基于风险的制度转换保险公司最优投资组合

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英文标题：
《Risk-based optimal portfolio of an insurer with regime switching and
  noisy memory》
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作者：
Rodwell Kufakunesu, Calisto Guambe and Lesedi Mabitsela
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In this paper, we consider a risk-based optimal investment problem of an insurer in a regime-switching jump diffusion model with noisy memory. Using the model uncertainty modeling, we formulate the investment problem as a zero-sum, stochastic differential delay game between the insurer and the market, with a convex risk measure of the terminal surplus and the Brownian delay surplus over a period $[T-\\varrho,T]$. Then, by the BSDE approach, the game problem is solved. Finally, we derive analytical solutions of the game problem, for a particular case of a quadratic penalty function and a numerical example is considered.
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中文摘要：
本文研究了具有噪声记忆的制度切换跳扩散模型中保险人基于风险的最优投资问题。利用模型不确定性建模，我们将投资问题描述为保险人和市场之间的零和随机微分延迟博弈，在$[T-\\varrho，T]$期间，终端盈余和布朗延迟盈余的凸风险度量。然后，通过BSDE方法解决博弈问题。最后，对于二次罚函数的特殊情况，我们推导了博弈问题的解析解，并给出了一个数值例子。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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关键词：保险公司 投资组合 Optimization Quantitative Differential

具有制度转换和噪音记忆的保险公司基于风险的最优投资组合。在本文中，我们考虑了一个具有噪声记忆的区域切换跳变扩散模型中保险人的基于风险的最优投资问题。利用模型不确定性建模，我们将投资问题描述为投资者和市场之间的零和随机微分延迟博弈，并在一段时间内对终端盈余和布朗延迟盈余进行凸风险度量- , T）]。然后，利用BSDE方法求解博弈问题。最后，我们推导了对策问题m的解析解，对于一个二次罚函数的特殊情况，并考虑了一个数值例子。引言随机延迟方程是一类方程，其系数也取决于解的过去历史。它们自然出现在经济学、生命科学、金融、工程、生物学等领域。在金融数学中，进化价格过程的基本假设是它们是马尔可夫的。实际上，这些过程拥有一些无法受益的记忆。近年来，随机时滞控制问题受到了人们的广泛关注，这些问题可以用不同的方法来解决。例如，当状态过程依赖于离散和平均延迟时，Elsanoni等人[18]使用动态规划方法研究了一个最优收获问题。另一方面，利用极大值原理求解具有时滞的最优随机控制系统。见。g、 ，Oksendal和Sulem【28】，Pamen【27】。当问题允许存在噪声记忆时，即布朗运动建模的延迟，Dahl等人[8]提出了一种利用Malliavin导数的最大原理方法来解决问题。

有关随机延迟微分方程（SDDE）理论及其在随机控制问题中的应用的详细信息，请参见，例如，Banos等人【2】、Kuang【23】、Mohammed【26】及其参考文献。本文研究了具有噪声记忆的保险公司基于风险的最优投资问题。金融市场模型由一项无风险资产和一项风险资产组成，这两项资产由一个隐马尔可夫制度转换跳跃扩散过程描述。跳跃式差异模型是对资产价格建模的差异模型的有价值的扩展【28】。它们捕捉到了市场中的一些突然变化，如高频数据的存在、波动性集群和制度转换。重要的是要注意日期：2019年3月25日。关键词和短语。最优投资、跳跃扩散、制度转换、噪音记忆、BSDE、凸风险度量。2 RODWELL KUFAKUNESU、CALISTO GUAMBE和LESEDI Mabitselat表示，在马尔可夫区切换扩散模型中，即使返回过程是一个扩散过程，我们也可以得到随机系数（可能是跳跃）。在本文中，我们考虑了一个跳跃扩散模型，该模型包含了资产价格的跳跃以及模型系数的跳跃，即马尔可夫状态切换跳跃扩散模型。此外，我们认为马尔可夫链代表了经济环境的不同模式，如政治局势、自然灾害等。此类模型已被考虑用于未定权益的期权定价，例如，见Elliott等人【14】、Siu【35】和其中的参考文献。对于随机最优控制问题，我们提到了B¨auerle和Rieder[3]，Meng和Siu[25]的工作。在这些工作中，考虑了马尔可夫模型跳跃过程模型的组合资产配置和基于风险的资产配置，并通过动态规划方法进行了求解。

我们还提到了Pamen和Momeya（29）最近的一项工作，其中最大原理方法已应用于马尔可夫模型状态切换跳跃扩散模型描述的优化问题。在本文中，我们假设公司以固定利率收取保费，并支付由隐马尔可夫调制纯跳跃过程建模的总索赔。我们假设存在保险人当前财富的流入或流出资本，其中资本金额与保险人过去的财富表现成比例。然后，剩余过程由随机时滞微分方程控制，时滞可能是随机的。因此，我们认为也可以考虑由布朗运动建模的延迟。在光明时代，考虑了保险人的均值-方差问题，但财富过程由具有分布延迟的离散模型给出，通过最大值原理方法求解（Shen和Zeng[32]）。Chunxiang和Li【5】将保险人的均值-方差问题扩展到Heston随机波动率情况，并使用动态规划方法进行求解。关于不同类型延迟的详细讨论，请参阅Banos等人【2】第2节。2、我们采用了Frittelli和Gianin【20】以及F¨ollmerand Schied【19】首次提出的凸风险度量。这概括了Artzner等人首次提出的一致性风险度量的概念，因为它包括了资产组合风险对流动性风险的非线性依赖性。

此外，它放松了相干风险测度的次加性和正齐次性，并用凸性代替它们。当风险股价被描述为一个离散过程时，保险公司的此类基于风险的定价问题已在文献中得到广泛研究和报告，参见Elliott和Siu【16，17】、Siu【33，34，35】、Peng和Hu【30】。对于跳跃扩散情况，我们参考Mataramvura和Oksendal【24】。为了解决我们的优化问题，我们首先使用所谓的滤波理论将不可观测的马尔可夫区域切换问题转化为具有完全观测的马尔可夫区域切换问题，其中还导出了最优马尔可夫链。感兴趣的读者请参阅Elliottet。al.[15]，Elliott和Siu.[17]，Cohen和Elliott.[6]和Kallianpur.[2 1]。然后，我们建立了一个凸风险度量，该度量由终端剩余过程描述，以及噪声内存剩余在一段时间内的动态特性- , 由保险人来衡量风险。保险人的主要目标是选择最优的投资策略，以使风险最小化。这是一个基于两人零和随机延迟微分风险的保险公司3博弈优化问题。我们使用延迟后向随机微分方程（BSDE）和一种Jump方法，通过应用带跳跃的BSDE的比较原理来解决这个博弈问题。我们的建模框架遵循Elliott和Siu[16]中的that。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们介绍了在隐马尔可夫状态切换跳变市场中SDDE描述的状态过程的动态。在第3节中，我们使用过滤理论将模型转化为一个具有完整观测的模型。我们还推导了最优马尔可夫链。

第4节将我们的风险基础优化问题模拟为一个零和随机延迟微分对策问题，然后在第5节中解决。最后，在第6节中，我们导出了二次罚函数的一个特殊情况的显式解，并给出了一个例子来说明如何将这些结果应用于具体情况。2、模型制定支持我们有一家保险公司在有限的投资期T<∞ . 考虑完全过滤概率空间(Ohm, F、 {Ft}0≤t型≤T、 P），其中{Ft}T∈[0，T]是一种满足通常条件的过滤器（Protter[31]）。设∧（t）是定义在上的连续时间有限状态隐马尔可夫链(Ohm, F、 P），具有有限状态空间S={e，e，…，eD}RD，ej=（0，…，1，0，…，0）∈ RD，其中D∈ N是链的状态数，enis的第j个分量是Kroneckerδnj，对于每个N，j=1，2，D、 ∧（t）描述了金融市场中模型参数的未观测状态随时间的演变，即收集与模型相关的因素的过程，如政治局势、法律或自然灾害（见Bauerle和Rieder【3】、Elliott和Siu【17】）。具有正则状态空间S的马尔可夫链∧的主要性质是∧的任何非线性函数在∧中都是线性的，即Д（∧）=hД，λi，其中h·，·ide在RD中表示内积。有关详细信息，请参见Elliott et al.【15】。为了描述链∧的概率定律，我们定义了一系列强度矩阵a（t）：={aji（t）；t∈ [0，T]}，其中aji（T）是链∧从m态eit到ejat态时间T的瞬时跃迁强度∈ [0，T]。Elliott等人证明了这一点。

al.[15]，其中∧承认以下半鞅动力学：∧（t）=∧（0）+ZtA（s）∧（s）ds+Φ（t），其中Φ是关于∧生成的自然过滤的RD值鞅。为了描述金融市场的动态，我们考虑布朗运动W（t）和补偿马尔可夫状态切换泊松随机测度▄N∧（dt，dz）：=N（dt，dz）- ν∧（dz）dt，由ν∧（dt，dz）=DXj=1h∧（t）定义的双可预测投影-), ejiεj（t）νj（dz）dt、4 RODWELL KUFAKUNESU、CALISTO GUAMBE和LESEDI Mabitsela，其中νjis是随机跳跃大小的条件Levy度量，εjis是马尔可夫链∧处于ej状态时的强度状态。我们假设过程W和N是独立的。我们认为金融市场由一项无风险资产（B（t））0组成≤t型≤Tand onerisky资产（S（t））0≤t型≤T、 它们各自的价格由以下制度转换的随机微分方程（SDE）给出：dB（T）=r（T）B（T）dt，B（0）=1，dS（T）=S（T）hα∧（T）dt+β（T）dW（T）+ZRzN（dt，dz）i=S（T）hα∧（t）+DXj=1ZRzh∧（t-), ejiεj（t）νj（dz）dt+β（t）dW（t）+ZRzN∧（dt，dz）i，（2.1），初始值S（0）=S>0。我们假设瞬时利率r（t）和升值率α（t）由马尔可夫链∧调节，如下所示：r（t）：=hr（t），∧（t）i=DXj=1rj（t）h∧（t），eji，α∧（t）：=hα（t），∧（t）i=DXj=1αj（t）h∧（t），eji，其中，当马尔可夫链处于经济状态eji时，rj和αjr分别代表利率和升值率。我们假设r（t）和α（t）是概率空间上的RD值可预测且一致有界的过程(Ohm, F、 P）。否则，波动率β（t）是一个Ft适应的一致有界过程。请注意，我们可能会考虑马尔可夫调制波动率过程，但在下一节中，这将导致一个复杂的（如果不可能的话）过滤问题。

正如Siu【35】及其参考文献所指出的，另一个原因是，波动率可以通过风险股票的价格路径来确定，即波动率是可观测的。我们现在用概率空间上的马尔可夫状态切换纯跳跃过程来建模保险风险(Ohm, F、 P）。我们遵循Elliott和Siu【17】、Siu【34】、Pamen和Momeya【29】的建模框架。考虑一个实值纯跳跃过程Z：={Z（t）；t∈ [0，T]}定义在概率空间上(Ohm, F、 P），其中Z表示截至时间t的索赔总额。然后，我们可以将Z写为Z（t）=X0<s≤t型Z（s）；Z（0）=0，P- a、 s.，t∈ [0，T]，其中Z（s）：=Z（s）- Z（s）-), 对于每个∈ [0，T]表示时间s处Z的跳转大小。假设声明大小Z的状态空间为（0，∞). 考虑在产品空间[0，T]×Z上定义的随机度量（·，·），该度量选择保险人基于风险的随机索赔到达时间优化5times。总保险索赔过程Z可以写成Z=ZtZ∞zN（ds，dz）；t型∈ [0，T]。定义，对于每个t∈ [0，T]，M（T）：=ZtZ∞N（ds，dz）；t型∈ [0，T]。M（t）统计截至时间t的索赔到达数。假设在P下，M：={M（t），t∈ [0，T]}是上的条件泊松过程(Ohm, F、 P），给定关于链的实现路径的信息，强度λ∧（t）由λ∧（t）给出的马尔可夫链调制：=hλ（t），∧（t）i=DXj=1λjh∧（t），eji，其中λjis是向量λ的第j个条目，表示马尔可夫链处于状态空间ej时M的强度率。设fj（z），j=1，D是链尺寸z=z（s）的概率密度函数-Z（s）-), 当∧（t-) = ej。

然后，P下随机测度N（·，·）的马尔可夫区域切换补偿器由ν∧（ds，dz）：=DXj=1h∧（s）给出-), ejiλj（s）fj（dz）ds。因此，随机测量的补偿版本由▄N∧（ds，dz）=N（ds，dz）给出- ν∧（ds，dz）。我们假设t▄N∧与W和▄N∧无关。设p（t）为t时刻的保险费率。我们假设保险费率过程{p（t），t∈ [0，T]}上的Ft是渐进可测且一致有界的过程(Ohm, F、 P），取值（0，∞). 设R：={R（t），t∈ [0，T]}是保险公司无投资的保险风险过程。然后，R（t）由R（t）：=R+Ztp（s）ds给出- Z（t）=r+Ztp（s）ds-ZtZ公司∞锌（ds，dz）。设π（t）为时间t时投资于风险资产的金额。我们用X（t）表示盈余过程，然后我们制定了延迟盈余过程，这是由保险人当前财富的资本流入/流出函数引起的。我们假设资本流入/流出函数由φ（t，X（t），\'Y（t），U（t））=（θ（t）+ξ）X（t）给出- θ（t）(R)Y（t）- ξU（t），6 RODWELL KUFAKUNESU，CALISTO GUAMBE和LESEDI Mabitselahereθ（t）≥ 0是t，ξ的统一有界函数≥ 0是常数andY（t）=Ztt-eζ（s-t） X（s）dW（s）；\'Y（t）=Y（t）Rtt-eζ（s-t） ds；U（t）=X（t- ) .这里，Y，’Y，U分别表示区间[t]中财富过程的积分、平均和逐点延迟信息- , t] 。ζ ≥ 0是平均参数，并且 ≥ 0延迟参数。这是一个独立的布朗运动。参数θ和ξ表示与X过去性能成比例的权重-\'Y和X- U、 分别为。良好的表现（Д>0）可能会给被保险人带来更多的财富，以便他可以将部分财富支付给投保人。

否则，业绩不佳（Д<0）可能会导致保险公司使用准备金或在市场上寻找更多资金来弥补损失，以实现最终业绩。评论根据我们对资本流入/流出函数的定义，我们考虑了失范记忆，从而概括了申和曾的流入/流出函数[32]。据我们所知，Dahl等人[8]最近利用Malliavin导数的maximumprinciple技术将这种噪声延迟应用于随机控制问题。与Dahl等人[8]不同，我们假设噪声延迟是由一个独立的布朗运动导出的。我们认为，这一假设更为现实，因为信息延迟可能不是由驱动股价的随机性来源引起的。此外，当延迟由与资产价格相同的噪声驱动时，我们在下一节中应用的过滤理论无法将模型转换为具有完整观测值的模型，因为y（t）的动力学仍然依赖于一些隐藏参数。