反射maxmin copulas与象限子独立性建模

我们说函数δ：[0，1]→ [0,1]是一个对角函数，如果它满足以下条件：（D1）δ（0）=0，δ（1）=1，（D2）δ（t）6t∈ [0，1]，（D3）δ为非减量，（D4）δ为2-Lip*****z：|δ（s）- δ（t）| 6 2 | s- t |对于所有s，t∈ [0, 1].A函数δ：[0，1]→ [0，1]是对角函数，当且仅当它是copula的对角部分[20，pp.84-85]。我们用D.20命题表示所有对角函数的集合。假设δ是RMM copula Cf，g的对角线部分，那么δ#（t）=δ（t）t：（0，1）→ [0，1]是不减损的。证明：我们有δ（t）=tmax{0，1- f*（t） g级*（t） }。通过引理1（性质（G3），并结合（G1））函数f*（t） 和g*（t） 是非递增和非负的，所以它们的乘积f*g*也是不递增的。因此，函数1- f*（t） g级*（t） 不减损，建议如下。在对称RMM’s.21命题的情况下，我们可以对对角线部分说得更多一些。假设δ是SRMM copula Cf的对角线部分，则bδ（t）=t+pt- δ（t）：[0，1]→ [0, ∞) 是不减损的。证明：因为δ（t）=max{0，t- f（t）}我们有bδ（t）=t+min{t，f（t）}，即bδ（t）=2t，如果t 6 f（t）；t+f（t），如果t>f（t）。（14） 通过引理1（性质（G2）），可以得出函数t+f（t）是非减量的。然后，通过基于方程（14）的简单观测，bδ是不衰减的。我们将bybD表示为满足命题20和21条件的所有对角线截面的集合，即bD={δ∈ Ds、 t.δ#，bδ为非减量}。观察函数δ#和bδ通过方程bδ（t）=t相关联1+p1- δ#（t）（15） δ#（t）=1-bδ（t）t- 1.（16） 其中，我们对所有t使用了长期假设δ（t）6 t∈ [0，1]适用于反射的maxmin Copula的对角线部分。从关系式（15）和（16）可以直接得出，当且仅当ifbδ（t）在（0，1）上不增时，δ#是不减的。

利用这一事实，我们得到了DBD的等效定义{δ∈ Ds、 t.bδ（t）是不递减的，bδ（t）是不递增的}。22定理。函数δ是SRMM copula的对角部分当且仅当δ∈bD.此外，如果f（t）=pt- t的δ（t）∈ [0，1]，其中δ∈bD，则δ是SRMM copula Cf的对角线。证明：首先假设δ（t）是SRMM copulaCf的对角线。然后δ∈bD根据命题20和21。相反，如果δ∈bD然后δ#，和Bδ是不递减的。定义f（t）=pt- δ（t），f：[0，1]→ [0，1]并首先观察其定义。的确，t- δ（t）>0，δ#（t）=δ（t）在（0，1）上不衰减，δ#（1）=1。下一步服务bf（t）=t+f（t）=t+pt- δ（t）=bδ（t），和f*（t） =f（t）t=p1- δ#（t）。由于δ#和bδ是不减损的，因此很容易得出bf是不减损的和f*（t） 是非递增的。回想一下，f（0）=f（1）=f*（1） =0得出结论，所有性质（G1）–（G3）都成立，f是带对角线δ的SRMMcopula的生成器。23示例。通常，SRMM copula不是由其对角线截面唯一确定的。证明：Fr'echet-Hoe-ffing下界W的对角线等于δW（t）=max{0，2t- 1}.它属于托布。我们已经知道W=cgfug（t）=0，如果t=0；1.- t、 如果0<t 6 1。还可以观察到，g不等于对应于δWbyTheorem 22的函数f。这等于f（t）=min{t，1- t} 对应的copula等于f（u，v）=0，0 6 u，v 6；u（2v-1） ，0 6 u 66 v 6 1；v（2u- 1） ，0 6 v 66 u 6 1；u+v- 1,6 u，v 6 1。实际上，对于任何函数h：[0，1]→ [0，1]使得f（t）6 h（t）6 g（t）对于所有t∈ [0，1]以及BH和h*分别为非减和非增，我们得到Chis的对角线等于δW。观察copula Cf等于∏的两个副本相对于分区{0，1}的反射序数和（见[9，第3.8节]）。24推论。

如果δ∈bD使得所有t的δ（t）>0∈ （0，1）然后Cfforf（t）=pt- δ（t）是唯一的SRMM copula，对角线截面等于δ。证明：根据定理22，我们知道f是这样的，即Cf的对角线截面等于δ。假设Cg（u，v）=max{0，uv- g（u）g（v）}是一个SRMMcopula，其对角线等于δ。那么δ（t）=max{0，t- g（t）}由于δ（t）>0，我们得到了t- g（t）>0表示所有t>0。但theng（t）=pt- δ（t）=所有t的f（t）∈ [0, 1]. 25示例。对于所有t，copula存在满足δ（t）6t的对角线截面δ，使得δ#是不减的，而bδ不是。证明：设δ由δ（t）给出=0，t∈0,;2吨-, t型∈\", 1 -√#;t、 t型∈\"1 -√, 1#.很容易验证δ是一个连续函数，满足条件（D1）–（D4）以及所有t的δ（t）6 t∈ [0, 1]. 然后δ#（t）=0，t∈0,;4吨- 12吨，吨∈\"+, 1.-√#;1，t∈\"1 -√, 1#.为不减损whilebδ（t）=2t，t∈0,;t+rt- 2t+，t∈\", 1 -√#;t、 t型∈\"1 -√, 1#.不是。对于由aδ表示的任何对角线截面δ，最大t∈ [0，1]使得δ（aδ）=0。这意味着t的δ（t）=0∈ [0，aδ]和δ（t）>0表示t∈ （aδ，1）。由于W是所有copula的下界，因此aδ∈0,. 在下面的定理中，我们给出了具有给定对角截面δ的SRMM copula的上下界。26定理。假设δ∈bD是这样的，即aδ>0且writeh（t）=0，t=0；2aδ- t、 t型∈ （0，aδ）；pt- δ（t），t∈ （aδ，1）；且f（t）=pt- δ（t）。然后，Chand-Cf是具有对角截面δ的SRMM copula，如果Cg是任何具有对角截面δ的SRMM copula，那么对于所有的u，v，Cg（u，v）6 Cg（u，v）6 Cf（u，v∈ [0, 1].证明：CFS是SRMM copula的事实遵循定理22。要想知道Ch也是如此，我们必须稍微修改一下该定理的证明。

我们首先观察到h（0）=h（1）=h*（1） =0，然后引入bh（t）=t+h（t）=t、 t=0；2aδ，t∈ （0，tδ）；t+pt- δ（t），t∈ （tδ，1）。在定理22的证明中，我们看到函数bh（t）在[aδ，1]上是非减量的，显然它在[0，aδ]上也是非减量的。因为δ（aδ）=0，所以aδ+paδ- δ（aδ）=2aδ，在[0，1]上是不递减的。接下来，我们考虑函数h*（t）=aδt- 1，t∈ （0，tδ）；p1- δ#（t），t∈ （tδ，1）对于t∈ （0，1）。这个函数在（0，aδ）上显然是非递增的，我们可以看到，类似于定理22的证明，它在（aδ，1）上是非递增的。Sincep1- δ#（aδ）=1=2aδt-1在[0，1]上不递增。因此，h满足条件（G1）–（G3），它是SRMM copula的生成器。现在，假设cg是一个具有对角截面δ的SRMM copula。所以，Cg（t，t）=max{0，t- g（t）}=δ（t）。在（0，aδ）上，δ（t）=0，因此g（t）>t在[0，aδ]上。（17） 对于t∈ 我们有g（t）=pt- δ（t）。bg（t）在[0，1]上不减的事实意味着t+g（t）6 aδ+g（aδ）=2aδ在[0，aδ]上，因此g（t）6 2aδ- t on[0，aδ]。（18） 结合（17）和（18），我们在[0，aδ]上得到f（t）6 g（t）6 h（t），在[aδ，1]上得到f（t）=g（t）=h（t）。然后很容易得到所需的不等式。该定理特别表明，SRMM copula由u，v的对角截面δ唯一确定∈ [aδ，1]。现在，我们将通过一个反例说明，如果SRMM耦合函数被一般RMM耦合函数替换，命题21的陈述将失败。27示例。存在一个RMM copula，使得其对角δ（t）函数bδ（t）=t+pt- δ（t）不是不递减的。证明：不难看出函数SF（t）=t、 0 6 t 6；1.- t、 6 t 6 1；和g（t）=- t、 0 6 t 6；0,6 t 6 1；满足条件（G1）–（G3）。因此，它们是theRMM copula Cf，g（u，v）的母函数。

这个copula的对角线部分等于δ（t）=Cf，g（t，t）=max{0，t- f（t）g（t）}=0，0 6 t 6；2吨-t、 6 t 6；t、 6 t 6 1。那么bδ（t）等于bδ（t）=2t，0 6 t 6；t+qt- t、 6 t 6；t、 6 t 6 1。Sincebδ=3 +√>=bδ由此可知，bδ并不是不变的。确认。作者感谢Fabrizio Durante对本文前一版本的一些有用的评论。我们也非常感谢一位匿名裁判帮助我们改进了论文的某些部分，尤其是第3节。我们要感谢我们的同事Bla'z Moj'skerc，他帮助我们完成了这些数据。参考文献【1】L.Bˇehounek，U.Bodenhofer，P.Cintula，S.Saminger Platz，P.Sarkoci，《模糊连接词、模糊集和系统的分级优势和相关分级性质》，262（2015），78-101。[2] U.Cherubini，F.Durante，S.Mulinaci，（编辑），《马歇尔-奥尔金分布-理论和应用进展》，《斯普林格数学与统计过程》，斯普林格国际出版社，2015年。[3] F.Durante，J.Fern'andez S'anchez，M.'Ubeda Flores，《扰动生成的二元copulas，模糊集与系统》，228（2013），137–144。[4] F.Durante，S.Girard，G.Mazo，Marshall–Olkin型copulas由全球冲击产生，J.Comput。应用程序。数学296 (2016), 638–648.[5] F.Durante，P.Jaworski，二元copulas的一个新特征，Comm.in Stats。《理论与方法》，39（2010），2901–2912。[6] F.Durante，A.Kolesarov'A，R.Mesiar，C.Sempi，《半线性copulas，模糊集与系统》，159（2008），63–76。[7] F.Durante，R.Mesiar，P.L.Papini，C.Sempi，2-递增二元聚合算子，信息科学，177（2007），111–129。[8] F.Durante，M.Omladiˇc，L.Oraˇzem，N.Ruˇziˇc，《具有依赖和不对称联系的冲击模型，模糊集和系统》，323（2017），152-168。[9] F.Durante，C。

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