一般随机变量空间上的律不变泛函

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英文标题：
《Law-invariant functionals on general spaces of random variables》
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作者：
Fabio Bellini, Pablo Koch-Medina, Cosimo Munari, Gregor Svindland
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最新提交年份：
2021
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英文摘要：
  We establish general versions of a variety of results for quasiconvex, lower-semicontinuous, and law-invariant functionals. Our results extend well-known results from the literature to a large class of spaces of random variables. We sometimes obtain sharper versions, even for the well-studied case of bounded random variables. Our approach builds on two fundamental structural results for law-invariant functionals: the equivalence of law invariance and Schur convexity, i.e., monotonicity with respect to the convex stochastic order, and the fact that a law-invariant functional is fully determined by its behaviour on bounded random variables. We show how to apply these results to provide a unifying perspective on the literature on law-invariant functionals, with special emphasis on quantile-based representations, including Kusuoka representations, dilatation monotonicity, and infimal convolutions.
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中文摘要：
我们建立了拟凸、下半连续和定律不变泛函的各种结果的一般版本。我们的结果将文献中的著名结果推广到了一大类随机变量空间。我们有时会得到更清晰的版本，即使对于研究充分的有界随机变量的情况也是如此。我们的方法建立在法律不变性泛函的两个基本结构结果的基础上：法律不变性和Schur凸性的等价性，即关于凸随机序的单调性，以及法律不变性泛函完全由其在有界随机变量上的行为决定的事实。我们展示了如何应用这些结果，以提供关于定律不变泛函的文献的统一视角，特别强调基于分位数的表示，包括Kusuoka表示、扩张单调性和弱卷积。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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关键词：随机变量 Quantitative Presentation Applications Convolutions

一般随机变量空间上的定律不变泛函Abio Bellinid统计与定量方法系Milano Bicocca大学，Italyfabio。bellini@unimib.itPablo科赫·麦地那、科西莫·穆纳里Center for Finance and Insurance和瑞士苏黎世金融学院（Switzerlandpablo）。koch@bf.uzh.ch，科西莫。munari@bf.uzh.chGregor德国汉诺威莱布尼茨大学斯文德兰概率统计研究所和保险之家。svindland@insurance.uni-汉诺威。2021年1月21日摘要我们建立了拟凸、下半连续和法律不变泛函的各种结果的一般版本。我们的结果将文献中的著名结果推广到了一大类随机变量空间。我们有时会得到更精确的版本，即使对于研究得很好的边界随机变量的情况也是如此。我们的方法建立在律不变性泛函的两个基本结构结果的基础上：律不变性和Schur凸性的等价性，即关于凸随机序的单调性，以及律不变性泛函完全由其在有界随机变量上的行为决定的事实。我们展示了如何应用这些结果，为法律不变泛函的文献提供一个统一的视角，特别强调基于分位数的表示，包括Kusuoka表示、扩张单调性和线性卷积。关键词：定律不变性、Schur凸性、膨胀单调性、扩展结果、分位数表示、Kusuoka表示、线性卷积1简介本文的目标是对定义在随机变量空间上的定律不变泛函的一些关键结果提供统一的观点和推广。

回想一下，如果随机变量的函数ona空间将相同的值赋给具有相同概率定律的随机变量，则称其为定律不变量。金融和经济学文献中经常会遇到法律不变性，例如资本充足率、风险分担、投资组合选择、资本配置、保险定价。在（拟）凸性和（半）连续性的附加假设下，得到了关于律不变泛函的许多重要结果。示例包括定律不变性、Schur凸性和膨胀单调性之间的联系，参见Dana【11】、Cherny和Grigoriev【7】、Grechuk和Zab aran k【23】、Svindland【43】、Rahsepar和Xanthos【37】；基于分位数的定律不变量泛函的对偶表示，见Kusuoka【28】、Frittelli和Rosazza Gianin【21】、Shapiro【41】、Pichler和Shapiro【36】；定律不变泛函的扩展结果，参见Filipovi\'c和Svin dland【19】，Chen等人【6】；s ee Jouini等人【25】、Filipovi\'c和Svindland【18】、Ludkovski和R¨uschendorf【33】、Acciaio【1】、Ravanelli和Svindland【38】、Chen等人【6】、Liebrich和Svindland【31】、Liu等人【32】；定律不变泛函的自动连续性结果，见Jouini等人。【24】、Svindland【42】、Gao等人【22】、Leung和Tantrawan【29】；法律不变泛函的不确定性和统计稳健性之间的联系，见Koch-Medina和Munari【26】和Kr¨atschmer等人【27】。这些结果大多是针对Lebesgue空间上定义的定律不变泛函得出的，其中有界随机变量空间是最常见的选择。在某些情况下，只需要进行最小调整，以使证明在更一般的环境中工作。

然而，在其他情况下，Lebesgue空间的特定特征也被使用，因此很难评估是否可以实现更大的通用性。例如，当试图将Lebesguespaces类的结果扩展到O rlicz空间的更大类或更广泛的重排不变空间类时，就会出现这个问题，例如，Gao等人[22]，Chen等人[6]，Liebrich和Svindland[31]，Leung和Tantrawan[29]。我们还参考了Liebrich和Svindland[30]对“自然”模型空间的一般性讨论，重点是风险度量理论。上述一些结果在R¨u schendorf[39]和Ekeland and Schachermayer[15]中讨论了对随机向量空间的扩展。在本文中，我们讨论了定义在随机变量的局部凸空间X（在非原子概率空间上）上的定律不变泛函，其中包含∞并且包含在L中。对于我们所针对的结果类型，有必要让所讨论的函数接受一种特殊类型的双重表示。这自然会导致我们关注“可容许”泛函，即相对于X上的局部凸拓扑是拟凸和下半连续的泛函，从而得到的拓扑对偶也包含∞并包含在L中。正如我们在第2节中所说明的，issetup提供了足够的灵活性来容纳几乎所有有趣的案例。我们的方法对概率论中的概念和结果之间的相互作用进行了仔细的分析——数量函数、随机序、鞅收敛和凸对偶。

该分析给出了一系列关于可容许律不变函数的结构结果，这些结果提供了一个统一的视角，并允许以更直接、更深入的方式证明上述一些关键结果的推广。第一个结构结果是定理3.6，它确定了对于容许泛函，定律不变性和Schur凸性，即关于凸阶的单调性是等价的。这是Dana[11]首次证明的关于有界随机变量空间的一个重要结果的推广。引理3.5中包含了这种等价性背后的关键，它提供了经典结果byRy ff[40]和Luxemburg[34]的扩展，揭示了定律不变性和凸序之间的强拓扑联系：对于任何随机变量X∈ X，X中关于凸阶优于X的随机变量集与X中具有与X相同概率定律的随机变量集的闭凸包（关于选定的弱拓扑）一致。与Schur凸性的联系用于证明从定理4.2开始的第二组结构结果，这表明一个可容许的律不变泛函完全由其在L上的行为决定∞. 这一“还原原理”可以看作是本文的主要结果，并有许多结论。最重要的是，将约化原理简单应用于可容许律不变泛函的共轭（在拟凸对偶意义下），可以推广Svindland[42]得出的L∞. 事实上，定理4.4建立了每个可容许定律不变量泛函都自动为σ（X，L∞)-下部半连续。

特别地，这表明，在可容许律不变函数的对偶表示中，我们可以将注意力限制在从属于L的对偶元素上∞. 这一重要的拓扑性质暗示了命题5.3，该命题陈述了定义在L上的所有容许定律不变泛函∞可以唯一地扩展到X上sametype的函数。这提供了菲利波维·坎德·斯文德兰（Filipovi\'cand Svindland）在【19】中获得的重要扩展结果的一般公式。结合约化原理，这个扩展结果是从L∞到我们的一般空间X。通过依赖上述一般结果，我们能够在文献中推广一些关于不变泛函的著名定理。其中包括各种基于分位数的双重表示，以及关于非理想卷积和膨胀单调性的结果。对于其中一些，利用定律不变性和Schur凸性的等效性，我们可以提供简单的直接效果，有时甚至可以提供更清晰的版本，即使对于L∞案例我们还注意到，与大部分文献相比，我们一直使用拟凸泛函，而不是仅使用凸泛函。我们参考个别章节与文献进行详细比较。本文的组织结构如下。在描述了第二节中的设置之后，我们在第三节中研究了Law不变性和Schur凸性之间的关系。在此基础上，我们在第4节证明了律不变泛函的基本约化原理。第5.2节SettingLet讨论了上述所有应用(Ohm, F、 P）是非原子概率空间。任何Borel可测函数X：Ohm → R称为随机变量。我们用关于最确定等式（P下）的一组相等的随机变量类来表示。

像往常一样，我们从不明确区分土地的一个元素及其代表。ran dom变量之间的相等和不相等总是在最确定的意义上表示的。特别是，R的元素由几乎肯定恒定的随机变量确定。对于每套X Lwe表示为X+X中的正随机变量集。上的标准Lebesgue空格(Ohm, F、 P）用LPP表示∈ [1, ∞]. E.definition 2.1简单地表示了期望值。对于两个随机变量X，Y∈ Lwe写入X~ 在P.A集X下，Y和X具有相同的概率定律 如果对于所有X，Y，Lis被认为是定律不变的∈ Lwe haveX公司∈ X，Y~ X个==> Y∈ 十、A功能Д：X→ [-∞, ∞] 如果对于所有X，Y∈ X我们有X~ Y型==> Д（X）=Д（Y）。在整篇论文中，我们处理了L的以下一对线性子空间。假设2.2。设X和X*是Lsuch的两个线性子空间：（1）X和X*是不变的。（2） XY型∈ L对于所有X∈ X和Y∈ 十、*.（3） L∞ 十、 土地L∞ 十、* 五十、 我们用σ（X，X）表示*) X上最薄弱的拓扑，关于该拓扑，线性f函数νY:X→ Rgiven byY（X）：=E[XY]对于每个Y是连续的∈ 十、*. 有了这种拓扑，X就变成了一个凸的Hausdorff拓扑向量空间（参见例[44]）。以下示例显示满足上述假设的成对混凝土。示例2.3。LetΦ：【0，∞) → [0, ∞] 是一个Orlicz函数，即一个凸的、左连续的递增函数，它在零的右邻域上是有限的，满足Φ（0）=0。Φ的共轭是函数Φ*: [0, ∞) → [0, ∞] 定义人Φ*（u） ：=支持∈[0,∞){tu- Φ（t）}。注意Φ*也是Orlicz函数。

对于每X∈ Ldefine the Luxemburg n orm bykXkΦ：=infλ ∈ (0, ∞) ; EΦ|X |λ≤ 1..相应的Orlicz空间由Φ：={X给出∈ LkXkΦ<∞}.LΦ的中心是空格HΦ：=十、∈ LΦ；λ ∈ (0, ∞) : EΦ|X |λ< ∞.经典的Lebesgue空间是Orlicz空间的突出例子。在一侧，设置Φ（t）=tpp∈ [1, ∞) 和t∈ [0, ∞), 我们有LΦ=HΦ=lp，卢森堡范数与通常的p范数一致。另一方面，如果我们定义Φ（t）=0表示t∈ [0，1]和Φ（t）=∞ 否则，我们有LΦ=L∞卢森堡标准与通常的esssup标准一致。注意，在这种情况下，HΦ={0}。在我们的非原子设置中，我们有LΦ=HΦ当且仅当Φ为, i、 e.存在∈ (0, ∞) 和k∈ (0, ∞)每tΦ（2t）<kΦ（t）∈ [s，∞). HΦ6=Lφ的非平凡HΦ的一个著名示例对应于Φ（t）=exp（t）选项- t为1∈ [0, ∞).LΦ的范数对偶不能与Lin-general的子空间识别。然而，如果Φ是有限值（否则HΦ={0}），则HΦ的范数对偶始终可以与LΦ识别*. 对于案例Lp，forp∈ [1, ∞), 这就是众所周知的Lpp与Lpp的范数对偶的识别-1（通常情况下：=∞). 有关Orlicz空间的更多详细信息，请参阅[13]。以下几对满足假设2.2（我们假设Orlicz心脏中没有一个被还原为零）：（1）X=LΦ和X*∈ {LΦ*, HΦ*, L∞}.（2） X=HΦ和X*∈ {LΦ*, HΦ*, L∞}.我们通过回顾有关泛函的一些基本注意事项来结束本节。我们在上述假设下工作。本文的重点是形式为Д：X的泛函→ [-∞, ∞].如果ν（X）>-∞ 对于每X∈ X和Д（X）<∞ 对于某些X∈ 十、我们说，对于几乎确定的偏序，即所有X，Y∈ X我们有X≤ Y型==> ^1（X）≤ ^1（Y），分别为。

^1（X）≥ ^1（Y）。如果对于所有X，Y∈ X和λ∈ [0，1]我们有ν（λX+（1- λ） Y）≤ λД（X）+（1- λ） ν（Y）和拟凸if对于所有X，Y∈ X和λ∈ [0，1]我们有ν（λX+（1- λ） Y）≤ 最大{Д（X），Д（Y）}。显然，每个凸泛函都是自动拟凸的。最后，φ称为σ（X，X*)-下半连续if对于每个网络（Xν） X和每X∈ X we h aveXνσ（X，X*)-----→ X个==> ^1（X）≤ lim infνν（Xν）。众所周知，Д是拟凸，分别是σ（X，X*)-下半连续，当且仅当集合{ν≤ α} ：={X∈ 十、^1（X）≤ α} 是凸的，分别为σ（X，X*)-闭合，对于每个α∈ R、 σ（X，X）的性质*)-下半连续性将在续集中扮演关键角色。下一个命题的特点是，在环境空间X可以配备重排不变结构的常见情况下，该性质有三个可操作的特征。回想一下，如果X是一个实数格（关于几乎确定的偏序），并且具有定律不变的、完备的格范数，那么X是一个重排不变空间；见【34】。请注意，如果任何卢森堡标准仅限于Orlicz心脏，则其具有Lebesgue属性。定义2.4。我们说a functionalД：X→ [-∞, ∞] 对于每个序列（Xn），都具有Fatou属性 X和每X∈ X我们拥有X NA。s--→ 十、 supn公司∈N | Xn |∈ X个==> ^1（X）≤ lim信息→∞^1（Xn）。类似地，如果每个序列（Xn）都有Lebesgue属性 X和每X∈ 我们有xNA。s--→ 十、 supn公司∈N | Xn |∈ X个==> Д（X）=limn→∞^1（Xn）。我们说对于每个序列（Xn），从下到下是连续的 X和每X∈ X we h aveXn↓ X个==> Д（X）=limn→∞^1（Xn）。提案2.5。假设X是一个重排不变空间。让^1：X→ [-∞, ∞] 是拟凸且定律不变的。

那么，以下陈述是等效的：（a）Д是σ（X，X*)-下部半连续。（b） ^1拥有Fatou财产。如果X=L∞或者k·k具有勒贝格性质，那么（a）也等于：（c）ν是范数下半连续的。如果Д增加，则（a）也相当于：（d）Д从下方连续。证据请注意，任何具有Fatou属性的函数都自动是范数下半连续的。这是因为每个范数收敛序列都允许一个几乎肯定收敛的支配子序列。还要注意的是，只要范数具有Lebesgue性质，任何形式的低阶连续函数都满足Fatou性质。众所周知，对于递增泛函，Fatou性质和连续性fr ombelow是等价的。其余的含义来自于bou-nded设置中的[42，命题1.1]（另见[10，定理3.2]和[24，定理2.1]）、Orlicz设置中的[22，定理1.1]，以及一般设置中的[6，命题2.11]和[29，定理3.1]。关于将下半连续性与Fatou性质联系起来的早期结果，我们也参考了[4]。我们通过回顾我们环境中的经典Fenchel-Moreau对偶表示来结束这一部分。为此，回想一下，Д的共轭物是功能的Д*: 十、*→ [-∞, ∞] 定义人：^1*（Y）：=supX∈X{E[XY]- ^1（X）}。此外，我们定义了*^1：X*×R→ [-∞, ∞] byF公司*Д（Y，α）：=inf{Д（X）；X∈ X，E[XY]≥ α}.上述泛函出现在经典的Fenchel-Moreau对偶表示中，参见[44，Th eorem2.3.3]和[20，定理2.6，引理2.7]。提案2.6。