约束和无约束最优再保险的统一方法

≤ SX（dn，1）<1，相当于S-1X（bb）≥ dn，n≥dn，n-1.≥ . . . ≥ dn，1，在本例中为K（x）≤ M、 a）如果M>0，则Lh（X）减小，并且在dn处达到最小Lh（X），1=dn，2=dn=dn，n=S-1X（bb），soh（x）=nXj=1Cn，j（x- S-1X（bb））+，Lh（X）=mgα（X）-nXj=1Cn，j“Z∞S-1X（bb）H（x）dx#- D、 b）如果m<0，则Lh（X）增加，并且在dn处达到最小Lh（X），1=dn，2=dn=dn，n=0，soh（x）=nXj=1Cn，jx，Lh（x）=mgα（X）-nXj=1Cn，j“Z∞H（x）dx#- D、 情况D：0<SX（dn，n）≤ . . . ≤ SX（dn，k）≤ 文学士≤ SX（dn，k-1) ≤ . . . ≤ SX（dn，1）≤bb，等于dn，n≥ . . . ≥ dn，k≥ S-1X（ba）≥ dn，k-1.≥ . . . ≥ dn，1≥ S-1X（bb），其中k=2，3，n、 a）如果m>0，则Lh（X）在（0，ba）上减少，在[ba，bb]上增加，则在dn时达到最小Lh（X），1=…=dn，k-1=S-1X（bb）和dn，k=…=dn，n=X，soh（X）=k-1Xj=1Cn，j（x- S-1X（bb））+，Lh（X）=mgα（X）-k-1Xj=1Cn，j“Z∞S-1X（bb）H（x）dx#- D、 b）如果m<0，则Lh（X）在（0，ba）上增加，在[ba，bb]上减少，则在dn时达到最小Lh（X），1=…=dn，k-1=S-1X（ba）和dn，k=…=dn，n=S-1X（ba），soh（x）=k-1Xj=1Cn，j（x- S-1X（ba））++nXj=kCn，j（x- S-1X（ba））+，Lh（X）=mgα（X）-k-1Xj=1Cn，j“Z∞S-1X（ba）H（x）dx#-nXj=kCn，j“Z∞S-1X（ba）H（x）dx#- D、 案例E：ba≤ SX（dn，n）≤ . . . ≤ SX（dn，l）≤bb型≤ SX（dn，l-1) ≤ . . . ≤ SX（dn，1）<1，相当于toS-1X（ba）≥ dn，n≥ . . . ≥ dn，l≥ S-1X（bb）≥ dn，l-1.≥ . . . ≥ dn，1，其中l=2，3，n、 a）如果m>0，则Lh（X）在【ba，bb】上增加，在【bb，1】上减少，则在dn，1=…=dn，l时达到最小Lh（X）-1=S-1X（bb）和dn，l=…=dn，n=S-1X（bb），soh（x）=l-1Xj=1Cn，j（x- S-1X（bb））++nXj=lCn，j（x- S-1X（bb））+，Lh（X）=mgα（X）-l-1Xj=1Cn，j“Z∞S-1X（bb）H（x）dx#-nXj=lCn，j“Z∞S-1X（bb）H（x）dx#- D、 b）如果m<0，则Lh（X）在[ba，bb]上减少，在[bb，1]上增加，在dn，1=…=dn，l时达到最小Lh（X）-1=0，dn，l=。

=dn，n=S-1X（ba），soh（x）=l-1Xj=1Cn，jx+nXj=lCn，j（x- S-1X（ba））+，Lh（X）=mgα（X）-l-1Xj=1Cn，j“Z∞H（x）dx#-nXj=lCn，j“Z∞S-1X（ba）H（x）dx#- D、 情况F：0<SX（dn，n）≤ . . . ≤ SX（dn，k）≤ 文学士≤ SX（dn，k-1) ≤ . . . ≤ SX（dn，l）≤bb型≤ SX（dn，l-1) ≤ . . . ≤SX（dn，1）<1，相当于dn，n≥ . . . ≥ dn，k≥ S-1X（ba）≥ dn，k-1.≥ . . . ≥ dn，l≥ S-1X（bb）≥dn，l-1.≥ . . . ≥ dn，1≥ 0，其中l=2，3，k- 1，k=3，4，n、 a）如果m>0，则Lh（X）在（0，ba）和[bb，1）上减少，在[ba，bb]上增加，则在dn处达到最小Lh（X），1=…=dn，l-1=S-1X（bb），dn，l=…=dn，k-1=S-1X（bb）和dn，k=…=dn，n=X，soh（X）=l-1Xj=1Cn，j（x- S-1X（bb））++k-1Xj=lCn，j（x- S-1X（bb））+，Lh（X）=mgα（X）-l-1Xj=1Cn，j“Z∞S-1X（bb）H（x）dx#-k-1Xj=lCn，j“Z∞S-1X（bb）H（x）dx#- D、 b）如果m<0，则Lh（X）在（0，ba）和[bb，1]上增加，在[ba，bb]上减少，则在dn，1=…=dn，l-1=0，dn，l=…=dn，k-1=S-1X（ba），dn，k=…=dn，n=S-1X（ba），soh（x）=l-1Xj=1Cn，jx+k-1Xj=lCn，j（x- S-1X（ba））++nXj=kCn，j（x- S-1X（ba））+，Lh（X）=mgα（X）-l-1Xj=1Cn，j“Z∞H（x）dx#-k-1Xj=lCn，j+nXj=kCn，j！“Z∞S-1X（ba）H（x）dx#- D我们已经准备好介绍这一节的主要结果，这些结果在定理3.1中有所陈述。引理3.2用于通过确定Pcn，j的值来获得（3.1）的解。具体结果总结在以下定理中。定理3.1。给定置信水平1- α，0<α<SX（0）和1- 0<γ<SX（0）的γ，对于任何函数h（x）=Pnj=1Cn，j（x- dn，j）+∈ 给定系数Cn，j，j=1，2，…的H。

，n：（1）如果m=0，则f*（x） =0。（2） 当m6=0时，考虑以下情况。（i） 如果M<K，则f*（x） =xI{m>0}。（ii）当M=K时，如果存在点t∈ （0，1）使得K（t）=M，然后f*∈ H对于其他情况，f*（x） =xI{m>0}。（iii）如果M>K，则*（x） =xI{m<0}。（iv）当M=K时，如果存在点t*∈ （0，1）使得K（t*) = M、 然后是f*∈ H对于其他情况，f*（x） =xI{m<0}。（v） 当K<M<K时，我们考虑以下六种情况。情况A.如果t=ba，则f*∈ H、 对于0<SX（dn，n）≤ SX（dn，n-1) ≤ . . . ≤ SX（dn，1）<ba，f*（x） =（x- S-1X（ba））+I{m<0}。案例B：I f t=ba或t=bb，然后f*∈ H、 对于ba<SX（dn，n）≤ SX（dn，n-1) ≤ . . . ≤ SX（dn，1）<bb，f*（x） =（x- S-1X（bb））+I{m>0}。案例C.I f t=bb，然后是f*∈ H、 对于BB<SX（dn，n）≤ SX（dn，n-1) ≤ . . . ≤ SX（dn，1）<1，f*（x） =xI{m<0}。情况D.如果t=ba或t=bb，则f*∈ H、 对于0<SX（dn，n）≤ . . . ≤ SX（dn，k）<ba<SX（dn，k-1) ≤ . . . ≤SX（dn，1）<bb，其中k=2，3，n、 f级*（x） =（x- S-1X（bb））+I{m>0}+（x- S-1X（ba））+I{m<0}。情况E.如果t=ba或t=bb，则f*∈ H、 对于ba<SX（dn，n）≤ . . . ≤ SX（dn，l）<bb<SX（dn，l-1) ≤ . . . ≤SX（dn，1）<1，其中l=2，3，n、 f级*（x） =（x- S-1X（bb））+I{m>0}+xI{m<0}。案例F。如果t=ba或t=bb，则F*∈ H对于0<SX（dn，n）≤ . . . ≤ SX（dn，k）<ba<SX（dn，k-1) ≤ . . . ≤SX（dn，l）<bb<SX（dn，l-1) ≤ . . . ≤ SX（dn，1）<1，其中l=2，3，k- 1，k=3，4，n、 f级*（x） =（x- S-1X（bb））+I{m>0}+[cx+c（x- S-1X（ba））+]I{m<0}。其中c>0、c>0和cx+c（x- S-1X（ba））+≤ x、 证明。以特定形式获得最优让渡损失函数f*, 我们只需要根据H（x）的符号来判断pcn的大小。1、由于m=0，Lh（X）=mgα（X）-D、 h（x）=0。从（3.2）中，我们得出Lf*（十） =mρgα（X）-D、 f级*= 0.2.

当m6=0时，我们考虑以下情况。（1） 当M<K时，对于任何SX（x）∈ （0，1），K（SX（x））>M，这相当于gα（SX（x））gγ（SX（x））>mm，a），如果M>0，则h（x）=mgα（SX（x））- mgγ（SX（x））>0。我们得出当Npnj=1Cn，j=1，Lf*（十） =米gα（X）-R∞H（x）dx- D、 Lh（X）的最小值在f处*= x、 b）如果m<0，则Lf*（十） =米gα（X）- D、 在f处达到Lh（X）的最小值*= 0。（2）当M=K时，如果存在K（t）=M的点tsuch，则H（x）=0，f*∈ H对于其他情况，证明类似于M<的情况，我们省略了它。（3） 当M>K时，对于任何SX（x）∈ （0，1），K（SX（x））<M，a）如果M>0，则Lf*（十） =米gα（X）- D、 在f处达到最小o f Lh（X*= 如果m<0，则H（x）>0。我们得出当Npnj=1Cn，j=1，Lf*（十） =米gα（X）-R∞H（x）dx-D、 在f处达到Lh（X）的最小值*= x、 （4）当M=K时，如果存在点t*使得K（t*) = M，则H（x）=0，f*∈ H对于其他情况，证明类似于M>K的情况，我们省略了它。（5） 当K<M<K时，我们考虑以下六种情况：i）对于情况A：如果t=ba，则K（t）=M，H（x）=0，因此，f*∈ H对于任何SX（dn，j）∈ （0，ba），K（SX（dn，j））<M，我们考虑以下两种情况，a）如果M>0，则Lf*（十） =米gα（X）- D、 在f处达到最小o f Lh（X*= 如果m<0，则H（x）>0，因此，当Npnj=1Cn，j=1，Lf*（十） =米gα（X）-Z∞S-1X（ba）H（x）dx- D、 在f处达到Lh（X）的最小值*= （十）- S-1X（ba））+。ii）对于情况B：如果t=ba或t=bb，则K（t）=M，H（x）=0，因此，f*∈ H、 对于任何SX（dn，j）∈ （ba，bb），K（SX（dn，j）>M，我们考虑以下两种情况，a）如果M>0，那么H（x）>0，当nj=1Cn，j=1，Lf*（十） =米gα（X）-Z∞S-1X（bb）H（x）dx- D、 在f处达到Lh（X）的最小值*= （十）- S-1X（bb））+。b） 如果m<0，则H（x）<0，当Npnj=1Cn，j=0，Lf*（十） =米gα（X）- D、 在f处达到Lh（X）的最小值*= 对于情况C：如果t=bb，则K（t）=M，H（x）=0，因此，f*∈ H

对于任何SX（dn，j）∈ （bb，1），K（SX（dn，j）<M，我们考虑以下两种情况，a）如果M>0，那么H（x）<0，当nj=1Cn，j=0，Lf*（十） =米gα（X）- D、 在f处达到Lh（X）的最小值*= 如果m<0，则H（x）>0，当Npnj=1Cn，j=1，Lf*（十） =米gα（X）-Z∞H（x）dx- D、 在f处达到Lh（X）的最小值*= x、 iv）对于情况D：如果t=ba或t=bb，则K（t）=M，H（x）=0，因此，f*∈ H对于其他情况，对于SX（dn，j），我们得到K（SX（dn，j））<M∈ （0，ba），其中j=k，k+1，n、 K（SX（j））>M forSX（dn，j）∈ （ba，bb），其中j=1，2，k- 1，a）如果m>0，则对于SX（dn，j），H（x）<0∈ （0，ba），其中j=k，k+1，n对于SX（dn，j），H（x）>0∈（ba，bb），其中j=1，2，k- 所以，w henPk-1j=1Cn，j=1，PNJ=kCn，j=0，Lf*（十） =米gα（X）-Z∞S-1X（bb）H（x）dx- D、 在f处达到Lh（X）的最小值*= （十）- S-1X（bb））+。b） 如果m<0，则对于SX（dn，j），H（x）>0∈ （0，ba），其中j=k，k+1，n对于SX（dn，j），H（x）<0∈（ba，bb），其中j=1，2，k- 所以，w henPk-1j=1Cn，j=0，PNJ=kCn，j=1，Lf*（十） =米gα（X）-Z∞S-1X（ba）H（x）dx- D、 在f处达到Lh（X）的最小值*= （十）- S-1X（ba））+。v） 对于情况E：如果t=ba或t=bb，则K（t）=M，H（x）=0，因此，f*∈ H、 对于其他情况，对于SX（dn，j），我们得到K（SX（j））>M∈ （ba，bb），其中j=l，l+1，n、 K（SX（dn，j））<M forSX（dn，j）∈ （bb，1），其中j=1，2，l- 1，a）如果m>0，则对于SX（dn，j），H（x）>0∈ （ba，bb），其中j=l，l+1，n对于SX（dn，j），H（x）<0∈（bb，1），其中j=1，2，l- 1、我们推导出-1j=1Cn，j=0，PNJ=lCn，j=1，Lf*（十） =米gα（X）-Z∞S-1X（bb）H（x）dx- D、 在f处达到Lh（X）的最小值*= （十）- S-1X（bb））+。b） 如果m<0，则对于SX（dn，j），H（x）<0∈ （ba，bb），其中j=l，l+1，n对于SX（dn，j），H（x）>0∈（bb，1），其中j=1，2，l- 1.

我们推导出thatPl-1j=1Cn，j=1，PNJ=lCn，j=0，Lf*（十） =米gα（X）-Z∞H（x）dx- D、 在f处达到Lh（X）的最小值*= x、 vi）对于情况F：如果t=ba或t=bb，则K（t）=M，H（x）=0，因此，F*∈ H、 对于其他情况，对于SX（dn，j），我们得到K（SX（dn，j））<M∈ （0，ba），其中j=k，k+1，n、 K（SX（dn，j））>Mfor SX（dn，j）∈ （ba，bb），其中j=l，l+1，k- 1，K（SX（dn，j））<M表示SX（dn，j）∈ （bb，1），其中j=1，2，l- 1，a）如果m>0，则对于SX（dn，j），H（x）<0∈ （0，ba），其中j=k，k+1，n对于SX（dn，j），H（x）>0∈（ba，bb），其中j=l，l+1，k- 1.对于SX（dn，j），H（x）<0∈ （bb，1），其中j=1，2，l- 1、我们派生出-1j=1Cn，j=0和pk-1j=lCn，j=1，Lf*（十） =米gα（X）-Z∞S-1X（bb）H（x）dx- D、 在f处达到Lh（X）的最小值*= （十）- S-1X（bb））+。b） 如果m<0，则对于SX（dn，j），H（x）>0∈ （0，ba），其中j=k，k+1，n对于SX（dn，j），H（x）<0∈（ba，bb），其中j=l，l+1，k- 1.对于SX（dn，j），H（x）>0∈ （bb，1），其中j=1，2，l- 1、我们派生出-1j=1Cn，j=c，Pk-1j=lCn，j=0，PNJ=kCn，j=c，Lf*（十） =米gα（X）- cZ公司∞H（x）dx- cZ公司∞S-1X（ba）H（x）dx- D、 在f处达到Lh（X）的最小值*= cx+c（x- S-1X（ba））+，其中c>0、c>0和cx+c（x-S-1X（ba））+≤ x。备注3.1。当λ=λ=λ=0和β=1时，如果我们采用VaR风险度量和Wang的premiumprinciple，那么我们的结果恢复了Cheung（2010）的定理3，并且优于他们，因为他们的结果仅包括配额份额再保险，但我们的结果包括配额份额、止损、变更损失，配额份额和变动损失的组合，或者变动损失和变动损失的组合，以及不同的保留金，这意味着我们的结果为再保险策略提供了更多的选择。备注3.2。本文仅给出K（t）是凹函数的证明。

当nk（t）在区间（0,1）内具有不规则形状时，根据Zhuang et al.（2016）的备注4.3，很容易以相同的方式得出最优再保险。从定理3.1中，我们得到了无约束优化问题和有约束优化问题的其他情形。接下来，我们将只给出无约束最优再保险和其他情况下以同样的方式实现的。推论3.1。（无约束优化问题）假设置信水平为1- α，0<α<SX（0）和1- 当λ=λ=λ=λ=0时，从定理3.1我们得到以下结果。（1） 如果β=，则f*（十）∈ H、 （2）当β6=，考虑以下情况。（i） 当1+ρ≤ K、 如果存在一个点tsuch，K（t）=1+ρ，那么f*（十）∈ H对于其他情况，f*（x） =xI{β>}。（ii）当1+ρ≥K、 如果存在点t*使得K（t*) = 1+ρ，然后f*（十）∈ H对于其他情况，f*（x） =xI{β<}。（iii）当K<1+ρ<K时，考虑以下六种情况。情况A.如果t=ba，则f*∈ H、 对于0<SX（dn，n）≤ SX（dn，n-1) ≤ . . . ≤ SX（dn，1）<ba，f*（x） =（x- S-1X（ba））+I{β<}。案例B：I f t=ba或t=bb，然后f*∈ H、 对于ba<SX（dn，n）≤ SX（dn，n-1) ≤ . . . ≤ SX（dn，1）<bb，f*（x） =（x- S-1X（bb））+I{β>}。案例C.I f t=bb，然后是f*∈ H、 对于BB<SX（dn，n）≤ SX（dn，n-1) ≤ . . . ≤ SX（dn，1）<1，f*（x） =xI{β<}。情况D.如果t=ba或t=bb，则f*∈ H、 对于0<SX（dn，n）≤ . . . ≤ SX（dn，k）<ba<SX（dn，k-1) ≤ . . . ≤SX（dn，1）<bb，其中k=2，3，n、 f级*（x） =（x- S-1X（bb））+I{β>}+（x- S-1X（ba））+I{β<}。情况E.如果t=ba或t=bb，则f*∈ H、 对于ba<SX（dn，n）≤ . . . ≤ SX（dn，l）<bb<SX（dn，l-1) ≤ . . . ≤SX（dn，1）<1，其中l=2，3，n、 f级*（x） =（x- S-1X（bb））+I{β>}+xI{β<}。案例F。如果t=ba或t=bb，则F*∈ H、 对于0<SX（dn，n）≤ . . . ≤ SX（dn，k）<ba<SX（dn，k-1) ≤ . . . ≤SX（dn，l）<bb<SX（dn，l-1) ≤ . . . ≤ SX（dn，1）<1，其中l=2，3，k- 1，k=3，4。

，n，f*（x） =（x- S-1X（bb））+I{β>}+[cx+c（x- S-1X（ba））+]I{β<}。其中c>0、c>0和cx+c（x- S-1X（ba））+≤ x、 备注3.3。如果没有约束，则λ=λ=λ=0。我们知道M=1+ρ，H（dn，j）=（2β- 1） [gα（SX（dn，j））- （1+ρ）gγ（SX（dn，j））]。如果β=，t=t，t=t*, t=ba或t=bb，然后是f*∈ H、 这意味着最优再保险策略可以是任何递增凸函数。4两种特殊情况在本节中，我们考虑两种特殊情况：风险价值（VaR）和尾部风险价值（TVaR）。为了简化计算，我们采用了预期溢价原则，即在预期溢价原则下，保险人和再保险人的风险由VaR和TVaR风险度量来衡量。接下来，我们将给出VaR风险测度下的最优再保险以及相应的数值例子。4.1风险价值正如我们所知，风险价值是具有扭曲函数gα（t）的扭曲风险度量的一个特殊示例=0，t<α，1，t≥ α.当采用期望保费原则gγ（t）=t时，我们导出k（t）=gα（t）gγ（t）=0，t<α，t，t≥ α.（4.1）根据定理3.1，我们得到以下命题。提案4.1。假设风险由预期溢价原则下的VaR风险度量来衡量，对于0<α<SX（0）和0<α<SX（0），β∈ [0，1]，λi≥ 0，其中i=1，2，3，我们得到以下结果。（1） 如果m=0，则f*（x） =0。（2） 当m6=0时，考虑以下情况。（i） 当M≤ 0，如果t∈ （0，α）且M=0，则K（t）=M，f*（十）∈ H对于其他情况，f*（x） =0。（ii）当M≥α、 如果t*= α和M=α，然后K（t*) = M、 f级*（十）∈ H对于其他情况，f*（x） =xI{m<0}。（iii）当0<M<α时，我们考虑以下六种情况。情况A.如果t=α，则f*∈ H、 对于0<SX（dn，n）≤ SX（dn，n-1) ≤ . . . ≤ SX（dn，1）<α，f*（x） =（x- VaRα（X））+I{m<0}。情况B.如果t=α或t=bb，则f*∈ H、 对于α<SX（dn，n）≤ SX（dn，n-1) ≤ . . .

≤ SX（dn，1）<bb，f*（x） =（x- S-1X（bb））+I{m>0}。情况C.如果t=bb，则f*∈ H、 对于BB<SX（dn，n）≤ SX（dn，n-1) ≤ . . . ≤ SX（dn，1）<1，f*（x） =xI{m<0}。情况D.如果t=α或t=bb，则f*∈ H、 对于0<SX（dn，n）≤ . . . ≤ SX（dn，k）<α<SX（dn，k-1) ≤ . . . ≤SX（dn，1）<bb，其中k=2，3，n、 f级*（x） =（x- S-1X（bb））+I{m>0}+（x- VaRα（X））+I{m<0}。情况E.如果t=α或t=bb，则f*∈ H、 对于α<SX（dn，n）≤ . . . ≤ SX（dn，l）<bb<SX（dn，l-1) ≤ . . . ≤SX（dn，1）<1，其中l=2，3，n、 f级*（x） =（x- S-1X（bb））+I{m>0}+xI{m<0}。情况F.如果t=α或t=bb，则F*∈ H、 对于0<SX（dn，n）≤ . . . ≤ SX（dn，k）<α<SX（dn，k-1) ≤ . . . ≤SX（dn，l）<bb<SX（dn，l-1) ≤ . . . ≤ SX（dn，1）<1，其中l=2，3，k- 1，k=3，4，n、 f级*（x） =（x- S-1X（bb））+I{m>0}+[cx+c（x- VaRα（X））+]I{m<0}。其中c>0、c>0和cx+c（x- V aRα（X））+≤ x、 备注4.1。在VaR风险度量下，从（4.1）中，我们得到K=0，K=α和K（t）=0∈ (0, α). 如果t∈ （0，α）且M=0，则f*∈ H、 这意味着再保险合同可以是所有t∈ (0, α). 此外，我们推导出S-1X（ba）=VaRα（X），因为ba=α。备注4.2。当λ=λ=λ=0且β=1时，我们的结果恢复了Cai等人（2008）的定理3.1、Cheung（2010）的定理1以及Cai和Tan（2010）的定理3.1。此外，我们的结果优于他们，因为我们研究中的最优再保险合同包括定额分摊和变动损失的组合，以及变动损失和变动损失与不同保留金的组合，这在上述论文中并不存在，这意味着我们的发现为再保险策略提供了更多选择。示例4.1。假设累积损失X遵循膨胀分布FX（X）=1-e-0.001X或x≥ 0，则E（X）=1000，VaRα（X）=-1000 lnα。设α=0。05，则VaRα（X）=2995.73，α=20，K=0，K=20。

设λ=0.3，λ=0.4，λ=0.3，ρ=0。2，thenM=（2β- 0.8) × 1.22β - 1.1，如果m>0且m>0，则β>0.55；如果m<0且m<0，则β<0.4。从（4.1）中，我们得出Ba=α=0.05，因此我们得到以下最优再保险。（i） 如果m=0，则f*= 0.m=0的情况相当于β=0.55，这意味着保险人承担β=0.55情况下的所有损失是最佳选择。（ii）当M≤ 0，如果t的K（t）=M=0∈ （0，0.05），然后是f*（十）∈ H、 这意味着当β=0.4和t∈ （0，0.05），最优再保险可以是任何递增凸函数；对于其他cas，f*= 0，对于M<0的情况，我们有M<0和M>0，这意味着当0.4<β<0.55时，保险人承担所有损失是最佳选择。（iii）当M≥ 20，如果K（t*) = 对于t，M=20*= 0.05，则f*（十）∈ H、 这意味着o ptima lreinsurance可以是p点t=t处的任何递增凸函数*β=0.56；对于其他情况，β≤ 0.56，更多，我们得到f*（x） =0表示0。55<β<0.56和f*（x） =x表示β<0.4。（iv）当0<M<20，相当于β>0.56时，我们得出f*（x） =情况A、C和f为0*（x） =（x- S-1X（bb））+对于案例B和D-F。因此，对于案例A和C，保险人承担所有损失是最佳选择，对于案例B和D-F，止损再保险是最佳选择。当t=0.05或t=bb时，最佳再保险可以是任何递增凸函数。4.2尾部风险价值与尾部风险价值类似，我们考虑尾部风险价值的情况。由于fTvar的畸变函数可以描述如下：gα（t）=tα，t<α，1，t≥ α、 当采用期望保费原则gγ（t）=t时，我们有k（t）=gα（t）gγ（t）=α、 t<α，t，t≥ α.（4.2）根据定理3.1，我们得到以下命题。提案4.2。