具有瞬时价格的超级复制的连续时间对偶

然后，可以通过dQ/dP、zt定义Q，并放置α、λ，以获得对偶公式所要求的三元（Q、M、α），例如，在弹性为零（r=0，ρ=1）且初始扩散ζ=λ的任何模型中。事实上，（7）确实适用于任何市场深度δ>0（必须减小以满足假设2.4），自那时起ρtδtEQ“Z[t，t]αuu（du）Ft#=ρtδtλEQ[u（[t，t]）| Ft]=ρtδtλκt=λ。因此，忽略可能的永久影响（ι=0），π（H）≥ 等式【H】-Zx，与固定排列模型的超级复制结果一致。请注意，与这些模型相反，我们的利差影响设置不需要任何交易策略许可的概念。此外，在我们的模型中，无论初始位置x如何，我们都得到π（0）>- ∞ 对于任何选择（继续）价格流程P。因此，即使对于在固定利差模型中允许最严重套利的特定情况（让我们单独使用无摩擦模型），也无法从任意低的初始现金头寸中获得零终端财富。这是因为，随着交易成本的有效增长，扩展有利的策略最终会改变不利的策略，而不仅仅是线性地扩展策略，而不仅仅是在固定利润的情况下。这种影响已在AlmgrenChriss[2]式模型中观察到，该模型具有暂时性而非暂时性的市场影响[26]。与我们的超级复制成本表一样，他们的复制成本也采用Aisart aap ver的形式。2014年10月16日文件：双重性。tex日期：1998年5月20日，P.BANK and D Y.D Olinsky凸面风险度量，而非固定分布模型的一致性度量。这又是由于交易成本的非线性缩放。3.2. 应用。为了说明上述对偶结果的有用性，我们在本节推导了看涨期权的超级应用成本，并说明了如何验证所提出的投资策略的最优性。3.2.1.

超级复制看涨期权。作为我们超级复制二元性的首次应用，让我们验证一下，在我们的模型中，策略相关利差、买入并持有是超级复制看涨期权的最佳方式h=（PT- k） +带k≥ 0，至少如果流动性系数是确定性的，并且未受影响的价格满足有条件的完全支持属性（见[27]），则支持P[（Pu）t≤u≤T∈ ·|Ft]=CPt（[t，t]，R+），0≤ t型≤ T、 （8）其中，对于p≥ 0，Cp（[t，t]，R+）表示[t，t]上的连续非负函数f的类，f（t）=p。推论3.3。让假设2.1成立，让市场深度和灵活性具有确定性，并满足假设2.4。此外，假设p是严格正的，具有条件完全支持性质（8）。然后，对于初始头寸为x的投资者≤ 1，acash结算看涨期权的超级复制成本为π（（PT- k） +）=P（1- x）-ιx+ζ（1- x） +（1- x） 2δ（9）+ζ+（1- x） /ΔρT+2δT通过持有一个单位的风险资产超过[0，T）来解决时间T。证明。让我们考虑一下立即将其在风险资产中的位置固定到一个单位的策略，并将其保持在那里，直到最后将其平仓：bX↑, (1 - x） 1[0，T]，bX↓, 1{T}，bX=1[0，T）。当从（9）右侧给出的现金头寸ξ开始时，这导致（3）最终财富ξbXT=PT≥ （PT- k） +=H.imsart-aap版本。2014年10月16日文件：双重性。tex日期：2019年5月20日二元性和暂时性价格影响9在这里，由于P为非负，估计值为真。因此（9）的右侧是足够的初始现金来超级复制通话。我们将使用定理3.2中的对偶公式来说明ε>0小于这个量是不充分的。

为此，我们选择αt，ζ+1- xδ+ρTδT{T}（T），0≤ t型≤ T显然，存在一个Lipschitz连续的非递增确定性函数g：[0，T]→ R，其中g=R[0，T]αuu（du）δ，gT=-αTρT，| gt |≤ρtδtZ[t，t]αuu（du），0≤ t型≤ T、 下面的引理3.4给出了一个概率度量Q<< Q（PT>ε）<ε的P和一个平方可积Q-鞅M，使得| gt+PT- Mt |<εinf0≤t型≤TρTδTu（[T，T]），0≤ t型≤ T、 因此，三元（Q，M，α+ε）符合我们的对偶理论3.2的要求。使用简单不等式PT≤ （PT-k） ++ε+k1{PT>ε}，我们得到π（H）≥等式[磅- MT]+米- 等式[磅- （PT- k） +]-kα- ζkL（Qu)-Mx公司-ιx≥αTρT+（1- x） P+（1- x） R[0，T]αuu（du）δ-Z[0，T]|αu-ζ| du（u）-ιx- O（ε）。结果如下：使用u（[0，T]）=δ并取ε↓ 引理3.4。假设P＞0表现出条件完全支持性质（8），且设g:[0，T]→ R是Lipschitz连续且不增加的。然后，对于任何ε>0，都有一个概率测度Q<< P和平方可积Q-鞅M使得Q-几乎可以肯定| gt+Pt- Mt |<ε，0≤ t型≤ T、 （10）和Q（PT>ε）<ε。imsart aap版本。2014年10月16日文件：双重性。tex日期：201910年5月20日P.BANK and D Y.D OLINSKYProof。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设T=1且fix0<ε<1。将给定过程的增量（Xt）表示为NnX，XnN-Xn公司-1N此处N∈ N和N=1，N、 对于这样的N，N和σ>0，考虑不相交事件AN，σ+，nand AN，σ-,ngiven byAN，σ±，n，Nn（P+g）=±（Pn-1N∧ N1/4）σ√某些o为N+o∈ [0，1/N]∩（最大值-1N≤t型≤nN | Pt- Pn编号-1N |≤ ε/3).对于N>（6σ/ε）（如下所述），在AN，σ+，和AN，σ的定义中描述了P的路径属性-,CPn的非空OpenSubset满足nare-1N（[n-1N，1]，R+，对于任何给定Pn-1N>0。这里，坚持非负路径是可能的，因为假设g是非递增的（从那里Nng公司≤ 0).

因此，它由条件完全支持性质（8）得出，thatPhAN，σ+，nFn公司-1Ni>0和PhAN，σ-,nFn公司-1Ni>0，n=1，N、 所以有QN，σ<< P，其中qn，σhAN，σ+，nFn公司-1Ni=QN，σhAN，σ-,nFn公司-1Ni=，n=1，N例如QN，σ，密度为dqn，σdP，Yn=1，。。。，NAN，σ+，nPhAN，σ+，nFn公司-1Ni+AN，σ-,nPhAN，σ-,nFn公司-1Ni可以。结合AN，σ±，n的定义，这确保了QN，σa.s。方程式，σhNn（P+g）Fn公司-1Ni≤N、 N=1，N、 因此，辅助离散时间鞅Mn，P+g+nXm=1PmN公司- 方程式，σhPmNFm公司-1Ni, n=0，N、 imsart aap版本。2014年10月16日文件：双重性。tex日期：2019年5月20日具有暂时价格影响的二元性11满意度QN，σ-a.s。PnN+gnN-Mn≤N、 N=0，N、 （11）将其与g的L ipschitz连续性和从定义a，σ±，nyields开始的任意时间间隔内P函数的ε/3界结合起来Mn-Mn-1.≤ε、 n=1，N、 QN，σ-a.s.对于N>N，其中N（σ）仅取决于σ，ε和Lipschitz常数Lof g。我们得出结论，由MN，σt，EQN，σhMN给出的有界QN，σ-鞅Fti，0≤ t型≤ T、 满意度MN，σnN=~MN，n=0，N、 andmaxn=1，。。。，Nmaxn-1N≤t型≤nN | MN，σt- MN，σn-1N |≤εQN，σ-a.s。这与（11）和ε/3结合在P的函数上，从AN，σ±，n的定义可以得出g+P-MN，σ满足N>N（σ）时所需的界限（10）QN，σ-a.s。仍然需要争论的是，可以选择σ，然后选择N>N（σ），以便上述结构中的q、QN、σ也满足第二个要求q（P>ε）<ε。为此，请注意差异方程Zn，σ，P，（12）NnZN，σ，（ZN，σn-1N∧ N1/4）σ√NAN，σ+，n- 1AN，σ-,n+L+1N，n=1，N、 在ZN，σnN的意义上，产生一个过程ZN，σ支配P≥ PnN，n=0，N、 QN，σ-a.s.，通过使用a，σ±，和g的Lipschitz连续性的定义进行归纳，如下所示。

[21]中的定理4.4与（11）结合得出，作为N↑ ∞, 在QN，σ下，ZN，σ的分布收敛于Z（σ）的分布，其中Z（σ）是线性SDEZ（σ）=P，dZ（σ）t=Z（σ）tσdWt+（L+1）dtimsart aap ver的（唯一）解。2014年10月16日文件：双重性。德克萨斯州日期：1912年5月20日，P.BANK and D Y.D Olinsky为一些标准布朗运动W。根据（12），我们可以选择σ和N>N（σ）来满足要求QN，σ（P>ε）<ε，前提是z（σ）在概率上收敛为0，即σ↑ ∞. 为此，观察z（σ）=PeσW-σ/21+Z（L+1）e-σWt+σt/2dt≤ PeσW-σ/2+P（L+1）e-σ/（2 lnσ）Z1-1/lnσeσ（W-Wt）dt+P（L+1）Z1-1/lnσeσ（W-Wt）-σ(1-t） /2吨。显然，最后一个表达式中的前两个求和几乎肯定会消失，而根据富比尼定理，最后一个的期望值为1-1/lnσeσ（W-Wt）-σ(1-t） /2dt=lnσ→ 0表示σ↑ ∞. 这表明limσ↑∞Z（σ）=0的概率，并且完成了预防。3.2.2. 二元效用最大化。超级复制二元性通常用于研究效用最大化问题，这反过来又允许使用不太保守且实际上更有用的未定权益估值范式，如差异定价。虽然本文不得不为未来的研究留下差异估值，但让我们在此注意一个验证理论，以说明我们的对偶概念对该理论的适用性：推论3.5。假设2.1和2.4成立，并考虑严格凹、递增和可微分的效用函数u，其中uPx∈X，XT=0E[u（ξXT）∨ 0] < ∞.假设BX∈ 当bXT=0时，X生成viadbQdP，u′（ξbXT）E[u′（ξbXT）]a概率测度bq<< P，它考虑了扩展动态Cmbλt，ρtδtEbQ“Z[t，t]bαuu（du）的影子价格Cm英尺#，0≤ t型≤ T、 imsart aap版本。

2014年10月16日文件：双重性。tex日期：2019年5月20日，二元性与bα，ρζbX的瞬时价格影响13∈ L（bQ u），即对于abQ平方可积鞅，例如-bλt≤cMt公司≤ P+bλt，0≤ t型≤ T、 （13）在dbX的支持下，第一次和第二次估计中几乎可以肯定是相等的↓和dbX↑, 分别地在所有策略中，bx产生的预期效用E【u（ξXT）】最高∈ X，XT=0。从定理3.2证明所需的考虑因素来看，这一推论的证明将很容易遵循。因此，我们将其推迟到第4.2节末尾。我们采用了具有比例交易成本的最优投资理论中的影子价格的概念（参见，例如，[17，35，19]），其中，具有所述效用条件的鞅SCM是明确构建的，或者是从效用最大化的二元性中产生的。在我们的环境中，影子价格的构建更具挑战性，因为展布bλ不是外生的。因此，如何根据上述验证结果构建最优投资政策Bx并不明显。然而，参见[8]，当P是带漂移的平行运动且δ和r为常数时，凸解析法可用于指数效用m最大化。对偶定理的证明。4.1. 预备工作。让我们通过重写价格影响模型（Lemma 4.1）中交易的盈亏来准备定理3.2的证明。假设假设2.4为真。那么，对于任何策略x∈ X，当XT=0时，我们得到ξXT=v- ∧XT（14），其中v，ξ+（ιx+Δζ）（15）和∧XT，Z[0，T]PtdXt+Z[0，T]（ηXT）u（dt）（16），其中ηXT，ρTζXT=ζ+Z[0，T]ρsδsd（x↑s+X↓s） ，0≤ t型≤ T、 （17）imsart aap版本。2014年10月16日文件：双重性。tex日期：201914年5月20日P.BANK and D Y。

D Olinsky此外，存在一个常数C>0，仅取决于假设2.4中δ/ρ的界限，因此，对于任何X∈ X，我们有X↑T+X↓T≤ Cl+sup0≤t型≤T | Pt |！关于{∧XT≤ l} 。（18） 最后，映射X 7→ ∧XTis凸且下半连续。更准确地说，如果Xn∈ X弱收敛于X∈ 在某种意义上，几乎可以肯定Xn，↑和Xn，↓弱收敛为[0，T]上的Borel测度，分别收敛到一些自适应的、右连续的、递增的A和B，x=x+A- B、 A0级-= B0级-= 0，则几乎可以肯定lim infn∧XnT≥ ∧XT。（19） 证明。让我们首先证明ξXT的公式（14）。对于中间价格的积分，我们通过P thatZ[0，T]PXt的连续性得到o dXt=Z[0，T]PtdXt+ιZ[0，T]Xto dXt=Z[0，T]PtdXt+ι（XT- x） （20）如果最后一个恒等式是由于Stratonovich积分的链式规则。类似地，使用ζX=ηX/ρ和d（X↑t+X↓t） =δtρtdηXt，wegetZ[0，t]ζXto d（X）↑t+X↓t） =Z[0，t]δtρtηXto dηXt=Z[0，T]κTo d（ηXt）= κT（ηXT）- δζ-Z（0，T）（ηXt）dκT=Z[0，T]（ηXt）u（dt）-δζ.（21）当XT=0.2时，将（20）与（21）结合得到（14）。对于X∈ X，根据∧XT的定义（16）得出{∧XT≤ l} 我们有+支持∈[0，T]| Pt |（X↑T+X↓T）≥ l-Z[0，T]PtdXt≥ZT（ηXt）u（dt）≥ （十）↑T+X↓T） /Cimsart aap版本。2014年10月16日文件：双重性。tex日期：2019年5月20日，对于某些常数C>0，二元性具有瞬时价格影响15，仅取决于假设2.4中δ/ρ的界限。因此，x，x↑T+X↓这样x≤ C（px+l）表示p，supt∈[0，T]| Pt |。这意味着（18）。设X，X∈ 然后观察（X↑+ 十、↑) -（十）↓+ 十、↓) isa将X，（X+X）分解为两个右连续增长过程的差异。因此（X↑+ 十、↑) -十、↑和（X↓+ 十、↓) - 十、↓正在增加，因此0≤ ηX≤（ηX+ηX）。在（16）的光线下，这产生了∧X的凸性。类似地，对于X n等于X=X+A- B如附录A中所述- 十、↑和B- 十、↓正在增加。

因此，我们有ηXnt→ηx+A+Bt≥ ηXtin t=t和d，在A+B的每个连续性t点上。通过P的连续性，我们也有limnz[0，t]PtdXnt=Z[0，t]PtdXt。X 7的下半连续性→ ∧Xt是（16）andFatou引理的结果。4.2. 下限的证明。首先观察（6）中的最大值大于-∞. 事实上，我们可以接受任何Q<< 其中αt，sup0≤s≤t | Psρs |，0≤ t型≤ T，在L（Q）中 u）并让M，0获得满足约束（7）的三元组（Q，M，α）。实际上，我们有ρtδtEQ“Z[t，t]αuu（du）英尺#≥ρtδtαtEQ[u（[t，t]）| Ft]=αtρt≥ |Pt |=| Pt- Mt |，0≤ t型≤ T、 因此，（6）中的上确界不能为-∞.为了证明它给出了一个下界，考虑ξ∈ R和X∈ xxt=0时，ξXT≥ H≥ 0，设（Q，M，S）为三元组，如图3.2所示。引理4.2。我们有↑T+X↓T、 sup0≤t型≤T | Pt |∈ L（Q）。（22）证明。通过Doob极大不等式，su pt∈[0，T]| Mt |∈ L（Q）。同样，α∈ L（Q u）得出（7）右侧s边的[0，T]上的上确界也在L（Q）中。加上我们之前的观察，这是一个aap版本。2014年10月16日文件：双重性。德克萨斯州日期：201916年5月20日P.BANK and D Y.D Olinsky暗示也支持≤t型≤T | Pt |∈ L（Q）。X的平方可积性↑T+X↓t从（18）开始输入l，v=ξXT+λXT≥ ∧XT因为ξXT≥ H≥ 0几乎可以肯定。根据引理4.1，X的超复制性质等于v≥ H+Z[0，T]PtdXt+Z[0，T]（ηXt）u（dt）。（23）观察到，通过（7）我们可以估计Z[0，T]PtdXt=Z[0，T]（Pt- Mt）dXt+Z[0，T]MtdXt≥ -Z[0，T]| Pt-Mt |（dX↑t+dX↓t）- Mx公司-ZTXtdMt=-Z[0，T]| Pt-Mt |δtρtdηXt-Mx公司-ZTXtdMt，（24），其中我们首先使用部分积分，XT=0，然后（1）给出dηXT=ρt/δt（dX↑t+dX↓t） 。

M和（22）yieldqhrtxtd[M]1/2ti的平方可积性<∞, 确保这一点。XTD是一个真正的鞅。因此，根据（24）中的预期，我们确定“Z[0，T]PtdXt#≥ -公式“Z[0，T]| Pt- Mt |δtρtdηXt+Mx#（25）≥ -公式“Z[0，T]EQ”Z[T，T]αuu（du）Ft#dηXt+Mx#（26）=-公式“Z[0，T]Z[0，u]dηXtαuu（du）+Mx#=-公式“Z[0，T]（ηXu- ζ） αuu（du）+Mx#，其中，在第二次估计中，我们使用了（7），第一个恒等式遵循Fubini定理，并观察到（26）中的条件预测可以删除，因为它给出了（R[t，t]αuu（du））0的可选投影≤t型≤T、 imsart aap版本。2014年10月16日文件：双重性。tex日期：2019年5月20日具有暂时价格影响的二元性17现在，我们在（23）中取期望值，并使用前面的估计值来获得v≥ 公式“H+Z[0，T]（ηXt）- （ηXt- ζ） αtu（dt）- Mx#=等式“H+Z[0，T]（ηXt- αt）-（αt- ζ)+ζu（dt）- Mx公司#≥ 公式“H+Z[0，T]-（αt-ζ)+ζu（dt）- Mx#=等式【H】-公式“Z[0，T]（αT- ζ） u（dt）#+ζδ- mx其中，在最后一步中，我们使用u（[0，T]）=κ=δ。回顾v的定义（15），得出ξ≥ 等式【H】-kα- ζkL（Qu)- Mx公司-ιx，产生所声称的下限。在这一点上，也很容易证明推论3.5中所述的验证结果。为此，取任意X∈ 注意，由u的凹度，u（ξXT）- u（ξbXT）≤ u′（ξbXT）（ξXT- ξbXT）。考虑到P下的期望值并回顾BQ的定义，因此有必要讨论BQ【ξXT】≤ EbQ[ξbXT]。（27）对于这一点，请注意，从（14）中，我们有ebq[ξXT]=v- EbQ“Z[0，T]PtdXt#-EbQ“Z[0，T]（ηXt）u（dt）#。按照（25），（26），我们估计EbQ“Z[0，T]PtdXt#≥ -EbQ“Z[0，T]（ηXu- ζ） bαuu（du）+cMx#imsart aap版本。2014年10月16日文件：双重性。tex日期：1918年5月20日，P.BANK and D Y.D Olinsky观察到，对于X=bX，我们实际上得到了一个等式，这是基于支持假设（13）。

因此，EbQ[ξXT]≤ v+EbQ“Z[0，T]（ηXt- ζ） bαt-（ηXt）u（dt）+cMx#=v+EbQ“Z[0，T]（bαt- ζ)-（ηXt- bαt）-ζu（dt）+cMx#≤ v+EbQ“Z[0，T]（bαt- ζ)-ζu（dt）+cMx#其中，我们再次得到等式y，其中f或X=bX，通过选择bα=ηbX。因此，（27）确实成立，有待证明。4.3. 上界的证明。为了证明“≤” 在我们的对偶描述（6）中，我们必须为任何bξ<π（H）构造一个三元组（bQ，cM，bα），如定理3.2所述，使得bξ<EbQ[H]-kbα- ζkL（bQu)-cMx公司-ιx.（28）观察到，如果必要，通过更改为等效度量，我们可以在不丧失一般性的情况下假设∈ L（P），sup0≤t型≤T | Pt |∈ L（P）。（29）为了便于注释，让我们介绍classX，{X∈ X：X↑T+X↓T∈ L（P）}，让我们表示bybv，bξ+（ιx+Δζ）（30）来自（15）的常数，对应于ξ=bξ。我们从构建BQ开始，BQ是从一个标准的分离论证中出现的：引理4.3。有一个概率测度bq关于P有界密度，使得bv<EbQ[H]+infX∈X，XT=0EbQ∧XT.（31）imsart aap版本。2014年10月16日文件：双重性。tex日期：2019年5月20日二元性和暂时性价格影响证明。根据投资者最终现金头寸的表达式（14），条件Bξ<π（H）转化为- bv6型∈ C-∧XT- A:X∈ X，XT=0，A∈ L+（英尺）.（32）我们将在下面论证C是L（FT）的凸闭子集。然后是C∩ L（P）是L（P）的一个凸闭子集，由（32）表示，它不包含H- bv公司∈ L（P）。通过Hahn-Banach分离定理，我们可以找到Z∈ L∞（英尺）- {0}这样e[Z（H- bv）]>supC∈C∩L（P）E【ZC】。（33）自L-（P）-∧T C，我们必须有Z≥ 0几乎可以肯定。