Cramer-Lundberg中Gerber-Shiu函数的最优再保险

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英文标题：
《Optimal Reinsurance for Gerber-Shiu Functions in the Cramer-Lundberg
  Model》
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作者：
Michael Preischl and Stefan Thonhauser
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Complementing existing results on minimal ruin probabilities, we minimize expected discounted penalty functions (or Gerber-Shiu functions) in a Cramer-Lundberg model by choosing optimal reinsurance. Reinsurance strategies are modelled as time dependant control functions, which leads to a setting from the theory of optimal stochastic control and ultimately to the problem\'s Hamilton-Jacobi-Bellman equation. We show existence and uniqueness of the solution found by this method and provide numerical examples involving light and heavy tailed claims and also give a remark on the asymptotics.
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中文摘要：
为了补充现有关于最小破产概率的结果，我们在Cramer-Lundberg模型中通过选择最优再保险来最小化预期贴现惩罚函数（或Gerber-Shiu函数）。再保险策略被建模为与时间相关的控制函数，这导致了从最优随机控制理论到问题的Hamilton-Jacobi-Bellman方程的设定。我们证明了用这种方法得到的解的存在性和唯一性，并给出了涉及轻尾和重尾索赔的数值例子，还对渐近性进行了说明。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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关键词：Gerber Cramer Berg Ber GER

Cram'er-Lundberg模型中Gerber-Shiu函数的最优再保险。Preischl和S.Thonhauser*2018年9月10日摘要为了补充关于最小破产概率的现有结果，我们通过选择最优再保险来最小化Cram'er-Lundberg模型中的预期贴现惩罚函数（或Gerber-Shiu函数）。再保险策略被建模为与时间相关的控制函数，这导致了从最优随机控制理论到问题的Hamilton-Jacobi-Bellman方程的设定。我们证明了用这种方法得到的解的存在性和唯一性，并给出了涉及轻轨和重轨索赔的数值例子，还对渐近性进行了说明。1导言和准备1.1动机选择最优再保险合同的问题多年来一直是精算数学中非常活跃的领域，在这方面考虑了许多不同的框架。关于这一主题的早期工作受到Waters（1983）的启发，Waters（1983）的想法是最大化调整系数，以在初始资本增加的情况下实现破产概率的最快衰减率。虽然该方法侧重于渐进行为，因此产生了静态再保险策略，但Schmidli（2001、2002）、Hipp和Vogt（2003）以及Hipp和Taksar（2010）考虑了动态控制策略，因此再保险政策可以适应再保险过程的演变。Schmidli（2008）收集了关于最优动态再保险的结果。像上面引用的论文一样，从事动态再保险的大多数人都从最优随机控制的角度出发。

这些方法的全面总结*作者得到了奥地利科学基金（FWF）项目F5510（特别研究计划（SFB）“准蒙特卡罗方法：理论和应用”的一部分）的支持。关键词：动态再保险、最优随机控制、Gerber-Shiu函数保险数学由Azcue和Muler（2014）提供。可以采取许多不同的方法，这取决于是否考虑注资，在风险流程中添加了不同的术语，以及需要优化的功能。对于后一个问题，最流行的选择是破产概率，但其他泛函是可以思考和有趣的。例如，Azcue和Muler（2005）以及Cani和Thonhauser（2017）提出了最大化股息支付的策略，结果表明，结果与最小化破产概率的最优策略有着质的不同。在我们的手稿中，我们将考虑在贴现惩罚函数的概念中结合的相当普遍的泛函选择，这是一个在保险数学的许多分支中广泛使用的概念。1.2模型我们考虑一个风险储备过程（Xt）≥0在经典的Cram'erLundberg模型中。也就是说，从某个初始值x开始，准备金过程会随着时间的推移而演变，取决于保费收入和索赔发生率。索赔到达由强度为λ的泊松过程给出，即每单位时间预计有λ个索赔（等效地，预计索赔间时间为λ）。索赔高度与泊松过程无关，并遵循一些连续分布FYon（0，∞). 虽然没有严格必要，但我们通常会假设fY有一个密度fY。我们假设再保险可以在以下意义上以控制函数u的形式获得：在每个时间点t，从集合u中选择一个控制参数u（例如，u=[0，1]）。

地图ut:R+→ U被称为再保险策略，通过U，我们表示U上的一组过程，这些过程相对于FX是可预见的，FX是由过程Xt生成的sigma代数。U中的函数称为容许控制策略。再保险的影响由自留函数r建模：如果在时间t遇到高度y的索赔，保险人只需支付部分r（y，ut），其余费用将转移给再保险公司。在本文中，我们假设r在u中是单调且连续的。当然，再保险不是免费的，因此再保险策略也会影响再保险保费，从而最终影响第一家保险人的保费收入（以下也称为分出）。因此，时间t的保险费率计算为asc（ut）=c- p（ut），其中c表示无再保险的再保险分出人保费，p（ut）表示再保险人保费。这些保费可以用几种方法计算，包括最常用的预期原则、方差原则和指数原则。在本文中，我们想假设再保险保费相对高于分出保费。因此，购买全额再保险将导致负保费率。结合这些假设，我们确定了由策略u控制的流程∈ U： Xut=x+Ztc（美国）ds-NtXi=1r（Yi，uTi）。在这里以及本文的其余部分，Nt表示对时间t和Tiresp的索赔次数。Yi表示时间响应。第四个索赔的高度。设τux：=inf{t≥ 0：Xut≤ 0 | Xu=x}表示破产时间，即xutbe为负值的第一个时间点。为了方便起见，我们在破产事件之后冻结了这个过程，即Xut=Xuτuxforall t>τux。

继Gerber和Shiu（1998）之后，我们对Φu（x）形式的折扣惩罚函数（或Gerber-Shiu函数）感兴趣：=Exhe-Δτuxw（Xuτux-, |Xuτux |）1τux<∞i、 这里，Xuτux-被称为破产前盈余，| Xuτux |是破产时的贴现率，δ>0是贴现系数。在本文中，我们要求w:R+×R+→ R+是一个连续函数。考虑到我们希望将罚款减至最低，我们只剩下发现v（x）：=infu∈UΦU（x），对于x>0。我们也将V（x）称为值函数。1.3值函数的性质为了总结这些预备知识，我们想展示两个简单但重要的定理，给出V的单调性，在温和的条件下，给出V的lipschitz连续性。引理1.1。V（x）是严格单调递减的。证据让x>y。从x开始，连续购买全额再保险，导致负漂移π。因此，确定地说，在时间之后-xπ过程达到y级。从那里采取最优策略意味着sv（x）≤ e-δy-xπV（y）<V（y）。备注1.2。由于引理1.1是关于最优控制过程折扣函数的一种表述，因此，对于任意的控制策略，单调性并不成立。引理1.3。假设w（以及Φ和V）以某个常数M为界。那么V（x）是Lipschitz连续的。证据对于每一个x>0，就有一个ε-最优策略u，其中ful fillsv（x）≥ ΦИu（x）- ε.让y<x，让ut≡ u是一个常数控制策略，使过程具有正漂移（c（u）>λE[r（Y，u）]）。

现在我们用θx表示x从y开始的减薄时间：=inf{t≥ 0：Xut≥ x | Xu=y}并为从y开始的过程定义一个新的控制策略u=（\'uyt），对于0，ut=u≤ t型≤ θx和'ut='ut-θx或t≥ θx.We haveV（y）≤ Φ？u（y）≤ PT> x个- yc（u）e-δx-yc（u）ΦИu（x）+PT<x- yc（u）M≤ e-（δ+λ）x-yc（u）（V（x）+ε）+1.- e-λx-yc（u）M、 产生| V（x）- V（y）|=V（y）- V（x）≤ V（x）e-（δ+λ）x-yc（u）- 1.+ εe-（δ+λ）x-yc（u）+1.- e-λx-yc（u）请注意，Lipschitz连续性意味着V的绝对连续性。2主要结果由于我们想使用随机最优控制理论，因此必须证明值函数是问题的sHamilton-Jacobi-Bellman方程（HJB）的解。证明遵循了与Cani和Thonhauser（2017）中引理3相似的论点。引理2.1。值函数V（x）开启（0，∞) a、 e.0=infu的解决方案∈U（c（U）V（x）- （δ+λ）V（x）+λZρ（x，u）V（x- r（y，u））dFY（y）+λZ∞ρ（x，u）w（x，r（y，u）- x） dFY（y））。（1） 这里，ρ（·，u）=r（·，u）-1取消第一个组件中保留功能的反转。证据我们首先展示≤ 部分注意，通过V的连续性，动态编程原理成立，即isV（x）=infu∈乌埃克斯河-δSV（XuS）1S<τux+e-Δτuxw（Xuτux-, |Xuτux |）1S≥τuxi，（2）对于每个停止时间S，下一个fix x x>0，h>0和u∈ U使得c（U）>0。考虑一下策略^ut≡ u代表t∈ [0，h]和^ut=~ut-对于某些▄u，hfort>h∈ U、 Tagain是第一个声明的时间，设置S：=min{h，T}。显然，S是一个停止时间，策略^u在时间间隔[0，S]中是常数。设置V（x）=0表示x<0，使用（2），我们得到0≤ 前任e-δSV（X^us）- V（x）+排气-Δτ^uxw（X^uτux-, |X^uτux |）1S≥τ^uxi。应用Dynkin公式yields0≤ Ex“V（x）+ZSe-δtA^uV（X^ut）- δV（X^ut）dt公司#- V（x）+排气-Δτ^uxw（Xτ^ux-, |Xτ^ux |）1S≥τ^uxi，其中A^ude注意到过程X^ut的发生器，根据Rolski et al。

（2009），定理11.2.2，由a^ug（x）=c（^ut）g（x）给出- λg（x）+λZ∞g（x- r（y，^ut））dFY（y）。（3） 这导致0≤ Ex“ZSe-δtc（^ut）V（X^ut）- （δ+λ）V（X^ut）+λZρ（X^ut，^ut）V（X^ut- r（y，^ut）dFY（y）#+Exhe公司-Δτ^uxw（Xτ^ux-, |Xτ^ux |）1S≥τ^uxi。收集这些项，除以h，并使用^u=u表示t∈ [0，S]给定0≤十六进制“ZSe-δtc（u）V（x+c（u）t）dt#+十六进制e-δTw（x+c（u）T，| XuT |）1S≥τ^ux+十六进制“ZSe-δt- （δ+λ）V（x+c（u）t）+λZρ（x+c（u）t，u）V（x+c（u）t- r（y，u））dFY（y）！dt#。在Cani和Thonhauser（2017）的引理3证明中创建了类似的情况，我们可以使用相同的参数得出0≤ infu公司∈U（c（U）V（x）- （δ+λ）V（x）+λZρ（x，u）V（x- r（y，u））dFY（y）+λZ∞ρ（x，u）w（x，r（y，u）- x） dFY（y）），这是证明的前半部分。对于另一个方向，我们确定x>0并选择h>0，使得x+πh>0，其中π<0再次是全额再保险下的保费。设ube为（2）的一个h-最优策略，取againS：=min{T，h}。

如上所述，从（2）开始，我们得到0>Exhe-δSV（XuS）1S<τux- V（x）i- h类- εh+Exhe-δSw（Xuτux-, |Xuτux |）1S≥τuxi。以第一次索赔的时间和高度为条件，并使用索赔间时间的指数分布，这可以写成0>e-（δ+λ）hV（~xh）+Ex“Zhλe-（δ+λ）tZρ（￠xt，ut）Vxt- r（y，ut）dFY（y）dt#+Ex“Zhλe-（δ+λ）tZ∞ρ（￠xt，ut）wxt，r（y，ut）- xtdFY（y）dt#- V（x）- h类- hε。注意，为了提高可读性，我们使用了符号快捷方式▄xt：=x+Rtc（us）ds和▄xh：=x+Rhc（us）ds。在这一点上，我们可以再次遵循Cani和Tonhauser（2017）中引理3的证明来推断0>c（u）V（x）- （δ+λ）V（x）+λZρ（x，u）V（x- r（y，u））dFY（y）+λZ∞ρ（x，u）w（x，r（y，u）- x） dFY（y）- ε.让ε→ 0完成证明。在证明了值函数是HJBequation（1）的一个解之后，我们现在需要证明它是唯一的一个（至少有两个给定的分析性质）。3 HJBequation和Verification语句解的唯一性请注意，破产可以通过大于当前准备金（索赔破产）的索赔发生，也可以通过以负的最大值减少准备金，直到准备金变为负（平滑破产）。在某些条件下，故意诱导平滑破产并因此选择罚款e实际上是有利的-Δτuxw（0，0）。稍后，我们将看到，平滑破产的可能性会导致模型的分析框架发生变化。写入C+，b[0，∞) 对于[0]上的正、连续和有界函数集，∞) 并定义C+、b[0、，∞) asGf（x）：=infu∈未完成e-δTf（XuT）1T<τux+ 前任e-δTw（XuT-, |XuT |）1T=τux+ Exhe公司-Δτuxw（0，0）1T>τuxio。引理3.1。Gf公司∈ C+，b[0，∞). 此外，G是c+，b[0，∞).证据正性和有界性紧随其后，因为假定w具有这些性质。现在让f∈ C+，b[0，∞) 和x，y∈[0, ∞) x>y时。

通过与引理1.1相同的论证，我们得到Gf是单调递减的。在Gf（x）中选择uxas作为ε-最优策略，并在Gf（x）的右侧写入Guxf（x），使用下面的控制策略uxIn，我们将按路径考虑预留过程。为时间t的风险流程编写，从z开始，由策略u控制∈ U是对应于无再保险的参数，定义ξ：=inf{t:yXut=xXuxt}，因此ξ是在y中启动的流程到达在x中启动的流程路径的时间。现在设置策略（uy）t≡ ufor t∈ [0，ξ]和（uy）t=（ux）t对于t>ξ。我们有| Gf（x）- Gf（y）|=Gf（y）- Gf（x）≤ Guyf（y）- Guxf（x）+ε。显然，表示过程的破产时间始于x，并由策略uxbyxτux控制，我们得到了xτux≥yτuy。将上述方程展开，得出guyf（y）- Guxf（x）+ε=Ehe-δTf（yXuyT）1T<yτuyi+Ehe-δTw（yXuyT-, |yXuyT |）1T=yτuyi+Ehe-Δτuyw（0，0）1T>yτuyi- Ee-δTf（xXuxT）1T<xτux- Ee-δTw（xXuxT-, |xXuxT |）1T=xτux- Ehe公司-Δτuxw（0，0）1T>xτuxi+ε。收集术语后，我们看到GuyF（y）- Guxf（x）=Ehe-δT（f（yXuyT）- f（xXuxT））1T<yτuyi- Ehe公司-δTf（xXuxT）1yτuy=T<xτuxi+Ehe-δTw（yXuyT-, |yXuyT |）1yτuy=T=xτuxi- Ehe公司-δTw（xXuxT-, |xXuxT |）1yτuy=T=xτuxi。请注意，Tcancel out之前的平滑破产术语，因为在此设置中，只有在x和y中开始的进程合并之后，才可能实现平滑破产。此时有助于区分ξ的情况≤ Tandξ>T，那么合并是否在第一次索赔之前已经发生。单独考虑总和yieldsEhe-δT（f（yXuyT）- f（xXuxT））1T<yτuyi=Ehe-δT（f（yXuyT）- f（xXuxT））1T<yτuyξ>Ti+Ehe-δT（f（yXuyT）- f（xXuxT））1T<yτuyξ≤Ti{z}=0。我们看到ξ≤ t条款取消。

为了分析ξ>T的情况，取εc>0并定义*= inf{t：εt>0:c（ux（~t））<c- εcfor￠t∈ [t，t+εt]}。换句话说，在t*开始第一个打开间隔，其中在x中开始的过程的漂移至少比在y中开始的过程的漂移小εcs。对于| x- y |足够小，即使对于任意小的εc，这个时间间隔也足以让yxuy达到xxuxtso的轨迹，我们知道ξ∈ [t*, t型*+ εt]带εt→ 0表示| x-y |→ 0.现在让我们考虑第一次索赔发生时间T.o对于T<T*, 这些过程尚未合并，但它们的Premiumrate最多为εcapart，并且由于premium是一个连续的、严格单调的函数，因此它们的控制策略最多为δcapart。由于保留函数在u中也是连续的，εcw是任意的，我们知道| f（yXuyT）-f（xXuxT）|→ 0为| x- y |→ 0.o如果t*< T<ξ，我们不能直接控制T处跳跃的差异，但既然我们知道ξ∈ [t*, t型*+ εt]由于Tis的分布连续，P（t∈ [t*, t型*+ εt]）变为零→ 类似地，对于第二个summand，我们看到-δTf（xXuxT）1yτuy=T<xτuxi=Ehe-δTf（xXuxT）1yτuy=T<xτuxξ<Ti。使用t的定义*与之前一样，我们还要考虑两个案例对于T<T*我们已经指出，对于| x，进程的两条路径任意接近-y |非常小。