部分信息下DC计划的最优资产配置

（3.10）此外，Д（t）和φ（t）求解以下向后普通微分方程nД′（t）+rφ′（t）+σr（φ（t））+K（t）（3.11）+ha（\'r- r） +（α- 1） σrπ（t）σS（t）-σra1.- e-a（T-t）π（t）- σ（t）iφ（t）oA*（t） =Q（t）A*（t） +σ（t）B*（t） +σ（t）B*（t） ，其中k（t）=（α- 1） huI（t）π*（t） +u（t）π*（t） +σraξ1.- e-a（T-t）π*（t）- κr（t）+βt（t）- ul（t） +σ（t）+σ（t）- σS（t）σ（t）π*（t） +（α- 2)(π*（t） ）σI（t）-σS（t）π*（t）-σraξ1.- e-a（T-t）π*（t）σ（t）+（α- 2） （σS（t）π*（t）- σ（t））+（α- 2)σS（t）π*（t）-σraξ1.- e-a（T-t）π*（t）- σ（t）-(1 - εtβt（t））δ（y（t））-1和Q（t）=κr（t）+ul（t）- βt（t）- σ（t）- σ（t）。将（3.7）、（3.8）–（3.10）代入（3.4），得到如下最优解：π*（t） =ξ+σ（t）（α- 1） σI（t）；(3.12)π*（t） =2a（α- 1） σrσI（t）ξ1.- e-a（T-t）hσrσI（t）φ（t）+uI（t）（3.13）（α- 1） σI（t）（σS（t）π*（t）- σ（t））i；π*（t） =uS（t）- σS（t）σ（t）+ξσS（t）+（1- α） σ（t）σ（t）（1- α） σ（t）σS（t）。（3.14）我们指出，从（3.7）、（3.9）和（3.10）中，我们可以在以下系统中写入（3.11）ν′（t）+K（t）=0；rφ′（t）+M（t）φ（t）+σr（φ（t））=0，其中K（t）=K（t）- [Q（t）+（α- 1) ( π*（t） σ（t）σI（t）+σ（t）（π*（t） σS（t）- σ（t））]，M（t）=a（(R)r- r） +（α- 1） σrπ*（t） σS（t）-σra1.- e-a（T-t）π*（t）- σ（t）其中给出了以下解决方案Д（t）=-ZTtK（s）ds，t∈ [0，T]和φ（T）=σrexpn-ZTt（r（s））-1M（s）dsoZTt（r（s））-1ds。这就完成了解决方案（3.7）。对于第二个伴随方程，我们得到了*（t） 在（3.7）中，我们可以写*（t） =hκh（t）（y（t））α+aA*（t） idt+B*（t） dWr（t）+B*（t） dWI（t）+B*（t） dWS（t），这是一个线性BSDE。根据Cohen和Elliott【9】，定理19.2.2。，A.*（t） 由A给出*（t） =-EhκZTth（s）（y（s））αds | Eti。控件B*, B*, B*可以使用鞅表示定理得到。然后，我们在下面的定理中总结了我们的结果。定理3.1。

在幂效用函数下，基于信息流{Et}t的确定贡献问题（2.8）的最优策略∈[0，T]由π给出*（t） =ξ+σ（t）（α- 1） σI（t）；π*（t） =2a（α- 1） σrσI（t）ξ1.- e-a（T-t）hσrσI（t）φ（t）+uI（t）（α- 1） σI（t）（σS（t）π*（t）- σ（t））i；π*（t） =uS（t）- σS（t）σ（t）+ξσS（t）+（1- α） σ（t）σ（t）（1- α） σ（t）σS（t）。式中φ（t）=σrexpn-ZTt（r（s））-1M（s）dsoZTt（r（s））-1ds。4、数值例子在本节中，我们考虑我们的结果的一个数值应用，以显示在前一节中导出的最优端口策略的行为。我们假设以下参数与Battocchio和Menoncin[4]中的数值分析一致。下图显示，基金经理不应完全投资与通胀挂钩的资产，因为这会吸引负利率。这与文献相符，例如参见[6]、[5]。在股票中的分配遵循利率的行为，这意味着随着利率的增加，更多的财富被投资在股票中。对于零息票债券，下面的图表表明，应将一小部分富人沿着投资的生命周期投资于该资产。a'rσrr（0）TξuIσI0.2 0.05 0.02 0.03 20 0.15-0.01 0.015uσSulσσl(0) δ0.06 0.19 0.06 0.01 0.014 0.171 100 0.12时间（t年）-3-2-1 PIPIP图1。该图显示了基金经理应如何为α=-3.0时间（t年）-30-20-10 PIPIP图2。该图显示了基金经理应如何在α=0.5的情况下进行投资组合分配。附录我们介绍了一种基于部分信息差异的随机波动率模型的最大原理方法，该方法主要基于Guambeand Kufakunesu[14]的结果。

关于完全过滤概率空间(Ohm, F、 {Ft}t∈假设状态过程的动力学由以下随机微分方程（SDE）dX（T）=b（T，X（T），Y（T），π（T））dt+σ（T，X（T），Y（T），π（T））dW（T）（4.1）+β（T，X（T），Y（T），π（T））d W（T）；X（0）=X∈ R，其中外部经济系数Y由dy（t）=Д（Y（t））dt+φ（Y（t））dW（t）给出。（4.2）我们假设函数b，σ，β：[0，T]×R×R×A→ RД，φ：R→ R是可预测的过程，因此（4.1）和（4.2）得到了很好的定义，（4.1）对每个π都有唯一的解∈ A、 这里，A是R中给定的闭集。我们假设控制过程π适应于给定的过滤{Et}t∈[0，T]，其中 英尺， t型∈ [0，T]。亚滤过离子{Et}t∈[0，T]表示在关于系统状态的时间T，控制器可用的信息量。设f:[0，T]×R×R×A→ R是连续函数，g:R×R→ R一个凹函数。我们通过j（t）=EhZTf（t，X（t），Y（t），π（t））dt+g（X（t），Y（t））i.（4.3）定义了性能标准∈ 如果（4.1）有唯一的强解且hzt | f（t，X（t），Y（t），π（t））| dt+| g（X（t），Y（t））| i<∞ .部分信息控制问题是发现π*∈ A这样的j（π*) = supπ∈AJ（π）。控制π*如果存在，则称为o pt ima l控件。为了解决这种具有随机波动率的随机最优控制问题，我们使用了所谓的最大值原理方法。这种方法的优点在于，它在更一般的情况下，即在马尔可夫和非马尔可夫情况下，解决了随机控制问题。我们指出，由于部分信息的性质∈[0，T]，Pham[18]提出的随机波动率模型的动态规划方法f不适用。

我们的方法可以看作是BagheryandOksendal[3]中部分信息随机控制问题的最大原理方法在随机波动率情况下的推广。我们定义了哈密顿量H:[0，T]×R×R×A×R×R×R×R×R×R→ R by:H（t，X（t），Y（t），π（t），A（t），A（t），B（t），B（t））（4.4）=f（t，X（t），Y（t），π（t））+B（t，X（t），Y（t），π（t））A（t）+Д（Y（t））A（t）+σ（t，X（t），Y（t），π（t））B（t）+β（t，X（t），Y（t），π（t））B（t）+φ（Y（t））B（t（t），从现在开始，我们假设哈密顿量H是连续可微的w.R.t.X andy。然后，对应于容许策略π的伴随方程∈ A由以下{Ft}t给出∈[0，T]-自适应倒向随机微分方程（BSDE）dA（T）=-Hx（t，x（t），Y（t），π（t），A（t），A（t），B（t），B（t））dt+B（t）dW（t）+B（t）dW（t），（4.5）A（t）=gx（x（T），Y（T））（4.6）和da（T）=-Hy（t，X（t），y（t），π（t），A（t），A（t），B（t），B（t））dt+B（t）dW（t）+B（t）dW（t），（4.7）A（t）=gy（X（T），y（T））。（4.8）与我们的问题相关的验证定理统计如下：定理4.1。（有效最大原理）Le tπ*∈ A与相应的富裕过程X*. 假设这些对（A*（t） ，B*（t） ，B*（t） ）和（A）*（t） ，B*（t） ，B*（t） ）分别是伴随方程（4.5）和（4.7）的解。此外，假设以下不等式hold：（i）函数（x，y）→ g（x，y）是凹的；（ii）函数H（t）=supπ∈AH（t，X（t），Y（t），π，A*（t） ，A*（t） ，B*（t） ，B*（t） ）是凹面和hh（t，X，Y，π*, A.*, A.*, B*, B*) | Eti=supπ∈AEhH（t，X，Y，π，A*, A.*, B*, B*) | Eti。此外，我们假设如下：EhZT（X*（t） （）（B）*（t） ）+（B*（t） （）dti<∞ ;EhZT（Y（t））（B）*（t） ）+（B*（t） （）dti<∞ ;EhZTn（A*（t） （）（σ（t，X（t），Y（t），π（t））+（β（t，X（t），Y（t），π（t）））+（A）*（t） ）（φ（Y（t）））idti<∞ ,对于所有π∈ A、 那么，π*∈ A是一个最优策略，对应于最优状态过程X*.证据

Letπ∈ A是n可容许策略，X（t）是相应的财富过程。然后，继Framstad等人。