商品市场中的微笑建模

AA算法通过在每个步骤上考虑之前步骤中测量的误差，改进了标准定点算法。我们通过以下伪代码1描述算法：程序AA（x，f，，m）2：iD13：xDfpxq4：repeat5：miDmintm，iu6：fpiqDtfpxi'miq，f像素。Nastasi，A.Pallavicini，G.Sartorelli，《商品市场中的微笑建模》150 10 20 30 40 50'10'7'4'1迭代微笑+Skewsmilea微笑+skewAA微笑图2：校准2017年11月2日在onICE市场上报价的65个阿拉伯式期货期权，有无安德森加速计划（AA）。红色虚线参考Storeghai等人[2012]的算法，蓝色实线参考本文中提出的算法，平均值回复速度设置为零。7： epiqDtfpxi'miq'xi'mi，fpxiq'xU8：αpiqDarg mint}αpiq¨epiq}u受rmij“0αpiqj”约束 ，在大多数情况下，在15-30次迭代中，波动率空间的校准误差为基点的十分之一。我们在图2、3和4中显示了收敛速度。蓝线指的是一种校准策略，其中本地波动率函数的水平和偏差都会更新，而r线指的是仅更新水平的校准策略。虚线表示标准的执行点迭代，实线表示AA迭代。我们的目标校准策略是蓝色实线，而Reghai等人[2012]的校准策略是红色虚线。在前面的示例中，平均值反转的速度设置为零。

在图5中，我们展示了均值回归速度不同值的WTI校准的收敛结果，以及由此产生的货币本地波动率函数和市场波动率。正如之前在Remark3.1中所述，我们记得，在特定的市场条件下，例如，当波动性随着时间的推移而大幅下降时，校准程序可能会失败，s mall值为a，尤其是“0.在这种情况下，引入均值反转是匹配市场波动性所必需的。E.Nastasi，a.Pallavicini，G.Sartorelli，《商品市场中的微笑建模》160 10 20 30 40 50'4'3'2'1迭代微笑+Skewsmilea微笑+skewAA微笑图3：2017年11月2日在有无Anderson加速方案的市场上对125个铜期货期权进行校准（AA）。红色虚线参考Storeghai等人[2012]的算法，蓝色实线参考本文中提出的算法，平均值回复速度设置为零。0 10 20 30 40 50'4'3'2'1迭代smile+skewsmileAA smile+skewAA smile图4:2018年5月23日在有无Anderson加速计划（AA）的市场上报价的WTI原油期货100个期权的校准。红色虚线参考Storeghai等人[2012]的算法，蓝色实线参考本文中提出的算法，平均值回复速度设置为零。E、 Nastasi，A.Pallavicini，G.Sartorelli，《商品市场中的微笑建模》170 10 20 30 40 50'7'5'3'1迭代“0.0a”0.5a“1.0a”1.50 5 10 15 200.20.30.40.5下个月的未来图5:2018年5月23日在中东市场上报价的WTI原油期货100个期权的校准，平均反转速度从0到1.5不等，步长为0.5。

在左侧面板上，我们显示了校准误差或，而在右侧面板上，我们显示了货币本地波动率（蓝色）和市场波动率（红色）。4.4平均回归速度的校准如果我们只看普通香草价格，我们无法以一种近似的方式确定平均回归速度参数。事实上，我们可以很容易地将局部波动率函数校准为普通期权价格，以获得不同的平均反转速度选择，如图5左侧的理想面板所示。我们需要不同的策略来确定此参数。一个自然的解决方案是丰富我们的校准集。例如，我们可以看看中间曲线期权（MCO）和日历价差期权（CSO）的价格，这通常是大宗商品市场的报价。在这里，主要的问题是这些液体并不总是液态的。此外，我们将在下一节课中讨论的包括曲线和微笑动力学在内的模型的一般规格，导致了不适用于校准目的的耗时定价算法。因此，确定均值回归速度的一种可能策略是遵循Drimus和Farkas【2013年】的规定，通过要求均值回归速度固定，以使局部波动函数的斜率最小，来解决股票市场中出现的类似问题。我们留给未来的工作是对这个问题的全面探索。然而，如果MCO或CSO价格具有足够的流动性，如果我们限制自己通过实际现货价格来建模期货价格，我们可以得出一个简单的校准算法。事实上，在这种情况下，我们可以使用现货期货关系（10）将不定期到期日的普通Vanilla期权和期货价格上的价差期权映射为实际现货价格上的标准普通期权。

这种方法在spir it方面与takenbyAndersen和Piterbarg【2010】在推导s期权价格的局部波动模型时的方法类似。商品期货MCO是欧洲看涨期权，期权合约的到期日早于基础期货合约的到期日。因此，定价公式简单地由等式（3）和（4）给出，期权到期日在标准普通期权到期日之前。商品期货CSO是两个不同期货合约之间的扩展期权。Nastasi，A.Pallavicini，G.Sartorelli，商品市场18中对同一商品的微笑建模，即支付“FIDTe”FIDTe“K”，其中tei是价差期权行使日期，而IDand ida是两个期货的识别者。如果实际现货动态保持不变，通过使用方程式（10），我们可以为未来风格的保证金案例写下“Et'fteplastq'fteplastq'K'”`“$”“”“”“”“&”“%A cpTe，Bq如果Aa0，Ba0A p1'Bq如果Aa0，Bd0'A pcpTe，Bq'B'1q如果Aa0，Ba00如果Ad0，Bd0我们定义，Tlast，Tlastq：“FpTlastqe'TlastTeapuqdu'FpTlastqe'TlastTeapuqdu'，Tlastq：“1 ` K'FpTlastq'FpTlastqApTe，Tlast，tlastq我们用真实的市场数据测试了这些结果。我们假设平均回归a的速度与时间无关，我们考虑了WTI市场的情况。特别是，我们考虑了两个连续期货的CSO，我们可以将其称为CL1和CL2。这些期货的到期时间是连续两个月。我们可以从普通香草市场上读取这类期货的波动率σ和σ。另一方面，市场引用CS操作，我们可以用规范化的方式表达。

我们假设，仅出于报价目的，未来价格遵循对数正态动力学，我们将它们之间的相关性设置为1，因此CSO价格会导致一维积分。VCSOtpTe、Tlast、Tlast、，Kq“z'8'FpTlastqe'pσqTe'σ？Tex'pσqTe'σ？Tex'K'φpxqdx（21）其中，TEI是CSO到期日，TF是CL1的最后交易日，TF是CL2的最后交易日，K是CSO履约价格，φpxq是标准正态变量的密度函数。一旦知道CSO的市场价格，我们就可以将上述方程倒置，得出σ。在图6中，我们绘制了日历sp读取期权对两个连续期货合约的波动率下降影响，即差异σ'σ。我们可以看到a的值“0.5 fit大多数市场报价。如果我们希望更好或更准确，我们可以将a推广为时间依赖型。在这里，我们使用日期下标来区分期货t最新日期，而不是像第2节那样区分一段时间的开始日期和结束日期。该方程实际上有两个正解：我们任意选择较小的一个来定义我们的报价指标。例如Nastasi，a.Pallavicini，G.Sartorelli，《商品市场中的微笑建模》190 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6到期图6:2018年5月23日在CMEmarket上引用的WTI原油1个月日历价差期权。红点代表前18个报价到期日的波动率下降，而蓝线是模型隐含波动率下降，平均回归值从1.5到0，以0.5.5曲线和微笑动态为步长，从顶部到底部f，我们可以使用标准化现货过程对所有期货期权进行单PDE评估。通过这种方式，我们隐式地获得了未来精神的边际概率密度。

现在我们来看两个或多个期货价格之间的j点概率密度，以及每个期货动态中的转移密度。通过这种方式，我们将能够建模曲线和扭曲动力学。5.1马尔可夫预测通过引入新的风险因素，可以更灵活地描述联合概率密度和转移密度。通常，通过允许每个期货价格由其自身的随机过程驱动，可以对复杂曲线动态进行建模，而微笑动态可以通过随机波动过程进行建模。特别是，SLVmodel一词用于指波动率既取决于现货价格又取决于其他随机过程的模型。在这里，我们扩展了随机局部波动性框架，也允许曲线动力学。SLV模型首先在EN等人[2007]中提出，并描述了基于Gy"ongyLemma应用的实际校准程序，参见Gy"ongy[1986]，ich说明了在何种条件下，局部波动模型的边际密度与局部波动模型预先限制的密度相匹配。我们的目的是促进每个期货价格由不同的SLV模型驱动，同时限制自由参数的数量，因为大宗商品市场除了我们校准本地波动率模型时已经使用的普通期权外，还引用了少数衍生合约。我们首先考虑期货价格的一般随机波动性动力学dftpt q“νtpT q–dWFt（22）E.Nastasi，a.Pallavicini，G.Sartorelli，商品市场中的微笑建模20，其中F是期货价格的向量（每个条目指不同的报价到期日），νisan适应向量过程，以及风险中性度量下标准布朗运动的WFa向量。

符号a–b是指向量a和向量b之间的内积。我们感兴趣的是保持期货价格的边际密度，而不是标准化现货价格的边际密度，因此我们将戈恩基引理直接应用于期货动力学。因此，我们可以校准SLV模型，以匹配本地波动率模型预测的期货价格的边际密度，进而匹配市场上所报的普通期权期货价格，通过要求νsatifiese“}νtpT q}ˇFtpT q“K‰”ηFpt，T，Kq（23），其中期货价格的局部波动在等式（12）中定义.我们记得，按照这种方法，我们不能再使用第4.4节的结果，因为我们正在改变期货动态，只保持边际密度不变，因此未来利率的依赖结构可能会改变。因此，如果我们沿着这个方向前进，我们还必须为平均回复p参数设计一个新的校准程序。5.2多个驱动因素正如我们在第4.4节中所看到的，单因素均值回复归一化即期动态方程（7）可用于恢复CSO市场报价，进而描述未来波动性在期货到期日附近如何下降。

另一方面，如果我们对期货之间的依赖性建模感兴趣，例如，我们对短期和长期期货合约之间标的期权价格的最终相关性感兴趣，我们应该引入更多的驱动因素。事实上，如果我们在单因素回归局部波动率模型中计算两个期货价格之间的终端协方差，我们可以使用方程（10）CovrFtpTq，FtpTqs“FpTqFpTq''''''E“st''1'E''Ttapuqdue''''1'领先于CorrrftpTQ，FtpTqs：“CovrFtpTq，FTPTQSavarrftqsvarrfttpTQS“1这意味着，在单因素模型中，由于每个期货合约的波动率，而不是模型给出的特殊相关性结构，CSO市场报价得以恢复。因此，如果我们需要对终端相关性建模，我们需要更多的驱动因素。然而，如果我们希望保持对普通期权的校准，我们需要确定期货价格的动态满足方程式（23）的es。一种简单的方法是通过将波动率向量过程定义为νtpT q来考虑二维模型：“ηFpt，T，FtpT qq"ρpT qa1'ρpT q（24）式中，ρpT q是期货到期日的函数，其在区间r'1，1s内有界。通过这种选择，DXF pTq给出了两种不同期货之间的瞬时相关性，F pTqyt“'ρpTqρpTq'ap1'ρptqp1'ρpTqq'dt和终端相关性不再是幼稚的。通过求解相应的二维定价偏微分方程，可以实现均值回归和相关参数与市场报价的校准。例如，Nastasi，A.Pallavicini，G.Sartorelli，《商品市场中的微笑建模》215.3随机波动性扩展如果我们希望也对微笑建模动力学我们需要引入一个s-to-castic-volatilityprocess。

二维过程νtpT q给出了一个可能的简单公式：“vtηFpt，T，FtpT qqbE”vtˇFtpT q‰ρpT qa1'ρpT q（25）如inRen等人【2007】所述，在风险中性度量下，波动性过程vt可以定义为byd log vt“\'1\'e\'2tξ` log vt˙dt`ξdWvt，v”1，dxWF，Wvyt“·ρvρvdt（26），其中漂移部分定义为E“vt‰”1，而相关参数ρvisbound in“\'？，？i. 可以分析波动过程的其他规定，如经典CIR模型，或最近的建议，如asTataru和Fisher【2010】或Kerer等人【2016】的多项式模型。volξ的vol和关联式tρpTq，ρptnq和ρvare-free参数可校准为奇异期权，如不同交割期限的期货期权、价差期权、MCO或CSO。此外，当考虑完整的SLV规范时，均值回归速度可与这些参数一起校准。注意，这里的CSO不能轻易地映射到普通选项中以节省计算时间。我们将校准程序的设计留给了未来的工作，该程序处理从方程式（25）导出的三因素动力学。当系数取决于条件密度时，模型动力学的蒙特卡罗模拟可以按照Guyon和Henry Labordére【2012】或Van der Stoep et al【2014】的设计。这两种方法都是从局部波动率函数的知识开始的，因此它们不需要普通期权的明确校准步骤。6结论和进一步发展在本文中，我们提出了一个商品期货衍生品合约的SLV模型，包括远期曲线和微笑动力学，其特点是通过简化参数化来处理市场上报价的有限数量的期权。

特别是，我们首先引入了一个局部波动率单因素过程，该过程具有对未来价格边际密度模型的明显漂移，我们扩展了Dupire方程，以允许实施基于Andersonscheme加速的定点迭代的快速鲁棒校准算法b。我们研究了该单因素模型在恢复市场上报价的奇异期权（如日历价差期权）方面的性能。然后，我们为每个期货价格定义了SLV动态，以便通过匹配第一步中校准的期货价格边际密度来建模其曲线和微笑动态。我们将对不同商品市场中的预测期权价格进行广泛的数值分析，将我们的Dupireequation版本进一步扩展到早期行使期权的情况，并实施校准算法，以确定波动性参数的相关性和波动性。E、 Nastasi，A.Pallavicini，G.Sartorelli，《商品市场中的微笑建模22参考》D。Ackerer和Filipovic D.线性信用风险模型。SFI研究论文系列，34（16），2016年。D、 Ackerer、M.Larsson和Filipovic D.雅可比随机波动率模型。SFI研究论文系列，34（16），2016年。五、 Albani、U.Ascher和J.Zubelli。商品市场的局部波动模型和在线校准。《计算金融杂志》（2017年第21期）。五十、 B.G.安德森和V.V.皮特堡。利率建模。大西洋金融出版社，2010年。D、 安德森。非线性积分方程的迭代过程。ACM杂志，4（12）：547–5601965年。A、 Bentata和R.Cont.半鞅模型中期权价格的正向方程。《金融与随机》，19（3）：617–6512015。H、 Berestycki、J.Busca和I.Florent。局部波动模型的渐近性和校准。《定量金融》，2（1）：61–692002年。D、 Brigo，M。