商品市场中的微笑建模

无风险的标准假设允许获得一个等价的概率测度，使得未来价格过程是一个鞅，其值与未来到期日的现货价格过程值一致。在商品市场中，期货合约赋予了在到期时将标的实物商品兑换成一定数量货币的权利，但由于标的物的物理性质，交割程序并不重要，因此不能概括为“在一天交割一定数量的商品”。根据允许交易对手选择的规则，交付程序可能需要几天时间，从而形成一个“s pot”合同，其估值可能难以执行。这表明我们不必使用同等情况下使用的相同公式，但如果该模型的最终目的仅是根据未来价格对衍生产品合同进行估价，那么我们仍然可以克服这些问题。Nastasi，A.Pallavicini，G.Sartorelli，《商品市场中的微笑建模》8考虑到未来本身作为对冲工具的可用性。在这种情况下，我们只需要一个等效的衡量标准，即在交付程序开始之前的任何日期，即在第一个通知日期之前，未来价格过程都是鞅。事实上，如果我们说，除了购买和出售未来合同本身之外，未来合同不授予任何期权，那么我们就非常接近现实，因此，无套利意味着存在一个等价的衡量标准，即在第一个通知日之前的每一天，如果在Tf交易结束之前，期货价格是第二天期货价格的预期值。此后，各种期权可能接踵而至，在许多情况下，使人们怀疑期货价格过程对于任何等价度量仍然是鞅。

因此，对于任何时间tdTlast与Tlast“mintTn，Tfu，我们可以写efitt”Et“FIDTlasti，我们可以假设存在一个单一的连续时间过程St，我们称之为实际现货过程，其值与每个期货合约的Tlast日期的期货合约价格一致，所以那是菲德“eTrusts，tdtlast我们不要求STI在市场上交易。如果市场报价为现货价格，它可能与我们的定义不同，例如由于特定的交割条件。此外，即使只有特定数量的到期日的期货在市场上可观察和交易，我们也可以假设存在一条完整的tTh~nF pT q曲线，由期货价格与实际现货价格一致的日期T：FTpT q“ST对于交易期货，在该设置中，我们有：FTlastpTlastq”FIDTlast“STlast3.2虚拟现货价格建模我们希望为虚拟现货价格St选择一个模型，该模型允许我们轻松计算远期价格，但同时，它足够灵活，可以复制所有期权报价。因此，我们为虚拟现货价格St.dSt“pαptq`βptqStqdt`ηSpt，StqStdWt，S”选择一个局部波动线性模型（5）其中，W是风险中性测度下的标准布朗运动，α是时间的正函数，β是时间的函数，ηSis Lipschitz，有界且为正，\'S是实际现货价格的（正）初始值，这实际上与未来精神的建模无关。根据这些假设，之前的SDE对于所有订单的任何时间ta0和有限时刻都有唯一的正解。我们的策略是将β与期货价格和η与普通期权价格进行校准，而α可以从日历价差期权中推导出来，如果其报价在市场上是流动的，或者通过启发式参数。

选择实际现货价格动态的特定形式，以有效的方式执行这些任务。E、 Nastasi，A.Pallavicini，G.Sartorelli，《商品市场中的微笑建模》9在下文中，我们发现使用现货价格的标准化版本更容易，因此，我们定义：“StFptq（6）其动力学为ST”paptq ` pβptq'Btln FPTQSTQT'ηpt，stqstdWt，s”1（7），其中系数定义为ptq：“αPTQFTQa0，ηpt，stq：”ηSpt，STFPTQQ和时间0表示我们执行校准程序的时间。备注3.1。（平均值回复速度）通过实际调查，我们引入了一个平均回复速度，这是一个具有“0可能无法校准期权市场数据。事实上，现货价格的存在只是一种模型假设，而不是像股票市场那样由无套利原则驱动。在下文中，当我们讨论校准程序时，我们必须处理两个未知参数：局部波动率函数η和均值回归速度a。在f接下来，我们将校准普通期权的局部波动率函数，同时我们将在本节末尾讨论如何确定平均逆转速度。3.3期货价格自动校准我们继续校准期货价格。如果我们在spot动态中正确定义函数β，它们可以自动恢复。作为第一步，我们以积分形式重写方程（7）。sT“1zTpapuq'pβpuq'Buln Fpuqqsuqdu'Tηpu，suqsudwu我们可以在任何时间T p r0，T qto obtainEtrsTs”1zTpapuq'pβpuq'Buln fpuqetrsuqduthen，如果我们根据我们获得的有效现货价格定义期货价格“1 ` T^apuq` pβpuq\'Buln fpuqftpuq˙du因此，我们可以采用导数w.r.T。

成熟时间T为futurespricesBTFtpT q“apT qFpT q `βpT qFtpT q，Ftptq”stFptq（8）编写一个一阶方程，特别是对于T“0，我们可以重新安排方程（8），以获得我们可以在现场动力学中替代的βptq的显式表达式，即我们得到βpT q“BTln FpT q'apT qE.Nastasi，A.Pallavicini，G.Sartorelli，商品市场中的微笑建模10导致标准化现货价格的以下动态ST”aptqp1'stqdt'ηpt，stqstdWt，s”1（9）通过这种方式，我们得出，如果实际现货价格遵循上述动态，则我们的模型可以准确地反映未来，因为从等式（6）中我们得出“Fptqstù~nErSts”FptqErsts“FptqErsts”，考虑到方程（9）中描述的动力学，可以很容易地计算右侧的期望值。我们通过显式求解方程（8）中描述的一阶ODE来结束本节，这样我们就可以写出紧随期货价格的动力学。我们将在以下几节中使用isresult。我们得到Ftpt q“FpT q'1'p1'stqe'Ttapuqdu'（10）然后，通过将w.r.t.与时间t不同，我们得到DFTPT q'ηFpT，t，FtpT qqdWt（11），其中可以通过现货价格的本地波动性的适当重新映射来确定期货价格的本地波动性。实际上，我们得到ηFpT，t，Kq：'K'FpT q'1'e'TTAPU'ηQDPT，t，t，Kqq（12）虽然有效履约KFpT可以定义为KFpT、T、Kq：“1’esTtapuqdu^1’KFpT q˙（13）4期货期权的校准，但有效现货价格校准程序的最后一步在于找到能够恢复期货期权价格的局部波动率函数η。

我们希望实现快速校准程序，以便我们搜索Dup ir e方程f或我们模型的扩展，这允许我们通过一次PDE评估对所有普通选项进行定价。4.1扩展的杜皮尔方程在此，我们重点关注欧盟罗佩斯期权，因为第2节关于早期行使期权的讨论表明，未来风格的美式期权与欧洲期权具有相同的价格，而权益风格期权可以按照德马尔科和亨利·劳德雷（Henry Labordére）[2017]中的杜皮尔方程的属性定义进行计算，这与我们的扩展是一致的。第4.1条。（扩展的Dupire方程）我们假设标准化现货价格St遵循动态St“aptqp1'stqdt'ηpt，stqstdWt，s”1E。Nastasi，A.Pallavicini，G.Sartorelli，《商品市场中的微笑建模》，11其中平均反转速度A是时间的正函数，局部波动函数η是Lipschitz，有界且为正。然后，标准化买入价格Cpt，kq：“E”pst'kq''满足以下抛物线P debt cpt、kq'aptq'aptqp1'kqBk'kηpt、kqBk'cpt、kq（14）和边界条件scpt、0q“1、cpt、8q“0、cp0、kq”p1'kq'证明。我们可以通过应用Meyer Tanaka公式来推导出票价的动态，参见instanceProtter【2005年】，我们编写了kpt、kq“cp0、kq'E”。380; ttstakudsu`ERLSTPKQS过程统计等级k的当地时间Lstpkq定义为Lstpkq：“lim~n0\'2zttk'sudk\'udxsyu然后，根据entata和Cont【2015】的结果，我们可以将积分的期望值扩展到风险-欧盟贸易价格密度psupxq上，以便我们可以编写Cpt，kq“cp0，kq\'tapuq\'kpsupxqp1\'xqdx du\'k\'tpsupkqηpu，kqduOn另一方面，我们有psupkq”Bkcpu，kq。因此，通过直接替代和不同的w.r.t。

时间t我们得到btcpt，kq“aptqzkp1'xqBkcpt，xqdx'kηpt，kqBkcpt，kq我们可以通过在righ handside上按第一项的两倍进行积分来简化方程式。实际上，我们有kp1'xqBkcpt，xqdx”pcpt，xq'p1'xqBkcpt，xqq'k“'cpt，kq'p1'kqBkcpt，kq其中，自所有时刻的完整性以来，最后一个等式成立，这意味着看涨期权价格在大幅度下跌时的下跌速度要快于多项式，请参见Lee【2004年】。如果我们汇总结果，我们就得到了这个命题。例如，Nastasi，a.Pallavicini，G.Sartorelli，《商品市场中的微笑建模》12在Elstra和Raye【2013年】中可以找到类似的结果对于长期外汇期权，我们可以进一步利用漂移的有效形式来消除积分项，这允许通过隐式PDE离散化方法快速有效地求解方程（14），就像标准Dupire方程的d方法一样。一旦计算出标准化的看涨期权价格，我们还可以推导出期货期权的价格。事实上，我们通过直接替换获得了未来款式选项的价格Cmargpt，T，Kq“FpT qe'Ttapuqducpt，kFpt，T，Kqq（15）和股票型期权ccolpt，T，Kq”PpTp；eqFpT qe'Ttapuqducpt，kFpt，T，Kqq（16），其中有效打击kFis在等式（13）中定义。4.2局部波动率函数的校准关于使用Dupireequation校准局部波动率模型的大量文献，请参阅InstanceGathereal【2006年】以及其中的参考文献。在这里，我们强调需要一个快速而稳健的校准程序，以允许在交易台上进行实际应用。

特别是，我们可以用两种不同的方法求解方程（14）：（i）给定市场上的期货期权价格，我们可以使用方程（15）和（16）获得相应的标准化看涨期权，然后我们可以将这些价格插入方程（14）并求解局部波动率函数，或者（ii）我们可以解决一个最佳问题以找到局部波动率函数，插入P DE（14），给出了适当的标准化调用价格，将其放入方程（15）和（16）中，以获得市场价格。第一种方法似乎比第二种方法快得多，因为它不需要基于PDE解算器的最优程序。然而，它需要一个无套利插值方案来计算方程（14）中市场价格的偏导数。对此类方案的精确和稳健定义可能会导致算法速度较慢，并且可能会在极外侧或货币打击区域产生偏导数较小值的不稳定性。在这里，我们遵循第二种方法，我们必须面对限制在最佳程序内重新评估PDE的次数的问题。我们考虑了一组根据Black-Scholes波动率报价的未来价格期权，我们确定了astσmktFpti、IDi、Kjiq：i P r1、Ns、j P r1、MisuWe n注意到履约价格可能取决于到期日，因为市场通常根据Black-Scholes波动率报价期权 为每个成熟度带来不同的罢工。使用（15）或（16），我们可以将期货期权的市场报价转换为标准化现货价格上的欧洲期权的波动性tσmktpti、kFpti、Tlasti、Kjiqq:i P r1、N s、j P r1、Misuwhere我们定义σmktij：“当期权为股权式抵押时，可能包括σmktpti、kFpti、Tlasti、kjiqqa对美国早期行使特征的调整。

通过指定局部波动率ηpt的特定非参数形式，可以实现期货价格期权的模型校准，kq：“ζpt，k；tηpti，kfti，Tlasti，kjiqqq，ηij：“ηpti、kFpti、Tlasti、KjiqqE、Nastasi、A.Pallavicini、G.Sartorelli，《商品市场中的微笑建模》13，其中ζ是用于内插和外推局部波动函数的函数。我们选择三次多项式sp线进行内插，选择常数函数f进行外推。最佳问题的自由参数是局部波动函数的n个节点，因此我们可以拥有与市场波动率一样多的参数，通常多达100个或更多的参数。基于梯度优化算法的校准程序可能会产生较差的性能，因为目标函数的J acobian总是在各个方向上计算。如果我们对动力学有很好的了解，例如，通过使用局部波动率和隐含波动率之间的不对称关系，在短时间内到期和接近ATM冲击时，一旦我们知道目标量和模型量之间的不匹配，我们就可以猜出最佳参数。Reghai等人【2012年】也讨论了类似的方法，即通过校准程序迭代更新局部波动率函数的水平。在下一节中，我们计算模型隐含波动率的局部波动率函数的水平和偏差，并使用它们来实现我们的迭代校准策略。4.3迭代校准策略我们可以将使用dynamics（7）获得的普通香草选项的价格与在黑色框架中获得的价格联系起来。

我们引入了黑色公式cBSpt，k，σq，取决于到期时间t，罢工k和挥发性σ，如cBSpt，k，σq：“Φpy `σ？tq'kΦpyq，y：'σ？tlog k'σ？t（17），其中Φ是累积高斯分布，所有价格都是前向价格的标准化w.r.t。然后，我们可以写出bspt，k，σpt，kqq：“cpt，kqa是隐含黑色波动率σpt的定义，kq是ta0的定义。另一方面，扩展的Du pire方程（14）命题4.1中得到的结果可以通过ηpt给出的局部波动率函数η来求解，kq“2pBt ` aptq ` aptqp1'kqbkqcbsp，k，σpt，kqqkbkcbsp，k，σpt，kqq（18）其中买入价现在计算为黑米。由于上述关系，我们可以根据模型隐含的波动率计算局部波动率函数的水平和偏差。特别是，我们对小额到期债券的限制感兴趣，并对围绕货币价值的执行价格感兴趣。通过链式规则计算（18）的右侧，然后取前导项，得到局部波动率对模型隐含波动率的显式依赖关系。为了做到这一点，我们必须将Berestycki等人[2002]的结果推广到均值回复局部波动性过程，这确保了当到期时间接近零时隐含波动性函数的极限的存在。我们有以下建议。第4.2条。（局部波动函数的水平和偏斜）如果标准化现货价格遵循命题4.1的动力学，则存在以下限制：σp0，kq：“limt~n0σpt，kq”log k^zkdxxηp0，xq'1（19）E.Nastasi，A.Pallavicini，G.Sartorelli，商品市场中的微笑建模14，与平均反转速度的值无关。

此外，在零到期时间限制和货币罢工时，局部波动率函数的水平和偏斜与ηp0给出的隐含黑色波动率的水平和偏斜相关，1q“σp0，1q，Bkηp0，1q”2Bkσp0，1q（20）证据附录A中给出了预测结果。可以利用命题4.2给出的结果来调整校准过程的迭代算法，以产生快速收敛。我们在下面描述我们的校准策略。1、我们认为平均反向速度a是给定的。我们在下一节中说明了我们可能采取的一些策略，以确定其价值。2、然后考虑局部波动率函数，将局部波动率函数ηp0qt的节点设置为等于市场波动率。当局部波动率在节点ηp0q上插值时，我们计算从PDE（14）得到的即期波动率σp0q。4、我们将σp0q与σmkt进行比较，如果距离在给定的阈值范围内，我们将优于算法。否则，算法将进入下一步。5、我们调整局部波动性参数时，考虑到小时间到到期日的t阶修正，以及在M次接近波动性水平时的t阶修正，以及命题4.2中推导的偏斜，如ηp1qij“ηp0qijσmktijatmσp0qijatm` 2BσmktijBk'Bσp0qijBk,所示kjtj‰jatmuwhere Jatmu是指货币期权的执行指数。我们用ηp1q重复第三步的算法。然后，重复迭代直到收敛，或直到达到最大迭代次数。我们的校准策略可以看作是一种定点算法。我们可以通过安德森（Anderson）加速（AA）定点算法大大提高收敛速度，如安德森（Derson）[1965]所述，后来在沃克（Walker）和倪（Ni）[2011]中进行了审查。