反射maxmin copulas与象限子独立性建模

注意，在[0，1]上，c处处都是非零的。还要注意，如果我们用一些a，b替换a，b∈ （0，1）使得ab=ab，copulaC保持不变。因此，RMM copula C的生成器不是由它唯一确定的（参见本节末尾的备注）。7示例。有一类SRMM连接函数属于FGM（Eyraud Farlie Gumbel Morgenstern）连接函数。证据设Ca=Cfabe由fa（t）=at（1）生成的一类SRMM copula- t） 对于∈ (0, 1). ThenCa（u，v）=uv- auv（1- u） （1）- v） 是EFGM连接函数（见[9，第193页]）。它们是绝对连续的，密度ca（u，v）=1- a+2a（u+v- 2uv）。8示例。有一些RMM copula族既有一个非平凡的溶质连续分量又有一个奇异分量。证据我们给出了三个性质略有不同的例子。（a） 函数fθ（t）=θ- 1.t、 0 6 t 6θ，（1- t） ，θ6 t 6 1和gη（t）=η- 1.t、 0 6 t 6η，（1- t） ，η6 t 6 1，这里我们遵循[9，第6.3节]对θ，η的说明∈ （0，1），满足条件（G1）–（G3）。RMM copulas C的对应双参数族的每个copula：=Cfθ，gη（u，v）具有密度C=Cuvsuch thatZZc du dv=min{θ+η，1}，通过简单的计算得出。因此，当θ+η<1时，考虑的copula C既有连续分量，也有奇异分量。后者沿{（u，1）段均匀分布- u） ；u∈ [θ, 1 - η] }，（5）立即检查。在极限θ，η内→ 0我们得到copula W。（b） 由函数fδ（t）给出了一个单参数SRMM copula族=0，t=0；δ、 0<t 6δ；t、 δ6 t 6；1.- t、 6 t 6 1，对于δ∈0,, 满足条件（G1）–（G3）。在进行直接计算之后，我们得到了这些copula的密度函数在[0，1]上的积分等于1-2δln 2。

奇异分量沿两条弧分布u、 δ（1- u） u型; u∈, 1.和δ(1 - v） v，v; v∈, 1.（6） 我们可以很快验证每个弧的质量等于δln2≈ 0.69 δ.（c） 函数SF（t）=t（1- t） 和gu（t）=0，t=0，t>u；u - t、 0<t 6u，对于u∈ （0,1]满足条件（G1）-（G3）。对应的RMM copula的单参数族的每个copula的密度在单位平方上的积分等于1- u（ln 4- 1) ≈ 1.- 0.38 u. 无痛计算表明，奇异质量沿弧分布u、 u（1- u） 2- u; u∈ [0, 1]. (7)为了能够显示示例8的差异，让我们首先回顾copula CLt（C）={（u，v）的水平集的旋转∈ [0, 1]; C（u，v）=t}对于任何t∈ （0，1）。对于t=0，水平集有不同的定义（见[20，9]），即L（C）=S（C）∩ Z（C）∩ （0，1），如果该交点是非空的，则orL（C）={[t，0]，[0，t]；t∈ [0，1]}如果S（C）=[0，1]。所以，在RMM copulas的情况下，所有的水平集都是由方程suv给出的曲线-f（u）g（v）=t。对于集合Lt，不可能总是给出一个形式为u=Дt（v）或v=ψt（v）的显式方程，因为对于例子8（b）中所示的连接函数族的Lof，可以看到这一点。这里是由（6）和线段给出的弧的并集u; δ6 u 6∪, v; δ6 v 6.同样，同一示例中小t>0的水位曲线Lt不是凸函数。现在，在例8中具有非平凡单数分量的copula中，有一些copula的单数分量仅仅是其stand的边界（C）的一部分。例如，在θ+η<1的示例8（a）中会发生这种情况，其中奇异分量由公式（5）给出；以及在示例8（b）中。另一方面，实施例8（c）中给出的copula具有沿（7）表示的整个水平集L（t）分布的矩形分量；copula W也是如此。

在绝对连续的copula中，有那些在单位平方上处处密度非零的copula，如示例6中的copula，以及密度部分等于零的那些，如实施例8（a）中所示，θ+η=1.0.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.00.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.60.81.00.0 0.2 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.00 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.00 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.0图1：示例8散点图的连接函数图1给出了实施例8中的一些连接函数。在图的第一行中，有来自8（a）的三个copula，即θ=η=、θ=、η=、和θ=η=。第一个有一个非平凡的单数部分，而其他两个是绝对连续的。在第二行中，分别有8（b）表示δ=，8（c）表示u=1和u=。我们在图2中包含了更多RMM连接函数的散点图。

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.00.0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.60.81.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.20.40.60.81.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.00.20.40.60.81.0图2：第一行中一些更受影响的最大最小copulas生成器分别等于tof（t）=2t，如果0 6 t 6；1.- t、 否则；和g（t）=- t、 如果0<t 6；0，否则；f（t）=- t、 如果0<t 6；0，否则；和g（t）=- t、 如果0<t 6；0，否则；andf（t）=0，如果t=0；，如果0<t 6；1.- t、 否则；和g（t）=0，如果t=0；，如果0<t 6；1.- t、 否则。第二行中所有copula的第二个生成器等于g（t）=t（1- t） ，而第一个分别等于f（t）=2t，如果0 6 t 6；1.- t、 否则；f（t）=t、 如果0 6 t 6；1.- t、 否则；andf（t）=0，如果t=0；，如果0<t 6；t、 if6 t 6；1.- t、 否则。接下来，我们给出了函数f、g的一些正则性性质，以及由此得到的反射maxmin copula的一些正则性性质。9提案。对于给定的反射maxmin copula Cf，gwe有：（a）f和g在（0，1）上是可区分的a.e.（w.r.到Lebesgue测度），并且f>-1和g>-1.（b）Cf、gis可部分区分a.e.（w.r.到Lebesgue测度）w.r.到Ua，且偏导数不大于bg（v）。（c） Cf，gis部分可微分a.e.（w.r.到Lebesgue测度）w.r.到vand，偏导数不大于bf（u）。证据（a） 由于bf是一个连续且不递减的函数，因此它几乎在任何地方都是可微的（w.r.到Lebesgues测度），其次bf（u）>0 a.e.所以，f>-1自f（u）=bf（u）起的a.e- 1 a.e.（b）根据（a）部分，函数f是可微分的a.e.，因此函数cf，g（u，v）对于每个v相对于u.e是可微分的。因此，对于[0，1]上的Lebesguemeasure，存在相应的偏导数a.e。

清晰地Cf，gu（u，v）=0，如果uv<f（u）f（v）；v-f（u）g（v），其他情况下，对于所有v和a.e.w.r.到u.现在，使用f>-1对于所有v和a.e.w.r.到u.（c）的证明，该表现主义不大于v+g（v）=bg（v）。证明是通过在（b）部分的证明中交换u和v的角色获得的。现在是介绍本节主要结果的时候了。其中一些是从[22]中提出的，其中考虑了公式c（u，v）=uv+f（u）g（v）（8）的copula。但是，由于我们允许uv-f（u）g（v）为负，在这种情况下使用截断，我们需要重新表述其结果。为了读者的利益，我们提供了一些证据。让我们指出，[22]关于形式（8）的copula的结果的一些扩展也在[5]和[9，第1.6节]中给出。此外，在函数f和g的绝对连续性结果中，以及随后的Cf、g结果中，假设读者熟悉[16，第7.3节]中给出的此类函数的定义和性质。10引理。假设函数f和g满足条件（G1）–（G3）。然后：（a）对于任何ε>0的函数，这两个函数在区间[ε，1]上都是绝对连续的。（b） 对于每对ε，δ>0，乘积f（u）g（v）在[ε，1]×[δ，1]上绝对连续。（c） 对于每对ε，δ>0，差异uv-f（u）g（v）在[ε，1]×[δ，1]上绝对连续。证据（a） 根据引理1及其后的定义，Cf，gis是一个copula，具有2-递增性质。对于带有f的0 6 x<x6 1和0 6 y<y6 1的任何点，它都很容易遵循*（x） g级*（y） <1（意味着f*（xi）g*（yj）<1指数i、j的所有组合∈ {1，2}）that1>f（x）- f（x）x- x·g（y）- g（y）y- y、 （9）在这里，我们可以选择x>ε而没有损失。事实上，我们可以在关系式（9）中任意选择g满足条件（G1）–（G3）。

特别地，我们可以选择g非平凡，因此它包含一个点y∈ （0，1），其值严格为正，因此它在一些小于Yan的点上递增，在一些大于Yb的点上递减，因为g（0）=g（1）=0。因此，我们可能会发现点0 6 y<y6 1α-1： =g（y）- g（y）y- y<0，分别为β-1： =g（y）- g（y）y- y> 0。（注意，在第一种情况下，我们可以假设-1 6 α-1按属性（G2）。）因此，我们将关系式（9）分别发展为以下两个关系式：α6f（x）- f（x）x- x6β和f是绝对连续的[22，引理2.1]。这些具有f和g作用的论点使g的结果相反，g是绝对连续的。（b） （a）和（c）是（b）的简单结果。11推论。RMM copula C在所有矩形（a，1）×（b，1）和（a，b）的[0，a）×[0，b）上是绝对连续的∈ L（C）。证据这紧接着引理10和C在Z（C）上等于0的事实。对于[0，1]中定义的函数f，我们引入f={t∈ [0, 1] ; f（t）存在}。12引理。假设函数f和g满足条件（G1）–（G3）。让u∈ Af，v∈ 使（a）f（u）g（v）6 uv，然后f（u）g（v）6 1，分别是（b）f（u）g（v）<uv，并且f（u）和g（v）不都是负的，然后f（u）g（v）<1。尤其是f（u）g（v）6 1表示所有（u，v）∈ S（Cf，g）∩ （Af×Ag）。证据（a） 条件（G2）明确表示f*（u） 6 0，表示f（u）6f*（u） ，与g类似，因此f（u）g（v）6 f*（u） g级*（v） 6前提是衍生工具并非均为负值。否则，第9（a）项主张将紧随其后。案例（b）类似。13定理。假设Cf，gis是RMM copula。然后它在S（Cf，g）的支架内部和零集Z（Cf，g）的内部是绝对连续的。因此，它可能仅沿边界（Cf，g）是单数。证据

通过引理10和推论11，函数f（u）g（v）和Cf在支架S（Cf，g）内部的所有矩形上是绝对连续的，并且在零集Z（Cf，g）内部的所有矩形上也是绝对连续的。因此，密度函数c（u，v）=1.- f（u）g（v），用于（u，v）∈ S（Cf，g），0，表示（u，v）∈ Z（Cf，g），（10）通过引理12是非负的，我们有zcazdbc（u，v）du dv=Cf，g（c，d）- Cf、g（c、b）- 对于S（Cf，g）或Z（Cf，g）内部的任意矩形【a，c】×【b，d】，Cf，g（a，d）+Cf，g（a，b）。因此，copula可能只在L（Cf，g）上是单数的。14提案。对于RMM copula Cf，g其绝对连续部分的密度由（10）给出。其单数部分的质量由1给出-ZZ（1- f（u）g（v））du dv=λ（Z）+ZZSf（u）g（v）du dv。这里我们写的是较短的S=S（Cf，g）和Z=Z（Cf，g）。如前所述，λ表示Lebeque度量。15提案。唯一完全奇异的RMM copula是Fr'echet-hoeff-ding下界W。证据设C=Cf，gbe是一个完全奇异的RMM copula。所以，它的单数部分的质量等于1，通过（10），我们得到了几乎所有（u，v）的f（u）g（v）=1（11）∈ S、 （这里我们隐含地使用了这样一个事实，即byLemma 10函数f，g在区间（0，1）上是绝对连续的，因此它们的导数几乎无处不在。）现在，如果几乎所有（u，v）的f（u）>0或g（v）>0∈ S、 那么f（u）=g（v）=0（因为由（G1）f（1）=g（1）=0）与（11）相矛盾。那么，有了existu，v∈ （0，1）使得f（u）<0且g（v）<0，这意味着集合={（u，v）∈ Sf（u）<0，g（v）<0}是非空的。我们想证明ES包含了几乎所有的S。对于A冲突，假设不是这样；然后，S中包含一个子集positiveLebesgue测度。如上所述使用（11），我们在该集中选择一个点（u，v），使f（u）>0，g（v）>0。此外，选择（u、v）∈eS，并观察（u，v）∈ S或（u，v）∈ S

因为off（u）g（v）<0和f（u）g（v）<0，这与（11）相矛盾。最后，命题9和（9）告诉我们f（u）=-1和G（v）=-1适用于几乎所有（u、v）∈ S，因此几乎所有（u，v）∈[0, 1]. So，f（u）=0，u=0；1.- u、 u>0；和g（v）=0，v=0；1.- v、 v>0；得出期望的结论。上述RMM copulas的结果暗示了Maxmin copulas的以下结果。16推论。设Cφ，ψ为maxmin copula。然后将C的奇异分量包含在曲线φ中*（u） =ψ*（v） 。唯一完全奇异的maxmincopula是Fr'echet Hoe ffing上界M.Proof。简短的计算表明，由f定义的曲线*（u） g级*（v） =1当转换回maxmin copulas时，对应于曲线φ*（u） =ψ*（v） 。此外，当我们对Fr’echet-hoeffing下界W执行一个flip时，我们得到Fr’echet-hoeffing上界M和命题15的推论。评论结果表明，两对生成器f，gand f，gthat生成相同的RMM copula Cf，g=Cf，g（不同于乘积copula）只差于一个乘法常数：f=λfand g=λ-1G对于某些λ>0。特别是，SRMM copula的生成器f是由copula唯一确定的。我们将省略这些事实的证明，以避免本文过长。4 RMM和SRMMcopula的统计方面在本节中，我们需要区别C（u，v）=∏（u，v）- C（u，v）和相应的差异商qc（u，v；u，v）=C（u，v）C（u，v）对于给定的RMM copula C。请注意Cis总是非负的，并且测量C的“依赖”部分。特别是，当且仅当C≡ π和C表示独立。

当然，只有分母不为零时，商才能很好地定义。给定一个SRMM copula C（u，v），我们想找到生成器f（u）或等效的f*（u） 在闭合形式中，至少对于f（u）为非零的u，要在一瞬间精确定义。（正如我们所认为的，找到RMM copula的两个生成器之一的问题具有相同的复杂性。）给定区间[0，1]上的连续非负函数f，使得（G1）–（G3）保持不变，由f生成的SRMM copula定义为asCf（u，v）=max{0，uv- f（u）f（v）}。（12） 回顾f的定义（2）*(0). 对于U∈ （0，最小值{1，f*（0）}]我们表示F*-1（U）：=inf{U∈ Rf*（u） =u}。请注意，该最小值实际上是f连续性的最小值，因此也是f的最小值*. 现在，如果u，v∈ （0，1）足够大，我们得到f*（u） f级*（v） <1因为f*是非递增的，由（12）定义的copula的对角线δf（u）：=Cf（u，u）对于足够大的u是正的。表示umin=f*-1（最小值{1，f*（0）}）并观察到，对于所有u，v>u，我们得到δf（u）是非负的（或等价于f*（v） f级*（u） 6 1）自f起*是非递增的。出于同样的原因，它适用于每x>1，甚至更多的f*（十五）f*（u） 6.1。那么，表达式f的值*（徐）f*（u） =xQC（xu，v；u，v）作为两个严格正数的商存在，且与v无关。在该方程中，用uminto getf替换第一个u*（徐敏）f*（umin）=xQC（xumin，v；umin，v）。然后，用一个任意的u>u来替换Xumin，得到公式（在回顾了u的定义后，得出f*（umin）=1，随后f（umin）=umin）f（u）=uminQC（u，v；umin，v）。（13） 这里，v是任意的，但选择它是为了使这个商的分子和分母的差值都是正的。注意，商与v.17定理无关。

由两个srmmcopula Cand和C的生成器生成的RMM copula C以闭合形式由C（u，v）=max{0，uv给出- uminQC（u，w；umin，w）vminQC（v，w；vmin，w）}。证明：为了得到这个公式，我们使用公式（13）两次。在第一个系数中，我们用w代替v，而在第二个系数中，我们用vmin代替Umin，用uby v，用w代替v。注意，这个公式与wand W的选择无关，前提是在商中，分子和分母都是非零的（当然，我们总是可以这样选择它们）18定理。假设C是RMM copula，F和G是单变量d.F.\'s。此外，假设H（x，y）=C（F（x，G（y））是双变量d.F。然后存在三个独立的随机变量Z，Zand Zsuch，H是随机对（x，y）的联合分布函数，其中d.F.of yis是对应于x的生存d.F，x=max{Z，Z}，x=min{Z，Z}。这直接源于我们的定义和[21，引理7]。我们现在想将本节的所有结果与反向边缘d.f的公式（13）结合起来。特别注意，当g（v）=f（u），v=1时- u点VMIntranslate到umax。19定理。假设C是maxmiin copula，F和G是单变量d.F.\'s。此外，设H（x，y）=C（F（x，G（y））是双变量d.F。然后存在三个独立的随机变量Z，Zand Zsuch，H是随机对（x，x）的联合分布函数，其中x=max{Z，Z}，x=min{Z，Z}。此外，存在两个SRMM copula Cand和Csuch thatC（u，v）=u- 最大值{0，u（1- 五）- uminQC（u，w；umin，w）（1- vmax）QC（1- v、 w；1.- vmax，w）}。对称反射maxmincopulasOne想要确定满足δ（t）6 ton[0，1]的对角线函数δ可能是RMM copulas的对角线部分。