一般随机变量空间上的律不变泛函

让^1：X→ [-∞, ∞] 适当且σ（X，X*)-下部半连续。（i） 如果Д是凸的，则Д（X）=supY∈十、*{E[XY]- φ*（Y）}，X∈ 十、（ii）如果Д是拟凸，则Д（X）=supY∈十、*F*^1（Y，E[XY]），X∈ 十、如果^1是额外的i nc reasing，那么我们可以替换X*按X*+在上述声明中。3法律不变性和Schur凸在这一节中，我们通过展示法律不变性与随机序之间的联系，开始研究一般随机变量空间上的法律不变性泛函。更准确地说，对于拟凸和下半连续泛函，关于凸阶，定律不变性等价于单调性。在整个章节中，我们坚持第2节中的长期假设。作为一个初步步骤，我们回顾了分位数函数的概念，并为这对函数（X，X）建立了一个有用的Hardy Littlewoodtype结果*), 这突出了分位数函数和定律不变性之间的联系。这一结果在文献中起着重要作用，在文献中，这一结果通常被用于pairs（L，L∞) an d（L∞, 五十） ，参见，例如，【11】。我们证明，在我们的一般设置中，一切都会通过，因为我们可以很容易地确保理解的分位数函数及其乘积的可积性。定义3.1。对于每个随机变量X∈ Lwe表示为X的qXa固定但任意的量化函数，即函数qX：（0，1）→ R满足inf{x∈ RP（X≤ x）≥ s}≤ qX（s）≤ inf{x∈ RP（X≤ x） >s}对于每个s∈ (0, 1). 注意，由于X的累积分布函数最多有可数个不连续点，因此X的任何两个分位数函数几乎肯定与（0，1）上的lebesgue测度重合。引理3.2。

对于所有X∈ X和Y∈ 十、*函数qX（1- ·)（0，1）上的qYand和qXqYare-Lebesgue可积，下面的陈述成立：（i）infX′~XE[X′Y]=infY′~YE[XY′）=RqX（1- s） qY（s）ds。（ii）supX′~XE[X′Y]=supY′~YE[XY′）=RqX（s）qY（s）ds。此外，还实现了上述所有In-fima和suprema。证据取X∈ X和Y∈ 十、*. 自(Ohm, F、 P）是非原子的，它遵循[3，定理2.6]中的s，0≤Zq | X |（s）q | Y |（s）ds=E[| XY′|]对于某些Y′~ YX的定律不变性*意味着Y′∈ 十、*所以XY′∈ 五十、 这表明q | X | q | Y |在（0，1）上是L ebesgue可积的。现在，验证并不困难，例如参见[8，定理4.6]，th at | qXqY |=qmax{X，0}qmax{Y，0}+qmin{X，0}qmin{Y，0}- qmax{X，0}qmin{Y，0}- qmin{X，0}qmax{Y，0}≤ 4q | X | q | Y |。这就产生了qXqY的Lebesgue可积性。同于qX（1- ·) = -q-几乎可以肯定，对于（0，1）上的Lebesgue测度，这也会产生qX（1）的Lebesgue可积性- ·)qY。其余声明参见【8，T heorem 13.4】。在回顾了凸序的概念之后，我们给出了两个随机变量按凸序排序的若干等价条件，用分位数函数表示。特别是，断言（c）指出了凸阶和二阶随机优势之间众所周知的联系。这对[11]中的结果进行了较小的扩展。定义3.3。对于所有随机变量X，Y∈ Lwe写入X当[f（X）]≥ E[f（Y）]对于每个凸函数f:R→ R、 A组A 对于所有X，Y，X是Schur凸的∈ X我们有X∈ A、 X个cxY公司==> Y∈ A、 类似地，A functionalД：X→ [-∞, ∞] 对于所有X，Y，Schur凸吗∈ X我们有XcxY公司==> ^1（X）≥ ^1（Y）。引理3.4。

对于所有X，Y∈ l下列语句是等价的：（a）对于每个非减量函数g：（0，1）→ 使得qXg和qYg在（0，1）上是Lebesgue可积的，我们有zqx（s）g（s）ds≥ZqY（s）g（s）ds。（b） 对于每个非减量有界函数g：（0，1）→ R我们有zqx（s）g（s）ds≥ZqY（s）g（s）ds。（c） E[X]=E[Y]且对于每个s∈ （0，1）ZsqX（t）dt≥ZsqY（t）dt。（d） X个cxY。证据众所周知，（c）和（d）是等价的，参见例如[11，引理2.1]。此外，从[11，引理2.2]可以看出，（b）和（d）是等价的。因此，我们只需要证明（a）和（b）是等价的。很明显，（a）意味着（b），因为（0，1）上的qx和qYare-Lebesgue可积，请参见。g、 [8，提案4.3]。为了总结证明，假设（b）持有并接受任意非减量函数g：（0，1）→ 使得qXg和qYg在（0，1）上是Lebesgue可积的。对于每n∈ N定义函数gn：（0，1）→ R通过设置GN（s）=-如果g（s）<-n、 g（s）如果- n≤ g（s）≤ n、 如果g（s）>n，假设我们有zqx（s）gn（s）ds≥ZqY（s）gn（s）dsfor every n∈ N、 自gn起→ g点方向和| qXgn |≤ |qXg |以及| qYgn |≤ |qYg |每n∈ N、 它遵循支配收敛定理th atZqX（s）g（s）ds=limn→∞ZqX（s）gn（s）ds≥ 画→∞ZqY（s）gn（s）ds=ZqY（s）g（s）ds。这就是等价性的证明。证明定律不变性和Schur凸性之间所宣布的等价性的最后一个因素包含在下面的密度结果中。这表明，对于每一个属于X的随机变量X，X中的所有随机变量在凸序上受X支配的集合与定律不变性等价类{Y的闭凸壳重合∈ 十、Y~ 十} 。对弱拓扑σ（X，X）进行闭包*).

特别是，在所述拓扑中，凸序中由X支配的每个随机变量都可以通过与X相同分布的随机变量的凸组合网络来近似。这种密度结果首先在Lin【40，定理5】中建立，并适用于L∞[11，命题4.1]中的（与L成对），以及[43，推论2.5]中的一般Lpspaces。这里，一套a X我们用co（A）表示其凸包，用clσ（X，X）表示*)（A） 其σ（X，X*)-关闭。引理3.5。对于每X∈ X我们有{Y∈ 十、十、cxY}=clσ（X，X*)（co（{Y∈ 十、Y~ 十} ））。证据为了方便起见，我们在整个证明中使用以下符号：C（X）={Y∈ L十、cxY}，D（X）={Y∈ LY~ 十} ={Y∈ 十、Y~ 十} 。确立包容性””, 假设存在Y∈ C（X）∩ clσ（X，X）外的X*)（co（D（X）））。然后，通过Hahn-Banach分离，我们找到Z∈ 十、*使得sup{E[X′Z]；X′~ 十} <E[Y Z]。现在根据引理3.2和引理a 3.4得出zqx（s）qZ（s）ds<E[Y Z]≤ZqY（s）qZ（s）ds≤ZqX（s）qZ（s）ds，我们在这里使用了XcxY。这带来了矛盾，并产生了所需的包含。确立包容性””, 首先注意C（X）∩ X是凸的，定律不变，并且包含D（X）。因此，必须证明C（X）∩ X是σ（X，X*)-关闭为此，请注意，X配备了拓扑σ（X，X*), 连续嵌入到L中，具有拓扑σ（L，L∞). 这是因为我∞包含在X中*根据我们的长期假设。因为C（X）是σ（L，L∞)-紧致于[9，推论3.2]，我们推断C（X）∩ X是σ（X，X*)-关闭我们得到了定律不变性和Schur凸性之间的等价性。

在convexcase中，这个结果扩展了[11，定理4.1]，这是在L∞, 以及[23，命题2.4]，这是在正同质性的附加假设下，在一般Lpspace中建立的。在拟凸的情况下，结果推广了[5，定理5.1]，这是在L∞在单调性的附加假设下，以及[31，定理18]，这是在区域排列不变空间中建立的。定理3.6。对于真拟凸，σ（X，X*)-下半连续泛函Д：X→ [-∞, ∞]以下陈述是等效的：（a）Д是定律不变的。（b） ^1是Schur凸的。证据很明显，Schur凸性意味着定律不变性。现在，假设ν是定律不变的，取两个任意的X，Y∈ X使得XcxY。根据引理3.5，随机变量Y是σ（X，X*)-网的极限（Yν） X使得yν=nνXi=1λνiXνifor nν∈ N和适当的Xν，Xνnν~ X和λν，λνnν∈ [0，1]总结为一。注意，bylaw不变性和拟凸性我们有ν（Yν）≤ 对于每个ν，最大{ν（Xν），…，ν（Xνnν）}=Д（X）。因此，σ（X*, X）-下半连续性收益率Д（X）≥ lim infνν（Yν）≥ ^1（Y）。这就确定了И是Schur凸的。集合定理3.6的一个附带结果表明，关于凸阶，定律不变性等价于单子性。该语句随后立即将上述结果应用于指示器函数。推论3.7。对于凸和σ（X，X*)-闭合集A 下面的陈述是等价的：（a）a是定律不变的。（b） A是Schur凸的。4限制结果在本节中，我们揭示了定律不变性和有界性之间的深层联系。我们从一个原始和一个双重视角来了解这一点。一方面，我们证明了一个具有规律不变性的拟凸和下半连续泛函是由其对有界随机变量的作用唯一确定的。

另一方面，通过将此约束结果应用于共轭泛函，我们证明了有界随机变量空间是律不变性下的自然对偶空间。这些结果的关键是将前面章节中建立的定律不变性和Schur凸性之间的等价性与下面的近似结果结合起来。这里，每X∈ X我们用σ（X）表示F中X可测量的最小σ场。类似地，对于每个G F我们用σ（G）表示F中包含G引理4.1的最小σ场。对于eve ry X∈ X，对于完全生成的σ-场的每个递增序列（Fn（X）），使得σ（X）=σ（Sn∈我们有e[X | Fn（X）]σ（X，X*)-----→ 十、 证明。让X∈ 取F中完整生成的σ场的递增序列（Fn（X）），使σ（X）=σ（Sn∈NFn（X））。根据鞅收敛定理，我们得到了E[X | Fn（X）]→ 几乎可以肯定。现在，任何Y∈ 十、*和E∈ F并注意到qE | Y|≤(1-P（E），1）q | Y |几乎可以肯定关于（0，1）上的勒贝格测度。自| X |起cxE[| X | Fn（X）]f或每n∈ 根据Jensen\'sInequality，引理3.2和引理3.4得出的结论是[E | E[X | Fn（X）]Y |]≤ZqE[| X | Fn（X）]（s）qE | Y |（s）ds≤Z1级-P（E）q | X |（s）q | Y |（s）ds。这表明序列（E[X | Fn（X）]Y）是一致可积的。作为E[X | Fn（X）]Y→ XY几乎可以肯定，我们得到了E[E[X | Fn（X）]Y]→ E【XY】，结束证明。根据前面的引理，L∞关于拓扑σ（X，X），在X上是稠密的*). 这并不奇怪，可以用更直接的方式加以证明。

事实上，每X∈ 支配收敛定理的直接应用表明{| X|≤n} Xσ（X，X*)-----→ 十、 前面引理的强大之处在于，我们可以通过一系列特殊的有界随机变量来近似X中的每个元素，即关于有限生成σ场的条件期望。这允许我们利用Schur凸性来建立神经约束结果。通过[22，引理5.4]中关于Orliczsetting和[6，推论2.5]中关于Rearrangement不变空间的不同论点，已经获得了类似的结果。此处，用于功能Д：X→ (-∞, ∞] 和子集a X我们用Д| A表示Д对A的限制。定理4.2。让^1：X→ [-∞, ∞] 真，拟凸，σ（X，X*)-下半连续和Law不变量。对于每X∈ X，对于每个增加的序列（Fn（X）），完整生成的σ场inF，使得σ（X）=σ（Sn∈NFn（X））我们有ν（X）=limn→∞^1| L∞ （E[X | Fn（X）]）。尤其是，Д由其对L的限制唯一确定∞.证据让X∈ 取F中完整生成的σ场的递增序列（Fn（X）），使σ（X）=σ（Sn∈NFn（X））。通过引理4.1，我们得到了E[X | Fn（X）]→ X相对于σ（X，X*). 它遵循σ（X，X*)-下半连续性≤ lim信息→∞^1（E[X | Fn（X）]）。（4.1）自每n∈ N我们有XcxE[X | Fn（X）]根据Jensen不等式，我们从定理3.6中建立的ν的Schurconvexity推断，我们也有ν（X）≥ lim支持→∞^1（E[X | Fn（X）]）。（4.2）期望的断言通过结合（4.1）和（4.2）立即出现。下一个推论将集合的伴随语句记录到前面的限制结果中。它表明，定律不变的凸闭集完全由它们与L的交集决定∞.推论4.3。

对于每个凸，σ（X，X*)-闭且律不变集A X我们有a=clσ（X，X*)（A）∩ L∞).证据显然，我们只需要证明 clσ（X，X*)（A）∩ L∞). 为此，取X∈ A、 根据引理4.1，我们在F中找到了一个完整生成σ场的序列（Fn（X）），使得E[X | Fn（X）]→ X相对于σ（X，X*). 为了总结证据，必须观察everyn∈ N我们有XcxE[X | Fn（X）]由Jensen不等式得出，因此，E[X | Fn（X）]∈ A.∩ L∞推论3.7。很容易证明拟凸和下半连续泛函的共轭泛函是律不变的，它本身也是律不变的。这使我们能够对前面的restrictionresult进行简化，可以将对偶空间限制到有界随机变量空间。这有以下显著的结果，将[42，命题1]扩展到有界设置之外。我们还可以参考[6，定理2.6]、[31，定理18]和[29，定理3.1]，了解在设置重排不变空间时该结果的等效公式。定理4.4。对于真拟凸，定律不变泛函Д：X→ [-∞, ∞] 以下陈述是等效的：（a）Д是σ（X，X*)-下部半连续。（b） ^1为σ（X，L∞)-下部半连续。证据它有助于在凸情况下建立等价性。实际上，拟凸的情况可以通过通过指示泛函将等价性转换为凸集的声明来建立，参见推论4.5。因此，假设ν是凸的。显然，我们只需要证明（a）意味着（b）。为此，假设Д为σ（X，X*)-下部半连续。回想一下*是真的、凸的和σ（X*, X）下部半连续。此外，对于每个Y∈ 十、*我们有*（Y）=supX∈X{E[XY]- ^1（X）}=supX∈XsupX′型~X{E[X′Y]- ^1（X）}=supX∈十、ZqX（s）qY（s）ds- ^1（X）引理3.2，表明*也是定律不变的。

现在，x Y∈ 十、*. 从引理4.1和定理4.2可以看出，对于F中完全生成的σ场的合适序列（Fn（Y）），我们有[Y | Fn（Y）]→ 拓扑σ（X）中的Y*, X）和Д*（E[Y | Fn（Y）]）→ φ*（Y）。这意味着- φ*（Y）=limn→∞E[XE[Y | Fn（Y）]]- φ*（E[Y | Fn（Y）]）≤ supZ公司∈L∞{E[XZ]- φ*（Z） }对于每个X∈ 十、根据命题2.6，我们推断出Д（X）=supZ∈L∞{E[XZ]- φ*（Z） }对于每个X∈ 十、这表明Д是σ（X，L∞)-下半连续，并给出了证明。通过将上述结果应用于指示函数，可以为集合重新格式化前面的语句。推论4.5。对于凸和定律不变集a 以下陈述是等效的：（a）a是σ（X，X*) 关闭（b） A是σ（X，L∞) 关闭5应用在本节中，我们将展示如何利用上述限制结果来转换关于L上的定律不变量或Schur凸泛函的各种已知结果∞到X上的相应结果。关于定律不变性和Schur凸性之间的等价性，我们参考定理3.6。5.1分位数r表示我们首先扩展了著名的定律不变泛函的分位数表示。在convexcase中，这扩展了[11，定理4.2]，该定理建立于∞, 以及[23，命题4.3]，这在LPS中得到了证明，并满足了正同质性的额外要求。值得指出的是，即使在Lpsetting中，我们的分位数表示也更清晰，因为我们可以将对偶空间限制为L∞.还值得注意的是，[23]中的参数利用了lpspace的特殊性质，例如L的normdesignment∞, 我们对于空间X的一些可容许选择，例如Orlicz空间，d不必满足。

在拟凸的情况下，下面的表示扩展并补充了[5，定理5.1]，这是在L∞在单调性的附加假设下。提案5.1。让^1：X→ [-∞, ∞] 适当，σ（X，X*)-下半连续和定律不变。（i） 如果Д是凸的，则可以表示为Д（X）=supY∈L∞ZqX（s）qY（s）ds- φ*（Y）, 十、∈ 十、 （5.1）Д*（Y）=supX∈十、ZqX（s）qY（s）ds- ^1（X）, Y∈ 十、*.（ii）如果Д是拟凸，则可以表示为Д（X）=supY∈L∞F*φY、 ZqX（s）qY（s）ds, 十、∈ 十、 F级*ν（Y，α）=inf^1（X）；十、∈ X，ZqX（1- s） qY（s）ds≥ α, Y∈ 十、*, α ∈ R、 如果^1是额外的i nc reasing，那么我们将替换L∞作者：L∞+在上述陈述中。证据（i） 从定理4.4可以看出，Д是σ（X，L∞)-下部半连续。因此，我们可以应用Proposition 2.6来获得ν（X）=supX′~XИ（X′）=supX′~XsupY公司∈L∞{E[X′Y]- φ*（Y）}=supY∈L∞supX′~X{E[X′Y]- φ*（Y）}（5.2）每X∈ X，这里我们使用了ν的定律不变性。然后，引理3.2得出ν（X）=supY∈L∞ZqX（s）qY（s）ds- φ*（Y）对于每X∈ 十、同样，我们有*（Y）=supX∈X{E[XY]- ^1（X）}=supX∈XsupX′型~X{E[X′Y]- ^1（X）}=supX∈十、ZqX（s）qY（s）ds- ^1（X）对于每个Y∈ 十、*. 如果ν额外增加，则L上的上确界∞可将（5.2）中的∞+根据提案2.6。（ii）从定理4.4可以看出，Д是σ（X，L∞)-下部半连续。然后，ν的定律不变性和命题2.6（注意，我们可以将下面的上确界限制为L∞+如果Д处于cr缓和状态），则意味着Д（X）=supX′~XИ（X′）=supX′~XsupY公司∈L∞F*^1（Y，E[X′Y]）=supY∈L∞supX′~XF车型*^1（Y，E【X′Y】）（5.3）每X∈ 十、作为F*^1（Y，·）对于每个Y都是不变的∈ L∞, 由引理3.2可知，Д（X）=supY∈L∞F*φY、 ZqX（s）qY（s）ds对于每X∈ 十、