间T。

因此，对于X=X，此设置中的财富动态由dxπt=Xπtπt（utdt+σStdWSt）+rXπt（1）给出- πt）dtXπt=xexpZT{πsus+r（1- πs）-πs（σSs）}ds+ZTπsσSsdWSs。2.6投资者的问题投资者是风险规避者，在时间范围t之前，在代表备选模型的一组r.c.p.m上，最大化最小预期对数效用，如下所示。关于股票市场基本动态的Sheis博士希望在预先指定的时间段0=t<t<…<tN=T。对于i=0，…，每次TIF，N- 1，我们写出了投资者asV（ti，x）=supπ的优化问题∈∏adinfQ∈Q【ti，T】EQti公司对数（XπT）, （2.6）式中，EQti[·]代表关于t o Q的条件期望∈ Q【ti，T】如（2.4）所述。当时间t不等于ti时，投资者坚持其最优γti*∈ Γ，假设该模型在ti+1之前是正确的，并解决了基于v（t，x）=supπ的经典期望对数效用问题∈∏adEP对数（XπT）| XπT=X（2.7）此处，过程满足度dst=St（utdt）+σStdWSt，其中ut=θuti（ηuti- ut）dt+σutidWut，d（σSt）=θσti（ησti- （σSt））dt+ξ（σS*)dWσt，其中ti<t<ti+1，其中γti*= （θuti，ηuti，θσti，ησti）。因此，投资者通过预定的时间间隔对其模型进行评估，以抵抗模型风险。此外，∏ads代表投资者在时间段[ti，T]的一组可接受现金价值，定义如下。定义2.1。设π=（πs）{t≤s≤T}表示B（[T，T]） FTProgressive Measureable（逐步可计量）过程，表示为【t，t】分配到风险资产中的现金价值。我们称（πs）{s≤t型≤T}可容许并用π表示∈ ∏ad，ifEPxZTt |πs | ds英尺]<∞, 所有t的P-a.s.和Xπt>0≤ s≤ T，P-a.s.在这种情况下，我们说π∈ L（[t，t]），注意∏adis非空，因为∏≡ 我们进一步说πn→ π、 我发烧了ZTt |πs- πns|英尺]深→ 0，P-a.s.，作为n→ ∞.

在这种情况下，我们说πn在L（[t，t]）中收敛到π。要解决问题（2.6），我们首先解决（2.6）。eads assupπ优化问题∈πadEPt[对数（XπT）]。通过伊藤公式，我们得到了supπ∈πadEPt[对数（XπT）]=对数（xt）+supπ∈∏熟练ZTt（πs（us- r） +r）-πs（σSs）ds通过π上的凹度，我们得出结论，检查π上期望值内的一阶条件是有效的，并得到（us- r）- σsπs=0。因此，我们有π*s=us- 所有t的rσs≤ s≤ T，Pa.s.，最优值函数读取asEPt[log（XπT）]=log（xt）+EPtZTtr+（us- r） 2σsds.每次返回到鲁棒优化问题0≤ ti公司≤ T表示i=0，N、 我们有SUPπ∈∏adinfQ∈Q【ti，T】EPti公司对数（XπT）.为了继续，我们首先陈述我们的minimax结果。定理2.1。设Qc[ti，T]如式（2.4）所示，π∈ 定义2.1中定义的∏adbe和方程（2.2）中定义的Xπt的动态s。那么，我们有supπ∈∏adinfQ∈Qc【ti，T】EPti[对数（XπT）]= infQ公司∈Qc[ti，T]supπ∈∏adEPti[对数（XπT）]定理2.1是锡安极大极小定理的一个应用，我们在这里回顾这个定理是为了方便。定理2.2。（28）设X是线性拓扑空间的紧凸集，d Y是线性拓扑空间的凸子集。设f是X×Y上的实值函数，使得f（X，·）在Y上是上半连续的，且在每个X上是拟凹的∈ 十、 of（·，y）对于每个y在X上是下半连续且准凸的∈ Y然后是Minx∈Xsupy公司∈Yf（x，y）=supy∈Yminx公司∈Xf（x，y）。我们首先定义了一个合适的拓扑，以使用mappingP→ P的EPti【对数（XπT）】∈ Qc【ti，T】。定义2.2。一类条件概率测度Ohm, 由S[ti，T]表示，被称为相对紧的，如果对于S[ti，T]中的每个序列{Pn}，都有{Pn}的子序列{Pm}和Ohm （不一定在S[ti，T]中）使得{Pm}弱收敛于P。

isEPmti[克]→ EPti【g】每g：Ohm → 带g的R w∈ Cb公司(Ohm), 其中Cb(Ohm) 是连续有界函数的空间Ohm. 在这种情况下，我们说Pm弱收敛于P，并将其表示为Pm P引理2.2。等式（2.4）中的Qc[ti，T]相对于拓扑定义2.2而言是紧凑的。证据设{Pn}为Qc[ti，T]中的序列。我们将证明{Pn}中的每个序列在Qc[ti，T]中都有一个收敛子序列。如有必要，通过取一个子序列，可以假设pn=Pmj=1αjnPjn，其中αjn→ αj*带αj*∈ [0，1]和Pjn∈ Q【ti，T】对于j=1，m、 重新调用Pjn，对于j=1，m是由形式Dsjt=ujTSjTdt+σSTSjTdWjTPa的过程诱导的r.c.p.m。s、 对于s≤ t型≤ T、 （2.8）给定{Sjr:0≤ r≤ s} 对于WS，jt是一个（FT，P）维纳过程，如方程（2.2）所示。将ДSjT（·）表示为过程方程（2.6）诱导的条件分布的特征函数，我们得到Pn P*在定义2.2的意义上，当且仅当特征函数ДST（z）=EPt[eizSjT]逐点收敛于任何z的某些fts可测量随机变量的特征函数∈ R、 其中S表示概率测度P*. 但通过方程（2.2）和（2.2）中的（σt，ut）动力学，并且由于Γ中的任何序列在Γ中都有收敛的子序列，这仅是在（θun，θσn，ησn，ηun）下的t r ue→ (θu, θσ, ησ, ηu).因此，我们得到r.c.p.m.的pn序列收敛到某个r.c.p.m.p*在…上Ohm,这是由一些可测量的随机变量引起的，其特征函数为mxj=1αj形式*^1SjT（z）。因此，我们得出结论。我们继续下面的引理。引理2.3。让Q∈ q=mXj=1αjQj，αj的Qc[ti，T]≥ 0，Pmj=1αj=1和Qj∈ Q【ti，T】对于j=1，m、 式中，Q[ti，T]如等式（2.4）所示，l et g：Ohm → R是EQti[| g（ω）|]<∞.