反射maxmin copulas与象限子独立性建模

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英文标题：
《Reflected maxmin copulas and modelling quadrant subindependence》
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作者：
Toma\\v{z} Ko\\v{s}ir, Matja\\v{z} Omladi\\v{c}
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Copula models have become popular in different applications, including modeling shocks, in view of their ability to describe better the dependence concepts in stochastic systems. The class of maxmin copulas was recently introduced by Omladi\\v{c} and Ru\\v{z}i\\\'{c}. It extends the well known classes of Marshall-Olkin and Marshall copulas by allowing the external shocks to have different effects on the two components of the system. By a reflection (flip) in one of the variables we introduce a new class of bivariate copulas called reflected maxmin (RMM) copulas. We explore their properties and show that symmetric RMM copulas relate to general RMM copulas similarly as do semilinear copulas relate to Marshall copulas. We transfer that relation also to maxmin copulas. We also characterize possible diagonal functions of symmetric RMM copulas.
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中文摘要：
Copula模型由于能够更好地描述随机系统中的依赖性概念，在不同的应用中变得很流行，包括建模冲击。最近，Omladi{c}和Ru{z}i{c}引入了maxmin copulas类。它通过允许外部冲击对系统的两个组成部分产生不同的影响，扩展了著名的马歇尔-奥尔金和马歇尔连接函数。通过对其中一个变量的反射（翻转），我们引入了一类新的二元copula，称为反射maxmin（RMM）copula。我们研究了它们的性质，并证明对称RMM copula与一般RMM copula的关系类似于半线性copula与马歇尔copula的关系。我们也将这种关系转移到maxmin copulas。我们还刻画了对称RMM copula的可能对角函数。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
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关键词：copulas Copula opula Min max

反映的maxmin copulas和建模象限SubindependenceTomaˇz Koˇsir，卢布尔雅那大学数学与物理学院，斯洛文尼亚数学、物理与力学研究所数学系，斯洛文尼亚，卢布尔雅那，邮编：<tomaz。kosir@fmf.uni-lj。斯洛文尼亚卢布尔雅那数学、物理和力学研究所数学系Matjaˇz Omladiˇc邮编：<matjaz@omladic.net>由于Copula模型能够更好地描述随机系统中的依赖性概念，因此Copula模型在不同的应用中变得很流行，包括建模冲击。Omladiˇc和Ruˇziˇc最近引入了maxmin copulas类[21]。它通过允许外部冲击对系统的两个组件产生不同的影响，扩展了著名的马歇尔-奥尔金和马歇尔连接函数。通过对其中一个变量的反射（flip），我们引入了一类新的二元copula，称为反射maxmin（RMM）copula。我们研究了它们的性质，并证明对称RMM copula与一般RMM copula的关系类似于半线性copula与马歇尔copula的关系。我们也将这种关系转移到maxmin copulas。我们还刻画了对称RMM copula的可能对角函数。关键词：Copula，依赖概念，Marshall-Olkin copulas，冲击模型，Maxmin copulas，半线性copulas。2010年理学硕士：60E05，6205作者感谢斯洛文尼亚研究机构的财政支持（研究核心资金编号P1-0222，研究资金编号L1-6722）。1引言依赖概念在多元统计文献中起着至关重要的作用，因为人们认识到独立性假设不能方便地描述随机系统的行为。

从那时起，为了提供更灵活的方法来描述实践中可能出现的各种依赖类型，进行了不同的尝试。由于Copulamodels能够以灵活的方式描述随机变量之间的关系，因此它在不同的应用中变得很流行。为此，基于科学实践的特殊需要，引入了几个copula家族（参见[9，11，20]）。例如，考虑这样一种情况：一个人想要建立一个随机模型来描述两个（或更多）生命周期之间的依赖关系，即正随机变量。在工程应用中，寿命的联合模型可用于估计由多个组件组成的系统的预期寿命。相反，在投资组合信用风险等相关情况下，生命周期可以解释企业或一般金融实体的违约时间，而随机模型可以估计相关衍生工具合同（如CDO）的价格/风险。在这两种情况下，估计共同违约发生的概率都是有意义的。Marshall和Olkin的开创性论文【18】中提出了用于模拟此类情况的方便统计分布，最新综述见【2】。他们考虑了两组分系统（可能很容易扩展到更多组分）的情况，其行为由根据连续分布函数Fi，Xi分布的连续随机变量（=r.v.\'s）x和xd描述~ Fifor i=1，2。此外，对于每个i=1，2，考虑随机变量zi和概率分布函数Gi，该函数可解释为仅影响系统i-thcomponent的冲击，即特质冲击。此外，考虑人r.v。

Z具有概率分布函数G，该函数可解释为影响两个系统组件随机行为的（外源）冲击。该模型中组件的寿命（基本上是马歇尔模型，比马歇尔-奥尔金模型更一般[18，17]——关于一般框架的描述，参见[4]）通过X=min{Z，Z}和X=min{Z，Z}与冲击相联系。在最近的一篇论文中，Omladiˇc和Ruˇziˇc【21】通过引入一类新的copula扩展了Marshall andOlkin的结果，参见【8】。这些copula自然发生的一个简单模型是一个类似于上述的双组分系统，其中我们假设两个组分中的第一个组分有一个恢复选项。这一假设对联系产生了重大影响。事实上，我们得到X=max{Z，Z}和X=min{Z，Z}。[21]的作者以封闭的形式再次开发了该模型的结果copula，并将其称为maxmin copula。在[8]中可以找到对该模型的各种解释，因为在许多实际情况下，常见的外源性冲击可能会对不同的系统组件产生不同的影响。例如，我们可能会认为XA和Xas r.v.代表了两组人各自的财富，而外部冲击被描述为对第一组有利，对第二组不利的事件。类似地，XA和XC可以分别被视为短期和长期投资，而ZI只对其中一种类型的投资有利。Maxmin Copula具有一些在与模糊集理论和多准则决策相关的各种背景下都很有吸引力的性质。它包括非对称copula，例如用作更一般的模糊连接词[1，6]。它的相关度量可能有一个单数部分，这是一个在各种基于copula的积分中潜在使用的事实（参见[14，15]）。

正如我们将在下文中展示的，maxmin copulas的主要思想反映在半线性Copula的概率扩展上，因此研究其扩展到各种类型结构的可能类似物可能是值得的（参见[12，13]）。在一篇开创性的论文中，Durante等人[6]介绍了半线性copula，并给出了这些copula与马歇尔copula之间令人惊讶的关系。这些copula的想法大致是，给定一个对角线截面δ，它们沿着两个三角形线性延伸。更精确地说，Sδ（x，y）=yδ（x）x，y 6 x；xδ（y）y，否则，其中约定；=采用0，称为（下）半线性copula。[6]的作者观察到，每一个对称马歇尔copula实际上都是半线性的，而且[6，命题8]，对于每一个马歇尔copula C（x，y），都存在半线性copulas，对于所有（x，y）∈ [0，1]，C（x，y）=最小值S（xy，y）y，S（x，xy）x.在第2节中，我们简要回顾了maxmin Copula，介绍了ReflectedMaxmin（RMM）Copula，并给出了这类Copula的一些性质。第三节主要讨论了MM连接函数的奇异性和绝对连续性。在第4节中，我们给出了这类copula的统计解释，在第5节中，我们研究了对称RMM copula对角线的性质。2 Maxmin copula再论Maxmin copula有两个母函数φ，ψ：[0，1]→ 满足以下性质的R：（F1）φ（0）=ψ（0）=0，φ（1）=ψ（1）=1，（F2）φ，ψ为非减函数，（F3）相关函数φ*: (0, 1] → [1, ∞) 和ψ*: (0, 1) → [1, ∞]定义人φ*（u） =φ（u）u和ψ*（v） =1- ψ（v）v-ψ（v）是非递增的。这里，ψ*（v） =∞ 如果ψ（v）=v。给定φ和ψ具有上述性质，则maxmin copula C（u，v）=Cφ，ψ（u，v）由（cf）定义。

[21]）C（u，v）=min{u，φ（u）v-φ（u）ψ（v）+uψ（v）}=最小{u，u+φ（u）（v-ψ（v））- u（1- ψ（v））}（1）=u+u（v- ψ（v））min{0，φ*（u）- ψ*（v） }，其中，如果u 6=0且ψ（v）6=v，则后一个等式成立。为了使母函数φ和ψ的作用更加对称，我们对maxmin copula类应用以下变换。如果Cφ，ψ（u，v）是maxmin copula，那么我们引入copulaCσφ，ψ（u，v）=u- Cφ，ψ（u，1- v） 。这是一个随机向量（α（U），β（V））的copula，其中α在U的范围内严格递增，而β在V的范围内严格递减（参见[20，定理2.4.4]）。[9，第1.7.3节]给出了copulas对称性的一般方法。然后通过简单计算得出cσφ，ψ（u，v）=max{0，uv- （φ（u）- u） （bψ（v）- v） }，其中bψ（v）=1-ψ(1 -v） 。在这里以及在续集中，我们使用符号“σ”表示转换C 7→ Cσ仅在C为maxmincopula且FLIP对第二个变量执行的情况下。观察到[9]中此处使用了符号σ，因此指出这是第二个变量的反映，而第一个变量的反映用σ表示。我们将指出这样一个事实，即copula Cσ是通过上述反射从maxmincopula C中获得的，其定义为maxmin copula，简称orRMM copula；我们还将使用缩写SRMM copulas表示对称反射的maxmin copulas。请注意，相同的反射将反射的maxmin copula发送回maxmin copula。根据母函数φ和ψ的性质（F1）–（F3），对于所有u，v，φ（0）=bψ（0）=0，φ（1）=bψ（1）=1，以及u 6φ（u），v 6bψ（v∈ [0, 1].此外，如果φ（u）=u（对于某些u>0），则φ（u）=u（对于所有u<u6 1）。类似地，对于某些v>0的情况，ifbψ（v）=v，对于所有v<v6 1的情况，ifbψ（v）=v。We writef（u）=φ（u）- u、 g（v）=bψ（v）- v=1- v- ψ(1 - v） ，和F*（u） =f（u）u，g*（v） =g（v）v，对于u，v>0。

此外，我们定义*(0) =利木↓0f（u）u，如果存在；∞, 否则（2） g也是这样*(0). 因此f，g：[0，1]→ [0、1]和f*, g*: [0, 1] → [0, ∞].1引理。假设f，f*, g、 和g*对应于上面定义的最大最小copula Cφ，ψ。那么以下公式成立：（G1）f（0）=g（0）=0，f（1）=g（1）=0，f*（1） =克*（1） =0，（G2）函数bf（u）=f（u）+u和bg（u）=g（u）+u在[0，1]上是非减量的。（G3）功能f*和g*在（0，1）上是非递增的。证明：在这个证明中，我们使用了Cφ的生成元φ和ψ的性质，ψ在[21]中找到。回想一下，f（u）=φ（u）- u和g（v）=1- v- ψ(1 - v） 立即设置属性（G1）。属性（G2）后接[21]的（Fc）和（Fd）。（G3）：回想一下φ*（u） 是非递增的，所以f*（u） =φ*（u）- 1也是非递增的。最后，函数eψ（v）=1- ψ（v）1- [21，引理3]对（0，1）的vis不减损，所以，g*（v） =eψ（1- 五）- 1为非递增（0，1）。如[21，p.117]所述，函数φ和ψ在（0，1）上是连续的，函数φ在0处不一定连续，函数ψ在1处不一定连续。议论观察条件（G3）允许非常简单的几何解释：向量（u，f（u））和（u，0）之间的角度是非递增的。定义。给定函数f，g：[0，1]→ [0, ∞) 满足引理1的性质（G1）–（G3），我们通过以下规则定义了maxmin copulaCf，Gb，g（u，v）=max{0，uv- f（u）g（v）}。（3） 注意，我们可以重写Cf，gas followsCf，g（u，v）=uv max{0，1- f*（u） g级*（v） }。（4） 根据引理1，我们可以将每个maxmin copula关联到对应的RMM copula。下一个引理显示了这个事实的相反情况。2引理。假设函数f，f*, g、 和g*满足引理1的性质（G1）–（G3）。那么函数φ（u）=u+f（u），ψ（v）=v-g（1- v） ，满足性质（F1）–（F3）和Cφ，ψ是一个极大极小copula。证据

属性（F1）很简单。现在，因为φ（u）=ALU的bf（u）∈ [0，1]，属性（G2）表示φ是非减量的。类似地，bg不减（G2），因此v+g（v）为6 v+g（v），因此为1-v+g（1-v） 6.1-v+g（1-v） ，对于0 6 v6 v6 1的任何v、v等。So，ψ（v）- ψ（v）=1- v+g（1-五）-(1 -v+g（1-v） ）>0。因此，ψ是非减量的，（F2）被证明是良好的。首先显示（F3）回忆φ*（u） =f*（u） 所有u+1∈ （0，1）sothat函数φ*自函数f起为非递增*按（G3）不递增。接下来，考虑ψ*（五）- 1 =1 - ψ（v）- v+ψ（v）v-ψ（v）=g*(1 - v） ，并回忆起函数g*（v） 按属性（G3）不递增，表示g*(1 -v） 不减损，因此*(1 - v） 是非递增的。所以，ψ*根据需要在（0，1）上不递增，（F3）保持不变。（注意，这里可能需要考虑u<1存在的可能性，例如G（u）=0，作为特例。）利用这一事实，我们在下一个定理中立即证明了Cf，gde finedby（3）或等效的（4）是一个copula。但是，在我们这样做之前，让我们暂停一下，发表一些评论。首先，这两个公式定义的copula提醒我们在[22]中引入了一类copula。这种类型的copula也出现在[5，命题3.2]中。事实上，[22]的作者研究了C（u，v）=uv+f（u）g（v）形式的连接体。因为对于某些u，v，我们允许uv+f（u）g（v）<0∈ [0，1]，我们的copulas Cf，gextend是其中的一个子类。此外，我们的copula可以看作是乘积copula∏的扰动。[3]和[19]研究了连接函数的一般扰动，其中考虑了我们称之为反射maxmin连接函数的一个子类（参见[19，§3]）。公式（3）也可以与[7，定理7.1]中的公式相关，最大值替换为最小值；我们认为相似性不仅仅是巧合。

在聚合上下文中对copula进行扩展，一方面可以得到更一般的生成函数，另一方面也可能得到更一般的二元函数类（即当前的copula），即准copula。3定理。设f和g满足（G1）–（G3），则Cf，g（u，v）是一个copula。对于φ（u）=u+f（u）和ψ（v）=v-g（1- v） 我们有cφ，ψ（u，v）=u- Cf，g（u，1- v） andCf，g（u，v）=u- Cφ，ψ（u，1- v） 。证据通过引理2，函数φ和ψ满足条件（F1）–（F3），因此Cφ，ψ定义为maxmin copula。SoCf，g（u，v）=u- Cφ，ψ（u，1- v） ，是[20，Thm.2]中的一个copula。观察乘积copula∏（u，v）是f的RMM copula≡ 0，克≡此外，Fr'echet Hoe ffing下限W（u，v）=max{0，u+v- 1} 如果取f（t）=g（t），则为isan RMM copula=1.- t、 如果0<t 6 1；0，t=0。实际上，这些是整个RMMcopulas类的上下限。4引理。如果C（u，v）是RMM copula，那么新（u，v）6 C（u，v）6∏（u，v）证明：这是定义的直接结果，因为C（u，v）=Cf，g（u，v）=max{0，uv- f（u）g（v）}对于某些f（u），g（v）>0。根据maxmin copulas的母函数的性质，可以得出f（u）和g（v）在（0，1）上是连续的，但它们在0处不必是连续的。如果我们取f=g，则RMM copula是对称的，因此它是anSRMM copula。我们将f（u，v）=Cf，f（u，v）=max{0，uv-f（u）f（v）}=uv最大值{0，1-f*（u） f级*（v） }。注意，通过引理4，每个RMM copula都是负象限依赖的（参见[20]）。这一事实可能鼓励我们将这种copula等价地称为象限次独立的。RMM copula的对角线部分的形式为δ（t）=Cf，g（t，t）=max{0，t- f（t）g（t）}。由于f（t）g（t）>0，因此对于所有t∈ [0, 1].5提案。

如果一个copula同时是RMM copula和半线性copula，那么它等于乘积copula。证明：半线性copula是[6，推论5]的PQD，而RMM copula是引理4的NQD，这一事实立即证明了这一点。因此，RMM copula似乎与半线性copula具有互补的位置。还请注意，RMM copulas不能通过反射（也称为flipping变换）从半线性copulas获得。RMM连接函数可能具有额外的不对称性。对称性（或可交换性）属性可能过于严格，如【10】中所述。这里，我们指出了对称RMM copula的一些性质，这些性质不是整类RMM copula所共有的。第5.3节将给出更多关于RMM copula的一些特殊性质。在本节中，我们将主要考虑RMM copula的奇异性和绝对连续性。这里有一些符号。对于RMMcopula C=Cf，gwe引入了C的立场（只是为了本文）。用S（C）表示，定义为集合{（u，v）的闭包∈ [0, 1]; f（u）g（v）<uv}={（u，v）∈ [0, 1]; f*（u） g级*（v） <1}。它也是集合{（u，v）的闭包∈ [0, 1]; C（u，v）>0}。S（C）的补码的闭包称为C的零集，用Z（C）表示；clearlyZ（C）={（u，v）∈ [0, 1]; C（u，v）=0}。这里有一些RMM copula的例子，除了W（u，v）之外，还有或没有奇异分量，我们已经知道它是完全奇异的RMM copula。6示例。存在绝对连续的RMM copula族。证据函数FA（t）=at，0 6 t 6，a（1- t） ，6 t 6 1，且gb（t）=bt（1- t） ，对于a、b∈ （0，1）满足条件（G1）–（G3）。对应的RMM copulas C的双参数族：=Cfa，gb（u，v）具有密度C=Cuvsuch thatZZc du dv=1是一个简单的计算结果。接下来是期望的结论【9，20】。