具有瞬时价格的超级复制的连续时间对偶

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英文标题：
《Continuous-time Duality for Super-replication with Transient Price
  Impact》
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作者：
Peter Bank and Yan Dolinsky
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We establish a super-replication duality in a continuous-time financial model where an investor\'s trades adversely affect bid- and ask-prices for a risky asset and where market resilience drives the resulting spread back towards zero at an exponential rate. Similar to the literature on models with a constant spread, our dual description of super-replication prices involves the construction of suitable absolutely continuous measures with martingales close to the unaffected reference price. A novel feature in our duality is a liquidity weighted $L^2$-norm that enters as a measurement of this closeness and that accounts for strategy dependent spreads. As applications, we establish optimality of buy-and-hold strategies for the super-replication of call options and we prove a verification theorem for utility maximizing investment strategies.
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中文摘要：
我们在连续时间金融模型中建立了一个超级复制二元性，其中投资者的交易对风险资产的出价和要价产生不利影响，并且市场弹性以指数速度将由此产生的利差拉回到零。与关于具有恒定价差的模型的文献类似，我们对超级复制价格的双重描述涉及构造合适的绝对连续测度，鞅接近于未受影响的参考价格。我们的二元性的一个新特征是流动性加权的1.2美元标准，它作为这种接近度的衡量标准，并解释了与策略相关的利差。作为应用，我们为看涨期权的超级复制建立了买入持有策略的最优性，并证明了效用最大化投资策略的一个验证定理。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
--

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PDF下载：
--> Continuous-time_Duality_for_Super-replication_with_Transient_Price_Impact.pdf (314.14 KB)

2022-6-10 13:12:04 上传

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关键词：连续时间 Construction Verification Quantitative Applications

彼得·班克（Peter Bank）将其提交给《应用概率连续时间对偶与瞬时价格影响的超级复制年鉴》*和Yan Dolinsky+希伯来大学+和莫纳什大学+，以及TU Berlin*我们在一个连续时间金融模型中建立了一个超级复制二元性，如[8]所示，投资者的交易对风险资产的买卖价格产生不利影响，市场弹性将导致利差以指数速度回到零。与关于具有恒定价差的模型的文献类似（参见[17、35、19]），我们对超级复制价格的双重描述涉及构造合适的绝对连续测度，鞅接近未受影响的参考价格。我们的二元性中的一个新特征是流动性加权L-范数，它作为这种接近度的衡量标准，并解释了与策略相关的利差。作为应用，我们为看涨期权的超级复制建立了买入和卖出策略的最优性，并证明了效用最大化投资策略的验证理论。1、简介。具有交易成本的金融模型是随机分析和控制理论面临的一大挑战。从[20]、[43]、[17]开始，重点强调了在具有恒定扩散的模型中出现的奇异控制问题。这些模型的对偶理论现在已经发展得非常详细了（见[32,17,33,34,14,28]）。这已被用于通过其与影子价格的关系来研究效用最大化（[35、24、18、19、9]），也被用于开发小交易成本的渐近方法（[42]和其中的参考文献）。虽然在数学上很方便，但只有在流动性很强的资产中才有必要假设sp读数为常数。

当执行大型交易时，流动性较低的资产的利差将扩大，交易完成后，由于市场弹性，spr将再次下降。这在订单执行文献中是众所周知的（[39]，[23]），其中*auth或YD得到ISF拨款160/17的部分支持。PB希望感谢莫纳什大学邀请他在2018年访问两周，届时本论文的部分研究已经完成。MSC 2010主题分类：主要91G10、91G20关键词和短语：二元性、永久性和暂时性价格影响、超级复制、一致的价格体系、shad ow priceimsart aap ver。2014年10月16日文件：双重性。德克萨斯州日期：20192年5月20日，P.BANK和Y.D Olinsky为平仓大额头寸制定了最佳计划，这些头寸可解释此类（至少部分）暂时性价格影响。按照[8]中提出的方法，我们引入了一个具有瞬时价格影响的模型，该模型考虑了购买和出售arisky资产的影响。我们甚至考虑了随机市场深度和弹性，这些市场深度和弹性只需满足获得凸财富动态所需的某个单一性假设。我们不讨论[8]中的效用最大化问题，而是关注以成本最优方式超级应用任意未定权益的基本问题。对于具有恒定价差的模型，从一致价格系统的角度来看，这个问题的对偶理论是很好理解的，一致价格系统基于鞅构造的测度，鞅与资产价格的偏差不超过异源给定价差；参见【41】及其参考文献。这种结构在这里得到了恢复，但由于我们的前驱体的内在性质，我们也必须以最佳方式确定这些结构。

我们的主要结果（定理3.2）表明，通过一个依赖流动性的L-范数适当地惩罚可能的选择，以凸风险度量的形式表征超级复制成本。值得注意的一点是，与外生扩散模型相反，我们的模型并不要求我们的交易策略具有任何可接受性的概念。正如【26】中纯暂时价格影响模型中所观察到的那样，这是由于不可能按意愿进行缩放，因为这种缩放会导致成本超线性增长。这一结果的证明基于一个特别方便的终端财富表达式，该表达式由一个策略产生，该策略也揭示了该函数的凸性。通常，考虑到我们的双变量施加的一致价格体系结构，很容易获得每次复制成本的下限。证明不存在对偶间隙，即建立上界，更为复杂。第一步是ratherstandard分离论证（引理4.1），它为我们提供了一个合适的定价措施。作为第二步，我们将consistentprice系统的鞅作为拉格朗日乘数引入，以强制执行终端清算约束（Lemm a4.2）。关键的第三步是构建一个合适的利差，并将其依赖流动性的L-范数确定为我们二元性的正确惩罚项（引理4.3）。这可以通过应用[4]中的随机表示定理来实现，迄今为止，该定理常用于单侧奇异控制问题（[7]、[15]、[22]、[6]），这里发现它首次应用于具有有界变化的双边控制问题，而不是增加控制。作为一个应用，我们还表明，在我们的瞬时价格影响模型中，在自然条件下，超级复制看涨期权的最佳方式是toimsart aap ver。

2014年10月16日文件：双重性。tex日期：2019年5月20日具有暂时价格影响的双重性3购买并持有资产直至到期。这与外源spr-ead模型的结果一致；参见[44、37、38、12、30、27]。我们还提供了一个验证结果，用于通过构建合适的影子价格来确定效用最大化策略，该影子价格类似于固定价差的结果（[35，18]），以及纯粹临时价格影响的结果（[26]）。2、采用瞬时价格影响模型进行交易。我们考虑了一个具有类似于[8]的瞬时电价影响的财务模型。具体而言，我们考虑的是一个“大”投资者，他可以投资于无风险储蓄账户，零利息（为了简单起见），并在风险资产的买入和卖出中进行交易，此外，还受到一些外部噪音的影响。该噪声将通过连续的自适应过程P=（Pt）t来确定≥0在过滤后的能力空间上(Ohm , （Ft）t≥0，P），其中由P null集合生成的FI。我们将假设过滤是连续的：假设2.1。全部（英尺）t≥0-鞅有一个连续的版本。备注2.2。这一假设是符合的，例如，如果（Ft）t≥0由眉毛运动生成。它排除了由泊松过程跳跃等产生的完整问题。该假设确保交易政策和鞅价格不会出现任何共同的跳跃，并允许我们应用[4]中的随机表示定理，这是我们分析的关键。从比例交易成本的二重性理论，特别是参见[18]，我们知道，外生跳跃导致了对日常生活成本策略的需要，以及一个相当精细的分析，在我们的策略依赖利差的背景下，我们必须离开这一分析，进行进一步的研究。

此外，P或即将引入的marketdepth过程δ也会带来跳跃，这将对明确投资者何时可以获得跳跃信息以及如何采取行动提出挑战。虽然从金融经济学的角度来看，这些问题肯定是相关的，但也超出了本文的范围。大投资者的交易策略由其给定的初始持股x描述∈ R和右连续可预测的p进程X=（Xt）t≥指定任何时候持有的风险资产数量的边界变化。我们用X表示↑和X↓由XT=x+x的Hahn分解产生的右连续可预测增减部分↑t型- 十、↓t、 t型≥ 0，X0-, x、 x个↑0-, 十、↓0-, 所有此类策略的集合将用X表示。imsart aap版本。2014年10月16日文件：双重性。德克萨斯州日期：1994年5月20日P.BANK and D Y.D OLINSKYTrades将永久影响中间价PX，根据【29】的规定，我们采用线性形式PXT，Pt+Xt，t≥ 0，PX0-, P+ιx，对于某些冲击参数ι≥ 此外，交易还将使出价和出价远离中间价。在没有进一步干预的情况下，市场弹性让买卖价格逐渐恢复到中间价。我们通过让半扩散遵循动力学dζXt=δt（dX↑t+dX↓t）- rtζXtdt，ζX0-, ζ、 （1）对于给定的初始值ζ≥ 0和给定的市场深度过程δ和置信率r。备注2.3。解释这些价差动态的一种方法是，认为交易会侵蚀限额指令簿各自的一面，将价差扩大到取决于当前指令簿高度δt的程度，而市场的弹性确保，在没有进一步交易的情况下，价差将以指数率rt递减。为简单起见，我们假设在任何时候，订单书的高度都是恒定的，无论是询价方还是报价方。

可以想象到[1，40]中更灵活的非线性扩散动力学，但超出了本文的范围。还要注意的是，我们模型背后的介观时间尺度不允许我们适应所有对高频交易至关重要的市场微观结构影响，而是建议将我们模型的市场深度和弹性过程也视为这些市场特征的介观规范，在实践中需要校准，例如。，移动订单簿高度和订单流量动态的平均值，同时考虑限制订单和市场订单；参见【16】以了解这方面的实证研究，该研究也支持线性价格影响规范，如我们的风格化模型。我们需要市场深度δ和弹性r的以下规律：假设2.4。市场深度δ=（δt）t≥0>0是连续的和自适应的。弹性率r=（rt）t≥0≥ 0是可预测的，因此δ/ρ一致有界远离零，且在Ohm ×[0，T]对于任意有限时间范围T<∞ 式中ρt，expZtrsds公司, t型≥ 0.imsart-aap版本。2014年10月16日文件：双重性。tex日期：2019年5月20日二元性和短暂的价格影响5年以上，弹性率主导着市场深度的变化，即κt、δt/ρ在≥ 0.（2）备注2.5。如L emma4.1所示，需要条件（2）来确保财富动态是凸的。当δ绝对连续时，它符合dDTlogδt<rt，t的要求≥ 0，即市场深度的相对变化必须由市场的弹性决定。特别是，当δ和r为严格正常数时，ASSUMPTION 2.4成立。

一个人是否可以在没有这个假设的情况下发展二元论的问题留给了未来的研究；然而，关于确定性ord er执行问题中这方面的考虑，请参见[5]。按时间T∈ (0, ∞) 诱导投资者的现金头寸将从其给定的初始值ξ演变而来∈ R至ξx由风险资产进出交易产生的收益和损失确定。这些交易的执行距离中间价px的差价的一半，因此最终现金头寸为ξXT，ξ-Z[0，T]PXto dXt公司-Z[0，T]ζXto d（X）↑t+X↓t） 。（3） 备注2.6。以上o-积分的理解是，对于X有界变差的两个RCLL过程X，Y，我们让z[0，T]Yto dXt，Z[0，T]（Yt-+ Yt+，在右边，我们有一个关于有符号测度dX的标准勒贝格积分。在（3）中，这种整合账户的方式是为了在批量购买资产时十、↑t> 0时，中间价px和半价差ζx仅会在订单执行期间逐渐增加，让投资者有效地以交易前和交易后中间价之间的平均值以及交易前和交易后半价差之间的平均值进行交易。关于orderexecution框架中的类似注意事项，请参阅[39]。或者，可以考虑o dX作为我们控制系统的阿玛库斯积分。对于我们的线性冲击规范，这相当于类Stratonovich积分（3）；参见[10]及其参考文献。imsart aap版本。2014年10月16日文件：双重性。德克萨斯州日期：1996年5月20日P.BANK and D Y.D OLINSKY3。未定权益超复制的对偶性。

现在让我们考虑一个现金结算的欧洲未定权益的经典超级复制问题≥ 时间T为0≥ 0不受大型投资者交易的影响，但作为给定未受影响的价格过程P的函数，是外来的。我们将给出这种外生支付的超复制成本π（H），inf{ξ的双重描述∈ R：ξXT≥ H f或某些X∈ X，XT=0}。（4） 备注3.1。我们必须确定你自己的主张，因为我们必须保持超级复制问题的凸性，而这些主张的支付效果不受大型投资者的影响。当然，大投资者可能影响（甚至操纵）的保兑和对冲索赔是最相关的问题。但这需要一个相当具体的产品分析，因此超出了这篇二元性论文的范围。然而，有关这方面的一些结果，请参见[13，11]和[31，3]中的PDE方法。还要注意的是，对于普通期权，其收益仅取决于终端中间价格，清算约束XT=0可确保PXT=P，从而避免任何操纵可能性，使我们的实际结果适用于这些产品。在我们对超级复制成本的描述的两面，市场摩擦将通过可选的随机测量来捕捉，假设2.4，这是由持续增长的过程引起的-κ = -δ/ρon（0，T），点质量κT=δT/ρTin T：u（dt），1（0，T）（T）| dκT |+κtdirct（dt）。（5） 有了这个符号，我们现在可以形成我们的主要结果：定理3.2。

在假设2.1和2.4下，超级复制成本（4）为未定权益H≥ 0具有对偶描述π（H）=sup（Q，M，α）等式【H】-kα- ζkL（Qu)- Mx公司-ιx> -∞（6） 其中，上确界取概率测度Q的所有三元组（Q，M，α）<< FT上的P，鞅M∈ M（Q）和所有可选α∈L（Q u）控制P的波动，即| Pt- Mt |≤ρtδtEQ“Z[t，t]αuu（du）英尺#，0≤ t型≤ T、 （7）imsart aap版本。2014年10月16日文件：双重性。德克萨斯州日期：2019年5月20日二元性，暂时性价格影响73.1。与其他超复制对偶公式的比较。让我们通过将其与不同金融模型中获得的其他二重性进行比较，来讨论上述超级复制价格的二重性公式。首先，（6）右侧的上确界包括所有度量q<< 其中P是平方可积鞅（如果有）。对于这些，可以选择M=P和α=ζ来满足约束条件（7），并获得π（H）≥ 等式【H】- xp忽略永久影响时（ι=0）。这个不等式显然符合经典的无摩擦超复制对偶。（请注意，此处引用了初始头寸xpissubt的值，因为（5）中的π（H）描述了从风险资产xin的头寸开始时所需的超级复制成本。）接下来，让我们来看看因实施扩张而产生交易成本的模型。将[17，14，18]中考虑的乘法设置调整为此处考虑的加法设置，可以得到一致的价格系统，其中P-鞅（Z，Z）的Z=1，ZT>0表示m，Z/Zto P由（为简单起见为常数）半价差λ决定，购买d时必须在P的基础上支付，d是出售风险资产单位时从收益中扣除的。