商品市场中的微笑建模

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英文标题：
《Smile Modelling in Commodity Markets》
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作者：
Emanuele Nastasi, Andrea Pallavicini, Giulio Sartorelli
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We present a stochastic-local volatility model for derivative contracts on commodity futures able to describe forward-curve and smile dynamics with a fast calibration to liquid market quotes. A parsimonious parametrization is introduced to deal with the limited number of options quoted in the market. Cleared commodity markets for futures and options are analyzed to include in the pricing framework specific trading clauses and margining procedures. Numerical examples for calibration and pricing are provided for different commodity products.
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中文摘要：
我们提出了一个商品期货衍生品合约的随机局部波动率模型，该模型能够描述远期曲线和微笑动态，并对流动市场报价进行快速校准。引入了一种节省的参数化方法来处理市场上引用的有限数量的选项。对期货和期权的清算商品市场进行分析，以将特定交易条款和保证金程序纳入定价框架。为不同商品产品的校准和定价提供了数值示例。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Smile_Modelling_in_Commodity_Markets.pdf (343.48 KB)

2022-6-10 13:07:25 上传

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关键词：商品市场 Quantitative parsimonious Applications calibration

商品市场中的微笑建模*Andrea Pallavicini+Giulio Sartorelli第一版：2017年10月30日。本版本：2020年1月27日摘要我们为商品期货衍生品合约提供了一个随机局部波动率模型，该模型能够描述远期曲线和微笑动态，并对流动市场报价进行快速校准。引入了一个简洁的参数来处理市场上报价的有限数量的期权。对期货和期权的清算商品市场进行分析，以将特定交易条款和保证金程序纳入定价框架。为不同的商品产品提供了校准和定价的数字示例。JEL分类代码：C63、G13。AMS分类代码：65C05、91G20、91G60。关键词：商品、期权定价、保证金程序、抵押品、局部波动性、随机波动性。*埃马努埃尔的Exprivia。nastasi@exprivia.com+伦敦帝国理工学院和米兰银行，a。pallavicini@imperial.ac.uk米兰银行，朱利奥。sartorelli@bancaimi.comContents1简介2期货和商品市场期货期权42.1期货合同。42.2保证金和抵押程序。53灵牌期货价格73.1处理交割程序。73.2虚拟点冰建模。83.3期货价格的自动校准。94期货期权微笑的校准104.1扩展杜皮尔方程。104.2局部波动率函数的校准。

124.3迭代校准策略。134.4平均回复速度的校准。175曲线和微笑动力学195.1马尔可夫投影。195.2多重驱动因素。205.3随机波动率扩展。216结论和进一步发展21A命题证明4.2 23此处表达的观点仅为作者的观点，并不以任何方式代表其雇主的观点。E、 Nastasi、A.Pallavicini、G.Sartorelli，《商品市场中的微笑建模》31介绍期货是流动性最强的商品合约，其次是期货期权衍生品。单一期货价格上的普通期权在商品市场上通常是流动的，带有日历价差期权，即两种不同期货的价差期权。然而，越来越多的期货价格定制衍生品合约在场外交易，或嵌入结构性票据中。由于此类合约通常对微笑效应敏感，并包含路径依赖，因此我们需要一个能够描述曲线和微笑动态的期货价格定价模型。此外，出于实际目的，我们需要一个能够快速校准到期货价格和流动普通期权的模型。我们的方法基于期货价格的随机局部波动（SLV）模型。在文献中，可以找到一些与我们的工作相关的贡献。

我们可以引用Pilz和Schl"ogl（2011）的论文，其中作者为每个期货价格引入了不同的随机波动性模型，以及一个程式化的局部波动系数。随机利率被认为是衡量期货价格凸度调整的尺度。Chiminello【2015年】的工作遵循了一种不同的方法，为每个期货引入了一个独特的局部波动率模型。然而，普通香草期权期货价格的liqu id市场报价仅针对每个期货的一个到期日报价，因此通过启发式方法从现有市场报价中构建合成市场报价，以获得每个期货的完整校准集。在该模型中，期货曲线动态可以用不同的风险因素为每个期货建模，而s英里动态则不建模。Yalbani等人【2017年】提出了一种更为简洁的方法，其中引入了适用于所有期货的单一局部波动率模型，但未对期货曲线动力学和微笑动力学进行建模。使用在不同日期观察到的报价进行校准，以增加市场数据的数量。在本文中，我们引入了一个SLV模型，该模型能够再现期货的期货价格和报价期权，并能够恢复一些奇异期权的价格，例如日历价差期权，这些期权对曲线和微笑动态敏感。特别是，我们将局部波动率单因素过程定义为第一步，并采用净漂移来模拟未来价格边际密度，我们扩展了Dupire方程、seeDupire【1994】和Derman and Kani【1994】，以允许对所有报价的普通期权实施快速和robus t校准。校准算法按照加速安德森方案（acceleratedAnderson scheme）、Seewarker和Ni【2011年】以及Anderson【1965年】构建为定点迭代。

然后，作为第二步，我们为每个期货价格引入一个SLV动力学，这样我们就可以对其曲线和smiledynamics建模。在这样做的过程中，我们利用了Gyongy引理，见Gyongy【1986】，以匹配第一步中校准的未来价格边际密度。目前的贡献主要集中在局部波动率预测上，而我们将对随机参数校准的详细分析和奇异产品定价的讨论留给了未来的工作。本文的组织结构如下。在第2节中，我们描述了市场对商品期货和期货期权的报价。特别是，我们讨论了交易条款和保证金规则。然后，在第3节和第4节中，我们介绍了模型的局部波动性部分，并描述了如何校准期货价格和期权，而在第5节中完成了模型到完整SLV模型的扩展。E、 Nastasi，A.Pallavicini，G.Sartorelli，《商品市场中的微笑建模》42《商品市场中的期货和期货期权》商品市场上的普通普通期权赋予以给定价格签订期货合同的权利。签订合同的决定可以在期权到期之前的任何时候做出，通常是在交易后的几年内。期权合同被合并为期货或作为股票衍生品进行抵押。我们以ICE和CME市场提供的文件为例。2.1期货合约我们希望引入一个单因素背景过程，其边际概率密度可以映射到期货合约上，以便我们可以对所有流动期权进行节约定价。我们将这一过程称为“实际现货”价格过程，因为在我们的模型中，其价值起着现货价格的作用，即使它不一定与可观察数量相关联。

一旦校准了未来的边缘概率密度，我们就可以添加曲线和微笑动力学。在此之前，我们需要了解未来合同的具体情况。在商品市场中，期货合约可能导致提前购买或出售的商品的实物交付。在结算日之后，交易所可能会通知期货合约多头头寸持有人货物将交付。为了避免实物交割，多头头寸持有人必须在第一个通知日期之前滚动期货合约。我们在图1中展示了一些期货合约和期货期权的交易和通知日期示例。我们详细了解到，期货合约在Tf和Tf日期之间在市场上交易，但通常在第一个通知日期TN之前滚动，以避免在Td和Td日期之间交割。交货通知可能发生在最后一个通知日期Tn之前。在日期Tn之前，期权在日期to和to之间进行交易。开始交割日后报价的期货指交割期较短的合同。在下文中，我们假设在t时，由标签ID识别的一系列期货合约的价格在市场上可用。第一个例子由ICE未来办公室提供。我们在图1的上面板中显示了ID=“MAR18”期货和期权合同的时间结构，其中我们绘制了期货合同（红色）和期货期权（蓝色）的时间线。连续色带是指截至第一个通知日期的每个合同的交易窗口。我们可以看到，第一次通知和第一次交付日期早于最后一个交易日期。

2018年3月，芝加哥商品交易所（CME）的铜期货和期权合约也出现了同样的情况。另一方面，对于芝加哥商品交易所的WTI原油期货，通知和交割可能发生在最后一个交易日之后，如图下部面板的第三个示例所示，其中显示了2018年3月期货和期权合同的时间结构。备注2.1。（交付期）一些商品市场，如天然气或电力，在不同的交付期上报价期货合约。在天然气市场，未来合同允许在一个月、一个季度或整个月内每天供应天然气。此外，期权在这些不同租金的期货集合上进行交易。在这个市场中，我们选择只有一个特定交付期的tomodel期货合约。我们可以专注于一个月的洲际交易所（ICE，https://www.intercontinentalexchange.com)和芝加哥商品交易所（CME，http://www.cmegroup.com)是两个领先的大宗商品电子交易平台。E、 Nastasi，A.Pallavicini，G.Sartorelli，《商品市场中的微笑建模5交货期合同》，我们仍然可以通过对较短合同实施策略来为较长期限的合同定价。然而，通过这种方式，我们无法为期限较短的合同定价。在这些市场中，我们可以使用长期期权报价来获取有关远期曲线动态的信息。2.2保证金和抵押品程序期货交易所确定并设定期货保证金利率。交易员需要在合同开始时提交一份初始保证金，然后维持保证金，以匹配合同的市场变化。将现金或资产入账以注满保证金协议的一方不会因融资成本而获得报酬。

该程序与h ap为担保合同支付的程序相似，但在后一种情况下，担保品接受者向另一方支付利率，通常为隔夜利率。期货期权也有类似的论点。报酬率的存在与否对于为这些合同建立正确的定价公式至关重要。文献中广泛讨论了存在保证金或抵押品程序的定价。在此，我们参考toBrigo等人【2013】及其参考文献。特别是，我们假设了所谓的完美抵押制度，即保证金程序能够消除投资者或交易对手违约事件的任何损失的情况。我们有以下建议。位置2.2。（完美抵押）我们假设市场风险由It流程向量描述。我们考虑使用价格过程vt和累计股息过程πt，在定义为πt的日期按合同金额φipaid：“N"yi”1φitTidtu（1）如果定义了抵押品过程CTI，以便在任何时间t到证券到期t，那么我们可以将证券价格过程写为vt“Et”TtDpt，u；eqdπu, Dpt，T；公式：“exp”'zTteudu*（2）其中预期是在风险中性措施下进行的，ETI是抵押品应计利率过程。证明。该命题可以从Moreni和Pallavicini【2017】的推论2.1中推导出来假设所有的支付货币都是相同的。我们现在已经准备好写期货期权的定价方程了。我们首先描述没有早期锻炼功能的普通选项（欧洲选项）。它们可以根据保证金或抵押品协议进行交易，通常由Futuresexchanges分别称为未来式保证金和股权式保证金。

根据未来e型保证金，期权溢价在到期日支付，按市值计价的变动与初始保证金一起即时交换，无需支付任何报酬，因此我们可以根据Cmargtpto，ID，Kq给出的第2.2条写下期权价格：“Et''FIDTo'K'”`. （3） E.Nastasi、A.Pallavicini、G.Sartorelli、，商品市场中的微笑建模6FMAR18Tn‘FMAR18To‘K’’Tf01 2015Tf19 2018TF19 2018Tn20 2018Td01 2018Td01 2018Td29 2018TD09 2018TD09 2018ToFMAR18Tn‘FMAR18To‘K’Tf28 2013Tf27 2018Tn28 2018TM28 2018Td01 2018Td29 201827年4月至2018ToFMAR18Tf‘FMAR18To‘K’Tf19 2018TF19 2012Tf20 2018TN22 2018Td01 2018年3月TD31日2018年3月至2014年3月2018年2月至图1：2018年3月期货的通知、交易和交割日期以及相应期权的交易日期。上面板为冰上的阿拉比卡，中面板为铜，下面板为CME上的WTI积垢油。E、 Nastasi，A.Pallavicini，G.Sartorelli，《商品市场中的微笑建模》7另一方面，在股票式保证金的情况下，期权溢价在交易日支付，期权卖方必须为溢价（按利率E计提的抵押品）提供担保，该保证金与初始保证金一起每日调整，因此，我们可以根据CColltpto，ID，Kq：“Et''FIDTo'K''Dpt，Tp；eq”给出的第2.2条写下期权价格, （4） 其中，TPI是付款日期，通常结算延迟适用。在早期实施的情况下，我们应该调整我们的定价公式，例如inAlbani等人【2017年】。然而，对于非股息支付资产，美国期权价格可能与相应的欧洲价格不同，只是因为利率不同。

在期货式保证金的情况下，我们可以从等式（3）中看到，期权价格不取决于利率，因为贴现因子缺失，标的资产是期货价格。因此，我们可以得出结论，在到期之前行使期权是不方便的，但在未来式保证金协议下交易的欧洲和美国期权的价格是相同的，因此不需要进行调整。另一方面，以等额保证金交易的期权需要进行调整，尽管在低利率制度下，对于短期到期，这些期权应该很小。如果需要调整，我们可以按照De Marco和Henry Labordére【2017】将其包括在内，这将Dupire方程扩展到了Americanoptions。3期货价格建模我们遵循一步一步的程序来实施我们的建模框架。我们首先为背景过程引入一个局部波动线性模型，我们称之为“现货价格”。线性模型的特点是有一个明显的漂移项，参见StanceAckerer和D【2016】中的内容。在商品能源市场中，Wishchuk【2008年】研究了线性模型的恒定波动率版本。这种模型允许以封闭形式计算期货价格。此外，在第4节中，我们将展示期权价格可以通过杜皮尔方程的扩展版本来计算，我们可以使用该公式来校准局部波动率函数。3.1交割程序在股票期货市场的数学表示中，期货合约的基础是通常具有相当流动性的现货合约。