指数Cox-Ingersoll-Ross过程作为贴现因子

但这与IMR是矛盾的→∞h（r）=limr→∞φ′′（r）φ′（r）=-2aδ>-1.因此，它必须保持h（r）>-1表示r>r，因为limr→0h（r）=-∞, 根据中值定理，必须有一个r*∈ （0，R）这样的h（R*) = -1.引理2.8的证明注意λy不是停止时间，因为{λy≤ t}/∈ Ft.此外，我们从引理1.3和Bor odin&Salminen[5，p.27]得知λy<∞ a、 s.带Pr[0<λy≤ t] =Ztp（u；r，y）G（y，y）du，其中p（t；r，y）是{rt}相对于速度度量m的跃迁密度，密度m′为{rt}（对于m和m′的精确公式，请参考[10，p.366]公式（1.4）；m′的微分方程见[5，p.18]），Gα（r，y）是G（y，y）=Z的格林函数∞p（t；y，y）dt。设g（t；r，y）是{rt}相对于Lebesg ue测度的密度。Theng（t；y，y）=p（t；y，y）m′（y）。因此，使用上述公式计算G（y，y）：Py[0<λy≤ t] =Ztg（u；y，y）R∞g（z；y，y）dzdu。根据（2），密度g（t；y，y）由g（t；y，y）=c（t）e给出-u（t，y）-v（t，y）v（t，y）u（t，y）q/2Iq（2pu（t，y）v（t，y）），Iqis修改了第一类q阶贝塞尔函数。

使用此表达式it表示和Iq（2c（t）yeat/2）=（c（t）eat/2）qyq∞Pm=0（c（t）年/2）2mm！Γ（m+q+1），我们得到（t；y，y）R∞g（z；y，y）dz=c（t）e-c（t）y（eat+1）e-aqt/2Iq2c（t）年/2R∞c（z）e-c（z）y（eaz+1）e-aqz/2Iq2c（z）是2dz=c（t）e-c（t）y（eat+1）e-aqt/2（c（t）eat/2）q∞Pm=0（c（t）年/2）2mm！Γ（m+q+1）R∞c（z）e-c（z）y（eaz+1）e-aqz/2（c（z）eaz/2）q∞Pm=0（c（z）yeaz/2）2mm！Γ（m+q+1）dzBy bo unded收敛定理，我们可以让y归零，得到（t；0，0）R∞g（z；0，0）dz=c（t）e-aqt/2（c（t）eat/2）qR∞c（z）e-aqz/2（c（z）eaz/2）qdz=c（t）q+1R∞c（z）q+1dz。注意，通过部分积分和使用-1<q<0：2aδ-q-1Z∞c（z）q+1dz=z∞eaz公司- 1.-q-1dz=-aqZ公司∞eaz公司- 1.-量化宽松-azdz公司=-aqZ公司∞eaqz公司eaz公司- 1.-量化宽松-（1+q）azdz≤-aqZ公司∞e-（1+q）azdz=-qa（1+q）<∞ .最后一个不等式如下，因为eaqzeaz公司-1.-q≤ 1和-1.-q<0。具有类似的参数，可获得[λ]=Z∞tg（t；0，0）R∞g（z；0，0）dzdt=z∞t型吃- 1.-q-1R级∞eaz公司- 1.-q-1dzdt<∞ .致谢第一作者的研究由奥地利科学基金（FWF）资助，项目编号为603-N35。此外，第一作者还要感谢利物浦大学的支持与合作。参考文献[1]A kyildirim，E.，G–uney，E.，Rochet，J.和Soner，H.M.：随机利率下的最优股利政策。瑞士金融研究所研究论文第13-14号。（2013）[2]A lbrecher，H.和Thonhauser，S.：保险红利问题的最优结果。racsam103（2），295–320，（2009）[3]A smussen，S.和Taksar，M.：最优股息支付的受控差异模型。保险：数学。经济。，20，1–15，（1997）[4]A zcue，P.和Muler，N.：《克莱姆-伦德伯格模型》中的最优再保险和股息分配政策。数学《金融》第15期，第261-308页，（2005年）[5]Borodin，A.N.和Salminen，P.：《布朗运动手册》——事实和公式。Birkhauserverlag，Basel，（1998）[6]Brigo，D.和Mercurio，F.：《利率模型-理论与实践》。

斯普林格，海德堡。第2版，（2006）[7]Cox，J.C.、Ingersoll，J.C.Jr.和Ross，S.A.：利率期限结构理论。《计量经济学》，53（2），385–408，（1985）[8]Eisenberg，J.：确定性财富下的无限制消费和作为贴现率的Ornstein-Uhlenbeck过程。随机模型，34（2），139–153，（2018）[9]Jiang，Z.和Pistorius，M.R.：马尔可夫制度转换下的最优股息分配。《金融与随机》，16449–476，（2012）[10]Ethier，S.N.和K urtz，T.G.：《马尔可夫过程：特征化和收敛》，John Wiley&Sons，Inc.，Hoboken，NJ，USA.（1986）[11]Peskir，G.：《曲线上局部时间的变量公式变化》。J、 理论。概率。18499–535，（2005）[12]Revuz，D.和Yor，M.：《连续鞅和布朗运动》，斯普林格·维拉格，纽约。第三版，（1999）[13]施密德利，H.：保险中的随机控制，斯普林格·维拉格，伦敦，（2008）[14]Sh reve，S.E.，Lehoczky，J.P.和Gaver D.P.：具有吸收和反射屏障的一般差异的最佳消费。暹罗J.控制优化。，22（1），55–75，（1984）[15]Walter，W.：普通微分方程。Springer Verlag，纽约。(1998)