约束和无约束最优再保险的统一方法

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《A unifying approach to constrained and unconstrained optimal reinsurance》
---
作者：
Yuxia Huang, Chuancun Yin
---
最新提交年份：
2018
---
英文摘要：
  In this paper, we study two classes of optimal reinsurance models from perspectives of both insurers and reinsurers by minimizing their convex combination where the risk is measured by a distortion risk measure and the premium is given by a distortion premium principle. Firstly, we show that how optimal reinsurance models for the unconstrained optimization problem and constrained optimization problems can be formulated in a unified way. Secondly, we propose a geometric approach to solve optimal reinsurance problems directly. This paper considers a class of increasing convex ceded loss functions and derives the explicit solutions of the optimal reinsurance which can be in forms of quota-share, stop-loss, change-loss, the combination of quota-share and change-loss or the combination of change-loss and change-loss with different retentions. Finally, we consider two specific cases: Value at Risk (VaR) and Tail Value at Risk (TVaR).
---
中文摘要：
在本文中，我们从保险人和再保险人的角度研究了两类最优再保险模型，通过最小化它们的凸组合，其中风险由扭曲风险测度度量，保费由扭曲保费原则给出。首先，我们展示了如何将无约束优化问题和约束优化问题的最优再保险模型统一起来。其次，我们提出了一种直接求解最优再保险问题的几何方法。本文考虑了一类递增凸分保损失函数，导出了最优再保险的显式解，其形式可以是配额份额、止损、变动损失、配额份额与变动损失的组合或变动损失与变动损失在不同保留率下的组合。最后，我们考虑两种具体情况：风险价值（VaR）和尾部风险价值（TVaR）。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
--

---
PDF下载：
--> A_unifying_approach_to_constrained_and_unconstrained_optimal_reinsurance.pdf (186.22 KB)

2022-6-10 07:22:54 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏1 回帖

关键词：无约束 再保险 Optimization Quantitative Applications

约束和非约束最优再保险的统一方法曲阜师范大学统计学院玉霞黄传村音山东273165，中国电子邮件：ccyin@mail.qfnu.edu.cnJuly本文从保险人和再保险人的角度出发，通过最小化其凸组合，研究了两类最优再保险模型，其中风险由扭曲风险测度度量，保费由扭曲保费原则给出。首先，我们展示了如何以统一的方式建立无约束优化问题和约束优化问题的最优再保险模型。其次，我们提出了一种直接求解最优再保险问题的几何方法。本文考虑了一类递增凸分保损失函数，导出了最优再保险的显式解，其形式可以是配额份额、止损、变动损失、配额份额与变动损失的组合或变动损失与变动损失在不同保留条件下的组合。最后，我们考虑两种特殊情况：风险价值（VaR）和尾部价值风险（TVaR）。关键词：失真风险度量；失真溢价原则；几何方法；拉格朗日对偶法；增加凸函数；无约束优化问题；约束优化问题1介绍再保险是保险公司有效的风险管理工具。通过平衡已付损失和再保险保费，保险公司可以通过分担部分损失来控制风险。LetX是保险人的初始损失。假设X是累积分布函数FX（X）=P（X）的非负随机变量≤ x） ，生存函数SX（x）=P（x>x）和0<E[x]<∞.

为了避免严重的理赔，保险公司从另一家公司购买再保险，并向再保险公司支付一定金额的赔偿金作为共同赔偿。假设保险公司将损失函数分离为f（X），0≤ f（X）≤ 十、 然后保险人保留损失X- f（X），表示为If（X）。设∏f（X）表示再保险保费，该保费对应于分保损失函数f（X），TIf（X）和TRf（X）分别表示保险公司和再保险公司的总损失。然后我们得到以下关系：TIf（X）=If（X）+∏f（X）（1.1）和trf（X）=f（X）- ∏f（X）。（1.2）设T（X）表示保险人和再保险人的总服务水平s的凸组合，如下所示：T（X）=βTIf（X）+（1- β） TRf（X），β∈ [0, 1]. （1.3）最优再保险的发展经历了很长一段时间。Borch（1960）证明，在期望值原则下，当保险人的风险用方差来衡量时，止损再保险是最优的。Arrow（1963）表明，在期望价值原则下，当保险人是一个期望效用最大化者时，止损再保险是最优的。这些基本结论已扩展到许多有趣和重要的方向。例如，Young（1999）、Kaluszka（2001）、Kaluszka和Okolewski（2008）。Cai和Tan（2007）提出了两个优化标准，通过风险价值（VaR）和条件尾部期望（CTE）最小化保险人的总损失。Cai et al.（2008）表明，当他们在期望值原则下研究VaR和CTE增加凸分保损失函数时，配额份额和止损再保险是最优的。Cheung（2010），Tan et al.（2011），Chi and Tan（2011），Chi and Tan（201 3），Li et al.（20 15）扩展了基本结果。Cheung等人（2014）扩展了Tan等人的结论。

（2011）到满足正则不变性的一般凸风险度量。有很多关于变更风险度量和顺序的研究，例如，尹和朱（2 016），尹（2018）。Chi and Tan（2013），Chi and Weng（2013）研究了一类保持凸序的保费原则。Zheng和Cui（2014）讨论了失真风险度量的一般模型，并假设偏差函数是分段凸或凹的。Cui等人（2013年）研究了具有扭曲风险度量和扭曲溢价原则的一般模型。Cheung和Lo（2015）在成本效益框架下扩展了Cui等人（2013）的模型。Assa（2015）通过边际赔偿函数（MIF）公式研究了Cui等人（2013）在没有保费约束的情况下的最优再保险模型。Zuanget al.（2016）将MIF公式和拉格朗日对偶方法相结合，研究了保费约束下的最优再保险。Jiang等人（2017）研究了扭曲风险测度下具有风险约束的Pareto-o最优再保险。受Cai et al.（2008）、Zhuang et al.（2016）和Jiang et al.（2017）的启发，我们希望寻求一种解决这类约束优化问题的统一方法。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们给出了两类优化模型：无约束优化模型和约束优化模型。此外，我们提出了两类问题的统一框架。在第三节中，我们给出了求解目标函数的几何方法，并推导了最优再保险。在第4节中，我们给出了VaR和TVaR的数值例子。第5节总结了本文。2模型在本节中，我们建立了保险人和再保险人的最优再保险模型。此外，我们还提出了一种解决无约束优化问题和约束优化问题的唯一方法。

本节首先简要描述失真风险度量和失真。2.1失真风险度量和预测通过本文，我们将VaR和TVaR定义为VaRα（X）=inf{X:P（X>X）≤ α} TVaRα（X）=E[X | X≥ VaRα（X）]。定义2.1。非负随机变量X的失真风险度量定义为g（X）=Z∞g（SX（x））dx，（2.1），其中函数g:[0，1]→ [0，1]是非递减的，g（0）=0，g（1）=1。根据Fubini定理，我们得到g（X）=ZV aRα（X）dg（α）。（2.2）定义2.2。非负随机变量X的失真溢价原理定义为∏（X）=（1+ρ）g（X），其中ρ>0是安全荷载。我们得到了再保险前∏f（X）的表达式，它对应于分保损失函数f（X），如下所示：∏f（X）=（1+ρ）g（f（X））。（2.3）如果g（x）=x，则失真溢价原则恢复预期值原则。如果变形函数是ρ=0的凹函数，则扭曲溢价原理恢复了Wang的溢价原理。备注2.1。在本文中，假设失真风险度量的置信水平为1-α（0<α<1），失真溢价原则的置信水平为1- γ (0 < γ < 1). 为了便于讨论，我们给出了以下定义k（t），gα（t）gγ（t），t∈ (0, 1). （2.4）注意K（t）可以是凸的、凹的、分段凸的或凹的，这里我们只讨论K（t）是凹函数的情况。

其他情况可采用相同的方法进行讨论。在下面的小节中，我们将从两个优化问题开始研究两类优化问题。2.2模型设置let H表示一类让渡损失函数，由[0]中定义的所有H（x）组成，∞) 公式h（x）=nXj=1Cn，j（x- dn，j）+，x≥ 0，n=1，2，···，其中Cn，j≥ 0和dn，j≥ 0是常数，因此0≤Pnj=1Cn，j≤1，dn，1≤ dn，2≤ · · · ≤ 设F={F（x）：F（x）是用0增加凸函数≤ f（x）≤ x代表x∈ [0, ∞)}. 请注意，H F、 假设F*是一种最优再保险策略，根据Cai et al.（2008）的引理3.2和富比尼定理，我们得到了βgα（TIf*（十） ）+（1- β)gα（TRf*（十） ）=明∈H{βgα（TIh（X））+（1- β)gα（TRh（X））}。（2.5）现在我们考虑一个理想情况。保险人和再保险人有足够的资本，因此他们不担心自己将承担的损失，并且在设计再保险合同时，保险人可以在不受预算限制的情况下支付再保险费。在这种情况下，我们给出如下无约束优化模型。模式1（无约束优化模型）最小值{gα（T（X））}。（2.6）在实际的保险应用中，保险人和再保险人的监管机构将要求他们的损失限制在一个范围内，并且保险人将对再保险费有一个不可接受的限制。在这种情况下，我们给出了如下约束优化模型。模式2（约束优化模型）最小值{gα（T（X））}，s.T。gα（TIh（X））≤ Lgα（TRh（X））≤ 五十、 ∏h（X）≤ 五十、 （2.7）其中，L表示一定的货币水平。重要的是找到一种解决无约束优化问题和约束优化问题的统一方法。

接下来，我们将展示如何以同样的方式制定无约束优化问题和约束优化问题的最优再保险设计。表示无约束优化模型如下：min Lh（X），min{gα（T（X））}。（2.8）通过La grangian对偶方法（来自Jiang et al.（2017）和公式（16）），（2.7）可以表示为Smin Lh（X），min{gα（T（X））+λ(gα（TIh（X））-五十） +λ(gα（TRh（X））-五十） +λ（πh（X）-五十） }，（2.9），其中λi>0，对于i=1，2，3。我们得出（2.8）和（2.9）可以在统一格式min Lh（X），min{gα（T（X））+λ(gα（TIh（X））-五十） +λ(gα（TRh（X））-五十） +λ（πh（X）-五十） }，（2.1 0），其中λi≥ 0，i=1，2，3。从（2.10）中，我们实现了以下内容。案例1：λ>0，λ=λ=0，这意味着保险人将其损失限制在一个范围内。情况2：λ>0，λ=λ=0，这意味着再保险人将其损失限制在一个范围内。案例3：λ>0，λ=λ=0，这意味着保险人有再保险保费预算约束。例如，Zheng et al.（201 4）和Zhuang et al.（2016）。案例4：λ>0，λ>0，λ=0，这意味着两家保险公司都在arange控制其损失。例如，Jiang等人（2017年）。案例5：λ>0，λ>0，λ=0，这意味着保险人有损失约束和再保险保费预算约束。案例6：λ>0，λ>0，λ=0，这意味着保险人有再保险保费预算约束，再保险人将其损失限制在一定范围内。我们知道，解决这些优化问题会转化为求解（2.10）。在下一节中，我们将用几何方法求解（2.10）。在此之前，我们通过介绍以下符号来结束本节。对于β∈ [0，1]，λi≥ 0，i=1，2，3，我们表示β+λ=m，2β- 1 + λ- λ=m，（1+ρ）（2β- 1 + λ- λ+λ）=m，（2.11）λL+λL+λL=D，m=m/m，（2.12）X=sup{X:X∈ [0, ∞)}, （2.13）K=sup{K（t）：t∈ （0，1）}，K=inf{K（t）：t∈ （0，1）}，（2.14）H（x）=mgα（SX（x））- mgγ（SX（x））。

（2.15）3最优再保险合同在本节中，我们将推导这些最优问题的解。现在，我们给出（2.10）的具体表达式。根据公式（1.1）-（1.3），我们得到gα（T（X））+λ(gα（TIh（X））- 五十） +λ(gα（TRh（X））- 五十） +λ（πh（X）- 五十） =米gα（X）- m级gα（h（X））+mgγ（h（X））- D、 so（2.10）表示为asmin Lh（X）=minh∈H{mgα（X）- m级gα（h（X））+mgγ（h（X））- D} 。（3.1）对于表达式（2.5），我们有*（十） =最小左侧（X）。（3.2）根据Cai等人（20 08）的公式（2.5）和（2.6），我们得到以下引理。引理3.1。对于任何h（x）=Pnj=1Cn，j（x- dn，j）+∈ H且鉴于置信水平1- α带0<α<SX（0）和1- 当0<γ<SX（0）时，我们得到lh（X）=mZS-1X（t）dgα（t）- m“n-1Xi=1xj=1Cn，jZSX（dn，i）SX（dn，i+1）（S-1X（t）- dn，j）dgα（t）+nXj=1Cn，jZSX（dn，n）（S-1X（t）- dn，j）dgα（t）#+m“n-1Xi=1xj=1Cn，jZSX（dn，i）SX（dn，i+1）（S-1X（t）- dn，j）dgγ（t）+nXj=1Cn，jZSX（dn，n）（S-1X（t）- dn，j）dgγ（t）#- D、 基于Lh（X）的表达式，我们不仅讨论了M、K和K的大小，而且还讨论了M、K和K的大小，从而分析了它的最小值。结果总结在下面的引理中。引理3.2。鉴于置信水平1- α，0<α<SX（0）和1- 0<γ<SX（0）的γ，对于任何函数h（x）=Pnj=1Cn，j（x- dn，j）+∈ 给定系数Cn，j，j=1，2，n： （1）如果m=0，则h（x）=0。（2） 当m6=0时，考虑以下情况。（i） 如果M≤ K、 thenh（x）=xI{m>0}nXj=1Cn，j.（ii）如果m≥K、 考虑到以下六种情况，当K<m<K时，h（x）=xI{m<0}nXj=1Cn，j.（iii）。案例A.如果0<SX（dn，n）≤ SX（dn，n-1) ≤ . . . ≤ SX（dn，1）≤ ba，然后h（x）=（x- S-1X（ba））+I{m<0}nXj=1Cn，j.案例B.I f ba≤ SX（dn，n）≤ SX（dn，n-1) ≤ . . . ≤ SX（dn，1）≤bb，然后h（x）=（x- S-1X（bb））+I{m>0}nXj=1Cn，j+（x- S-1X（ba））+I{m<0}nXj=1Cn，j.案例C.I fbb≤ SX（dn，n）≤ SX（dn，n-1) ≤ . . . ≤ SX（dn，1）<1，然后h（x）=（x- S-1X（bb））+I{m>0}nXj=1Cn，j+xI{m<0}nXj=1Cn，j.情况D.如果0<SX（dn，n）≤ . . .

≤ SX（dn，k）≤ 文学士≤ SX（dn，k-1) ≤ . . . ≤ SX（dn，1）≤bb，其中k=2，3，n、 然后h（x）=（x- S-1X（bb））+I{m>0}k-1Xj=1Cn，j+（x- S-1X（ba））+I{m<0}”k-1Xj=1Cn，j+nXj=kCn，j#。案例E.如果ba≤ SX（dn，n）≤ . . . ≤ SX（dn，l）≤bb型≤ SX（dn，l-1) ≤ . . . ≤ SX（dn，1）<1，其中l=2，3，n、 然后h（x）=（x- S-1X（bb））+I{m>0}”l-1Xj=1Cn，j+nXj=lCn，j#+I{m<0}”xl-1Xj=1Cn，j+（x- S-1X（ba））+nXj=lCn，j#。情况F.如果0<SX（dn，n）≤ . . . ≤ SX（dn，k）≤ 文学士≤ SX（dn，k-1) ≤ . . . ≤ SX（dn，l）≤bb型≤ SX（dn，l-1) ≤ . . . ≤SX（dn，1）<1，其中l=2，3，k- 1，k=3，4，n、 然后h（x）=（x- S-1X（bb））+I{m>0}”l-1Xj=1Cn，j+k-1Xj=lCn，j#+I{m<0}”xl-1Xj=1Cn，j+（x- S-1X（ba））+k-1Xj=lCn，j+nXj=kCn，j！#。证据根据引理3.1，我们得到左侧（X）dn，1=Cn，1[mgα（SX（dn，1））- mgγ（SX（dn，1））]，左侧（X）dn，2=Cn，2[mgα（SX（dn，2））- mgγ（SX（dn，2））]，。。。左侧（X）dn，n=Cn，n[mgα（SX（dn，n））- mgγ（SX（dn，n））]。使用表达式（2.15），如果左侧（X）dn，j=0，然后H（dn，j）=0。设t=SX（x），fr om（2.14），我们知道K≤ K（t）≤ K对于任何t∈ (0, 1). 根据K（t）、M和H（x）的定义，我们得出了四种情况：如果M>0和K（t）≥ M、 然后Lh（X）增加；如果m>0和K（t）≤ M，则Lh（X）减小；如果m<0和K（t）≥ M、 然后Lh（X）降低；如果m<0和K（t）≤ M、 然后Lh（X）增加。接下来，我们将考虑上述四种情况下的以下可能情况。1、如果m=0，则m≥ 0，左侧（X）正在减小。因此，Lh（X）的最小值在dn时达到，1=dn，2=…=dn，n=X，Lh（X）=mgα（X）- D、 h（x）=0.2。当m6=0时，我们考虑以下三种情况：M≤ K、 M级≥ K和K<M<K.（1）当M≤ K、 对于任何t∈ （0，1），K（t）≥ M、 a）如果M>0，则Lh（X）增加，并且Lh（X）的最小值在dn处达到，1=dn，2=dn=dn，n=0，soh（x）=nXj=1Cn，jx，Lh（x）=mgα（X）-nXj=1Cn，j“Z∞H（x）dx#- D、 b）如果m<0，则Lh（X）减小，并且在dn处达到Lh（X）的最小值，1=dn，2=dn。

=dn，n=X，so Lh（X）=mgα（X）- D、 h（x）=0。（2） 当M≥K、 对于任何t∈ （0，1），K（t）≤ M、 a）如果M>0，则Lh（X）减小，并且在dn处达到最小Lh（X），1=dn，2==dn，n=X，所以Lh（X）=mgα（X）- D、 h（x）=0。b） 如果m<0，则Lh（X）增加，最小Lh（X）为dn处的tta ine d，1=dn，2==dn，n=0，soh（x）=nXj=1Cn，jx，Lh（x）=mgα（X）-nXj=1Cn，j“Z∞H（x）dx#- D、 （3）当K<M<K时，表示ba=min{t:K（t）≥ M}和bb=最大{t:K（t）≥ M}表示t∈ (0, 1).我们得到K（t）≤ M on（0，ba）和[bb，1），K（t）≥ M开[ba，bb]。如果m>0，则Lh（X）在（0，ba）和[bb，1]上递减，在[ba，bb]上递增；如果m<0，则Lh（X）在（0，ba）和[bb，1]上增加，在[ba，bb]上减少。接下来，根据SX（dn，j）、ba和BB的相对位置，我们考虑以下六种情况。案例A：0<SX（dn，n）≤ SX（dn，n-1) ≤ . . . ≤ SX（dn，1）≤ ba，w等于dn，n≥ dn，n-1.≥. . . ≥ dn，1≥ S-1X（ba），在这种情况下为K（t）≤ M，a）如果M>0，则Lh（X）减小，并且在dn处达到最小Lh（X），1=dn，2=dn=dn，n=X，so h（X）=0，Lh（X）=mgα（X）- D、 b）如果m<0，则Lh（X）增加，并且在dn处达到最小Lh（X），1=dn，2=dn=dn，n=S-1X（ba），soh（x）=nXj=1Cn，j（x- S-1X（ba））+，Lh（X）=mgα（X）-nXj=1Cn，j“Z∞S-1X（ba）H（x）dx#- D、 案例B：ba≤ SX（dn，n）≤ SX（dn，n-1) ≤ . . . ≤ SX（dn，1）≤bb，相当于S-1X（ba）≥ dn，n≥dn，n-1.≥ . . . ≥ dn，1≥ S-1X（bb），在这个cas e K（t）≥ M、 a）如果M>0，则Lh（X）增加，并且在dn处达到最小Lh（X），1=dn，2=dn=dn，n=S-1X（bb），soh（x）=nXj=1Cn，j（x- S-1X（bb））+，Lh（X）=mgα（X）-nXj=1Cn，j“Z∞S-1X（bb）H（x）dx#- D、 b）如果m<0，则Lh（X）减小，并且在dn处达到最小Lh（X），1=dn，2=dn=dn，n=S-1X（ba），soh（x）=nXj=1Cn，j（x- S-1X（ba））+，Lh（X）=mgα（X）-nXj=1Cn，j“Z∞S-1X（ba）H（x）dx#- D、 案例C：bb≤ SX（dn，n）≤ SX（dn，n-1) ≤ . . .