收益率曲线的凹形与无套利

如果掉期利率变化yn=y>0是常数，对于每个n>0，我们应该有0<pnPn-pn（y）pn（y）≤ y0<Pn（y）-Pn编号≤ Y屋顶。这两个不等式根本不明显。我们注意到（7），wehavePn-pnPn=xn，Pn（y）-pn（y）pn（y）=xn+y细分，我们有pnPn-pn（y）pn（y）+Pn（y）-Pn编号= 我们已经证明了第二个胸罩总是积极的，我们只需要证明第一个括号也是积极的。我们没有冰（y）-P=ythereforepP-p（y）p（y）=0如果有n，那么pnpn-pn（y）pn（y）≥ 0pn+1Pn+1-pn+1（y）pn+1（y）<0我们应该有pn（y）-Pn<y<Pn+1（y）-Pn+1因此Pn+1（y）-Pn+1-Pn（y）-Pn编号> 0但重新组织一切，我们有PN+1Pn+1Pn≥pn+1（y）pn+1（y）pn（y），但通过条件againpn+1Pn+1Pn>pn+1（y）pn+1（y）pn（y）>pn+1Pn（y）pn+1>pn+1Pn+1，这是一个矛盾。利用这个引理，我们可以看到，对于任何常数运动y>0，我们有以下有趣的顺序Pn（y）Pn（y）<pnpnpn<Pn<Pn（y）。引理3。当平行运动y>0时，所有n>1的数量pn（y）<pn。证据因为在引理2中，我们已经证明了pnpn-pn（y）pn（y）≥ 0然后pn（y）pn<pn（y）pn<1。引理4。当平行运动y＞0时，Pn（y）/Pn呈单调递减。证据为了证明单调性，我们只需要显示Pn（y）Pn-Pn+1（y）Pn+1>0，相当于Pn（y）Pn+1（y）>PnPn+1，但这是事实，因为前面的引理3表示Pn+1（y）Pn+1（y）<Pn+1 Pn+1。现在，根据我们的知识积累，我们终于能够证明以下引理5。当利差y>0且掉期曲线增加时，两个贴现因子pn（y）/pn的比率也会下降。证据我们想证明pn（y）pn-1.≤ pn编号-1（y）Pn表示所有n>1。

但这个不等式等价于topn（y）（pn-1.- pn）≤ pn（pn-1（y）- pn（y）），因为pn=1- xnPn，pn-1= 1 - xn公司-1Pn-1我们有-1.- pn=xnPn- xn公司-1Pn-1=（xn- xn公司-1） Pn+xn-1同样，pn-1（y）-pn（y）=xnPn（y）-xn公司-1Pn-1（y）=（xn-xn公司-1） Pn（y）+（xn-因此，我们要证明的等价于-（xn- xn公司-1)pnPn-pn（y）pn（y）≤ ypnPnpn（y）Pn（y），这在我们的假设下是显而易见的。最后，我们需要一个技术引理。引理6。对于三个整数n<m<k，平面上的三个点Pn，Pn（y）,Pm，Pm（y）,Pk，Pk（y）是凹（凸）的当且仅当pn（y）/pn相对于n.Proof递减（递增）。设三点n<m<k为掉期的到期日，则凹性不等式为（Pk- Pn）Pm（y）≥ （Pm）- Pn）Pk（y）+（Pk- Pm）Pn（y），相当于（kXi=n+1pi）（mXj=n+1pj（y））≥ （kXi=n+1pi（y））（mXj=n+1pj）取消后，我们需要验证kXi=m+1pimXj=n+1pj（y）≥kXi=m+1pi（y）mXj=n+1pjb但通过单子性，我们知道对于每个i>j，我们有pipj（y）≥ 因此，pjpi（y）证明了我们的索赔。结合引理5和引理6，我们得到了引理7。当扩展y>0且交换曲线增加时，平面上的三个点Pn，Pn（y）,Pm，Pm（y）,Pk，Pk（y）是凹面的。当扩展y><和交换曲线增加时，平面上的三个点Pn，Pn（y）,Pm，Pm（y）,Pk，Pk（y）是凸面的。上述引理的组合给出了以下主要结果定理3。如果掉期曲线是向上的，则根据其持续时间绘制每个掉期利率，在平行运动假设下，曲线应该是凹的，否则我们可以构造套利。证据现在，我们构建了一个由三个在时间T、T、T到期的掉期组成的投资组合。相应的掉期利率是x、x、x。这三个掉期的概念是λ、λ、λ。尤其需要λ=P- Pλ=P- Pλ=P- 根据条件，我们有x<x<x。

通过矛盾假设（P，x），（P，x），（P，x）是凸的，我们将构造一个套利投资组合。我们在第一次和第三次掉期中做空固定资产，而在第二次掉期中做空固定资产。在平行移动量>0后，我们的利润和损失来自两个组成部分，L=L+L，其中为应计利息和按市值计价的利润和损失。应计利息isL=λx+λx- 假设λx>0。L成分是市场对市场L=-yλИP（y）- yλ▄P（y）+yλ▄P（y）（8），其中▄Pi（y）是从时间t到最后到期年i的年金系数。我们想表明，如果y>0，我们有λ▄P（y）+λ▄P（y）≤ λИP（y），相当于L≥ 0 . 首先通过引理5，我们知道（P，P（y）），（P，P（y）），（P，P（y））是凹的，因为Pi（y）-无论i如何，Pi（y）都是常数，wehad（P，~P（y）），（P，~P（y）），（P，~P（y））必须是凹的。这相当于说λОP（y）+λОP（y）≤ λИP（y），证明了定理。总之，从技术上讲，我们已经证明，在平行移动假设下，如果交换曲线增加，则曲线必须为凹形。参考文献[1]Carr P.和M.Schroder，2003，“关于算术平均亚式期权的估值：重新审视GemanYor-Laplace变换”，纽约大学工作论文。[2] Dothan，U，1978，“关于利率期限结构”，《金融经济学杂志》，第6期，第59-69页。[3] Cox，J.、J.Ingersoll和S。

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