指数Cox-Ingersoll-Ross过程作为贴现因子

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《An Exponential Cox-Ingersoll-Ross Process as Discounting Factor》
---
作者：
Julia Eisenberg and Yuliya Mishura
---
最新提交年份：
2018
---
英文摘要：
  We consider an economic agent (a household or an insurance company) modelling its surplus process by a deterministic process or by a Brownian motion with drift. The goal is to maximise the expected discounted spendings/dividend payments, given that the discounting factor is given by an exponential CIR process. In the deterministic case, we are able to find explicit expressions for the optimal strategy and the value function. For the Brownian motion case, we offer a method allowing to show that for a small volatility the optimal strategy is a constant-barrier strategy.
---
中文摘要：
我们考虑一个经济主体（家庭或保险公司）通过确定性过程或带漂移的布朗运动对其盈余过程进行建模。考虑到贴现因子由指数CIR过程给出，目标是最大化预期贴现支出/股息支付。在确定性的情况下，我们能够找到最优策略和值函数的显式表达式。对于布朗运动的情况，我们提供了一种方法，可以证明对于小的波动率，最优策略是一个常数屏障策略。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
--

---
PDF下载：
--> An_Exponential_Cox-Ingersoll-Ross_Process_as_Discounting_Factor.pdf (1.92 MB)

2022-6-10 14:09:35 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Ingersoll 贴现因子 Ross OSS ING

指数Cox–Ingersoll–Ross过程，如DiscountingFactorJulia Eisenberg*1和Yuliya Mishura+2TU Wien/利物浦大学塔拉斯舍甫琴科国立基辅大学摘要我们认为经济主体（家庭或保险公司）通过确定性过程或带漂移的布朗运动对其盈余过程进行建模。目标是最大化预期的贴现支出/股息支付，因为贴现因子由指数CIR过程给出。在确定性的情况下，我们能够找到最优策略和值函数的显式表达式。对于布朗运动的情况，我们提供了一种方法，可以证明对于小波动率，最优策略是一种常数屏障策略。关键词：Hamilton–Jacobi–Bellman方程、Cox–Ingersoll–Ross过程、股息、布朗风险模型、消费。2010年数学科目分类：初级93E20次级91B30，60K101简介1.1一般简介保险公司的信用评级表明其支付客户索赔的能力。如果需要新资金来满足SolvencyII规定的资本要求，Abad信用评级可能会影响公司的商业计划、增长潜力甚至生存能力。信用评级机构的评级过程包括定量和定性分析，其中现金流是最重要的因素之一。我特别关注股息支付，通常认为股息支付反映了公司的财务状况。长期以来，在精算数学中，在不同的约束条件和不同的设置下，寻求使预期d的价值最大化的最优策略一直是一个热门问题。Shreve等人（14）、Asmussenand Taksar（3）、Azcue和Muler（4）的论文只是一些例子。

有关详细审查，我们*jeisenbe@tuwien.ac.at+myus@univ.kiev.uareferAlbrecher和Thonhauser的调查实例【2】。上述论文假设贴现率在所考虑的时间范围内保持不变，通常选择在有限的时间内。继最近欧洲利率超低的危机之后，出现了一个问题，即通过持续贴现对现金流进行贴现是否可以被视为一个不可接受的假设。s-ToCastic贴现因子增加了所考虑问题的维度和复杂性。然而，近年来，随机贴现已成为一个热门问题，其中包括贴现和最大化问题。例如，在[9]中，利率由给定马尔可夫链当前状态的正确定性函数建模。如果在每一个州，未消除的盈余过程的撤回都是积极的，蒋和皮斯托留斯[9]证明，采用依赖于政权的壁垒策略是最优的；如果在一种状态下漂移很小且为负，则最优策略具有不同的形式，这对于两种状态的情况是明确的。Akyildirim等人在[1]中考虑了两个宏观经济因素：利率和担保成本。假设这两个因素都由一个外生马尔可夫链控制。最佳股息政策的特点是取决于这两个因素：在一切平等的情况下，当利率较高时，企业分配的股息较多，而当发行成本较高时，企业分配的股息较少。Jiang和Pistorius[9]使用不动点定理来获得结果，Akyildirim等人。

[1] 通过求解相应的常微分方程来应用直接法，我们将在本文中使用这种方法。在本文中，我们通过引入指数Cox–Ingersoll–Ross（CI R）过程给出的贴现因子来考虑时变相互作用。CIR p过程是一个平方扩散过程，它可以获得非负值，并且对于特殊参数可以达到零。通常，通过对利率建模，可以认为利率是均值回复。在此假设下，我们的问题将是不适定的。因此，我们要求CIR过程是非均值回复的，这意味着几乎可以肯定收敛到一致性。我们假设潜在收入过程是时间的线性函数，没有随机成分。我们的目标是最大限度地提高预期折扣消费。这种结构产生了一个二维问题，其中最优消费策略取决于基础CIR过程的参数。例如，对于一个高度波动的贴现因子，考虑到等待期可能永远持续，最好等待消费，直到贴现过程接近某个相对较小的正水平。在低波动率的情况下，我们证明了最优策略将始终是在不考虑贴现因素的情况下花费尽可能多的金额。作为一个例子，我们考虑一个保险公司，其盈余由漂移与CIR无关的布朗运动描述。这里，我们又有一个二维问题。然而，公式问题强调的是潜在盈余过程的破产时间。

对于CIR过程中的一些特殊参数，我们可以使用恒定的贴现率将问题简化为经典设置。据我们所知，本文是研究指数IRFigure 1：CIR过程的路径，其中a=0.001、b=0.002、δ=0.09（左图）、δ=0.045（中间）和δ=0.02（右图）。作为消费/股息最大化问题背景下的贴现因素。尽管价值函数取决于两个变量，即盈余和贴现过程，但我们能够在确定收入的情况下，以及（在基础CIR的某些限制条件下）在布朗风险模型的情况下，找到最优策略和价值函数的显式表达式。提醒读者注意与CIR过程相关的一些性质和结果，对于理解本文至关重要。因此，我们将论文组织如下：在下一小节中，我们将概述CIR流程。为了便于阅读，我们将技术证明推迟到ap pendix。在第2节中，我们考虑了确定性、线性时间收入过程的情况，该过程可以解释为个人或家庭的收入。在这里，我们将区分与所考虑的CIR过程的参数有关的两种不同情况，并给出最优策略和值函数的显式表达式。在此，我们解决了基础CI过程特殊参数的股息最大化问题。第2节结尾的结论概述了未来可能的研究方向。附录第3.1.2节“准备工作”中给出了一些技术证明。为了表述清楚，我们将本小节的大部分证明推迟到附录第3节。

在这里和下面，我们对任何随机过程{Yt}使用通用符号：P[·| Y=Y]=Py[·]和E[·| Y=Y]=Ey[·]。在本文的后面，我们让r={rt}是一个Cox–Ingersoll–Ross（CIR）过程drt=（art+b）dt+δ√rtdWt，（1）其中a、b和δ为正常数，W={Wt}为标准布朗运动。例如，由于[10]，CIR过程具有很强的马尔可夫性。We定义（r，t）：=Er[e-rt]。根据文献[7]，我们知道初始值为r的Rt的密度函数由f（y）：=c（t）e给出-u（t，r）-v（t，y）v（t，y）u（t，r）q/2Iqpu（t，r）v（t，y）, （2） 其中Iq（x）=∞Pm=0米！Γ（m+q+1）x个2m+Qi是第一类的修正贝塞尔函数，C（t）：=2a（eat- 1） δ，q：=2bδ- 1，u（t，r）：=c（t）reat，v（t，y）：=c（t）y。此外，一个hasM（r，t）=Er[e-rt]=e-2abδtβ（t）2bδ·e-rβ（t），（3），其中β（t）：=δ2a+1.-δ2ae-在引理1.1在δ的情况下≤ a、 函数M（r，t）在t中严格递减，过程{e-rt}是一个超级角色。证明：使用β′（t）=a1.-δ2ae-当β（t）>0时，我们得到mt（r，t）=M（r，t）n- bβ（t）- rae公司-在1.-δ2a对于所有r，β（t）o<0∈ R+。由于马尔可夫性质和M的结构，超马尔可夫性质紧随其后。引理1.2根据[12，p.282]，函数M求解偏微分方程（ar+b）Mr（r，t）+δrMrr（r，t）- Mt（r，t）=0。下面的引理确保了我们将要考虑的问题的完整性。引理1.3如果a>0，则CIR过程{rt}充分限制→∞rt=∞ a、 有关证明，请参阅附录第3节。证明验证定理的常用方法是应用伊藤公式，并将随机积分证明为鞅。

稍后，我们将看到以下结果为验证定理提供了必要的鞅论证。引理1.4对于2b<δ，让q如（2）中所示，然后它保持sz∞y-2bδe-2aδydy<∞,ZsEr公司r-第2季度-1吨dt<∞ 对于所有s∈ R+。证明：由于2b<δ，它成立-1<q<0和Z∞y-2bδe-2aδydy=Z∞y1.-2bδ-1e级-2aδydy=Γ(-q）2aδq<∞ .进一步，利用（2）和有界收敛定理，我们得到：r-第2季度-1吨=∞Xm=0c（t）q+1+2me-重新开始！Γ（m+q+1）Z∞ym公司-2bδe-4aδye-c（t）ydy=∞Xm=0c（t）q+1+2me-重新开始！Γ（m+q+1）·Γ（m-q）4aδ+c（t）m级-q、 由于限制→0c（t）q+1+2me-c（t）reat=0，上述幂级数在（0，s）上可积∈ R+。在本文中，我们将使用以下符号：对于固定的r*∈ R+，我们定义τ：=inf{t≥ 0：rt=r*, r=r≤ r*}ρ：=inf{t≥ 0：rt=r*, r=r≥ r*} .进一步，我们让ψ（r）：=ErhZτe-rsdsi，用于r≤ r*, （4） φ（r）：=Erh1I[ρ<∞]i、 对于r≥ r*, （5） φ（r）：=Erh1I[ρ<∞]ρifor r≥ r*. （6） 自限制以来→∞rt=∞ a、 我们知道τ<∞ a、 s.引理1.5函数ψ（r）、φ（r）和φ（r）求解微分方程-r+（ar+b）g′（r）+δrg′（r）=0，（7）（ar+b）g′（r）+δrg′（r）=0，（8）（ar+b）g′（r）+δrg′（r）+φ（r）=0，（9）与边界条件ψ（r）相对应*) = 0和ψ′（0）=-b、 φ（r*) = 1和φ(∞) = 0，φ（r*) = 0和φ(∞) = 0、为了证明附录第3.2节的主要结果，在考虑布朗运动后具有盈余过程的保险公司之前，我们研究了收入不确定的个人的消费最大化问题。贴现因子假定由指数CIR过程{e-rt}。

过滤{Ft}由{rt}生成，因此，让所考虑的个人或个人的收入过程由xt=x+ut，u>0给出。设C表示截至时间t的累计消耗过程，ex consumptionincome由xct=x+ut给出-计算机断层扫描。如果策略适应过滤，我们称之为策略C可接受性，它是非递减且有效的策略C≥ 0，XCt≥ 0表示所有t∈ R+，尤其是指Ct≤ x+ut。在下文中，我们用A表示所有可接受的策略集。我们的目标是获得最佳消费策略，例如e（r，x）hZ∞e-rsdCsi→ 最大值！i、 e.最大化预期折扣消费。本节将使用以下符号：VC（r，x）：=E（r，x）hZ∞e-rsdCsi，V（r，x）：=supC∈AVC（r，x）。汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程可以使用随机控制理论中的标准方法来推导，因此我们省略了详细的推导，只需参考[13，pp.98103]和其中的参考文献。HJB由两个具有线性系数的偏微分方程组成：maxuVx+（ar+b）Vr+δrVrr，e-r- Vx公司= 0 . （10） 特别是，下面的命题2.5将说明HJB方程与所考虑的问题相对应。为了简化我们的考虑，我们为任何适当的函数f引入以下符号l（f）（r，x）=ufx（r，x）+（ar+b）fr（r，x）+δrfrr（r，x）：=r+→ R、 为了了解价值函数和最优策略是什么样的，我们首先考虑与策略“最大s待定”相对应的性能函数。该函数由h（r，x）：=xe给出-r+uErhZ∞e-rsdsi=xe-r+uZ∞M（r，s）ds，（11），其中M（r，t）=Er[e-使用Fubini定理。

函数M ful fils M∈C2,1（R+）并求解微分方程，得出第3节的ap pendix：（ar+b）Mr（R，t）+δrMrr（R，t）- Mt（r，t）=0。这特别意味着，使用莱布尼兹积分规则，我们得到hr（r，x）=-xe公司-r+uZ∞Mr（r，s）ds和Hrr（r，x）=xe-r+uZ∞Mrr（r，s）ds。将H（r，x）插入HJB方程一方面得到e-r-Hx（r，x）=0，另一方面使用r∞Ms（r，s）ds=M（r，s）∞= -e-根据M的微分方程得出：uHx+（ar+b）Hr+δrHrr=ue-r+xe-r- 应收账- b+δr+ uZ∞（ar+b）Mr（r，s）+δrMrr（r，s）ds=ue-r+xe-r- 应收账- b+δr+ uZ∞Ms（r，s）ds=ue-r+xe-r- 应收账- b+δr- ue-r=xe-r- 应收账- b+δr.注意，上述表达式的符号不依赖于x，δ>aR的定义：=bδ- a、 （12）在下文中，我们将考虑参数a、b和δ的不同组合，影响HJB方程（10）的解。2.1情况δ≤ 如果是这种情况，它显然是成立的-应收账- b+δr<0，与b和r无关，这反过来意味着H（r，x）解HJB方程（10）。现在，我们可以制定以下验证定理：定理2.1函数H（r，x）是值函数，策略Cmaxt：=x+ut“始终独立于r和x花费最大可能量”是最佳策略。我们跳过了这个证明，因为它类似于下一节中验证定理的证明。2.2如果a<δ在这种情况下，（11）中定义的H（r，x）不能求解r>r的HJB方程（10）。例如，在[13，p.27]中，我们发现，为了解决优化问题，有两种方法：直接显示值函数解HJB方程，或使用最优策略，并证明相应的返回函数解HJB方程。在这里，我们将遵循第二种方法。我们推测最优策略是一种障碍类型，即。

存在一个正常量∈ 如果R>R，则最好等待，如果R>R，则立即花费所有资源≤ \'r.因为我们不知道最佳屏障应该是什么样子，welet\'r∈ R+可以任意但固定。相应的返回函数由两部分组成：F（r，x）：=xe-r+uErhZτe-rsdsi+~F，r≤ \'rG（r，x）：=Erhx+uρ1I[ρ<∞]ie-r+~F Erh1I[ρ<∞]i、 r>r。式中，F是某个正常数，其值应稍后确定。这意味着如果初始值r=r，F描述了支出≤ \'r和G描述了等待直到RTA方法\'r或∞.按构造，所有x的G（\'r，x）=F（\'r，x）和Gx（\'r，x）=Fx（\'r，x）∈ R+。问题是上面给出的G和F是否在【】r上解HJB方程（10），∞)对于所有x，分别在[0，\'r]和[0，\'r]上，且完整的Gr（\'r，x）=Fr（\'r，x）和Grr（\'r，x）=Frr（\'r，x∈ 带有界导数的R+，F和G的Frand Gr.2.2.1性质在这一小节中，我们研究了函数F和G的性质。使用符号（4），我们可以将F重写为以下F（R，x）=xe-r+uψ（r）+F。也就是说，将函数F插入到我们在一个han de上得到的HJB方程（10）中-r- Fx=0，另一方面，使用引理1.5：L（F）（r，x）=ue-r+xe-r-应收账-b+δr+ u（ar+b）ψ′+uδrψ′（r）=xe-r- 应收账- b+δr.因此，F在集合[0，\'r]×r+（如果\'r）上求解HJB方程（10≤ R、 在（12）中定义。现在考虑函数G。使用定义（5）和（6），G可以重写为以下G（r，x）=xφ（r）e-\'r+uφ（r）e-\'r+~Fφ（r）。我们将找出在什么条件下，G在区间[\'r]上解HJB方程（10），∞).