一般随机变量空间上的律不变泛函

同样，我们有*Д（Y，α）=inf{Д（X）；X∈ X，E[XY]≥ α} =inf{Д（X）；X∈ X，X′~ 十、 E[X′Y]≥ α} =inf{Д（X）；X∈ X，infX′~XE[X′Y]≥ α} =inf^1（X）；十、∈ 十、 ZqX（1- s） qY（s）ds≥ α对于所有Y∈ 十、*和α∈ R、 I fД额外增加，则L上的上确界∞在（5.3）中，可限制为L∞+根据提案2.6。从上述分位数表示可以看出，对于拟凸和下半连续泛函，可以在共轭函数的层次上表征定律不变性。考虑到定律不变性和Schur凸性之间的等价性，用Schur凸性替换定律不变性也具有相同的特征。推论5.2。让^1：X→ [-∞, ∞] 适当且σ（X，X*)-下部半连续。（i） 如果Д是凸的，则以下陈述是等效的：（a）Д是定律不变的。（b） ^1*是定律不变的。（ii）如果Д是拟凸，则以下语句是等效的：（a）Д是定律不变的。（b） F*ν（·，α）对于每个α都是定律不变的∈ R、 证明。（i） 根据命题5.1，（a）意味着（b）。自^1起*是真的、凸的和σ（X*, X）下半连续，且Д与Д的共轭相一致*通过命题2.6，我们立即得到命题5.1再次暗示（b）的（a）。（ii）根据命题5.1，（a）意味着（b）。为了建立逆向含义，假设F*ν（·，α）对于每个α都是定律不变的∈ R、 然后，对于每个X∈ X我们有ν（X）=supY∈十、*F*^1（Y，E[XY]）=su pY∈十、*supY\'~YF公司*由命题2.6得出的ν（Y，E[XY′））。作为F*^1（Y，·）对于每个Y都是不变的∈ 十、*, 我们从引理3.2推断出，Д（X）=supY∈十、*F*φY、 ZqX（s）qY（s）ds对于每X∈ 十、

这表明Д是定律不变的，并确定（b）意味着（a）。5.2扩展结果下一个命题表明，具有定律不变量X的每一个凸和下半连续泛函可以唯一扩展到整个空间L，而不会丢失其性质。特别是，Lcanbe被视为这类泛函的规范模型空间。在凸情况下，在Lebesgue设置中的[19，定理2.2]，在Orlicz设置中的[22，定理1.4]，以及在重排不变空间设置中的[6，定理2.6]中，都得到了这种扩展结果。在拟凸的情况下，我们参考[31，命题20]获得重排不变空间设置中的一个版本。提案5.3。让^1：X→ [-∞, ∞] 适当，σ（X，X*)-下半连续和定律不变。（i） 如果Д是凸的，那么它可以唯一地扩展到适当的凸σ（L，L∞)-下半连续，不变律泛函Д：L→ [-∞, ∞]. 扩展显式由Д（X）=supY给出∈L∞ZqX（s）qY（s）ds- γ（Y）, 十、∈ 五十、 式中γ（Y）=supX∈L∞ZqX（s）qY（s）ds- ^1（X）, Y∈ L∞.（ii）如果Д是拟凸，那么它可以唯一地扩展到一个适当的拟凸σ（L，L∞)-lowersemicontinuous，law-invariant functional^1：L→ [-∞, ∞]. e xtension显式由φ（X）=supY给出∈L∞ΓY、 ZqX（s）qY（s）ds, 十、∈ 五十、 式中，Γ（Y，α）=inf^1（X）；十、∈ L∞,ZqX（1- s） qY（s）ds≥ α, Y∈ L∞, α ∈ R、 如果Д额外增加，则Д也会增加。证据（i） 注意：Д| L∞是真的，凸的，σ（L∞, 十、*)-下半连续和定律不变。特别是，Д| L∞isσ（L∞, L∞)-定理4.4给出的下半连续。然后，命题5.1得出了ν| L∞（十） =s upY∈L∞ZqX（s）qY（s）ds- γ（Y）（5.4）每X∈ L∞, 式中γ（Y）=supX∈L∞ZqX（s）qY（s）ds- ^1（X）对于每个Y∈ L∞.

现在，定义功能Д：L→ [-∞, ∞] 通过设置Д（X）=supY∈L∞ZqX（s）qY（s）ds- γ（Y）= 苏比∈L∞supY\'~Y{E[XY′]- γ（Y）}，其中最后一个等式由引理3.2保持。很明显，Д是一个适当的凸σ（L，L∞)-ν| L的lowersemicontinuous和law不变扩张∞ . 注意，Д| X和Д都是适当的、凸的σ（X，X*)-ν| L的下半连续和定律不变扩张∞. 然后，我们必须有定理4.2中的Д=Д| xb，因此Д是Д的期望扩展之一。这种扩展的唯一性直接来自定理4.2。如果^1额外增加，则（5.4）中的supr emum可限制为L∞+根据命题2.6和Д，很容易看出它们在增加。（ii）注意∞是真的，拟凸，σ（L∞, 十、*)-下半连续和定律不变。尤其是，Д| L∞isσ（L∞, L∞)-定理4.4给出的下半连续。然后，命题5.1得出了ν| L∞（十） =supY∈L∞ΓY、 ZqX（s）qY（s）ds（5.5）每X∈ L∞, 式中，Γ（Y，α）=inf^1（X）；十、∈ L∞,ZqX（1- s） qY（s）ds≥ α对于所有Y∈ L∞和α∈ R、 现在，定义功能Д：L→ (-∞, ∞] 通过设置Д（X）=supY∈L∞ΓY、 ZqX（s）qY（s）ds= 苏比∈L∞supY\'~YΓ（Y′，E[XY′），其中最后一个等式由引理3.2保持。很明显，th at|是|L的一个适当的和法律不变的扩展∞ . 此外，从[20，引理2.7]可以看出，Д也是拟凸和σ（L，L∞)-下半连续。注意，Д| X和Д都是真的，拟凸，σ（X，X*)-|L的下半连续andlaw不变扩张∞ . 然后，我们必须通过定理4.2得到Д=Д| xb，因此Д是Д的期望扩展之一。这种扩展的唯一性直接来自定理4.2。

如果Д额外增加，则（5.5）中的上限可限制为L∞+根据命题2.6和Д，很容易看出它们在增加。下一个推论通过显示凸，σ（X，X*)-闭的，并且X的法则不变子集总是可以从它们的范数闭包中检索出来。这里，我们用clk·K表示关于Lnorm的闭包。推论5.4。对于每个凸，σ（X，X*)-闭且律不变集A X we haveA=clk·k（A）∩ 十、证据我们只需要显示clk·k（A）∩ 十、 A、 为此，选择X∈ X并假设Xn→ 关于LF中的范数拓扑，对于一个合适的序列（Xn） A、 特别是Xn→ X相对于σ（X，L∞). 因为A是σ（X，L∞)-通过推论4.5，我们得出结论，X∈ A、 5.3扩张单调性在这一小段中，我们回顾了扩张单调性的概念，并证明它等价于拟凸和下半连续下的定律不变性。在凸的情况下，这将[7，推论1.3]扩展到有界设置之外，并将[43，定理2.1]扩展到Lebesgue设置之外。在拟凸情形中，它将[31，定理18]扩展到了重排不变空间的设置之外。关于一般空间中扩张单调性的各种结果，请参见[37]。定义5.5。A功能Д：X→ [-∞, ∞] 称为扩张单调≥ ^1（E[X | G]）每X∈ X和每个σ-场G F使得E[X | G]∈ 十、提案5.6。对于真拟凸，σ（X，X*)-下半连续泛函Д：X→ [-∞, ∞]以下陈述是等效的：（a）Д是定律不变的。（b） ν是扩张单调。证据回想一下XcxE[X | G]每X∈ X和每个σ-场G F由Jensen不等式得出。因此，从定理3.6可以看出，（a）意味着（b）。

为了显示相反的含义，假设ν是扩张单调的。我们可以很容易地遵循定理4.2的证明来证明ν（X）=limn→∞^1| L∞ （E[X | Fn（X）]）（5.6）每X∈ X和F中完整生成的σ场的每个递增序列（Fn（X）），使得σ（X）=σ（Sn∈NFn（X））。现在，作为|L∞ 关于L上的范数拓扑是下半连续的∞,根据【43，定理2.1，备注2.2】可知∞ 是定律不变的。现在，取X，Y∈ X令人满意X~ Y考虑R的有限划分的重新定义序列（Pn），并设置Fn（X）=σ（{X-1（I）；我∈ Pn}）和Fn（Y）=σ（{Y-1（I）；我∈ Pn}）。自E起[X | Fn（X）]~ E[Y | Fn（Y）]每n∈ N、 我们从（5.6）中推断，Д（X）=limn→∞^1| L∞（E[X | Fn（X）]）=limn→∞^1| L∞（E[Y | Fn（X）]）=Д（Y）。这表明Д是定律不变的，并确定（b）意味着（a）。5.4实卷积在本节中，我们重点讨论法律不变泛函的实卷积。本着【31】的精神，我们考虑一般聚合函数的理想卷积。在金融和保险领域的应用中，在风险分担和资本配置问题的研究中，通常会自然出现不完全卷积，其中聚合函数通常被视为总和或最大值。我们参考导言中的参考文献列表。特别是，我们参考了文献[6]，了解了在重排不变空间中关于经典卷积的各种结果。定义5.7。让n∈ N和∧：Rn→ 每X的R和d∈ X定义集合X，n（X）=（（X，…，Xn）∈ Xn；nXi=1Xi=X）。让^1，^1n:X→ [-∞, ∞] 要得体。地图ni=1хi:X→ [-∞, ∞] 定义人ni=1Дi（X）：=inf{∧（Д（X），…，Дn（Xn））；（X，…，Xn）∈ SX，n（X）}被称为∧基的∧的整数卷积。

，νn.作为本文的重点，我们感兴趣的是研究拟凸、下半连续和律不变泛函的不正卷积在哪些条件下仍然是律不变的。最近，对于基于标准和的整数卷积，这个问题在[32]中得到了解决，但没有任何拟凸性和下半连续性假设。我们表明，在我们的设置中，只要聚集函数增加，且空间X满足适当的正则性，则始终保持定律不变性。我们从以下关于非扩张函数的简单引理开始。回想一下函数f:R→ 如果| f（x），则称R为非扩张的- f（y）|≤ |x个- y |对于所有x，y∈ R、 引理5.8。让n∈ N并假设f，fn：R→ R是递增的f函数，求和R上的恒等函数。然后，f，fn是非扩展的。证据如果n=1，则该语句很明显，因此假设n>1。设置g=Pni=2平面，注意g是递增的，F和g的总和等于R上的恒等式函数。如果F不是非扩张的，我们会找到x，y∈ r使x>y和f（x）- f（y）>x- y、 然而，在这种情况下，我们会得到g（y）- g（x）+x- y>x- y、 这违反了g的单调性。因此，fm必须是非扩张的。显然，对于其他金融机构的每一个，都可以重复同样的论点。命题5.9。假设∧增加且f（X）∈ 对于每个非扩张函数f:R→ 兰德e非常X∈ 十、让n∈ N并设φ，^1n:X→ [-∞, ∞] 真，拟凸，σ（X，X*)-lowersemicontinuous和law不变性。然后ni=1хiis定律不变量。证据取任意X，Y∈ X表示X~ Y显然，这足以表明ni=1хi（X）≥ ni=1хi（Y）。（5.7）为此，让（X，…，Xn）∈ SX，n（X）。【33，定理2】中确定的共单调改进的存在确保我们找到一个共单调向量（Xc。

，Xcn）∈ SL，n（X）使得XciCXXI针对每个i∈ {1，…，n}。根据[12，命题4.5]中对共单调性的描述，Xc=f（X），Xcn=fn（X）对于适当的递增函数f，fn：R→ R求和为R上的恒等式函数。从引理5.8来看，这些函数是非扩张的。特别地，通过对X的假设，我们得到了所有随机变量fi（X）’和fi（Y）’都属于X。因此，∧（Д（X），^1n（Xn））≥ ∧（Д（f（X）），Дn（fn（X））=∧（Д（f（Y）），^1n（fn（Y）））≥ ni=1хi（Y）。这里，我们使用了∧的单调性和左侧不等式中定理3.6中建立的Schur凸性以及等式中的定律不变性。期望的不平等（5.7）现在通过在所有（X，…，Xn）中取最小值来实现∈ SX，n（X）。备注5.10。如果X是Orlicz空间，则立即验证f（X）∈ 对于每个非扩张函数f:R→ R和每X∈ 十、实际上，必须观察到| f（X）|≤ |X |+| f（0）|。更一般地说，只要X包含所有常量r和dom变量，并且在意义上对所有X都是实心的，这就是事实∈ X和Y∈ l如此| Y |≤ |X |它认为Y∈ 十、5.5特殊风险度量的双重r表示在本节中，我们扩展了风险度量文献中获得的各种双重r表示。Wesay a functionalД：X→ [-∞, ∞] 如果为所有X，则为现金加法∈ X和m∈ R我们有φ（X+m）=φ（X）- m、 此外，我们说对于所有的共单调X，Y，ν是共单调的∈ X我们有ν（X+Y）=Д（X）+Д（Y）。我们的表述将遵循下一个引理中记录的一般延拓原理。引理5.11。让^1：X→ [-∞, ∞] be prop r，凸，σ（X，X*)-下半连续和定律不变。

此外，设我们是一个集合，并假设存在映射Φ：X×S→ [-∞, ∞] 和γ：S→ [-∞ , ∞]以便∞（十） =支持∈S{Φ（X，S）- γ（S）}，X∈ L∞.如果Φ（·，S）是凸的，σ（X，X*)-下半连续和对每S的定律不变∈ S、 则Д（X）=supS∈S{Φ（X，S）- γ（S）}，X∈ 十、证据我们认为ψ与函数ψ：X重合→ [-∞, ∞] 定义为ψ（X）=supS∈S{Φ（X，S）- γ（S）}，X∈ 十、为了说明这一点，请注意ψ是凸的，σ（X，X*)-下半连续，并且我们假设Φ是定律不变的。还要注意的是∞根据ν的性质和定理4.2，是正确的。如果ψ（X）=-∞ 对于someX∈ 那么，[44，命题2.2.5]意味着ψ不能取任何有限值，这是不可能的，因为ψ| L∞ = ^1| L∞ . 因此，我们必须有ψ（X）>-∞ 对于每X∈ 十、|L的性质∞现在意味着ψ也是正确的。当ψ和ψ在L上重合时∞, 根据定理4.2，我们必须得到ψ=ψ，从而得出证明。作为首次应用，我们使用上述扩展原理推导出KusuokareRepresentation的一般公式。在正同质性假设下，[28]和[21]首次在有界随机变量空间中建立了该表示。后来，又在正同质性假设下，将其扩展到一般的Lebesguesetting，并将其扩展到一般的Orlicz设置。这里，对于每个s∈ [0，1]和每X∈ Lwe确定s级X的预期差额为（X）：=(-sRsqX（t）dt如果s∈ (0, 1],- 如果s=0，则为ess inf（X）。特别要注意的是，ES（X）=E[-十] 。此外，我们用P（（0，1））表示（0，1）上的概率度量集（配备Borelσ场）。提案5.12。假设X是一个重排不变空间。让^1：X→ [-∞, ∞] 适当，凸，σ（X，X*)-下半连续、不变律、递减和现金加法。

那么，我们得到了ν（X）=supu∈P（（0,1））（Z（0,1）ESs（X）du（s）- γ（u）），X∈ X，其中γ（u）=sup（Z（0,1）ESs（X）du（s）；十、∈ L∞, ^1（X）≤ 0), u ∈ P（（0，1））。证据请注意，对于所有X∈ X和u∈ P（（0，1）），积分r（0，1）ESs（X）du（s）定义得很好，因为（X）≥ E类[-十] 对于每个s∈ （0，1）。从[17，定理4.62]可以看出∞（十） =supu∈P（（0,1））（Z（0,1）ESs（X）du（s）- γ（u）），每X∈ L∞, 式中，γ（u）=sup（Z（0,1）ESs（X）du（s）；十、∈ L∞, ^1（X）≤ 0）每u∈ P（（0，1））。现在，考虑函数Φ：X×P（（0，1））→ (-∞, ∞] 由Φ（X，u）=Z（0,1）ESs（X）du（s）给出。很明显，对于每u∈ P（（0，1）），泛函Φ（·，u）是凸的，且具有定律不变性。我们声称Φ（·，u）满足Fatou属性。要看到这一点，请执行一个序列（Xn） X和X∈ X使得Xn→ 几乎可以肯定和支持∈N | Xn |∈ 十、 设置Y=supn∈N | Xn |。因为埃斯拥有每个人的法图财产∈ （0，1）和ESs（Xn）≥ ESs（Y）≥ E类[-Y]对于所有s∈ （0、1）和n∈ N、 我们得到Φ（X，u）=Z（0,1）limn→∞ESs（Xn）du（s）≤ lim信息→∞Z（0,1）ESs（Xn）du（s）=lim infn→∞Φ（Xn，u）由Fatou引理表示。这就建立了法头地产。有鉴于此，命题2.5暗示Φ（·，u）是σ（X，X*)-下部半连续。所需的表示现在遵循引理5.11。接下来，我们在共单调风险度量的情况下给出了Kusuoka表示的一般版本。我们用P（[0，1]）表示[0，1]上的概率测度集（配备Borelσ场）。提案5.13。假设X是一个重排不变空间。让^1：X→ [-∞, ∞] 适当，凸，σ（X，X*)-下半连续、定律不变、递减、现金加和共单调。然后，存在u∈ P（[0，1]），使得Д（X）=Z[0，1]ESs（X）du（s），X∈ 十、证据请注意，对于所有X∈ X和u∈ P（[0，1]）积分r[0，1]ESs（X）du（s）定义得很好，因为（X）≥ E类[-十] 对于每个s∈ [0, 1].

根据【17，定理4.93】，存在u∈ P（[0，1]），以便∞ （十） =Z[0,1]ESs（X）du（s），每X∈ L∞. 现在，考虑函数Φ：X→ (-∞, ∞] 由Φ（X）=Z[0,1]ESs（X）du（s）给出。我们可以在命题5.12的证明中证明Φ是凸的，σ（X，X*)-下半连续和定律不变。因此，所需的表示紧随引理5.11。最后，我们提供了基于损失函数的风险度量的双重表示，该损失函数将[17，定理4.115]扩展到有界设置之外。A函数l : R→ 如果R是非常数、非减量且凸的，则称其为损失函数。我们用P表示∞上的概率度量集(Ohm, F） 对于P和satisfydQdP是绝对连续的∈ L∞.提案5.14。假设X是一个重排不变空间。允许l 成为损失函数并获取l∈ R因此l（x） <l对于某些x∈ R、 功能^1l: 十、→ [-∞, ∞] 定义人：^1l（十） =inf{m∈ RE类[l(-十、- m） ]≤ l}, 十、∈ 十、满意度l（十） =supQ∈P∞均衡器[-X]- infλ∈(0,∞)λl+ El*λdQdP, 十、∈ X，其中l*（y） =supx∈R{xy- l（x） }，y∈ R、 证明。首先，请注意E[l（十） ]对于每个X∈ X的凸性l. 自E起[l（十） ]≥l（E[X]）每X∈ 由Jensen不等式和l属于l 假设我们有l（十） >-∞ 对于每X∈ 十、此外，^1l(0) ≤ -x<∞. 这表明l是适当的。很明显l是凸的且定律不变。我们声称l满足Fatou地产的需求。为了证明这一点，必须证明对于每个序列（Xn） X和每X∈ X表示Xn→ 几乎可以肯定和支持∈N | Xn |∈ X我们有SUPN∈东北[l(-Xn）]≤ l==> E类[l(-十） ]≤ l. （5.8）要建立（5.8），请注意l（Xn）→ l（十） 几乎依赖于l. 设置Y=supn∈N | Xn |。的副凸性l 我们发现a、b∈ R因此l(0) ≥ l(-Y）≥ a(-Y）+b。