不完全条件下高频交易的库存管理

（这意味着ρ和γ分别是单位时间的贴现率和库存成本。）第n轮交易前的高频交易信息集包括过去和当前的价值增量{Sm，m≤ n} ，我们用En[·]表示相应的条件期望。接下来，我们推导HFT的目标函数。我们将终点时间推迟到最后，以获得一个平稳的目标。也就是说，HFT优化了她预期的一个周期财富变化的折扣总额，因为持有大量库存而受到惩罚，类似于[9]。考虑第n轮交易。在交易之前，HFT持有Ln-1风险资产的份额（和现金头寸），并提交一份规模排序自然对数。本订单按照经销商的执行价格Pn执行。由于市场价格基于经销商的劣质信息，我们假设HFT使用自己的、更准确的基本价值预测来评估其风险头寸。因此，由于n轮isLnSn交易，HFT的财富发生了变化- 自然对数-1Sn-1.- Pn编号Ln=Ln-1.Sn+（Sn- Pn）自然对数；这里，Ln-1Sn-1和lns分别以n和Pn为单位计算HFT在交易前后对风险头寸的估值Ln是交易导致的现金头寸变化自然对数。自从Snand Ln公司-1独立且Snhas表示0，财富变化Ln-1.与第n轮交易前已持有的股份相对应的Sn预期为零，因此需要考虑财富变化（Sn-Pn）Ln对应于购买或出售第n轮中的Lshares表示，经销商选择了一个定价规则（λ、u、β、Д）以及相应的库存预测过程M。

然后，采购LnCostspn时的新股Ln=（序号-1+ λYn+uMn-1)自然对数。将其与HFT的估值Sn=Sn进行比较-1+ SN考虑到噪音等级与平均值零无关，因此，新贸易导致的HFT财富预期变化为(序号- λ自然对数- uMn-1)自然对数。现在，用库存惩罚γ来补充这一点t（Ln-1+ Ln）对于第n轮交易，使用简单的复合加成因子（1）贴现时间tn的预期财富变化和库存罚款- ρt） n.对于有限的规划范围，这将导致以下平稳目标功能：E∞Xn=1（1-ρt） nn型序号- λ自然对数- uMn-1.自然对数-γt（Ln-1+ Ln）o→ 最大值L∈A.（3.3）此处，A=n(Ln）n≥1： E[Ln]在可容许策略集的nodenotes中有界。我们注意到M∈ 引理A.6。利用这一点，我们可以表明（3.3）中的预期对所有人都是明确的L∈ A、 3.3平衡的定义我们现在可以正式定义我们的平衡概念。如上所述，关键的一致性条件是经销商的库存预测确实实现了，因为HFT没有偏离它们的意愿：定义3.3。设（λ，u，β，Д）为定价规则，其对应的库存预测过程如（3.2）所示。如果：（i）给定定价规则（λ，u，β，Д），经销商的库存预测M是一种可接受的策略，对于HFT的目标函数（3.3）是最优的。（ii）鉴于HFT采用了该策略M、 经销商在每轮交易中的有条件预期利润为零：eEn[Sn]=λYn+uMn-1，n≥ 1.（3.4）有几句话要说。备注3.4。线性平衡的系数（λ、u、β、Д）与时间无关。这是由于两个事实：（i）HFT的优化问题具有有限的时间范围。

如果HFTs优化问题有一个有限的时间范围，那么最优策略（以及定价规则）将变得依赖于时间。（ii）HFT的信息优势在每轮交易后完全重置：旧的增量向公众披露，HFT接收到一个新的信号，该信号与之前的观测值不相关，而过去的订单流量观测值则不相关。如果从经销商的角度来看，HFT的库存中存在未披露的随机性（例如，由于随机初始库存或噪音信号），那么经销商将使用过去的订单流量观测来计算预期的价值增量，定价规则可能会变为时间依赖性的。备注3。5.回想一下，在我们的模型中，HFT观察到SNT在tn交易之前。更现实的假设是HFT只接收到噪声（相关）观测鼻涕序号：。在该模型的风险中性版本【1】中，噪声信号可以很容易地被接收。然而，随着库存厌恶，出现了具有挑战性的问题。在n轮交易之前考虑经销商的情况。鉴于零利润条件（3.4），经销商需要计算条件期望值een[序号]基于过去和当前订单流量{Ym:m≤ n} 和过去的值增量{Sm:m<n}。在我们的均衡中，经销商可以根据以下条件完美预测HFT的库存{Sm:m<n}。因此，经销商可以预测HFT在第n轮的交易量，作为序号：。由于pastorder Flows Y，Yn公司-1与下一个增值不相关序号，仅限与计算条件期望有关[序号]。如果HFT接收到噪声信号，情况就不同了。

从经销商的角度来看，HFT的噪音信号会导致HFT库存中的噪音（因为假设噪音信号在每一轮交易后都会向公众披露是不现实的）。因此，在bes t，经销商可以预测HFT的交易量作为Snand Ln公司-因此，Ynis与Snand Ln公司-1、但Ln-1还取决于之前的所有噪声信号。因此，人们期望条件期望[Sn]不仅取决于当前订单流量，还取决于所有订单流量，Yn公司-这会导致更复杂的计算。3.4存在与渐近如果交易频率非常高，则存在线性均衡，并且在提议的类别中是唯一的。所有相关的量都可以用四次方程的解来表示。在高频极限下，这将通过隐函数定理得到闭合形式近似。这些结果的证明是下面更一般的定理4.2的一个特例，它建立在附录a定理3.6中。（i） 对于足够小的t型≥ 0，四次方程0=β（1-ρt）- (2 - ρt+βγt）σKσSβ+σKσS(1 -βγt） （3.5）具有独特的溶液β∈ （0，σKσS）。此解具有以下渐近性：t型→ 0：β=σKσS-γσK2σS1/2√t+O(t） 。（ii）对于非常小的t型≥ 0，λ=βσSσK+βσS=σS2σK-γt+O((t） 3/2），（3.6）Д=1-λβ1 - λβ=2γσKσS1/2√t+O(t） ，（3.7）u=λД=γσS2σK1/2√t+O(t） 。（3.8）注意λβ<1，因此很好地定义了Д。那么，对于足够小的t>0时，定价规则（λ，u，β，Д）形成线性均衡。

特别是战略Ln=Mn=β序号- ^1Mn-1是HFT的最佳选择。（iii）HFT在时间0时的最佳性能为-铝+硼S- 氯S+D，其中=（1-ρt） （1）- φ)1 -(1 - ρt） （1）- φ)γt型=√γ1/2σSσK1/2√t+O(t） ，B=（1- ρt） β（2（1- λβ) -β（A+γt） ）=σKσS-√γ1/2σKσS3/2√t+O(t） ，C=（1- ρt） （β（1-^1）（A+γt） +^1（1- λβ)) =√γ1/2σKσS1/2√t+O(t） ，D=（1）-ρt） BσS2ρ=σSσK2ρ-√γ1/2σ1/2Sσ3/2Kρ√t+O(t） 。备注3.7。定理3.6中的线性平衡对于非常小的t>0。我们概述了论点的主要步骤。设（λ，u，β，Д）为线性平衡。经销商的零利润条件要求λ和u分别通过（3.6）和（3.8）与β和Д相关。接下来，可以使用动态编程或扰动参数来分析策略的最优性(Mn）n≥1对于HFT，即HFT没有任何动机偏离经销商的预测。这就产生了（3.7）用λ和β表示的ν，并且β满足四次方程（3.5）。因此，仍需分析四次方程的哪些解会产生平衡。结果表明，四次方程（3.5）正好有两个不同的实根。第一步位于（0，σKσS），并导致定理3.6的平衡。第二根位于（σKσS，∞ ).然而，β>σKσ简化了相应的平均回归参数Д为负。因此，根据引理A.6，相应的策略(Mn）n≥1不允许。此外，在任何更大的受理类别中，这种策略也不是最优的。事实上，战略的绩效(Mn）n≥1可以使用引理A证明中的显式表示形式，显式计算β、Д和λ。

然后，结果表明，对于φ<0且非常小的t>0时，库存惩罚支配预期利润并导致绩效-∞.3.5比较静态我们现在讨论定理3.6平衡的最优交易策略、定价规则和最优HFT性能。高频限值 t型→ 平衡点的0与其风险中性对应点一致[1]；库存厌恶的影响只有在优先顺序中才可见Ln由于M=Lby假设，经销商在等式中的库存预测在任何时候都是正确的，即对于所有n，Mn=LN。特别是，HFT的最优策略可以等效地计算为Ln=β序号- ^1Ln-1.0.000 0.001 0.002 0.003 0.004Δt0.970.980.991.001.01β0.000 0.001 0.002 0.003 0.004Δt50100150200φΔt图1：新信号（左面板）和平均反转速度的交易权重β/根据离散化参数绘制t（右面板）t： 高频限值（虚线）、一阶近似值（虚线）和实际解（实线）。请注意，0.004=1/250约为一个交易日。更正条款t>0。事实上，在这个限度内，最佳的交易策略Ln=σKσSSn和线性定价规则Pn=Sn-1+σS2σKyn与[1]的风险中性均衡一致。在本节的其余部分，我们将讨论非常小但积极的情况t、 库存厌恶的影响变得明显的地方。对于图1-3中的数值说明，我们使用波动率σS=σK=1，如[18]，库存厌恶参数γ=1，与[17]中使用的参数值具有相同的数量级，贴现率ρ=5%；然而，请注意，与高频限值一样，几乎所有结果在任何情况下都与ρ无关。

（唯一的例外是最佳性能D，对于该性能，限额和领先订单修正与贴现率成反比。）交易策略。HFT的平衡位置（Ln）n≥0遵循一阶自回归过程，其中平均回归速度由参数Д控制，新值由β乘以值增量给出序号：。均值回归分量确保HFT的位置不会变得太大（正或负）。请注意，此库存管理术语不随对于离散化的Ornstein-Uhlenbeck过程。相反，它可以扩展为√因此，随着交易频率的增加，高频交易头寸的半衰期收敛到零。这允许HFT在高频限制下实现与无库存厌恶相同的性能。图1显示了平衡信号灵敏度β和平均回复率ν/t作为离散化参数的函数t、 我们看到，即使离散化参数的值很大，β（相对而言）也接近其高频极限t、 相比之下，最佳平均回复率对并随着交易频率的增长迅速爆发。尽管如此，定理3.6中Д的一阶展开式提供了最佳均值回复率的极好近似值。HFT的最佳性能。不出所料，库存厌恶对数量D有负面影响，这衡量了HFT从零位开始，在没有初始信号的情况下可以实现的最佳性能。根据离散化参数绘制最优性能图图2中的t。

我们观察到，对于中间产品0.001 0.002 0.003 0.004Δt9.79.89.910.0D0.00001 0.00002 0.00003 0.00004Δt9.79.89.910.0D，库存效应清晰可见。图2：根据离散化参数绘制的HFTs最佳性能Dt： 高频极限（虚线）、一阶近似（虚线）和精确解（实线）。左侧面板显示的中间交易频率低于每天一次。右面板放大了更高的交易频率，每天超过100笔交易。交易频率，但如果交易频率高于每天100次，交易频率会迅速下降到1%以下。在与高频交易相对应的更短的时间尺度上，在[17]中直接研究的（风险中性）高频限额显然是一个很好的近似值。定价规则。均衡定价规则调整已披露的零件序号-资产基础价值的1与净订单流量呈线性关系Ynin交易轮n和HFT的预测库存Mn-1（参见（3.1））。在前序中，价格影响参数λ在库存厌恶参数γ中减小：HFT的库存管理干扰了在ris k-中性情况下可能的信息优势的优化利用。这反过来允许经销商以较小的价格影响参数实现平均盈亏平衡。在库存厌恶参数γ中，执行价格相对于HFT预测库存的均衡敏感度u=λД增加，顺序为O(√t） 。原因是，对于给定的预测库存（例如，正），较大的风险规避参数γ意味着HFT有较强的卖出动机。因此，相同的净订单流量可能对应更大的购买激励，需要通过更高的执行价格来设定。

最后，观察u=λИ导致均衡执行价格pn=Sn-1+ λYn+uMn-1=序号-1+ λ(Kn+βSn）不（功能上）取决于HFT的预测库存。图3显示了描述均衡定价规则的参数λ和u，作为t、 对于定价规则对净订单流量的灵敏度λ，我们发现高频极限，其渐近展开到订单项t、 定理3.6中四次方程的精确解实际上是一致的，即使交易频率低到一天一次。这表明Kyle的lambda公式【14】对于引入库存厌恶非常稳健。特别是，在目前的模型和[16]的部分均衡设置中，噪声传播者的明显福利差异在实践中可以忽略不计。与高频限值不同，执行价格对HFT预测库存的敏感度u非零，但定理3.6的一阶扩展再次提供了一个极好的近似值，即使对于低交易频率也是如此。备注3.8。让我们将我们的结果与[16]的模型进行比较，后者侧重于λ>0但u=0的定价规则。因此，在他们的模型中，经销商无法在每一轮交易中实现盈亏平衡，即0.000 0.001 0.002 0.003 0.004Δt0.49000.5000.5050.5100.515λ0.000 0.001 0.002 0.003 0.004Δt0.0050.0100.0150.0200.0250.030μ图3：根据Discretization参数绘制的均衡定价规则参数λ（左面板）和u（右面板）t： 高频极限（虚线）、一阶近似（虚线）、精确解（实线）。但仅在整个时间范围内。尽管存在这些差异，但两种模型中β、λ和Д的高频限值是相同的。

这为关注简单的定价提供了一些理由，这些定价不依赖于HFT的位置，如【17、16】所示。在下一个领先订单中，经销商的仓位相关定价规则的影响变得显而易见。转化为我们的符号，[16]得到以下渐近：β=σKσS-γσKσS1/2√t+O(t） ，λ=σS2σK-γσSσK1/2√t+O(t） ，^1=γσKσS1/2√t+O(t） 。在【16】的部分均衡设置和当前的完全均衡中，经销商都可以通过库存厌恶HFT增加市场深度（即减少λ），因为这必须平衡其信息优势的利用与库存管理。然而，在我们的模型中，流动性的增加逐渐小于[16]（O(t） 在（3.6）中也进行了比较(√t） 在【16】中。因此，我们模型中噪声交易者的预期损失相对较大。从这个意义上说，噪音交易者为在每一轮交易中实施交易者的零利润条件付出了代价，而不仅仅是在整个时间范围内。对于信号灵敏度β和平均回复速度Д，一阶修正为O阶(√t） 在这两种模型中，但相应修正项的系数不同。由于对订单流量的敏感性较低，HFT比[16]更积极地利用其关于未来价格变化的信号，因为β系数比高频限值降低得更少。由于当HFT的位置更大时，位置依赖执行价格更高，HFT也可以采用一个平均反转速度Д，该速度通过系数√与[16]相比，我们的模型中为2。4与竞争内部人的均衡4.1纳什竞争我们现在转向k>1的可能异质HFT的情况，他们竞争利用他们关于下一期价值增量的常见信息。