部分信息下DC计划的最优资产配置

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英文标题：
《Optimal asset allocation for a DC plan with partial information under
  inflation and mortality risks》
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作者：
Calisto Guambe, Rodwell Kufakunesu, Gusti Van Zyl and Conrad Beyers
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We study an asset allocation stochastic problem with restriction for a defined-contribution pension plan during the accumulation phase. We consider a financial market with stochastic interest rate, composed of a risk-free asset, a real zero coupon bond price, the inflation-linked bond and the risky asset. A plan member aims to maximize the expected power utility derived from the terminal wealth. In order to protect the rights of a member who dies before retirement, we introduce a clause which allows to withdraw his premiums and the difference is distributed among the survival members. Besides the mortality risk, the fund manager takes into account the salary and the inflation risks. We then obtain closed form solutions for the asset allocation problem using a sufficient maximum principle approach for the problem with partial information. Finally, we give a numerical example.
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中文摘要：
我们研究了一个有限制的固定缴款养老金计划在积累阶段的资产配置随机问题。我们考虑一个随机利率的金融市场，由无风险资产、实际零息票债券价格、通货膨胀挂钩债券和风险资产组成。计划成员旨在最大化从终端财富中获得的预期电力效用。为了保护退休前去世的成员的权利，我们引入了一项条款，允许提取其保费，差额在存续成员之间分配。除了死亡风险外，基金经理还考虑了工资和通货膨胀风险。然后，我们使用具有部分信息的问题的充分极大值原理方法获得资产配置问题的闭式解。最后，我们给出了一个数值例子。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> Optimal_asset_allocation_for_a_DC_plan_with_partial_information_under_inflation_.pdf (187.31 KB)

2022-6-10 11:31:55 上传

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关键词：资产配置 Optimization Quantitative accumulation Contribution

通货膨胀和死亡风险下部分信息DC计划的最优资产配置Scalisto GUAMBE1,2，RODWELL KUFAKUNESU，GUSTI VAN ZYL，Conradbeyers数学和应用数学系，比勒陀利亚大学，000 2，南非精算学系，0002，南非文摘。我们研究了一个在积累阶段有限制的养老金计划的资产配置随机问题。我们考虑一个随机利率的金融市场，由无风险资产、真实债券价格、通货膨胀挂钩债券和风险资产组成。计划成员旨在最大化从终端财富中获得的预期电力效用。为了保护退休前去世的成员的权利，我们引入了一项条款，允许提取其保费，差额在存续成员之间分配。除了风险之外，基金经理还考虑了工资和通货膨胀风险。然后，我们使用具有部分信息的问题的su-ficientMaximum原则方法，获得资产配置问题的闭合形式解。最后，我们给出了一个算例1。养老基金资产配置问题近年来已成为一个非常重要的研究领域。这是出于不同的原因；例如，在过去十年中，参加养老金计划的员工的平均年龄和预期寿命都有所增加。

在养老基金领域，我们区分了两种类型的养老金计划：提前确定福利（DB）计划，其中提前知道福利，及时调整供款，以确保基金保持平衡；以及提前确定供款（DC）计划，其中提前确定供款，福利取决于基金的回报，计划成员承担的风险。我们参考Antolin等人【2】或Devolder等人【10】对养老基金理论进行了深入的讨论。由于大多数发达国家和发展中国家已经或正在从DBto DC计划转移到员工直接面临财务风险的DC计划，电子邮箱研究：calistoguambe@yahoo.com.br，罗德韦尔。kufakunesu@up.ac.za，古斯蒂。vanzyl@up.ac.za，康拉德。beyers@up.ac.za.Key单词和短语。DC养老金计划、随机利率、最大原则、随机收入、通货膨胀风险、死亡风险。优化问题在养老基金的背景下显得十分重要。这是因为解决这些问题将有助于养老金计划成员和养老基金管理者在不同资产中分配资金，以实现最佳的退休储蓄，即使在市场动荡或缺乏信息的时期也是如此。有大量文献涉及养老基金pr问题的优化，例如，在预期效用最大化框架下，Sun等人[20]，考虑具有随机收入和利率的DC养老金计划的Arobast投资组合选择。阳光。al.[19]研究DC投资计划的跳跃扩散案例。Osu等人【17】研究了随机额外缴款对DC养老基金的影响，以及其中的参考。在均值-方差框架中也考虑了这个问题，例如，参见Heand Liang[15]及其参考文献。

以上参考文献在完全信息条件下，采用动态规划方法解决了DC养老金问题。另外，Battocchio和Menoncin[4]考虑了DC投资问题的随机鞅方法。Chen和D elong[7]利用具有二次增长的反向随机微分方程技术研究了一个具有政权切换的DC养老基金问题。据我们所知，在几乎所有关于DC投资pr问题的文献中，未考虑控制中的部分信息情况。然而，与其他投资问题一样，在养老基金投资问题中，有关国家控制的信息并不总是在决策时可用，这导致投资策略信息的延迟。因此，需要考虑部分信息的DCinvestments案例。我们假设投资策略是根据基础差异过程产生的过滤的特定细分而调整的。因此，动态规划方法不适用。对于这样一个具有随机利率的DC投资问题，我们使用了一个su fficientMaximum原则。在文献中，这种方法得到了广泛的研究。例如，参见An andOksendal【1】、Baghery andOksendal【3】、Framstard等人【13】及其参考文献。在本文中，我们研究了固定缴款养老金计划在积累阶段的资产配置随机问题。我们考虑一个随机利率的金融市场，由无风险资产、实际零息票债券价格、通胀挂钩债券和风险资产组成，其中计划成员旨在最大化从终端财富中获得的预期电力效用。

为了保护退休前去世的会员的权利，我们引入了一项条款，允许会员提取保费，差额在存续会员之间分配。除了死亡风险外，基金经理还考虑工资和通货膨胀风险。此外，由于养老金基金的最终目的是防止成员失去所有储蓄，我们对他们的投资选择进行了限制。这种限制迫使计划成员将一定比例的储蓄用于asafe投资。本文综合了DC投资问题所考虑的大多数特征，如随机利率、通货膨胀风险、抵押风险、随机收益等，并研究了部分信息情况下的优化问题。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们介绍了金融市场的设置假设，即随机利率、债务挂钩资产、零息票债券价格和风险资产。我们还考虑了随机收益的存在性，并陈述了所研究的主要优化问题。在第3节中，我们使用附录中给出的最大值原理方法解决了部分信息下养老基金管理人的资产配置问题。最后，我们在第4.2节中给出了一个数值例子。模型公式考虑了三个独立的布朗运动{Wr（t）；WI（t）；WS（t），0≤ t型≤ 与完全过滤概率空间相关的T}(Ohm, F、 {Ft}，P）。让固定水平投资固定缴款养老基金，退休日期以T表示<∞. 由于我们处理的是长期投资（养老金基金），因此考虑随机利率是合理的。

因此，我们假设利率r（t）满足以下随机微分方程（SDE）dr（t）=a（\'r- r（t））d t+σrdWr（t），（2.1），其中a、\'r和σ稀有正常数，a代表均值回复水平，\'r是利率和σr波动性的长期平均值。给定随机利率，我们可以推导零息票债券的价值，以对冲利率波动。其价格由p（t，t）给出：=expn-ZTtr dso。应用It^o公式，我们得到：dP（t，t）=P（t，t）hr（t）+σraξ1.- e-a（T-t）dt公司-σra1.- e-a（T-t）dWr（t）i.（2.2）为了捕获通货膨胀风险，我们还考虑了一个通货膨胀指数i（t）g，由di（t）=i（t）[ui（t）dt+σi（t）dWI（t）]确定，预期通货膨胀率和波动率σ满足以下可积性条件。ZT公司|uI（t）|+σI（t）dt<∞, a、 与通货膨胀挂钩的债券价格由b（t）=I（t）s（t）定义，其中是无风险资产价格。然后，dB（t）=B（t）[（r（t）+uI（t））dt+σI（t）dWI（t）]。（2.3）最后，假设养老金成员还将资金分配到通过以下几何微分过程确定的风险资产中，即d（t）=S（t）[uS（t）dt+σ（t）dWS（t）+σS（t）dWr（t）]，其中平均回报率uS（t）：=r（t）+u（t），波动率σ（t），σS（t）是确定性函数，满足以下可积性条件zt|uS（t）|+σ（t）+σS（t）dt<∞, a、 s.（2.4）我们假设养老金成员有一个随机收入工资，由以下因素驱动：dl（t） =l（t） [（ul（t） +r（t））dt+σ（t）dWr（t）+σ（t）dWS（t）]，（2.5），其中ul（t） +r（t）是收入的预期增长率，ul, σ和σ是确定性函数，也满足（2.4）中的积分能力条件。此外，支持养老金成员缴纳δl（t） ，在时间t，其中δ∈ （0，1）是向养老金计划缴纳的工资比例。

我们假设基金的积累期从成员的年龄t>0开始，直到退休年龄t+t。为了保护退休前死亡的计划成员的权利，我们采用了为死亡成员提取保费的方法，如Heand Liang【15】。设Mbe为在时间t时仍在养老金中生存的成员数。那么，在时间间隔（t，t+δt）内预期死亡的成员数为MPt+t，其中Pt+是在年龄t+t时生存并在随后δt期间死亡的人的概率。在时间t+δtis M（1）时实际活着的成员的预期数量- Pt+t），这是时间的确定函数。基于He和Liang【15】，我们采用De Moivre死亡率模型，即死亡率的决定力βt（t）=τ+t-t、 然后，Pt+t=expn-Zt+st+tβt（u）duo=τ- sτ- t、 s>t。我们考虑一个次级过滤网 英尺， t型∈ [0，T]，其中Etrepresents表示在T时养老金经理可用的信息量。由于我们正在为养老基金的投资计划建模，我们假设有一部分养老金成员的财富限制在安全投资（无风险资产）上。我们用κ表示温度。设π（t），π（t），π（t）为{Et}t∈[0，T]-调整流程，分别表示投资于通胀挂钩债券、零耦合债券和风险资产的财富比例。然后是1-κ-π（t）-π（t）-π（t）∈ ETI是投资于无风险资产的财富比例。财富过程由dx（t）=hX（t）决定(1 - κ） r（t）+uI（t）π（t）+σraξ1.- e-a（T-t）π（t）+uS（t）π（t）+βt（t）+(1 - εtβt）δl（t）idt+π（t）σI（t）X（t）dWI（t）+hπ（t）σS（t）-σra1.- e-a（T-t）π（t）iX（t）dWr（t）+π（t）σ（t）X（t）dWS（t）。（2.6）此处ε是值为0或1的参数。

如果ε=0，养老金成员在积累阶段将一无所获，而如果ε=1，保费将在成员死亡时退还给他。假设收入工资l（t） 以数字形式给出。我们通过Y（t）=X（t）定义相对财富过程l（t） 。然后根据It^o公式，我们得到dy（t）（2.7）=nY（t）huI（t）π（t）+σraξ1.- e-a（T-t）π（t）+uS（t）π（t）- κr（t）+βt（t）- ul（t） +（σ（t）+σ（t））- π（t）σS（t）σ（t）-π（t）σS（t）-σra1.- e-a（T-t）π（t）σ（t）i-(1 - εtβt）δodt+π（t）σI（t）Y（t）dWI（t）+（π（t）σ（t）- σ（t））Y（t）dWS（t）+hπ（t）σS（t）-σra1.- e-a（T-t）π（t）- σ（t）iY（t）dWr（t）。定义A：={（π，π，π）：=（π（t），π（t），π（t））t∈[0，T]}作为一组可容许策略if（π（T），π（T），π（T））∈ {Et}t∈[0，T]和SDE（2.7）有一个独特的强解，例如x（T）≥ 0，P-a.s.让U：（0，∞) 7.→ R是衡量投资者偏好的效用函数。养老基金经理的主要目标是最大化以下功能：J（t，r，y，π，π，π）=Et，x，r[U（y（t））]。然后，养老金管理人的价值函数由v（t，r，y）=sup（π，π，π）给出∈AJ（t，r，y，π，π，π）。(2.8)3. 养老基金经理优化问题的解决方案由于我们考虑了具有部分信息的资产配置问题，经典动态规划方法在Battocchio和Menoncin【4】、Federico【12】、Di Giacinto等人【11】、Sun等人【11】中得到了应用。

[20] 不适用。采用有效的最大值原理方法对具有部分信息的扩散随机波动性模型（见附录中的结果）进行分析，我们确定了哈密顿量H:[0，t]×R×R×（0，1）×R×R×R×R×R×R×R×R→ R by:H（t，R（t），Y（t），π（t），π（t），π（t），A（t），A（t），B（t），B（t），B（t），B（t））（3.1）=nY（t）HuI（t）π（t）+σraξ1.- e-a（T-t）π（t）+uS（t）π（t）- κr（t）+βt（t）- ul（t）+π（t）σS（t）-σra1.- e-a（T-t）π（t）σ（t）i-(1 - εtβt）δoA（t）+a（(R)r- r（t））A（t）+π（t）σI（t）Y（t）B（t）+（π（t）σ（t）- σ（t））Y（t）B（t）+hπ（t）σS（t）-σra1.- e-a（T-t）π（t）- σ（t）iY（t）B（t）+σrB（t）。对应于容许策略（π，π，π）的伴随方程由以下反向随机微分方程SDA（t）=-nuI（t）π（t）+σraξ1.- e-a（T-t）π（t）+uS（t）π（t）- κr（t）+βt（t）- ul（t） +σ（t）+σ（t）- π（t）σS（t）σ（t）-π（t）σS（t）-σra1.- e-a（T-t）π（t）σ（t）iA（t）+π（t）σI（t）B（t）+（π（t）σ（t）- σ（t））B（t）+hπ（t）σS（t）-σra1.- e-a（T-t）π（t）- σ（t）iB（t）odt+B（t）dWr（t）+B（t）dWI（t）+B（t）dWS（t）（3.2）A（t）=U′（Y（t）），da（t）=[κY（t）A（t）+aA（t）]dt+B（t）dWr（t）+B（t）dWI（t）+B（t）dWS（t）（3.3）A（t）=0。将最优性的一阶条件应用于关于（π，π，π）的哈密顿量，给出可用信息{Et}t∈[0，T]，我们有以下方程式uI（t）E【A】*（t） | Et]+σI（t）E[B*（t） | Et]=0，（ξ+σ（t））E[A*（t） | Et]- E【B】*（t） | Et]=0，（uS（t）- σS（t）（σ（t）+σ（t）））E[A*（t） | Et]+σS（t）E[B*（t） | Et]+σ（t）E[B*（t） | Et]=0，（3.4），其中A*, B*, B*和B*伴随过程是否对应于最优控制（π*, π*, π*).

对于这种最优控制，伴随方程如下*（t） =-n[βt（t）- κr（t）- ul（t） +σ（t）+σ（t）]A*（t）- σ（t）B*（t）- σ（t）B*（t） odt+B*（t） dWr（t）+B*（t） dWI（t）+B*（t） dWS（t）（3.5）A*（T）=U′（Y（T））和da*（t） =[κY（t）A*（t） +aA*（t） ]dt+B*（t） dWr（t）+B*（t） dWI（t）+B*（t） dWS（t）（3.6）A*（T）=0。为了解决我们的优化问题，我们考虑一个形式为U（y）=yαα的幂效用函数，其中α∈ (-∞, 1)\\{0 }. 然后，第一个伴随方程的终端条件变为A（T）=Y（T）α-1、对于m，我们尝试将BSDE（3.5）的解形式为*（t） =（Y（t））α-1eД（t）+φ（t）r，Д（t）=φ（t）=0。（3.7）应用It^o公式，我们得出*（t） A*（t） =nИ′（t）+φ′（t）r+a（\'r- r） φ（t）+σr（φ（t））+（α- 1） σrhπ（t）σS（t）-σra1.- e-a（T-t）π（t）- σ（t）iφ（t）+（α- 1） huI（t）π*（t） +uS（t）π*（t） +σraξ1.- e-a（T-t）π*（t）-κr（t）+βt（t）- ul（t） +σ（t）+σ（t）- σS（t）σ（t）π*（t） +（α- 2)(π*（t） ）σI（t）-σS（t）π*（t）-σraξ1.- e-a（T-t）π*（t）σ（t）+（α- 2） （σS（t）π*（t）- σ（t））+（α- 2)σS（t）π*（t）-σraξ1.- e-a（T-t）π*（t）- σ（t）-(1 - εtβt（t））δ（y（t））-1iodt+（α- 1)π*（t） σI（t）dWI（t）+h（α- 1)σS（t）π*（t）-σraξ1.- e-a（T-t）π*（t）- σ（t）+σrφ（t）idWr（t）+（α- 1） （σS（t）π*（t）- σ（t））dWS（t）。与伴随方程（3.5）相比，我们得到了如下关系b*（t） =h（α- 1)σS（t）π*（t）-σraξ1.- e-a（T-t）π*（t）- σ（t）（3.8）+σrφ（t）iA*（t） ；B*（t） =（α- 1)π*（t） σI（t）A*（t） ；（3.9）B*（t） =（α- 1） （σS（t）π*（t）- σ（t））A*（t） 。