收益率曲线的凹形与无套利

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英文标题：
《Concave Shape of the Yield Curve and No Arbitrage》
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作者：
Jian Sun
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In fixed income sector, the yield curve is probably the most observed indicator by the market for trading and fifinancing purposes. A yield curve plots interest rates across different contract maturities from short end to as long as 30 years. For each currency, the corresponding curve shows the relation between the level of the interest rates (or cost of borrowing) and the time to maturity. For example, the U.S. dollar interest rates paid on U.S. Treasury securities for various maturities are plotted as the US treasury curve. For the same currency, if the swap market is used, we could also plot the swap rates across the tenors which would be called the swap curve.Even the yield curve can be at, upward or downward (inverted), however, yield curve is generally concave. There is a lack of explanation of the concavity of the yield curve shape from economics theory. We offer in this article an explanation of the concavity shape of the yield curve from trading perspectives.
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中文摘要：
在固定收益行业，收益率曲线可能是市场在交易和融资方面观察最多的指标。收益率曲线描绘了从短期到长达30年的不同合同期限的利率。对于每种货币，相应的曲线显示了利率水平（或借贷成本）与到期时间之间的关系。例如，不同期限的美国国库券支付的美国利率被绘制为美国国库券曲线。对于同一种货币，如果使用掉期市场，我们还可以绘制跨期限的掉期利率，这将被称为掉期曲线。即使收益率曲线可以是at、向上或向下（反转），但收益率曲线通常是凹的。收益率曲线形状的凹陷性缺乏经济学理论的解释。本文从交易角度解释了收益率曲线的凹形。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Concave_Shape_of_the_Yield_Curve_and_No_Arbitrage.pdf (113.25 KB)

2022-6-10 09:54:17 上传

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关键词：收益率曲线 无套利 收益率 Mathematical Quantitative

收益率曲线的凹形和复旦大学诺尔比特拉吉安阳光经济学院2018年8月13日在固定收入行业，收益率曲线可能是市场在交易和融资方面观察到的最明显的指标。收益率曲线绘制了从短期到长达30年的不同合同期限的利率。对于每种货币，相应的曲线显示了利率水平（或划船成本）与到期时间之间的关系。例如，美元利率由onU支付。S、 各种到期日的国库券被标为美国国债收益曲线。对于同一种货币，如果使用掉期市场，我们还可以绘制跨期限的掉期利率，这将被称为掉期曲线。收益率曲线的形状给出了未来利率变化和经济活动的想法。有三种主要类型的收益率曲线形状：正常、反转和弯曲（或驼峰）。正常收益率曲线是指由于与时间相关的风险，与短期债券相比，长期债券的收益率更高。反转收益率曲线是短期收益率高于长期收益率的曲线，这可能是即将到来的衰退的迹象。在波动或驼峰收益率曲线中，短期和长期收益率非常接近，这也是经济转型的预兆。正常或上坡的收益率曲线表明，长期债券的收益率可能会继续上升，以应对经济扩张时期。

当投资者预计长期债券收益率在未来会变得更高时，许多人会暂时将资金投资于短期证券，希望稍后购买长期债券以获得更高的收益率。在利率不断上升的环境中，当长期债券的价值尚未因较高的收益率而下降时，投资长期债券是很危险的。短期证券的临时需求不断增加，推低了其收益率，形成了陡峭的正常收益率曲线。反转或向下倾斜的收益率曲线表明，长期债券的收益率可能会继续下降，这与经济衰退时期相对应。当投资者预计长期债券收益率在未来会更低时，许多人会购买长期债券以锁定收益率，然后再进一步下降。长期债券需求的增加和短期证券需求的缺乏导致长期债券价格上涨但收益率下降，短期债券价格下跌但收益率上升，进一步扭转了收益率曲线的下降趋势。根据不断变化的经济条件，浮动收益率曲线可能来自正常或反向收益率曲线。当经济从扩张过渡到发展放缓甚至衰退时，长期债券的收益率往往会下降，而短期证券的收益率可能会上升，从而将正常收益率曲线转化为浮动收益率曲线。当经济从衰退过渡到复苏和潜在扩张时，yieldson长期债券将上涨，而短期债券的收益率肯定会下降，从而将反向收益率曲线向FL at Yieldscurve倾斜。根据所罗门兄弟（Salomon Brothers）的工作文件【7】，众所周知，国债收益率曲线形状有三个主要影响因素：1。

收益率曲线形状反映了市场对未来利率变化的预期。2、收益率曲线形状反映债券风险溢价（不同到期日的预期收益差异）3。收益曲线形状反映了不同债券的凸性收益。即使收益率曲线也可以是弯曲的、向上的或向下的（反转），然而，收益率曲线通常是凹的。收益率曲线形状的一致性在经济学理论中有很强的解释力。本文从交易角度解释了收益率曲线的凹形。我们的主要论点是构建一个由固定收益工具组成的投资组合，并证明如果收益率曲线不是凹的，就会出现n套利。我们的结果还依赖于一个假设，即收益率曲线平行上下移动。这一假设并不完全正确，但在现实中几乎可以接受。1利率首先讨论不同利率概念之间的关系。在下面的讨论中，将进行某些简化。我们主要讨论了行业中常用的三种利率：欧元利率、远期利率和票面利率。相应地，有三种工具：零息票债券、远期利率协议和掉期（或票面债券）。在所有的计算中，我们忽略了日数和业务惯例。对于掉期，我们假设每年进行一次付款交换，对于远期利率协议，我们还假设合同在整数年内到期，期限为一年。假设当前时间为0，未来年度为1，2，···，n。零利率是在这些时间到期的零息票债券的到期收益率。

Z ero利率和零息票债券价格具有关系nshippi=（1+yi）i（1），其中Pi是零息票债券价格，yi是到期收益率。时间间隔（i，i+1）的远期利率是指远期利率协议（FRA）中规定的利率，以锁定一年期内未来时间i的利率。该费率可按FI=pipi+1计算- 1=（1+yi+1）i+1（1+yi）i- 1（2）和最终计算的票面利率assi=1- pip+p+···+pi（3）众所周知，当fi>0时，这些交易工具之间不存在套利。因此，理论上，零曲线可以有任何形状，只要fi>0。例如，曲线可能向上或向下。曲线可能是凸的，也可能是凹的。但实际上，曲线通常呈凹向上的形状。在本文中，我们证明了如果满足以下条件，零曲线和掉期曲线必须是凹的：t这里没有套利；收益率曲线平行移动。第一个假设是现实的，因为世界各地的许多交易台都在关注收益率曲线，并试图在任何时候抓住任意时机。第二个假设不现实，但接近现实。在利率上升的环境中，不同期限的利率总体上都会上升，而在利率下降的环境中，不同期限的利率都会下降。2零息票债券主要结果取决于以下重要的众所周知的结果：凸性不等式函数f（x），x∈ R是一个凸函数，因此从定义上讲，它应该满足以下不等式。对于任何λ>0，λ>0且λ+λ=1且a，b∈ R，我们应该有f（λa+λb）≤ λf（a）+λf（b）我们现在设置证券。我们有三种零息票债券，称为B、B、B，对应于三种到期日T<T<2，它们的领域是y、y、y。

因此，只要隐含的收益率为正，我们就不会对这些收益率施加任何条件。现在，我们通过购买B的λ美元金额，B的带短λ美元金额来构建一个交易组合。我们根据以下规则选择数量λ>0，λ>0，λ>0λ+λ=λ和λT+λT=λT。我们注意到，通过组合这两个方程，我们得到λ（T- T） =λ（T- T） 实际上，通过线性代数，λiis的解在标量λ=T之前是唯一的- T、 λ=T- T、 λ=T- 结果λλ+λλ=1我们现在声称，我们构建的投资组合成本为零。如果λ+λ+λ=0，则零成本是显而易见的。定理1。如果收益率y，y，yas是到期时间T，T的函数，T是凸的，即（T- T） y+（T- T） y型≥ （T- T） y（4）我们构建的投资组合允许套利。证据现在，我们假设收益率以相同的量a移动，时间以相同的量t移动，因此我们的新价值为sp（a，t）=λe-a（T-t） +yt+λe-a（T-t） +年初至今- λe-a（T-t） +yT我们想证明这个量是正的，即λλe-a（T-t） +yt+λλe-a（T-t） +年初至今≥ e-a（T-t） +yt通过凸性不等式，我们得到λλe-a（T-t） +yt+λλe-a（T-t） +年初至今≥ e-aλλ（T-t）-aλλ（T-t） +λλyt+λλyt=e-a（T-t） eλλyt+λλyt但如果产量yi是凸的，通过定义，我们有λλy+λλy≥ Y前λe-a（T-t） +yt+λe-a（T-t） +年初至今≥ λe-a（T-t） +ytit true。我们已经完成了我们的论点，即套利是通过构建一个由三个零息票债券组成的零成本投资组合而存在的。只要相应的收益率是凸的，且收益率的变动幅度相同，该论点对任何三种到期日都有效。整个ar方程是基于凸性不等式的。到目前为止，我们已经证明：1。在产量平行变动的情况下，我们可以构建零成本港口，并在瞬间实现正利润。2.

如果收益率相对于时间是凸的，我们构建零成本投资组合，并在未来任何时候实现正收益。3非平行运动我们现在将前几节中的结果扩展到非平行运动。我们现在尝试重新定义上述论点。因为现在我们不仅认为产量不同，运动也可能不同。我们检查瞬时结果。收益率变动后，POR tfolio值变为sp（a，a，a）=λe-aT+λe-在- λe-再次，我们需要λ+λ=λ，因此债券投资组合是零成本投资组合。其次，我们研究了港口价值始终为正的aiso的约束条件。利用凸性不等式λλe-aT+λe-在≥ e-λλaT-λλaTAs作为结果，我们需要设置-λλaT-λλaT≥ -aT等于λλaT+λλaT≤ 如果我们要求a、a、a之间的比率都是固定的，则上述等式意味着λλT+λλT=TAs是一个结果，我们得到λ=aT- aT，λ=aT- aT，λ=aT-在其次，我们研究了aito在未来任何时候实现正投资组合价值的要求。为此，让时间向前移动t。因此，新的po rtfolio变为λe-a（T-t） +yt+λe-a（T-t） +年初至今- λe-a（T-t） +yT，我们希望λλe-a（T-t） +yt+λλe-a（T-t） +年初至今≥ e-a（T-t） +yt再次应用凸不等式λλe-a（T-t） +yt+λλe-a（T-t） +年初至今≥ e-λλa（T-t） +λλyt-λλa（T-t） +λλyt为了我们的目的，我们应该有三个要求sλλ（y+a）+λλ（y+a）≥ y+a（5）第一个不等式表示yi+a应该是凹的，我们在第一节中已经研究过了。只要aiare在这一范围内，投资组合价值在未来任何时候都始终为正。4掉期我们现在转向使用掉期的凸性交易策略。掉期是流动性最强的OTC固定收益工具之一。通常，掉期交易的价差仅为0.25个基点。

固定收益部门经常使用掉期来表达对利率曲线的看法，并对冲利率风险，尤其是期限风险。然而，由于bootstrap过程的复杂性，掉期曲线数学所涉及的内容比零息票债券收益率曲线所涉及的内容要多得多。这种额外的复杂性使得套利论证更加困难和冗长。利率掉期是一种在未来交换特定现金流的合同。最初是名义金额的交换，随后是息票支付的交换，一部分是固定息票支付，另一部分是浮动息票支付。到期时，名义金额将进行另一次交换。浮动段通常有伦敦银行同业拆借利率作为息票利率，因此浮动段的价格总是回到票面价值。因此，由于掉期在期初为零值，期初的固定资产价格也会回到面值。因此，掉期利率代表票面利率和息票利率。在现实世界中，固定支腿和浮动支腿的支付频率可能不同。固定支腿通常有6个月作为付款频率，浮动支腿有3个月作为付款频率。此外，每个付款日应根据周末和节假日进行调整。然而，在我们的分析中，我们只是忽略了这些技术细节，没有失去任何概括性。为了确定我们的结果，我们在时间1、2……使用年度付款频率。。相应的掉期利率为x，x。。每个掉期利率Xn与n年期掉期的固定分期付款利率相关。我们还使用p，p。由于贴现率（即零息票债券价格）对应于第1年、第2年等。。

由于我们使用的是年度支付频率，我们可以明确地写下将掉期利率转换为贴现因子的引导过程。第一年掉期利率只是第一年的复利率。从第二年开始，转换变得越来越复杂。一般情况下，可以将草书标识写成aspn=1- xnPn公司-1i=1pi1+xn（6）或等效的yxn=1- pnPni=1pi（7）因为零债券的价格正在下降以防止套利，我们应该对所有n=1，2，…，施加ep=1，pn>pn+1，pn>0，这一事实将对掉期利率本身施加条件。我们不想探讨掉期利率的必要和有效条件，但以下基本事实非常有趣，并解释了掉期曲线的一般形状。让我们首先介绍更多信息。swa的固定部分是最终到期时的一次本金支付，以及其间的所有息票支付。息票支付具有贴现值xn（p+p+···+pn），专业人士通常将sumPn=p+p+··+pn称为年金系数。我们现在陈述掉期利率的第一个必要条件。定理2。以下限制存在限制→∞xn=x∞≥ 0、如果极限x∞> 0，我们必须有Limn→∞pn=0。证据在标识中xn=1- pnPni=1pi=1- PnPn分子的极限为n→ ∞ 因为贴现系数s为正且在减小。分母也有限制，因为Pn为正且递增。因此，xn必须有一个有限的限制。如果限值为正，则在有限系列内∞n=1pn必须是有限的，因此pn→ 这个引理的财务含义有两个方面。首先，它表明长期掉期曲线必须是渐近曲线，这确实是我们检查市场时的情况。然而，我们的论点并非基于任何经济学考虑，而是纯粹基于无套利理论。其次，如果长期利率有一个正的较低债券，贴现系数必须变为零。

这一结果对于交换鼠来说当然不明显。5使用掉期的套利组合我们现在引入掉期曲线移动。如果交换曲线发生变化，并且时间n的新交换曲线变为xn+yn，则引导折扣曲线也将发生变化。为了表示变化的依赖性，我们使用pn（y）作为新的贴现因子。注意，这里的y不一定是常数，而是整个向量。相应地，年金系数也从Pn变为Pn（y）。我们必须探索新贴现因子和旧贴现因子的性质，以探索任何交易策略的盈亏。这些属性本身非常有趣。引理1。如果交换曲线yn发生变化≥ 对于n>0，我们必须有pn（y）≤ Pn，n>0如果交换曲线yn发生变化≤ 对于n>0，我们有pn（y）≥ Pn，n>0证明。我们证明了yn≥ 0个案例。通过引导标识（7），我们可以看到pn=1- （请注意- Pn编号-1） xn在我们看到Pn=1+Pn之前-11+x另一方面，很明显p（y）=1+x+y≤1+x=PWe现在可以使用归纳法。如果我们已经有Pn-1（y）≤ Pn编号-1，很明显Pn（y）=1+Pn-1（y）1+xn+yn≤1+Pn-1（y）1+xn≤1+Pn-11+xn=p其财务意义显而易见。如果利率上升，则平均（或总）贴现系数应降低。结果是直观的，但肯定不明显。我们不能把它延伸到每个折扣系数都较低的声明，即pn（y）≤ pn，对于所有n>0的情况，但这不是真的。例如，如果只有一年期掉期利率增加10个基点，而其他掉期利率保持不变，我们将看到只有第一年的贴现因子较低，但从第二年开始，贴现因子实际上略高。然而，我们将证明，当运动是平行的，这将是真的。但首先我们需要下面的引理。引理2。