基于风险的制度转换保险公司最优投资组合

在衍生工具定价下，此类延迟被用于考虑一些随机波动率模型，但延迟由独立泊松过程驱动，参见Swishchuk等[36]。注意，我们可以用不同的形式bydY（t）=-ζY（t）dt+X（t）dW（t）- e-ζX（t- )dW（t- )(2.2)= -ζY（t）dt+X（t）（1- e-ζχ[0，T-])dW（t）t∈ [0，T]，其中χ表示集合a中定义的特征函数。然后，保险人的盈余过程由以下随机延迟微分方程（SDDE）给出，其中状态切换dx（T）（2.3）=[p（T）+r（T）X（T）+π（T）（α∧（T）- r（t））- Д（t，X（t），\'Y（t），U（t））]dt+π（t）β（t）dW（t）+π（t）ZRzN（dt，dz）-Z∞zN（dt，dz）=hp（t）+（r（t）- θ（t）- ξ） X（t）+π（t）（α∧（t）- r（t））+θ（t）(R)Y（t）基于风险的保险公司优化7+ξU（t）+DXj=1h∧（t-), eji公司π（t）ZRzεj（t）νj（dz）-Z∞λj（t）zfj（dz）idt+π（t）β（t）dW（t）+π（t）ZRzN∧（dt，dz）-Z∞zN∧（dt，dz），t∈ [0，T]，X（T）=X>0，T∈ [-, 0] .如果投资组合过程π（t）满足以下条件，则称其为可接受的：（1）π（t）是Ft渐进可测的，rt |π（t）| dt<∞, P-a.s.（2）SDDE（2.3）承认一个独特的强解；（3） DXj=1nZT | p（t）+（rj（t）- θ（t）- ξ） X（t）+π（t）（αj（t）- rj（t））+θ（t）(R)Y（t）+ξU（t）| dt+ZTπ（t）β（t）+ZR（π（t））（t）zεj（t）νj（dz）+z∞zλj（t）fj（dz）dto<∞ P- a、 我们用a.3表示可容许投资策略的空间。过滤理论的简化由于我们使用的是一个不可观测的马尔可夫状态切换模型，我们需要将该模型简化为一个具有完整观测值的模型。我们采用过滤理论进行此还原。这是一种经典的方法，在随机控制问题中得到了广泛的应用。例如，参见B¨auerle和Rieder【3】、Elliott等人【15】、Elliott和Siu【17】、Siu【33】以及其中的参考文献。

我们按照Siu【35】的规定进行。考虑以下Ft自适应过程cW：={cW（t），t∈ [0，T]}定义为cw（T）：=W（T）+Ztα∧（s）- ^α∧（s）β（s）ds，t∈ [0，T]，其中^α是α在P下相对于过滤Ft的可选投影，即^α∧（T）=e[α∧（T）| Ft]，P-a.s。。然后证明CW是布朗运动。参见例如Elliott和Siu【17】或Kallianpur【21】，引理11.3.1。设^∧为马尔可夫链∧的光学投影。对于风险份额N和保险风险N的跳跃部分，我们考虑如下：^ν（dt，dz）：=DXj=1h^∧（t-), ejiεj（t）νj（dz）dt和^ν（dt，dz）：=DXj=1h^∧（t-), ejiλj（t）νj（dz）dt。定义补偿随机测量值bn（dt，dz）和bn（dt，dz）bybN（dt，dz）：=N（dt，dz）- ^ν（dt，d z）bN（dt，dz）：=N（dt，dz）- ^ν（dt，dz）。8 RODWELL KUFAKUNESU、CALISTO GUAMBE和LESEDI MABITSELAThen，可以看出以下过程是主要过程。（见Elliott【13】：cM：=ZtZRzbN（dt，dz）cM：=ZtZ∞zbN（dt，dz）。因此，剩余过程X（t）可以在P下写成：dX（t）（3.1）=hp（t）+（r（t）- θ（t）- ξ） X（t）+π（t）（^α∧（t）- r（t））+θ（t）(R)Y（t）-ξU（t）+DXj=1h^∧（t-), eji公司π（t）ZRzεj（t）νj（dz）-Z∞λj（t）zfj（dz）idt+π（t）β（t）dcW（t）+π（t）ZRzbN∧（dt，dz）-Z∞zbN∧（dt，dz），t∈ [0，T]，X（T）=X>0，T∈ [-, 0] .然后，根据Siu【35】中的讨论，我们使用参考概率方法推导马尔科夫链∧的滤波估计。设φ（t）∈ RD，使得Дj（t）=αj（t）-β（t），j=1，2，D、 定义，适用于任何∈ [0，T]，以下函数ψ（T）：=ZthИ（s），∧（s）ids+Ztβ（s）dW（s）；ψ（t）：=ZtZRzN（ds，dz）；ψ（t）：=ZtZ∞锌（ds，dz）。写入P*, 对于上的概率度量(Ohm, F） ，观测过程不依赖于马尔可夫链∧。定义，对于每个j=1，2。

，D，Fj（t，z）：=λj（t）Fj（dz）f（dz）和Ej（t，z）：=εj（t）νj（dz）ν（dz）。考虑以下通过放置Γ（t）定义的Ft适应过程Γ、Γ和Γ：=expZtβ-2（s）hД（s）∧（s）idψ（s）-Ztβ-4（s）hД（s），∧（s）ID;Γ（t）：=表达式-ZtDXj=1h∧（s-), eji公司ZR（Ej（s，z）- 1） ν（dz）ds+ZtZRDXj=1h∧（s-), eji ln（Ej（s，z））！N（ds，dz）i；保险公司基于风险的优化9Γ（t）：=exph-ZtDXj=1h∧（s-), eji公司Z∞（Fj（s，z）- 1） f（dz）ds+ZtZ∞DXj=1h∧（s-), eji ln（Fj（s，z））！N（ds，dz）i.考虑Ft适应过程：={（t），t∈ [0，T]}定义为Γ（T）：=Γ（T）·Γ（T）·Γ（T）。注意，过程Γ是局部ma r t ingale，E[Γ（t）]=1。在一些强假设下，可以证明Γ是真鞅。例如，参见命题2.5.1 inDelong【11】。过滤过程的主要目标是评估P下马尔科夫链∧的Ft可选投影。为此，let，对于每个t∈ [0，T]，q（T）：=E*[Γ（t）∧（t）| Ft]，其中E*是参考概率测度P下的期望值*. 过程q（t）被称为∧（t）的非正规滤波器。定义，对于每个j=1，2，D标量值过程γj：={γj（t），t∈ [0，T]乘以γj（T）：=expZtДj（s）β-2（s）dψ（s）-ZtДj（s）β-4（s）ds+Zt（1- εj（s））ds+Zt（1- fj（s））ds+Ztln（Ej（s））dN（s）+Ztln（fj（s））dN（s）.考虑对角矩阵L（t）：=diag（γ（t），γ（t），γD（t）），对于每个t∈ [0，T]。变换后的非正规滤波器{q（t），t∈ [0，T]}x'q（T）：=L-1（t）q（t）。注意，逆L的存在性-1（t）由L（t）的定义和γj（t）的正性保证，j=1，2。

，D.然后，已证明（见Elliott a和Siu【17】），变换后的非规范化滤波器q满足以下线性微分方程D’q（t）dt：=L-1（t）A（t）L（t）(R)q（t），(R)q（0）=q（0）=E[λ（0）]。因此，根据贝叶斯规则的一种版本，马尔可夫链∧（t）的最佳估计∧（t）由∧：=E[∧（t）| Ft]=E给出*[Γ（t）∧（t）| Ft]E*[Γ（t）| Ft]=q（t）hq（t），1i。10 RODWELL KUFAKUNESU、CALISTO GUAMBE和LESEDI MABITSELA4。基于风险的最优投资问题在这一部分中，我们介绍了一个具有区域切换和延迟的保险公司的最优投资问题。我们考虑了一个问题，其中目标是最小化凸风险测度所描述的风险，保险人不仅关心终端财富，而且还关心整个期间的集成噪声记忆盈余[T- , T）]。这个问题描述如下：找到投资策略π（t）∈ 将终端盈余和综合盈余的风险最小化，即X（T）+κY（T），其中κ≥ 0表示X（T）和Y（T）之间的权重。这允许我们将终端财富以及终端时间T的延迟财富纳入性能功能。由于我们正在处理风险度量，我们将使用在f¨ollmer和Schied[19]以及Frittelli和Rosazza[20]中引入的凸风险度量的概念。这是Artzner等人提出的一致风险度量概念的一般化。[1].定义4.1。设S为所有下界{Gt}t的空间∈[0，T]-可测量的随机变量。

S上的凸风险测度是ma pρ：S→ 因此：（1）（翻译）If∈ R和χ∈ S、 然后ρ（χ+）=ρ（χ）- ;（2） （单调性）对于任何χ，χ∈ S、 ifχ（ω）≤ χ(ω); ω ∈ Ohm, 然后ρ（χ）≥ ρ(χ);（3） （凸性）对于任何χ，χ∈ S和∈ (0, 1),ρ(χ+ (1 - )χ) ≤ ρ(χ) + (1 - )ρ(χ) .根据同样由Mataramvura和Oksendal【24】、Elliott和Siu【16】、Meng和Siu【25】等应用的凸风险度量的一般表示（例如，见定理3，Frittelli和Rasozza【20】），我们假设本文中的风险度量ρ欠考虑为：ρ（χ）=supQ∈Ma{等式[-χ] - η（Q）}，其中eq是Q下的期望，对于概率测度族Maof和一些罚函数η：Ma→ R、 为了指定惩罚函数，我们首先描述了Girsanov型所有度量q的族MAO。我们考虑一个ro胸围建模设置，由概率度量公式给出：=Qθ，θ，θ，由DQDP给出Radon-Nikodym导数Ft=Gθ，θ，θ（t），0≤ t型≤ T氡Nikodym Gθ，θ，θ（t），t∈ [0，T+], 由dgθ，θ，θ（t）=Gθ，θ，θ（t）给出-)hθ（t）dcW（t）+θ（t）dW（t）+Z∞θ（t）bN∧（dt，dz）（4.1）+ZRθ（t，z）bN∧（dt，dz）i，Gθ，θ，θ（0）=1，保险公司基于风险的优化11Gθ，θ，θ（t）=0，t∈ [-, 0) .集合Θ：={θ，θ，θ}被视为一组场景控制。如果θ（t，z）>-1安第斯ZTnθ（t）+θ（t）+ZRθ（t，z）ν∧（dz）odt< ∞ .然后，Maof概率测度族由ma给出：=M（Θ）={Qθ，θ，θ：（θ，θ，θ）∈ Θ} .现在让我们指定惩罚函数η。假设每个（π，θ，θ，θ）∈ A×Θ和t∈ [0，T]，π（T）∈ Uandθ（t）=（θ（t），θ（t），θ（t，·））∈ U、 其中，uan和uarecomact度量空间在R和R.Let中l : [0，T]×R×R×R×U×U→ R和h:R×R→ R是θ（t）中的两个有界可测凸函数∈ Uand（X（T），Y（T））∈ 分别为R×R。

然后，对于每个（π，θ）∈ A×Θ，EZT公司|l（t，X（t），Y（t），Z（t），π（t），θ（t），θ（t），θ（t，·））| dt+| h（X（t），Y（t））|< ∞ .正如Mataramvura和Oksendal[24]中所述，我们认为，对于每个（π，θ）∈ A×Θ，形式为η（π，θ，θ，θ）的惩罚函数η：=EZT公司l（t，X（t），Y（t），Z（t），π（t），θ（t），θ（t），θ（t，·））dt+h（X（t），Y（t））.然后，我们为保险人的最终财富和综合财富定义了一个凸风险度量，即k的X（T）+k Y（T）≥ 0，给定与概率测度家族Ma和惩罚函数η相关的信息fta，如下所示：ρ（X（T），Y（T））：=sup（θ，θ，θ）∈Θ均衡器[-（Xπ（T）+κYπ（T））]- η(π, θ, θ, θ).正如Elliott和Siu【16】所述，保险公司的主要目标是选择最佳投资过程π（t）∈ A以最小化ρ（X（T），Y（T））所描述的风险。也就是说，保险人的最优问题是：（4.2）J（x）：=infπ∈A（sup（θ，θ，θ）∈Θ均衡器[-（Xπ（T）+κYπ（T））]- η(π, θ, θ, θ)).请注意，EQ[-（Xπ（T）+κYπ（T））]=E[-（Xπ（T）+κYπ（T））Gθ，θ（T）]（有关更多详细信息，请参阅Cuoco[7]或Kar atzas和Shreve[22]）。然后从罚函数的形式来看，’J（x）=infπ∈Asup（θ，θ，θ）∈ΘEh-（Xπ（T）+κYπ（T））Gθ，θ，θ（T）-ZT公司l（t，X（t），Y（t），Z（t），π（t），θ（t），θ（t），θ（t，·））dt- h（X（T），Y（T））i12 RODWELL KUFAKUNESU，CALISTO GUAMBE和LESEDI MABITSELA=J（X），比如。对于每个（π，θ）∈ A×Θ，假设vπ，θ（x）：=Eh-（Xπ（T）+κYπ（T））Gθ，θ，θ（T）-ZT公司l（t，X（t），Y（t），Z（t），π（t），θ（t），θ（t），θ（t，·））dt- h（X（T），Y（T））i.那么，J（X）=infπ∈Asup（θ，θ，θ）∈ΘVπ，θ（x）=Vπ*,θ*（x） 也就是说，保险人选择最优投资策略π以最小化最大风险，而市场则通过选择以（（θ，θ，θ））为索引的概率度量作出反应∈对应于风险最大化的最坏情况。

要解决这个博弈问题，必须选择最优策略（π*, θ*, θ*, θ*) 分别从保险公司和市场的角度，以及最优价值函数J（x）。5、博弈问题的BSDE方法在本节中，我们用带跳的延迟BSD E来解决保险公司基于风险的最优投资问题。当一个人想要找到一种投资策略，该投资策略应该复制一项负债或满足一个基于投资组合过去价值的目的时，延迟的BSDE可能会出现在保险和金融领域。例如，根据人寿保险养老保险合同中的参与合同，我们有一个所谓的绩效挂钩支付，即保单的支付与保险人持有的投资组合的绩效相关。因此，当前投资组合和过去的投资组合价值会对负债的最终价值产生影响。