Cramer-Lundberg中Gerber-Shiu函数的最优再保险

因为对于破坏从y开始的过程而不是从x开始的过程的aclaim，我们知道索赔高度ymuyt必须在[yXuyT-,xXuxT-]由于索赔高度分布假定为连续的，我们推导出P（Y∈ [yXuyT-,xXuxT-]) → 0表示| x- y |→ 0.o在t的情况下*< T<ξ，我们可以使用与上述相同的论证得出P（T∈ [t*, t型*+ εt]）对于| x变为零- y |→ 将我们迄今为止使用的参数组合起来，并利用w的连续性，也会将剩余的两个求和数发送到0，显示Gf的连续性。还有待证明的是，G是C+，b[0，∞). 让f，fbe为正的，连续的，有界的，u，ube它们的极小化策略在G中。我们有gf（x）- Gf（x）=infu∈取消-δTf（XuT）1T<τui+Exhe-δTw（XuT-, |XuT |）1T=τui+Exhe-Δτuw（0，0）1T>τuio- infu公司∈取消-δTf（XuT）1T<τui+Exhe-δTw（XuT-, |XuT |）1T=τui- Exhe公司-Δτuw（0，0）1T>τuio≤ Exhe公司-δT（f（XuT）- f（XuT））1T<τui=Z∞e-δtλe-λtρ（Xut-,u） Zf（Xut-- r（y，u））- f（Xut-- r（y，u））dFY（y）dt≤ Ehe公司-δTi |{z}<1 | | f- f级||∞.从G的定义中，我们可以看出，GV=V符合动态编程原则。下面，我们要建立G和HJB方程之间的联系。引理3.2。让f∈ C+，b[0，∞) 用f（0）解HJB方程（1）≤ w（0，0）。对于x∈ (0, ∞) setuf（x）=参数分钟∈U（c（U）f（x）- （δ+λ）f（x）+λZρ（x，u）f（x- r（y，u））dFY（y）+λZ∞ρ（x，u）w（x，x- r（y，u））dFY（y））。如果f（0）<w（0，0）u，我们通过takinguf（0）=（uf（0+）来补充uf的定义*如果f（0）=w（0，0），其中u*表示完全再保险的策略。那么f是G的一个执行点，UF是最小化策略。备注3.3。在上面的引理中，我们写uf（x）表示我们正在使用马尔可夫控制，即完全依赖于当前状态。

此外，从Schmidli（2008）中类似于Lemma 2.12的论点可以看出，所描述的uf（x）选择是以一种可测量的方式发生的。备注3.4。本节的目的是证明具有引理3.2性质的函数F实际上是值函数V。所以要求f（0）≤ w（0，0）是一个自然条件，因为它一定由V填充。UFI的定义也非常直观，可以通过以下考虑来理解。具有uf（0）=u*意味着零的负溢价，因此这个过程可以不加跳跃地从“活着”过渡到“毁灭”。将过程XUFTA解释为一个分段确定马尔可夫过程（PDMP），这意味着活动边界Γ在这里不是空的，在PDMP理论中，它与附加边界条件f（0）=w（0，0）一起。由于在破产概率或股息支付要优化的再保险场景中通常不考虑平滑破产，因此我们模型的一个有趣特征是（可能）Γ6=. 有关此主题的更多详细信息，请参阅Rolskiet al.（2009）第11章。证据我们从HJB方程0=infu开始∈U（c（U）f（x）- （δ+λ）f（x）+λZρ（x，u）f（x- r（y，u））dFY（y）+λZ∞ρ（x，u）w（x，x- r（y，u））dFY（y））。这适用于任意x和f，这在所有Xutfort中都是明确定义的∈ [0，T∧τux]。

通过uf（通过所有相关函数的连续性存在）表示最小化策略，并使用Dynkin公式，我们可以写出0=Ex“ZT∧τufe-δtc（uf）f（Xuft-) - （δ+λ）f（Xuft-)+ λZρ（Xuft-,uf）f（Xuft-- r（y，uf））dFY（y）+λZ∞ρ（Xuft-,uf）w（Xuft-, r（y，uf）- Xuft公司-) dFY（y）！dt#=Exhe-δ（T∧τuf）f（XufT∧τuf）1T6=τufi- f（x）+Ex“中兴通讯-δtλZ∞ρ（Xuft-,uf）w（Xuft-, r（y，uf）- Xuft公司-) dFY（y）dt 1T=τuf#=Exe-δTf（XufT）1T<τuf+ Exhe公司-Δτuff（0）1T>τufi- f（x）+Ex“中兴通讯-δtλZ∞ρ（Xuft-,uf）w（Xuft-, r（y，uf）- Xuft公司-) dFY（y）dt 1T=τuf#。我们现在使用补偿理论emex“ZTλe”-δtHtdt#=Ex“中兴通讯-δtHtdNt#=Exe-δTHT,其中λ是计数过程Nt的强度，对于前一个过程ht：=Z∞ρ（Xuft-,uf）w（Xuft-, r（y，uf）- Xuft公司-) dFY（y）。取引理yieldsf（x）=Ex中的uf（0）e-δTf（XufT）1T<τuf+ 前任e-δTw（XufT-, |XufT |）1T=τuf+ Exhe公司-Δτuw（0，0）1T>τufi，因为如果c（uf（0））为1T>τuf=0≥ 0所以我们展示了f≥ Gf。另一方面，gf（x）=infu∈取消-δTf（XuT）1T<τuxi+Exhe-δTw（XuT-, |XuT |）1T=τuxi+Exhe-Δτuxw（0，0）1T>τuxio=infu∈U（f（x）+Ex“ZT∧τue-δtc（u）f（Xut-) - （δ+λ）f（Xut-)+ λZρ（Xut-,u） f（Xut-- r（y，u））dFY（y）！dt#+Exhe-Δτuxw（0，0）1T>τuxi+Ex“ZT∧τue-δtλZ∞ρ（Xut-,u） w（Xut-, r（y，u）- Xut公司-) dFY（y）dt#）≥ f（x）中，我们再次使用了最后一个表达式的补偿定理，最后一个不等式来自HJB方程。以下定理是引理3.1和3.2与巴拿赫不动点定理相结合的直接结果。这也是本节的中心陈述，因为它将HJB euqation确立为发现价值函数的关键工具。定理3.5。在函数空间C+，b[0，∞), 值函数是G的唯一固定点，因此也是HJB方程的唯一解。4个数值示例根据上一节的结果，我们可以通过找到Hamilton-Jacobi-Bellman方程的解来构造值函数。

我们选择的方法是政策迭代（有关适用方法的详细审查，请参见Kushner和Dupuis（2013））。在第一步中，我们将要找到解决方案的区间[x，xN]离散化。然后，我们从uofno再保险的一般策略开始，并使用蒙特卡罗技术确定Φu（x）和Φu（xN）的值。对这些边界值的了解使我们能够数值求解由Feynman-Kac型方程0=c（u）（Φu）（x）给出的积分微分方程- （δ+λ）V（x）+λZρ（x，u）Φu（x- r（y，u））dFY（y）+λZ∞ρ（x，u）w（x，r（y，u）- x） dFY（y），如Rolski et al.（2009）的定理11.2.3所推导。在这里，我们使用了一种有限的差异方法。以这种方式计算了[x，xN]对应的网格上所有xon的Φu（x），我们通过取（1）（x）=arg minu来寻找改进策略∈U（c（U）（ΦU）（x）- （δ+λ）V（x）+λZρ（x，u）Φu（x- r（y，u））dFY（y）+λZ∞ρ（x，u）w（x，r（y，u）- x） dFY（y））。现在我们用u（1）代替uto constructu（2），u（3）。直到不再有显著的改善。为了参考，我们选择了与Schmidli（2008）第2章中风险模型相似的参数。也就是说，我们将泊松强度λ设置为1，将考虑的区间设置为[0，14]。再保险应为比例型，即留存函数为r（y，u）=u·y表示u∈ [0, 1]. 此外，我们按照期望值原则计算保费MSC（u），再保险分出人的安全负荷表示为η，再保险人的安全负荷表示为θ。Soc（u）=λβ（η- θ+u（1+θ）），其中β表示预期索赔高度。在所有示例中，我们将η=0.5和θ=0.7.4.1设为指数索赔。首先，我们要考虑指数分布的索赔。将预期索赔高度设置为1，表示FY（y）=1-e-y

我们从非常简单的惩罚函数w（x，y）=1开始，所以我们想最小化贴现破产概率。Schmidli（2008）对δ=0的精确设置进行了处理。我们对δ=0.05的情况进行了计算，以了解贴现因子对价值函数和战略的影响。结果策略和Φ的前5次迭代分别如图1和图2所示。虽然图1显示了与Schmidli（2008）中未贴现案例的明显相似之处，但我们在图2中看到，前3个Gerber Shiu函数（蓝色、红色、黄色）之间的差异仍然显著，而函数3、4和5（黄色、紫色和绿色）之间几乎没有任何差异。图1：指数laims的最佳策略图2：函数ΦutoΦu。为了显示我们方法的灵活性，我们想考虑一个更一般的惩罚函数。因此，我们现在将使用w（x，y）=min（10，（x+0.5）（y+1）），并将贴现率增加到δ=0.1。这种惩罚函数的选择一开始可能看起来是任意的或假设的，但在某些情况下，让惩罚实际上取决于破产前的供给和破产时的损失将触发平稳破产的动机。与之前一样，我们使用策略迭代，当改进低于预定水平时停止。在图4中，我们绘制了HJB方程的对应值。在最佳情况下，该值为零，接近零的值表示良好的近似值。最优策略如图3所示，其中红线为0.1176，即溢价函数c（u）的零。因此，对于u<0.1176，总保费为负。由此产生的策略尤其有趣，因为它会导致平滑的破产。这意味着，对于较低的准备金价值，保险公司宁愿自由终止业务，并支付相对较低的罚款w（0，0）=0.5，而不是承担更高的风险。

在图5中，我们显示了第二个（蓝色）、第四个（红色）和第六个（绿色）成本函数以及各自的最小化策略（相应颜色的虚线）。4.2帕累托索赔在保险数学中，一个特殊的兴趣在于研究重尾分布。为了说明这一点，我们还调查了帕累托分布索赔案。对于w，即折扣概率，我们选择索赔分布FY（x）=1-（x+1）-2，再次导致预期索赔高度为1。此声明分布图3：经过7次迭代后的最佳策略，在红线处更改符号。图4:HJB方程的值。图5:Schmidli（2008）中还使用了带有策略u、u和u的函数Φu、Φuan和Φualong。结果策略如图6所示，而图7再次给出了前5个成本函数，依次为蓝色、红色、黄色、紫色和绿色。图6：帕累托分布的最优策略图7：函数ΦutoΦu。对于指数情况，我们还想找到帕累托分布索赔的最优策略和惩罚函数w。由于帕累托分布的第二个矩仅存在于大于2的形状参数，我们选择索赔高度分布FY（x）=1- （1+x）-3、在图8中，我们再次在c（u）的零点处添加了红线。请注意，在整个时间间隔内，最优策略会导致负保费。这可以用帕累托分布的厚尾来解释。在任何储备水平下，在潜在严重破坏的风险下生存的机会都不会超过w（0，0）e的非常适度的惩罚-δτ< 0.5. 在图10和图11中，我们还绘制了值函数的第二次到第四次迭代。相应的策略。图8：Paretoclaims的最佳策略图9：HJB错误。图10：功能ΦutoΦu。

图11:strategies uto u.4.3关于数值的说明本节所进行的计算结果比预期的更费力。虽然有些情况下，如没有或有低贴现因子的指数型索赔或没有贴现因子的帕累托索赔并没有造成太大的麻烦，但其他情况下，即更一般的惩罚函数win与贴现率和帕累托索赔的结合要求很高。原因是，在这些情况下，有限差异法对正确的起始值非常敏感，事实上，在某种程度上，MCTechnics无法提供所需的准确性。依赖IDE解算器以更连续的方式处理问题是不可能立即实现的，因为跨越c（u）零点的策略会导致相关ODE项中的奇点。获得最佳结果的方法是将中央差异和后向差异单独选择混合，结合MC模拟进行初始猜测，然后采用某种程度的手动对分技术来提供正确的初始值。4.4渐近行为我们还研究了渐近最优策略的问题。在指数分布（即轻尾）索赔的情况下，可以像Hald和Schmidli（2004）那样直接进行。但必须记住，贴现因子δ的存在将相关的伦德伯格方程更改为λ^mY（α）=1+Δλ+αcλ（4），其中^mY（α）=EeαY是高度分布FY的力矩母函数。（4）变为零的正解γ（如果存在这样的解）通常称为调整系数。现在考虑ψ（x）的Cram'er-Lundberg近似，初始值为x的破产概率，读作slimx→∞对于某些常数Cδ，ψ（x）exγ=Cδ（5）。

从（5）可以看出，通过再保险参数最大化调整系数将导致（贴现）破产概率的最大快速渐近衰减率。这种方法可以追溯到Waters（1983年），因此，如果我们现在假设一个常数再保险策略u，比例再保险和按照上述期望值原则计算的保费，则方程（4）变成λ（^mY（uγ）- 1) - δ - (λβ(1 + η) - (1 - u） （1+θ）λβ）γ=0。Schmidli（2008）中的凹度参数、微分和回忆项现在产生以下渐近最优控制策略。u*=λ(θ - η)1.-q1+θδ + 2λ(1 -√1 + θ) + θλ. （6） 对于指数索赔，最优策略并不取决于FY的期望值β，这可能有点令人惊讶。如果我们计算u*对于上述δ=0.05和λ=1、η=0.5和θ=0.7，我们得到u*0.05=0.3275，如图1所示。另一个非常有趣的事实是，渐近最优策略也不依赖于实际的惩罚函数w。起初，这似乎有悖常理，但使用Asmussenand Albrecher（2010）的材料，我们可以看到，对于一个持续的策略，ulimx→∞Φu（x）eγ（u）x=Cδ，w。因此，只有常数Cδ，w依赖于惩罚函数w，而与贴现破产概率的情况一样，共生行为受调整系数的控制。原因在于Gerber-Shiu函数中的破产指标函数；对于高起始值，破产不太可能发生。对δ=0.1的6进行评估，得出渐近最优策略u*0.1=0.2423，如图3所示。

因此，对于相同的δ值，图1和3接近于相同的水平。迈克尔·普雷什尔格拉茨理工大学分析与数论研究所，Kopernikusgasse 24/II，格拉茨8010，Austriapreischl@math.tugraz.atStefan托恩豪斯统计研究所，格拉茨理工大学，Kopernikusgasse 24/III，澳大利亚格拉茨8010。thonhauser@math.tugraz.atReferencesSoren Asmussen和Hansj¨org Albrecher。破产概率。WorldScientic Publishing Co.Pte.Ltd.，2010年。巴勃罗·阿祖伊和诺拉·穆勒。Cram'er-Lundberg模型中的最优再保险和股息分配政策。《数学金融：国际数学、统计和金融经济学杂志》，15（2）：261–3082005。巴勃罗·阿祖伊和诺拉·穆勒。保险中的随机优化：动态规划方法。Springer，2014年。Arian Cani和Stefan Thonhauser。Cram'er–Lundberg模型中的一个最优再保险问题。《数学运算方法研究》，85（2）：179–2052017。Hans U Gerber和Elias SW Shiu。论破产的时间价值。《北美精算杂志》，2（1）：48–721998年。Morten Hald和Hanspeter Schmidli。比例再保险下调整系数的最大化。ASTIN公告：IAA杂志，34（1）：75–832004。克里斯蒂安·希普和迈克尔·塔克萨。最优非比例再保险控制。《保险：数学与经济学》，47（2）：246–254，2010年。克里斯蒂安·希普和迈克尔·福格特。最优动态XL-再保险。ASTIN公告：IAA杂志，33（2）：193–2072003。哈罗德·库什纳和保罗·格杜普伊斯。《连续时间随机控制问题的数值方法》，第24卷。Springer Science&Business Media，2013年。托马兹·罗尔斯基、汉斯彼得·施密德利、沃尔克·施密特和约泽夫·勒特格尔。《保险和金融随机过程》，第505卷。John Wiley&Sons，2009年。汉斯彼得·施密德利。

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