不完全条件下高频交易的库存管理

每个HFT i都有一些初始库存∈ R、 个人持有成本γit/2>0对其风险资产中的平方库存征收，且单个贴现率ρit型∈ (0, 1).经销商现在清理了由k HFT和噪音交易员组成的市场。他们对每个HFT使用单独的库存预测过程：对于每个i，过程Mi=（Min）n≥0由Mi=Liand定义最小值=βi序号- ^1iMin-1，（4.1）对于某些~β=（β，…，βk）∈ Rkand ~Д=（Д，…，Дk）∈ （0，1）k.因此，经销商的线性定价规则现在的格式为pn=Sn-1+ λYn+kXj=1ujMjn-1，对于某些λ∈ R和~u=（u，…，uk）∈ Rk。与之前一样，风险中性HFT最大化了对其一个时期财富变化的预期。对于多个HFTs，购买成本Lin HFT i isPn时的新股林=序号-1+ λYn+kXj=1ujMjn-1.林。这里，Yn=Kn+Pkj=1Ljn是第n轮交易中的净订单流量。将该执行价格与HFTs的估值SN进行比较，并考虑噪音交易Knare独立，平均值为零，因此，考虑到其他HFTs交易Ljn，j 6=i，由于她的新交易，我的财富预期变化Linis公司序号- λkXj=1Ljn公司-kXj=1ujMjn-1.Lin.现在，用库存罚款、折扣作为补充，并将终端时间发送给单位。这进而导致HFT的以下固定目标函数：E∞Xn=1（1-ρit） nn型序号-λkXj=1Ljn公司-kXj=1ujMjn-1.林-γit（Lin-1+ Lin）o, （4.2）其中Lj，j 6=i是固定的可接受策略，优化运行锂∈ A、 我们的目标是找到以下意义上的平衡：定义4.1。设（λ，~u，~β，~Д）为具有相应库存预测过程的定价规则，（4.1）中的Mkas。如果：（i）给定定价规则（λ，~u，~β，~Д），策略(MMk）是容许的，并形成阿纳什平衡。

也就是说，每个HFT i都无法通过偏离策略来提高其绩效Miwhile其他HFT的策略Mj，j 6=i，保持不变。（ii）鉴于H FTs使用这些策略(MMk），经销商在每轮交易中的有条件预期利润为零：eEn[Sn]=λYn+kXj=1ujMjn-1，n≥ 1，（4.3）其中Yn=Kn+Pkj=1MJ是第n.4.2轮交易中的净订单流量存在性和渐近性。以下结果通过非线性方程组确定了k个竞争HFT的纳什均衡：定理4.2（均衡）。（i） 对于足够小的t型≥ 0，约束系统β∑=kXj=1βj，（4.4）0=（1- ρit） βiβ∑- (2 - ρit+β∑γit）σKσSβiβ∑+σKσS(1 -βiγit） ，i=1，k、 （4.5）0<β∑，d 0<βiβ∑≤σKσS，i=1，k、 （4.6）有唯一的溶液（β∑，~β）=（β∑，β，…，βk）。此解决方案具有以下渐近性t型→ 0：βi=k-σKσS-（1+k）1/22k3/42γ1/2i-kkXj=1γ1/2jσKσS3/2√t+O(t） ，（4.7）β∑=kσkσS-（1+k）1/22k3/4kXj=1γ1/2jσKσS3/2√t+O(t） 。（4.8）（ii）定义，对于足够小的t型≥ 0，λ=β∑σSσK+β∑σS=k1/21+KσSσK+k1/4（K-1） 2（1+k）3/2kkXj=1γ1/2jσSσK1/2√t+O(t） ，（4.9）Дi=1-λβi1-λβ∑=（1+k）1/2k1/4γ1/2iσKσS1/2√t+O(t） ，（4.10）ui=λДi=k1/4（1+k）1/2γ1/2iσSσK1/2√t+O(t） ，（4.11）并设置~Д=（Д，…，Дk）和~u=（u，…，uk）。那么，对于足够小的t>0时，定价规则（λ，~u，~β，~Д）形成线性平衡。请注意，λβ∑<1，因此可以很好地定义Дiis。此外，βiin（4.6）的上限相当于Иibeingnonegative。可以根据βi、β∑和模型参数明确计算HFT i在平衡状态下的最佳性能：命题4.3（HFT i的优化）。设（λ，~u，~β，~Д）如定理4.2所示。回想一下，foreach j=1。

，k，库存预测过程Mj=（Mjn）n≥0由Mj=Ljand定义Mjn=βj序号- ^1jMjn-1、修正i并假设经销商使用定价规则（λ、~u、~β、~Д），并且彼此HFT j 6=i使用该策略乔丹。那么，对于足够小的t>0，策略Miis是HFT的最佳人选，她在TIME 0的最佳表现是-Ai（Li）+Bi(S）- 西里S+Di，其中i=（1-ρit） （1）- ^1i）1- (1 - ρit） （1）- ^1i）γit=k1/42（1+k）1/2γ1/2iσSσK1/2√t+O(t） ，Bi=（1- ρit） βi（2（1- λβΣ) - βi（Ai+γit） ）=k1/2（1+k）σkσS+2k3/4（1+k）3/2h（2+6k）kkXj=1γ1/2j-5（1+k）γ1/2iiσKσS3/2√t+O(t） ，Ci=（1- ρit） （βi（1-^1i）（Ai+γit） +^1i（1-λβ∑）=2k1/4（1+k）1/2γ1/2iσKσS1/2√t+O(t） ，Di=（1-ρit） BiσS2ρi（4.12）=k1/2（1+k）σSσkρi+4k3/4（1+k）3/2h（2+6k）kkXj=1γ1/2j- 5（1+k）γ1/2iiσ1/2Sσ3/2Kρi√t+O(t） 。定理4.2和命题4.3的证明见附录A备注4.4。定理4.2中的均衡对于预测失误的库存具有一定的稳定性。事实上，附录A中命题4.3的证明（特别是引理A.4）表明，HFT i的最优策略如下所示：Lin=分钟- ζi（Lin-1.-分钟-1） ，对于某些ζi∈ (0, 1).如果经销商的初始库存预测正确（Mi=Li），这表明李=Mifor HFT i.但即使经销商的库存预测不正确，HFT也有一个激励因素，即逐渐缩小其实际库存与预测之间的距离：（李- Mi）n=-ζi（Lin-1.- 分钟-1).备注4.5。在平衡状态下，HFT i的目标函数（4.2）相当简单。实际上，通过插入uj=λИjandLjn=Mjn=βjSj公司- ^1jMjn-1into（4.2）对于j 6=i，库存预测过程Mj，j 6=i，退出优化标准。

因此，HFT i的价值函数只需要跟踪价值增量和HFT i自身的实际库存联合库存预测MIB，而不需要跟踪其他HFT的库存预测。这将问题的维数从2+k减少到3.4.3比较静力学我们现在讨论几个相互竞争的HFT的平衡的比较静力学。高频限值。对于定理3.6所涵盖的垄断情况，所有相关量的高频极限在高频交易相关的快速交易点是非常好的近似值。对于经销商的均衡定价规则，（4.9）和（4.11）显示出收敛于[1，18]研究的具有不完全竞争的风险中性模型。事实上，就像One垄断者HFT一样，其敏感性u，uk与HFT头寸相关的执行价格以比率消失√t、 而相对于净订单流量的灵敏度λ收敛于其风险中性对应物。同样，新交易信号的权重βithat也会转化为风险中性的对应方。与垄断情况一样，平均复归率Дi/t随着交易频率的增加而变化。因此，HFT i的性能接近其风险中性对应物，因为库存惩罚在高频限值中消失。纳什竞争。为了了解HFT之间的纳什竞争如何影响高频限值的缩放，将其与HFT通过旨在最大化其聚合性能的中央规划师协调其行动所获得的相应结果进行比较是很有帮助的。我们关注具有相同成本和偏好参数γ和ρ以及初始库存的k个同质HFT的高频极限。

然后，中央规划师问题简化为第3节中研究的垄断性HFT的情况，但用γ/k代替γ。也就是说，“总HFT”累积了所有单个库存公差。由于定理3.6中的限制价格影响和交易策略与库存厌恶无关，我们观察到纳什竞争对交易和福利的典型影响。事实上，在不完全竞争的情况下，HFT过度利用了其共同的信息优势，因为其聚合信号灵敏度太大：与β∑=σK/σSwithcoordination相比，β∑=k1/2σK/σSunder竞争。正如【18】所观察到的，这是经典的“公地悲剧”的化身：HFT过度使用其共同利益，即市场上可用的流动性。换言之，他们中的每一个人都只会将自己的价格影响成本内部化，而不会对其他人产生负面影响。这种过剩的交易量（具有相同的信息优势）将高频交易系统的总体表现降低了2千1/2/（1+k）倍∈ （0，1）。这反过来又允许经销商使用较小的价格影响参数λ实现盈亏平衡；该参数减少了相同的系数2k1/2/（1+k）∈ （0，1）.库存厌恶。在纳什竞争下，价格影响参数λ（参见（4.9））的一阶修正项为(√t） 并且随着库存厌恶参数γ的增大而增大。这与垄断情况形成鲜明对比，垄断情况下的一阶修正项为O阶(t）和γ的减少（参见（3.6））。这种最初令人惊讶的影响可以用纳什竞争导致的过度交易来解释。事实上，在库存厌恶的情况下，HFT会根据（4.8）中的β∑所述信号缩减其总交易量。

这使HFT更接近其协调平衡，并迫使经销商通过增加λ来恢复其损失的交易利润。关于HFT的个人表现，增加库存厌恶有两个相反的影响。一方面，增加库存厌恶当然会降低HFT的绩效，尽管库存惩罚较高。另一方面，如上所述，它将竞争性HFTscloser移动到其协调平衡，从而提高每个HFT的个人绩效。该对策反映在HFT绩效Diin（4.12）的一阶修正项中。例如，在均质HFT的情况下，k的一阶校正项为负≤ 2，k为正≥ 4，当k=3时消失。在激烈的竞争中，库存○○○○○○○○○○++++++++++△△△△△△△△△△2 4 6 8 10k0.300.350.400.450.50λ○○○○○○○○○○++++++++++△△△△△△△△△△2 4 6 8 10k0.300.350.400.450.50λ图4：对于每天1个交易轮（左图）和每天100个交易轮（右图），相对于竞争HFT数量k绘制的净订单流量，执行价格的灵敏度λ：高频限值（三角形）、一阶近似值（十字）和精确解（圆形）。与相应的风险中性平衡相比，厌恶情绪对HFT的表现有着有利的影响。异质性虽然个体HFT的库存厌恶情绪中总的信号敏感性β∑总是在下降，但HFT i的个体信号敏感性βi（参见（4.7））的一阶修正的迹象取决于她的库存厌恶情绪与其他HFT的库存厌恶情绪的关系。事实上，如果HFT的库存成本与其他HFT相比非常低，那么不完善的竞争允许比风险中性情况下更积极地利用价格信号，从而也提高了各自的性能（参见。

(4.12)). 对于库存成本相对较高的HFT，情况正好相反。从理论角度来看，上述效应很有趣。然而，图4表明，虽然库存厌恶的影响在较低的交易频率（如每日）下明显可见，但随着t趋于零。因此，这些效应仅在高频环境中起着次要作用。4.4交易税交易税通常被认为是通过抑制高频交易来提高市场质量的一种可能工具。与[18]的风险中性单期模型一样，二次交易税也可以纳入本框架。这意味着高频交易产生的额外交易成本与其各自交易的平方大小成比例。然后，stationarygoal函数（4.2）变为∞Xn=1（1-ρit） nn型序号-c林- λkXj=1Ljn公司-kXj=1ujMjn-1.林-γit（Lin-1+ Lin）o对于某些交易税参数c>0。其他规定（如与贸易规模成比例的税收）不易处理，因为它们会导致非线性过滤问题。然而，我们期望这类模型的大致结论是相似的。0.00 0.05 0.10 0.15 0.20c0.500.600.650.700.00 0.05 0.10 0.15 0.20c0.500.550.600.650.70图5：对于垄断HFT（左面板）和两个竞争对手（右面板），相对于交易税参数c绘制的净订单流量，总交易成本λ+c（虚线）和价格影响λ（实线）。交易频率为每天100次。与定理4.2类似，可以证明均衡定价规则由约束系统β∑=kXj=1βj，0=（1）的（β∑，β，…，βk）的解确定- ρit） βiβ∑+2cσKσS+ βΣ-2cσKσS+ βΣ+ βΣ(2 -ρit） +β∑γit型σKσSβi+σKσS(1 -βiγit） ，i=1，k、 0<β∑，0<βi≤σK2c（σK+β∑σS）+β∑σS，i=1。

，k.图5描述了垄断HFT和两个竞争对手的相应价格影响参数λ和总交易成本λ+c。我们的结果证实了具有风险中性HFT的单期模型中[18]的发现。在这两种情况下，总交易成本λ+c在交易税c中都会增加。仅就价格影响而言，在垄断和寡头垄断的情况下，比较静态是不同的。对于垄断的内部人士来说，小额交易税可以降低价格影响。相反，在纳什竞争中，交易税往往会增加价格影响。原因再次是H FTs选择中固有的负外部性：“没有交易税，[…]他们最终在均衡状态下交易“太多”，也就是说，以一种耗散的方式，他们的利润减少了市场上知情代理人的总数，从而导致更大的市场流动性。交易税导致他们缩减交易规模，当他们的净交易税利润在税收中减少时，交易税利润总额在税收中增加。这导致交易税产生了反作用：它降低了市场流动性（并增加了无信息交易者面临的不利价格影响），但它也降低了知情交易者的利益“[18]。虽然λ和ui仍然分别由（4.9）和（4.11）给出，但由Дi=1确定的Дiis-（λ+2c）βi1-λβΣ. βiis上的上界等于非负的φib。在高频交易的背景下讨论交易税时，应牢记这一基本机制。

在这里考虑的mo-deling框架中，市场流动性不能通过税收来改善，而只能通过鼓励HFT之间的更多竞争来改善，比较图4。然而，如果考虑到信息获取的成本或贸易技术的（过度）投资，税收可能会成为社会上的首选。将这些特性纳入当前模型是未来研究的一个具有挑战性但重要的方向。在这一节中，我们证明定理4.2和命题4.3。我们从系统（4.4）–（4.6）的局部解决方案的存在开始t、 引理A.1。ε>0使得对于所有t型∈ [0，ε），系统（4.4）–（4.6）具有唯一解（β∑，β，…，βk），具有渐近性（4.7）–（4.8）。证明。步骤1。我们注意到t=0，系统（4.4）–（4.6）简化为β∑=kXj=1βj，βiβ∑=σKσS, 0<β∑，0<βiβ∑≤σKσS，i=1，k、 它有唯一的解‘|∑=kσkσS，’βi=k-σKσS，i=1，k、 第2步。接下来我们证明了一个解的存在性t>0。首先，我们将系统（4.4）–（4.6）转换为符合隐函数定理的等效系统。请考虑以下域的重新参数化（0，∞) 变量的x R1+k(t、 β∑，β，βk）：δ=√t、 x=δβΣ-βΣ, yi=δβi-βi, i=1，k、 在将变量的这种变化插入（4.4）–（4.6）中，简化结果方程，并将其乘以方便的非零项后，可以得出任何0<t=δ，原始系统（4.4）–（4.6）等于系统0=h（δ，x，y，…，yk），0=hi（δ，x，y，…，yk），i=1，k、 （A.1）-\'β∑<δx，-σKσS<δ′βi（x+kyi）+δxyi≤ 0，i=1，k、 （A.2）其中h（δ，x，y，…，yk）=x-kXj=1yj，hi（δ，x，y，…，yk）=（x+kyi）- k（1+k）γiσKσS+ (*) δ + (*) δ+ (*) δ+ (*) δ.在这里(*)-术语代表x，y。

，yk，不依赖于δ，对后续计算不重要。其次，我们证明了变换后的系统（A.1）–（A.2）有一个解（x（δ），y（δ），δ=0附近的yk（δ））。很容易验证'x=-（1+k）1/22k3/4kXj=1γ1/2jσKσS2月3日，易=-（1+k）1/22k3/42γ1/2i-kkXj=1γ1/2jσKσS3/2，i=1，k、 （A.3）是由（A.1）通过插入δ=0得出的二次系统的解。此外，（h，h，…，hk）关于变量（x，y，…，yk）的雅可比矩阵，在δ=0和（x，y，…，yk）=（\'x，\'y，…，yk）下计算，为1.-1.-1 ··· -1akaaka。。。。。。阿克卡克,式中，ai=2（\'x+k\'yi）<0，省略零项。使用行（或列）变换，可以验证此矩阵是可逆的。因此，隐函数定理yieldsanε′>0和连续可微函数（x，y，…，yk）：(-ε′, ε′) → R1+k如（x（δ），y（δ），yk（δ））为所有δ求解（A.1）∈ (-ε′，ε′）和x（0）=x和yi（0）=yi，对于i=1，k、 由于“x+k”yi<0，必要时使ε′变小，我们还可以确保（x（δ），y（δ），yk（δ））满足所有δ的不等式（A.2）∈ (-ε′, ε′).第三，在恢复变量的变化并设置ε：=（ε′）后，我们可以得出以下结论：t型∈ [0, ε),βΣ(t） ：=kσkσS+x(√t）√t、 βi(t） ：=k-σKσS+yi(√t）√t、 i=1，k、 定义原始系统的解决方案（4.4）–（4.6）。此外，函数β∑，βi，i=1，k、 在（0，ε）上连续可微，在[0，ε]上连续可微，并且根据表达式（A.3），具有渐近展开式（4.7）–（4.8）。步骤3。我们最终解决了小t>0。