指数Cox-Ingersoll-Ross过程作为贴现因子

Lemm a 1.5 yieldsL（G）（r，x）=uφ（r）e-\'\'r+xe公司-\'\'r+▄Fn（ar+b）φ′（r）+δrφ′（r）o+ue-\'rn（ar+b）φ′（r）+δrφ′（r）o=uφ（r）e-\'\'r- uφ（r）e-(R)r=0。因此，我们必须考虑e-r- Gx（r，x）并搜索提供关系e的条件-r-Gx（r，x）≤ [(R)r上的0，∞) ×R+以使G解HJB方程（10）。首先，我们证明了以下辅助结果：引理2.2函数φ（r）是递减的，并且存在唯一的r*∈ [0，R]th在φ（R）处*) = -φ′（r*) = 1和φ（r）>-φ′（r）表示r>r*.证明：有关证明，请参阅附录第3节。下面的引理考虑表达式e-r- Gx（r，x），如果屏障由r给定*如上所述。引理2.3Let'r=r*, 引理2.2中定义。然后，对于所有r>r*以下不等式成立：Gx（r，x）=φ（r）e-r*> e-r、 证明：使用引理2.2推导erφ（r）产率：erφ（r）′= erφ（r）1+φ′（r）φ（r）> 0。那么，e-r- Gx（r，x）=e-重新-r*呃*-erφ（r）< e-重新-r*呃*- 呃*φ（r*)= 0对于r>r*. 我们可以得出结论，G在[r]上求解HJB（10）*, ∞) 如果r=r*.2.2.2最优策略和验证理论从现在起，我们假设r=r*, i、 e.φ′（r*)φ（r*)= -根据引理2.2，函数F和G都在[0，r]上求解HJB方程（10）*] andon[右]*, ∞) 关联地接下来，我们要看导数Gr（r*, x） ，Fr（r*, x） 和Grr（r*, x） ，Frr（r*, x） 为了保证平滑的值函数。它持有SGR（r*, x） =xe-r*φ′（r*) + uφ′（r*)e-r*+~Fφ′（r*)= -xe公司-r*+ uφ′（r*)e-r*-F，Fr（r*, x） =- xe公司-r*+ uψ′（r*)andGrr（r*, x） =xe-r*φ′′（r*) + uφ′（r*)e-r*+~Fφ′（r*),Frr（r*, x） =xe-r*+ uψ′（r*) .备注2.4选择F（r*, 0）=F=uφ′（r*)e-r*- uψ′（r*) （13） 产量Gr（r*, x） =Fr（r*, x） 对于所有x∈ R+。

请注意，它保持▄F≥ 0，根据附录第3节第1.5节的证明。考虑微分方程（7）乘以(-u); （8） 乘以￠F和（9）μ乘以ue-r*在r*:- ue-r*- （ar*+ b） uψ′（r*) -δr*uψ′（r*) = 0，（ar*+ b） ~Fφ′（r*) +δr*~Fφ′（r*) = 0，e-r*（ar*+ b） uφ′（r*) + ue-r* δr*φ′′（r*) + ue-r*φ（r*) = 0、使用φ（r*) = -φ′（r*) = 1并将上述方程式y ields（ar）相加*+ （b）uφ′（r*)e-r*-uψ′（r*) -F= -δr*uφ′（r*)e-r*+~Fφ′（r*) -uψ′（r*).请注意，通过▄F的定义，上述方程的lhs等于零，即GRR（r*, 0）=Frr（r*, 0). 然而，一般来说，它不会改变φ′′（r*) = 因此，GRR（r*, x） 6=Frr（r*, x） 如果x 6=0。我们制定了以下验证定理。定理2.5最优策略C*如果r≤ r*, i、 电子商务*t型=x+uλtr*1I[λtr*>0]，其中λtr*:= su p{s∈ [0，t）：rs≤ r*}带sup{} = 值函数V（r，x）求解HJB方程（10），充分函数V（r，x）=V（r，x），其中V（r，x）=（F（r，x）if（r，x）∈ [0，r*] ×R+G（R，x）if（R，x）∈ [r]*, ∞) ×R+带F（R*, 0）=（13）中给出的F。证明：注意它保持{λtr*≤ u}=sup{s∈ [0，t）：rs≤ r*} ≤ u=infu<s≤trs>r*由于上述磨合是可测量的，因此我们可以得出以下结论：*上述定义是一种可接受的策略。自F起∈ C1,2（（0，r*) ×R+，G∈ C1,2（（r*, ∞) ×R+，F（R*, x） =G（r*, x） ，Fr（r*, x） =Gr（r*, x） 和1I[rt=r*]= 1 a.s.，我们可以应用【11】中变量公式的变化。设C是任意容许的s策略，且^X是C.Thenv（rt，^Xt）=v（r，X）+ZtL（v）（rs，^Xs）d s+Ztδ下的消耗过程√rsvr（rs，^Xs）d Ws-Ztvx（rs，^Xs）d Cs。此外，我们知道v解HJB方程（10），意思是L（v）（r，x）≤ 0安第斯-r- vx（r，x）≤ 0表示全部（r，x）∈ R+。

因此，v（rt，^Xt）≤ v（r，x）+Ztδ√rsvr（rs，^Xs）d Ws-中兴通讯-RSDC。上面的随机积分是一个期望值为零的鞅，这证明了第3节中的lema 1.5。考虑到上述等式的双方的期望，一个得到（r，x）v（rt，^Xt）≤ v（r，x）- E（r，x）hZte-rsdCsi。因为limr→∞v（r，x）=0且v（r，x）有界，通过支配收敛，我们可以互换极限和积分，得到v（r，x）≥ E（r，x）hZ∞e-RSD采取策略C*产生平等。因此，r给出了带有障碍的障碍策略*, 引理2.2中定义的是最佳的。相应的返回函数是值函数，用于求解HJB方程（10）。图2:Lhs：值函数V（r，x），由F（r，x）（黑色）和G（r，x）（灰色）组成。Rhs：屏障r的依赖性*开启δ。示例2.6我们可以显式计算值函数：ψ（r）=δZr*xy型-2bδe-2aδyZye-zz2bδ-1e2aδzdz dy，φ（r）=r∞r*y-2bδe-2aδydyZ∞ry公司-2bδe-2aδydy，φ（r）=δr∞r*y-2bδe-2aδ年*φ（z）z2bδ-1e2aδzdz dyR∞r*y-2bδe-2aδydyZrr*y-2bδe-2aδydy-δZrr*y-2bδe-2aδyZyr*φ（z）z2bδ-1e2aδzdz-dy.对于φ和φ的井不确定性，给出附录第3节中引理1.7的证明。设a=0.001，b=0.002，δ=0.07，u=0.5。图2显示了两个函数F和G。2.3 0-障碍策略在下面的g中，我们将讨论一个非常特殊的策略，用于2b<δ的情况：“仅在基础C IR为零时支出”。事实上，我们从[7]中知道，如果2b<δ，CIR过程可以以正概率达到零。随着波动性的增加，“跳水”和触零的可能性增加。在上一小节中，我们已经证明了值函数解HJBequation（10），并且最优策略是一个具有常数barrier的屏障策略*填充r*≤ R、 （12）中给出了R。根据R的结构，它保持R→ 0为δ→ ∞.

这就提出了一个问题，对于δ的一些大值，最佳势垒是否可以等于零。设δ<∞ 固定且完整的δ>2 max{a，b}，意味着{rt}达到零的概率为正。由于第2.1节的规定，（11）中定义的函数H不是值函数。考虑Ct的策略C：=x+μλt1I[λt>0]，λt=sup{s∈ [0，t）：rs=0}带UP{} = 0“仅当rt=0时才花费最大可能金额”。再次让ρ：=inf{t≥ 0：rt=0，r>0}，我们定义φ（r）：=Er[ρ<∞] 和^φ（r）：=Er[ρ1I[ρ<∞]].引理2.7函数^φ（r）和^φ（r）求解微分方程（8）和（9）（0，∞)关联地函数φ（r）在（0，∞) 它保持^φ（r）=r∞y-2bδe-2aδydyZ∞xy型-2bδe-2aδydy，^φ（r）=δr∞y-2bδe-2aδyRyφ（z）z2bδ-1e2aδzdz dyR∞y-2bδe-2aδydyZry-2bδe-2aδydy-δZry-2bδe-2aδyZyφ（z）z2bδ-1e2aδzdz dyProof：由于引理1.4，它保持SR∞y-2bδe-2aδydy<∞. 由于引理1.5，函数^φ（r）=Er[ρ<∞] 和^φ（r）=Er[ρ1I[ρ<∞]] 求解微分方程（8）和（9）（0，∞) 相应地，函数φ为finite。进一步定义λ：=sup{t≥ 0:rt=0}，即λ是{rt}接近之前从零开始的最后退出时间∞. 很明显，在r=0的情况下，使用C可以立即花掉所有的钱，直到下一次{rt}接近零，然后在那里花掉所有的钱。游戏在上述时间λ结束。引理2.8设δ>b，然后λ<∞ a、 s和E[λ]=Z∞t型吃- 1.-2bδR∞eaz公司- 1.-2bδdzdt<∞ .证据：有关证据，请参见附录第3节。

现在，我们可以写出对应于策略C的返回函数：V（r，x）：=Erx+uρ+V1I[ρ<∞]= （x+~V）^φ（r）+^φ（r），其中▄V=V（0，0）=uE[λ]。命题2.9对于任何δ<∞.证明：回想一下，函数^φ（r）由^φ（r）=r给出∞y-2bδe-2aδydyZ∞xy型-2bδe-2aδydy。这意味着在p中，φ（0）=1和d limr→0^φ′（r）=-∞ givinge公司-r- Vx（r，x）=e-r- r的φ（r）>0∈ （0，ε）和一些ε>0。这意味着Vdoes不能求解（0，ε）×R+上的HJB（10）。因为在上一小节中，我们已经证明了价值函数解决了HJB，所以我们可以得出结论，CW永远不会是最优的。2.4布朗风险模型在本小节中，我们通过假设基础盈余s（以前称为收入）过程由带漂移的布朗运动给出，为我们的模型增加了复杂性。由于假设个人或家庭收入的强随机波动是不现实的，我们将经济学解释从最大化个人消费转变为最大化保险公司股息。与前一种情况的不同之处还在于，当表面变为负值（废墟）时，我们会停止思考。考虑破产时间破坏了价值函数对s曲线的线性依赖性。通常，对应于常数势垒策略的返回函数将具有幂级数表示，非线性函数为求和函数。因此，使用国际象棋术语，为了控制问题，我们假设该小节δ=2a。从技术上讲，我们考虑一个保险公司，其盈余由漂移Xt=x+ut+σBt的布朗运动给出，其中{Bt}是标准布朗运动，u，σ>0是正常数。

被考虑的保险公司可以支付股息，其中截至t的累计股息由Ct支付，产生x股息盈余XC:XCt=x+ut+σBt- 计算机断层扫描。考虑将在破产时间τCof XC停止。进一步假设驱动贴现CIR过程（1）的布朗运动{Wt}独立于{Bt}，并且基础过滤{Ft}是由对{Wt，Bt}生成的过滤。如果CTI设为{Ft}，我们称策略C为可容许的，C≥ 0和XCt≥ 0表示所有t≥ 0，可接受策略集将用B表示。作为风险度量，我们考虑预期贴现股息的值，其中股息通过CIR过程贴现（1）。我们将对应于某些可接受策略C的回报函数定义为beVC（r，x）=e（r，x）hRτCe-rsdCsiand letV（r，x）=supC∈BVC（r，x）。对应于该问题的HJB方程可类似于[13，pp.98103]：maxuVx+σVxx+（ar+b）Vr+arVrr，e-r- Vx公司= 0 . （14） 在这个设置中，我们推测最优策略将是一种障碍类型，对于剩余过程有一个恒定的障碍。这意味着，我们支付任何大于thebarrier的资本，与{rt}无关。现在确定以下辅助量：θ：=-u+pu+2σbσ，ζ：=-u -pu+2σbσ， :=自然对数b-uζ-自然对数b-uθθ - ζ.引理2.10返回函数V（r，x）对应于恒定屏障策略 是givenbyV（r，x）=（F（r，x）：x≥ G（r，x）：x≤ ,其中f（r，x）：=x个- +ube-r、 如果x≥ G（r，x）：=e-reθx- eζxθeθ- ζeζ, 如果x≤ .函数F和G全函数：oF（r，) = G（r，), Fr（r，) = Gr（r，), Frr（r，) = Grr（r，);o 外汇（r，) = e-r=Gx（r，) d Fxx（r，) = 0=Gxx（r，) 适用于所有r∈ R+；oG（r，x）解偏微分方程ufx+σfxx+（ar+b）fr+arfrr=0和ful fils Gx（r，x）≥ e-r适用于所有r∈ R+和x∈ [0, ];证明：对于[14]的证明，引理2.1和推论2.2。

命题2.11最佳股息策略C*支付任何大于, i、 电子商务*t=最大NSUP0≤s≤τ*∧t型x+us+σWs- ; 0o，其中τ*是毁灭的时刻。值函数V（r，x）由F on给出[, ∞), 由G于[0，] 并求解HJB方程（14）。证明：使用引理2.10，证明紧跟着[3]中的证明，另见[13，p.104]。因此，如果δ=2a，即ebte-RTI是一个鞅（赋予引理1.1和定义（3）），优化问题可以简化为具有恒定贴现率的经典股息优化问题，如【3】所述。2.5结论对于确定性收入，我们考虑了取决于参数δ和a之间关系的不同情况。在这两种情况下，最优策略都是障碍型的，即，只有当过程{rt}低于某个水平时，花费所有可用资金才是最优的，否则等待才是最优的。如果波动系数δ相对为sm all，即δ≤ 2a，那么路径将“几乎决定性地”走向完整，这意味着-RTI是一个超级艺术家。因此，最佳的障碍在于实体，花费尽可能多的钱总是最佳的。如果2a<δ，则过程{rt}，将δ从2a向上移动会使最佳势垒f从∞ 到0，请参见图2。这意味着，波动率越高，过程就越有可能达到较低的水平。等待贴现过程达到“小”价值，并将节省下来的金额花在那里，这是有道理的。最后，我们证明了“仅在rt=0时支出”的策略从来都不是最优的，即最优壁垒总是大于零。请注意，上述结果与综合Ornstein-Uhlenbeck（OU）贴现的情况截然不同。在那里，见[8]，如果利率低于一定水平，最好等待，否则就开始消费。

在CIR贴现的情况下，交换支付行为的原因在于，OU流程可能会产生负值。有关更多详细信息，请咨询[8]。在布朗风险模型中，尚未考虑案例2a 6=δ，有待进一步研究。我们推测，最优策略将是具有非常数势垒的barriertype，这取决于潜在的C-IR过程。3附录引理的证明1.3假设存在集合a∈ P[A]>0且lim inft的F→∞rt=B<∞ 在A上，则有一个序列tn→ ∞ 作为n→ ∞ 这样limn→∞关于A.B y Lebesgue支配收敛定理的rtn=B和使用limt→∞E【E】-rt]=极限→∞M（r，t）=0，表示（3）对于M的定义，我们得到0=limn→∞Er[e-rtn]≥ 画→∞E【E】-rtn1IA]=e-BP【A】>0。最后一个不等式是证明我们的主张的矛盾。引理1.5的证明第一部分：由于【15，p.127】，微分方程-r+（ar+b）g′（r）+δrg′（r）=0在[0，r]上有两个连续可微的解*]. 上述微分方程的一般解由g′（r）给出=-2δZy-δ+2 bδe（2aδ-1） ydy+Ce-2aδrr-2bδ。因此，为了得到g′（0）>-∞ 我们必须定义负′（r）=-δZry2bδ-1.e2aδ-1.ydy公司r-2bδe-2aδr.现在，让r→ 0并使用L\'Hospital规则：limr→0g′（r）=-b、 设|ψ（r）表示具有边界条件|ψ（r）的唯一解*) = 0和|ψ′（0）=-b、 在这种情况下，情况更糟→∞r|ψ′（r）=0，表示|ψ′（r）∈ o（r）表示r→ 因此，我们可以将伊藤公式应用于|ψ（rτ∧t） ：/ψ（rτ∧t） =△ψ（r）+Zτ∧t（ars+b）×ψ′（rs）+δrs×ψ′（rs）ds+Zτ∧tδ√rs|ψ′（rs）dWs。由于ψ′有界，随机积分是一个期望值为零的鞅。

因此，考虑到双方的期望，让t→ ∞ （由于有基础的收敛理论，可能会发生膨胀和极限的相互作用）我们得到|ψ（r）=ErhZτe-rsdsi=ψ（r）。第二部分：很明显，如果2b≥ δ和r*= 0，我们有φ（r）=1I{0}。因此，我们只需要考虑剩下的案例。微分方程（8）在（r）上有唯一的s解*, ∞), s ay▄φ（r），带边界条件▄φ（r*) = 1和￠φ(∞) = 0：￠φ（r）=r∞r*y-2bδe-2aδydyZ∞ry公司-2bδe-2aδydy。将伊藤公式应用于|φ，得到|φ（rρ∧t） =▄φ（r）+Zρ∧t（ar+b）～φ′（rs）+δr～φ′（rs）ds+Zρ∧tδ√rs▄φ′（rs）dWs。（15） 如果r*> 0，那么√rρ∧s▄φ′（rρ∧s） 有界且随机积分是期望为零的鞅。如果r*= 0和2b<δ然后：√rs▄φ′（rs）= r1级-4bδse-4aδrsR∞y-2bδe-2aδydy.请注意，R∞y-2bδe-2aδydy<∞ andZtEh公司√rs▄φ′（rs）ids<∞对于所有t∈ 引理1.4引起的R+。根据[12，p.130推论1.25]，随机积分（15）是一个期望为零的鞅。应用（15）中的期望值并让t去确定，我们得到|φ（r）=Eh1I[ρ<∞]i=φ（r）。第三部分：如果r*= 0和2b≥ δ然后明显φ（r）≡ 0、现在考虑最常见的情况。微分方程（9）有唯一的解|φ（r）=δr∞r*y-2bδe-2aδ年*φ（z）z2bδ-1e2aδzdz dyR∞r*y-2bδe-2aδydyZrr*y-2bδe-2aδydy-δZrr*y-2bδe-2aδyZyr*φ（z）z2bδ-1e2aδzdz Dy，边界条件为φ（r*) = 0 =~φ(∞). 请注意，对于r*> 0由于上述φ的结构，它成立：Z∞r*y-2bδe-2aδyZyr*φ（z）z2bδ-1e2aδzdz dy≤r*φ（r*) < ∞ .现在让我们r*= 0和2b<δ。然后，对内积分应用部分积分，并使用负部分小于零的情况，我们得到z∞y-2bδe-2aδyZyφ（z）z2bδ-1e2aδzdz dy≤δ2bZ∞y-2bδe-2aδhy2bδe2aδφ（y）+yi<∞ .上述积分的完整性源自伽马分布的特性。此外，很容易看出|φ′（r*) > 0

由于▄φ求解微分方程（9），如果▄φ′（r）=0，则紧随▄φ′（r）<0。这特别意味着，在变为负后，导数|φ′（r）仍然为负。因此▄φ(∞) = 0表示φ（r）≥ 0、对于函数|φ（r），它保持|φ（rρ∧t） =▄φ（r）+Zρ∧t（ars+b）～φ′（rs）+δrs～φ′（rs）ds+Zρ∧tδ√rs▄φ′（rs）dWs。与第二部分类似，使用引理1.4和[12，p.130推论1.25]可以证明上面的托氏积分是一个期望值为零的马尔代尔积分。应用预期收益率（rρ∧t） i=°φ（r）-EhZρ∧tφ（rs）dsi。注意，将Fubini定理应用于Rhs上的期望，可以得到sehzρ∧tφ（rs）dsi=Z∞Eh1I[0≤s≤ρ∧t] φ（rs）ids=Z∞Eh1I[0≤s≤ρ∧t] P[ρ<∞|rs]ids=Z∞Eh1I[0≤s≤ρ∧t] E[1I[ρ<∞]|Fs]ids=Z∞EhE公司1I[0≤s≤ρ∧t] 1I[ρ<∞]|Fs公司ids=EhZρ∧t1I[ρ<∞]dsi=Eh1I[ρ<∞]ρ ∧ ti。让t→ ∞, 产量|φ（r）=Eh1I[ρ<∞]ρi=φ（r）。注意ψ′（r）<0和φ′（r*) ≥ 0、由于φ（r*) = 0和φ（r）≥ 0必须保持φ′（r*) ≥ 另一方面，如果▄r：=inf{r≥0：ψ′（r）≥ 0} ≤ r*它必须保持ψ′（~r）<0，以确保ψ求解微分方程（7）。因为，这是一个矛盾，我们可以得出ψ′（r*) < 0表示所有r∈ [0，r*]. 引理2.2的证明首先注意，它显然保持φ′<0。我们可以明确地求解微分方程（8），得到φ′（r）=-r-2bδe-2aδrR∞r*y-2bδe-2aδydy。（16） 现在考虑φ′（r）φ（r）=-r-2bδe-2aδrR∞ry公司-2bδe-2aδydy。导出关于r y ie lds的φ′（r）φ（r）φ′（r）φ（r）′= -φ′（r）φ（r）n-φ′′（r）φ′（r）+φ′（r）φ（r）o。利用（16）我们得到φ′′（r）φ′（r）=-2aδ-2bδr，为简单起见，设h（r）：=φ′（r）φ（r）。然后H′（r）=-h（r）n2aδ+2bδr+h（r）o=-h（r）n1+h（r）o- h（r）n2aδ+2bδr- 1o。请注意-h（r）>0和2Aδ+2bδr- 对于r>r，1<0。也就是说，如果对于某些r>r，它保持sh（r）=-1则h′（^r）<0，表示h（^r）<-1表示所有r>^r。