具有瞬时价格的超级复制的连续时间对偶

因此，我们可以确定概率度量<< P viadbQdP，ZE[ZT]。然后（33）在观察到X的∈ Xwe有∧XT∈ 根据假设2.4和（29）得出的L（P）。仍然需要证明C确实是L（FT）的一个凸闭子集。凸性是X 7的凸性的直接结果→ ∧XT在EMMA4.1中建立。接近度取Xn∈ X，其中XnT=0，且∈ L+（FT），n=1，2，这样∧XnT+anconverge在L（P）中，或者在不损失一般性的情况下，甚至几乎可以肯定到某个有限极限L。我们必须证明-L∈ C，即L≥ ∧X对于某些X∈ 十、根据给定的收敛性，supn∧xnti几乎肯定是有限的。因此，根据我们的估计（18）也支持（Xn，↑T+Xn，↓T） 几乎可以肯定是有限的。特别是conv（Xn，↑T+Xn，↓T、 n=1，2，…）几乎肯定是有界的，因此在概率上也是有界的。因此，通过一个Komlos引理，如[25]中的引理3.4或[8]中的引理3.1，有一个凸组合的最终序列Xnof Xn，Xn+1，几乎可以信赖，↑和▄Xn，↓弱收敛为[0，T]上的Borel测度，分别收敛于A和B，两个A-ap-ted，右连续和A0递增过程-= B0级-= x 7的下半连续性和凸性→ ∧XT，见引理4.1中的（19），它遵循X，X+A- B∈ Xwe确实有∧XT≤ lim infn∧XnT≤ lim infn∧XnT≤ 需要Las。imsart aap版本。2014年10月16日文件：双重性。tex日期：201920年5月20日P.BANK and D Y.D Olinsky鞅cm被构造为约束XT=0的拉格朗日乘数，在（31）的最大值：引理4.4。我们有INFX∈X，XT=0EbQ∧XT= supM公司∈M（bQ）infX∈XEbQ公司∧XT- MTXT公司.（34）结合（31），这个引理特别表明存在iscM∈ M（bQ），BV<EbQ【H】+infX∈XEbQh∧XT-cMTXTi。（35）证明。我们从观察INFX开始∈X，XT=0EbQ∧XT= limninfX∈XnEbQ公司∧XT+ nkXTkL（bQ）o（36）=limninfX∈XsupkMTkL（bQ）≤nEbQ公司∧XT- MTXT公司.事实上，第二个身份是直接的。”≥” 在第一行。

用于“≤” 拿着Xn∈ X如此EbQ∧XnT+ nkXnTkL（bQ）接近第一行的限值。然后是supnEbQ∧XnT< ∞ 通过x 7的凸性→ ∧XT，我们甚至还有supX∈conv（Xn，n=1,2，…）EbQ公司∧XT< ∞ . 因此，根据（18），conv（Xn，↑T+Xn，↓T、 n=1，2，…）以L（bQ）为界。特别是，它在陆地上是有界的，因此我们可以应用Komlos结果，如[8]中的引理3.1，以获得Xn∈ conv（Xn，Xn+1，…），n=1，2，收敛到s ome▄X∈ 按照L emma 4.1中下半连续状态（19）所需的方式。我们声称，对于EbQh∧XTi，XT=0≤ limnnEbQh∧XnTi+nkXnTkL（bQ）o.（37），因为通过构造（Xn）n=1,2，。。。这个极限与（36）中的一个一致，我们得到“≤” 必须保持在那里。对于（37）的证明，注意（∧∧XnT）在L（bQ）中有界，因为conv（Xn，↑T+Xn，↓T、 n=1，2，…）以L（bQ）为界。如果限值为（37）有限，这意味着kXnTkL（bQ）→ 0因此实际上▄XT=0。对于（37）中的估计，通过Fatou\'slemma和X 7的下半连续性观察→ ∧X，因此有必要表明（λ∧XnT∧ 0）n=1,2，。。。是uniformlybQ可积的。接下来是Imsart aap版本。2014年10月16日文件：双重性。tex日期：2019年5月20日，二元性与暂时性价格影响21观察到由于H¨older的不平等（p=4，q=4/3）EbQ∧▄XnT∧ 03/2≤ EbQ公司Z[0，T]PtdXnt∧ 03/2≤ EbQ“sup0≤t型≤T | Pt | 3/2（￠Xn，↑T+~Xn，↓T） 3月2日#≤ EbQ“sup0≤t型≤T | Pt |#1/4EbQh（| Xn，↑T+~Xn，↓T） i3/4是有界的，因为（29）和已经建立的conv（Xn）的L（bQ）有界，↑T+Xn，↓T、 n=1，2，…）。建立了（36），我们从minimaxrelationinfX中获得了断言（34）∈XsupkMTkL（bQ）≤nEbQ公司∧XT- MTXT公司（38）=supkMTkL（bQ）≤ninfX∈XEbQ公司∧XT- MTXT公司.为此，我们赋予X元素ω向全变分的L（P）-范数，kXk，EP[（X↑T+X↓T） ]1/2，以及具有弱拓扑的L（bQ）-球。

当这两个集都是拓扑向量空间的凸集，且后者甚至是紧集时。此外，（X，MT）7→EbQ公司∧XT- MTXT公司在X上是连续且凸的，在MT上是连续且凹的（偶数）。因此，我们可以应用Sion的极大极小定理（[36]）得到（38）。我们的最终引理构造了bα：引理4.5。有一个可选的bα∈ L（bQ u）使| Pt-cMt |≤ρtδtEbQ“Z[t，t]bαuu（du）英尺#，0≤ t型≤ T、 andinfX公司∈XEbQh∧XT-cMTXTi=-kbα- ζkL（bQu)-cMx+ζδ。（39）imsart aap版本。2014年10月16日文件：双重性。德克萨斯州日期：1922年5月20日P.BANK and D Y.D OLINSKYProof。我们首先使用分部积分，并观察到EBQ【RTXtd【cM】1/2t】<∞ 对于X∈ 为了得到这样的X，我们可以写ebqh∧XT-cMTXTi=EbQ“Z[0，T]（Pt-cMt）dXt+Z[0，T]（ηXt）u（dt）-cMx#=EbQ“-Z[0，T]| Pt-cMt | dXt+Z[0，T]（ηXt）u（dt）#-CMX，其中▄Xt，x-R[0，t]符号（Ps- Ms）dXs，0≤ t型≤ T，满足度ηX=ηX。因此（39）中的最大值与最后一次总体预期的最大值X一致∈ 十、 事实上，它与它的最大值一致，即递增和有界X∈ X：infX∈XEbQh∧XT-cMTXTi=inf▄X∈X增量。，bdd。EbQ“-Z[0，T]| Pt-cMt | dXt+Z[0，T]（ηXt）u（dt）#-cMx。因此，仍需证明，这是最后一个最小值isinfX∈X增量。，bdd。EbQ“-Z[0，T]| Pt-cMt | dXt+Z[0，T]（ηXt）u（dt）#（40）=-kbα- ζkL（bQu）+某些bα的ζδ∈ L（bQ u).我们将在下文中论证，存在一个具有右上角连续路径的渐进可测量过程a，从而supτ≤v≤.影音∈ L（bQ u）带| Pτ-cMτ|Δτρτ=EbQ“Z[τ，T]supτ≤v≤uavu（du）Fτ#（41）对于任何停止时间τ≤ T，即（41）中的左侧是u-积分在右侧的BQ可选投影。因此，weimsart aap版本。

2014年10月16日文件：双重性。tex日期：2019年5月20日具有暂时价格影响的二元性23get对于任何增加和有界X∈ X thatEbQ“-Z[0，T]| Pt-cMt | dXt+Z[0，T]（ηXt）u（dt）#=EbQ“-Z[0，T]Z[T，T]支持≤v≤uavu（du）ρtδtd▄Xt+Z[0，t]（η▄Xu）u（du）#=EbQ“Z[0，t]（（η▄Xu）-Z[0，u]支持≤v≤uavdηXt）u（du）#，，（42）其中，对于第二个等式，我们应用Fubini定理，并通过▄X和（17）的单调性使用该定理，我们得到ρtδtd▄Xt=dη▄Xt。简介GBαu，sup0≤v≤无人机∨ ζ, 0 ≤ u≤ T、 我们可以估计{…}中的表达式in（42）by（ηИXu）-Z[0，u]支持≤v≤uavdηИXt≥（ηИXu）-Z[0，u]bαudη▄Xt=（η▄Xu）- bαu（ηИXu- ζ） （43）=（ηИXu）- bαu）-（bαu- ζ)+ζ≥ -（bαu- ζ） +ζ，（44），不取决于增加的选择，b ou ndedX∈ 十、将（42）与该估计值相结合，得出fX∈X增量。，bdd。EbQ“-Z[0，T]| Pt-cMt | dXt+Z[0，T]（ηXt）u（dt）#≥ EbQ“Z[0，T]-（bαu- ζ)+ζu（du）#=-kbα- ζkL（bQu）+ζδ，证明“≥” 在我们的断言中（40）。还有待争论的是，事实上，等式h是真的，尤其包括bα∈ L（bQ u). 我们首先观察到bα至少是L（bQ u）因为sup0≤v≤.一∈ L（bQ u). 此外，bα从ζ开始递增，它是右连续的，并由a的右上连续性和渐进可测性进行调整。因此，我们可以考虑递增mSart aap版本。2014年10月16日文件：双重性。德克萨斯州日期：1924年5月20日P.BANK and D Y.D OLINSKYbX∈ ηbX=bα的X。对于▄X=bX，我们显然在（44）中有等式，事实上，在（43）中也有等式。实际上，通过构造，当过程a达到超过ζ的新最大值时，bX和ηBxin仅增加t倍，因此≤v≤uav=sup0≤v≤uav=任何u的bαuF≥ t在这些时候。

现在，当▄X=bX时∧n在（42）中，我们从这些考虑中得出，ebq“-Z[0，T]| Pt-cMt | d（bX∧ n） t+Z[0，t]（ηbX∧nt）u（dt）#（45）=EbQ“Z[0，T]（（ηbX∧nu）-Z[0，u]支持≤v≤uavdηbX∧nt）u（du）#=Z{bX≤n}-（bα- ζ)+ζd（bQ u）+Z{bX>n}（ηbX∧n）- bαηbX∧n+bαζd（bQ u).（46）一旦我们知道bα=ηbX≥ ηbX∧nis在L（bQ u），我们可以分别使用单调收敛和支配收敛来↑ ∞ 在前面的表达式中，得出infX∈X增量。，bdd。EbQ“-Z[0，T]| Pt-cMt | dXt+Z[0，T]（ηXt）u（dt）#≤ZOhm×【0，T】-（bα- ζ)+ζd（bQ u) + 0= -kbα- ζkL（bQu）+ζδ，我们的索赔（40）仍需显示。现在，使用EstimateBQ“-Z[0，T]| Pt-cMt | d（bX∧ n） t+Z[0，t]（ηbX∧nt）u（dt）#≥ -sup0≤t型≤T|Pt公司- Mt |δtρtL（bQ）kηbX∧nT公司- ζkL（bQ）+kηbX∧nkL（bQu）以查看如果bα=ηbx不在L（bQ）中u）那么（45）中的期望值将倾向于+∞ 通过n的单调收敛↑ ∞. 但同时，（46）中的第一个积分将收敛到-∞. 此外，bα∈ L（bQ u）imsart aap版本。2014年10月16日文件：双重性。tex日期：2019年5月20日具有暂时价格影响的二元性25确保了bαζ对第二个BQ的贡献 u-n的积分↑ ∞. 通过选择bX，我们得到bα=ηbX≥ ηbX∧n、 所以这个积分的剩余贡献小于或等于0。因此，假设bα6∈ L（bQu）导致了（45）和（46）中的相同数量会收敛到的矛盾+∞ 和-∞ 同时当n↑ ∞.为了完成我们的证明，我们仍然需要构建过程afrom（41）。它将由[4]中的表示定理得到。为此，我们注意到，虽然假设2.4完全支持[0，T]，但我们的度量u并不直接适用于这个表示定理，因为它在时间T是一个原子。因此，我们将其替换为无原子可选随机度量值|u（dt）=1[0，T）（T）u（dt）+λe-λ（t-T）[T，∞)（t） dt开[0，∞) 式中λ，u（{T}）。

我们还扩展了Yt，| Pt-cMt |δtρt，0≤ t型≤ T，到[0，∞)让Yt，YTe-λ（t-T）对于T≥ 我们让Ft，FTfor T≥ T然后，通过假设2.1，对过程Y进行调整，使其连续极限↑∞Yt=0，它属于（D）类，因为它有一个可积的上界，因为∈ M（bQ）和（29）。因此，我们可以将[4]中的定理3与其备注2.1联系起来，以获得右上角连续的渐进可测量a，从而对于任何停止时间τ，我们都有supτ≤v≤.影音∈L（bQ ^1u）yτ=EbQ“Z[τ，∞)supτ≤v≤uavu（du）Fτ#。事实上，对于t≥ T，我们很容易检查at=at=yt是否可行。因此，对于任何停止时间τ，我们通过a的唯一性得到≤ T上述表示为| Pτ-cMτ|Δτρτ=Yτ=EbQ“Z[τ，T）supτ≤v≤无人机￠u（du）+Z[T，∞)supτ≤v≤Tav￠u（dt）Fτ#=EbQ“Z[τ，T）supτ≤v≤uavu（du）+supτ≤v≤Tavu（{T}）Fτ#按要求。定理3.2对偶（6）中上界的证明现在很容易完成。实际上，构造的三元组（bQ，cM，bα）是我们的定理所要求的。此外，回顾BV的定义（30），并将（35）与（39）相结合，得出所需的上限（28）。imsart aap版本。2014年10月16日文件：双重性。德克萨斯州日期：1926年5月20日P.BANK and D Y.D OLINSKYReferences。[1] 奥尔·埃林·阿尔芬西、安杰·弗鲁斯和亚历山大·德希德。具有一般形状函数的有限订单的最优执行策略。量化金融，10（2）：143–1572010。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1080/14697680802595700.[2] 罗伯特·阿尔姆格伦和尼尔·克里斯。投资组合交易的最佳执行。J、 风险，3:5–392001年。[3] Peter Bank和Dietmar Baum。大型交易商金融市场中的套期保值和投资组合优化。数学《金融》，14（1）：1–18，2004年。I SSN 0960-1627。[4] Peter Bank和Nicole El Karoui。一个随机表示定理及其在最优化和障碍问题中的应用。安。

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