多主体经济学与关键市场的出现

（46）考虑到IIA公理和第4.1节中使用的方法，McKelveyand Palfrey[56]的QRE决策模型为：p（xij | Gi，hxi-i、 ξi）=Z-1expξiVi（hxi-i | Gi，xij）（47）以方程式32的平衡双曲线形式写成：hxii*= tanh公司ξi（gii+gi1,2hxi-我*)（48）在平衡状态下，SDT和QRE包括其他代理人hxi的主观期望-i、 但平衡状态下的DT模型有hxii*≡ hxi公司-我*然而，QRE可能并非如此，这取决于每个代理的单独参数gian和ξi。为了确定其结果，McKelvey和Palfrey假设了Gumbel分布，而不是Theia公理。相反，他们使用Brouwer的不动点定理和Sard定理（定理1和[56]的附录）来确定平衡的存在性和离散性，就像Debreu在他最初分析确定性经济体平衡的存在性和可数性时所做的那样[26]。方程45和46说明了博弈论的临界偏好（c.f.方程11之后的讨论）如何进入效用的概率分布。在不确定度为零的情况下，公式46减少到p（Vi（hxi-i | Gi，xi）>Vi（hxi-i | Gi，xi））=1<==> xi xi当xi~ 图4.5《比较分析、关键市场和孪生危机》5.1《数学描述中的结构相似性》中所示的博弈论中可能会出现仙德分岔。QRE方程47和SDT方程31之间的比较显示了它们的结构相似性。然而，一个重要的区别是，在QRE中，Gican给出的交互术语在代理之间有所不同，而SDT只考虑相同类型代理之间的交互。

将这两个实用程序写在一起以比较相似项的系数：SDT:U（hxii，hxi-i | Zi，ε）=ki+hxiihi+hxiihxi-iJi，-i+ε，（49）QRE:U（hxii，hxi-i | Gi，εi）=Gi+hxiigii+hxi-igi公司-i+hxiihxi-igi1,2+εi.（50）系数gian和gi-i出现在QRE效用中，但不是QRE本身（方程式48），Kiterm出现在SDT效用中，但不是SDT的平衡解中（方程式32）。然而，它们在效用函数的层次上很重要，如下所示。代理人的溢出效应-对于某些确定性效用函数Vi（xi，x），i到代理i-i） 具有连续决策变量x和x-iis定义为【25】：六（xi，x）-（一）x个-i=（>0正溢出<0负溢出（51），为简单起见，假设Ji，-i=gi1,2=0，因此代理实用程序中没有交互项，那么SDT实用程序没有溢出-i到i，而QRE效用的溢出是：V（hxii，hxi-i | Gi）hxi公司-i=gi-i（52）溢出效应的一个显著例子是囚徒困境，其中gi1,2=0和消极的违规者主导了对两个代理人的支付，即gi-i> gii。在这种情况下，不仅QRE和SDT模型不同于决策层面的溢出，而且SDT的效用（但不是QRE）也不同。这可以通过扩展SDT实用程序：SDT:U（hxii，hxi）来解释-i | Zi，εj）=ki+hxiihi+hxi-ifi+hxiihxi-iJi，-i+εj，（53）然后是SDT系数的扩展向量：Zi=[ki，hi，fi，Ji，-i] 如果游戏实用程序是对称的，则形式上等价于玩底层游戏G的两个代理之间的交互，例如图4中的游戏。通过将Payoff参数写入向量Gi=[ai，bi，ci，di]（c.f。

方程39至42），因此ngi和Zi之间的关系可以写成一个线性方程组AGi=Zi：1 1 1 1-1 1 -1 1-1.-1 1 11 -1.-1 1艾比西迪=gigigigi1,2=基希斐济，-我（54）通过求解Gi=A，可以从SDT参数中恢复QRE实用程序-1字：1.-1.-1 11 1 -1.-11-1 1 -11 1 1 1基希斐济，-我=艾比西迪（55）SDT参数可以通过计量经济学方法从经验上找到，最近的工作参见示例【17，33】。这两个公式之间的关系很重要，因为直接在经济数据中观察博弈论效用可能很困难，而计量经济学技术则以SDT著称。关键术语是Ji，-ias该系数对SDT中的战略互补性进行编码【18】，对于QRE和SDT中的分岔是必要的，下面介绍。5.2关键市场和战略互补性溢出效应本身不能导致关键市场。对于关键市场，需要在代理人的决策层面上进行互动，而不仅仅是他们的效用。适当的分析是对战略互补性和战略替代性的分析【25】，将给出定义，然后讨论SDT和QRE的含义。使用公式51的旋转，定义为：六（xi，x）-（一）x个-我xi=（>0战略互补性<0战略替代性（56），将定义应用于等式49和50：U（hxii，hxi-i | Zi，ε）hxii公司hxi公司-i=Ji，-i（57）U（hxii，hxi-i | Gi，ε）hxii公司hxi公司-i=gi1,2（58）在2×2博弈中，如果严格不等式gii±gi1,2<0<gii，则有三个纳什均衡是可以满足的 gi1,2保持，c.f。

方程式48中的指数。为了说明QRE的市场关键性，考虑一个市场，其中代理对代理的交互基于两种类型的代理，即计划和-i、 玩游戏G={Gi，G-i} 具有执行能力。总共有N个（偶数）代理，每种类型有N/2个代理。该市场的运作方式是，将每一个Pito-pair类型的代理随机分配给一个P类型的代理-G给出了他们选择的报酬。所有类型为Pi的代理都有一个XI的聚合平均策略，同样，类型为P的聚合平均策略-iagents为hxi-i、 该模型基于[57]中使用博弈论对玩家群体进行的行为实验。允许市场不确定性ξ=[ξ，ξ]发生变化，这些不确定性在下文中有更详细的描述。示例具有对称效用：P:Gxxx0 7x2 6P:Gxxx0 2x7 6有三个纳什均衡，两个纯：（x，x），（x，x）和一个混合：（hxi，hxi）=（，）。Pi的预期效用和QRE为：V（hxii，hxi-i | Gi）=（15+hxii+11hxi-我- 3hxiihxi-i） ，（59）hxii*= tanh（ξi（1- 3hxi-我*)), （60）其中gi1,2=-3、注意1- 3<0<1+3，因此除临界参数值外，QRE有一个或三个平衡：ξ*= [ξ1,*, ξ2,*]. 图5显示了由不确定性[ξ，ξ]参数化的QRE平衡面，用于P的平衡hxi。红色曲线（左图）是平衡面上的分岔集，分岔集在控制平面上的投影ξ×ξ是临界集ξ*市场的一部分。Ab图5：左：鸡博弈的QRE，其中不确定性ξ和ξ控制固定点数。红色曲线是固定点曲面的梯度发散的地方，定义了固定点数量变化的分岔。临界市场表现为从不稳定均衡向稳定均衡的转变。

右图：临界集（蓝色曲线）是红色分叉曲线在控制平面上的投影，从正上方看，区域A有一个固定点，区域B有三个固定点。使用Mathematica导出曲面、分叉曲线和临界集。5.3战略互动和“双重危机”效应双重危机效应是由两个市场之间的互动引起的问题。Kaminsky andReinhart[49]研究了货币市场共同发生的危机与银行业之间的关系，发现从银行业危机到货币市场危机之间存在因果关系。戈尔茨坦（Goldstein）[43]表明，在危机期间，战略互补性（c.f.方程56）在这些市场之间形成反馈循环方面发挥着关键作用。在这里，我们将这一概念扩展到基于QRE的市场，表明一个市场中产生的分歧会导致第二个市场中的分歧，即使第二个市场的参数Zi=[ai、bi、ci、di、ξi]保持不变。以前，代理之间的交互仅限于单一市场内的代理。在以下情况下，代理商将代表两个不同的市场，其中一个市场可能生产两种商品的混合物，然后销售到另一个买方市场。早期为由两种类型的代理组成的单一市场的QRE开发的符号，通过分析两个被描述为两个代理相互作用的市场。所有生产商的平均策略∈ [-1，1]和卖方Pis x∈ [-1，1]我们将市场QRE表示为市场不确定性ξi，ξ的函数-土地战略xi，x-i： xi=fi（x-i、 ξi，（61）=fi（f-i（xi，ξ-i） ，ξi），（62）x-i=f-i（xi，ξ-i） ，（63）=f-i（fi（x-i、 ξi），ξ-i） 。

（64）为了在QRE方面明确这一点，我们可以将每个市场的均衡状态表示为：xi*= tanh（ξi（gii+gi1,2x-我*)) （65）=tanhξigii+gi1,2tanh（ξ-i（g-我-i+g-i1,2xi*))（66）注意，每个市场独立于另一个市场的战略，但它们通过其不确定性ξ和ξ耦合在一起-i及其参数集G。为了找到QRE曲面发散的临界点集，我们计算雅可比矩阵，请参见【70】。例如xiξiis：金融机构x个-我f-我xixiξi+金融机构ξi-xiξi=0（67）fif-我xiξi+fi-xiξi=0（68）fifif-我- 1=xiξi（69）方程式68的符号简化使用下标表示与方程式61和63中Fi的第一个或第二个参数的差异。剩余项的一组类似计算给出了雅可比矩阵：Jξx=fif-我- 1.fifif公司-ifif公司-如果-我（70）当fif-i=1。该方程的数值解已映射到图5（左图）的平衡面上，然后投影到控制平面（右图）上，以去掉表示平均策略的角括号，以减少符号中的混乱。形成市场的关键集合。请注意，市场均衡的标准i至关重要：fif-i=1是市场的同一标准-由于i和-i、 当一个市场满足标准时，另一个市场也满足标准。具体而言，从图5可以看出，如果ξ变化，而ξ保持不变，则两个市场的均衡都会发生变化，市场可能会成为关键市场，当xd不连续地下降到一个新的、遥远的均衡点时，就会发生市场危机，如图5中的箭头所示。这会导致x的崩溃，即。

市场1的不确定性变化导致该市场崩溃，这导致市场2随后崩溃，尽管市场2的不确定性ξ保持不变，导致两个市场发生双重危机。用一个假设来说明，在次贷危机期间，金融市场可能改变了对持有抵押贷款的银行价值的估计。因此，即使银行对自身资产的价值进行了调整，金融市场对两个市场之间互动价值的不确定性的变化也可能足以引发这场双重危机。这是非常合理的，如果两个市场相互关联，其中一个市场崩溃，这将对另一个市场的均衡产生影响，而另一个市场的均衡反过来又会对第一个市场产生影响，因此市场崩溃会自食其果。这种影响的一般性质反映在方程式61至64.6的一般性讨论中。本文分析的一个缺点是，除了突变理论，模型没有时间方面：所有方程都是时间独立的，并且隐含地假设每个方程在固定的时间点做出决定。Gallegati等人[36]在Brock和Durlauf的社会互动文献[32，17]的基础上放宽了这一假设。他们使用一个时间相关（对数）价格ptat time t的随机模型，对于一个有N个代理的市场，每个代理都有一个二元决策变量xi，t∈ {-1，1}和超额需求函数xt-1（符号适用于本文）：xt-1=N-1NXi=1xi，t-1（71）pt=pt-1+f（xt）+zσ（72），其中f（xt）是过剩需求对价格演变影响的确定函数，σ是NID（0，1）过程，z是标准差和均衡价格p*对于f（xt）=0，c.f.方程2和6，对于已知潜在函数的市场结果或指数的时间演化，可获得。

通过引入所有代理在时间t:xet=xt时对市场超额需求的静态预期-1他们将每个代理的效用函数的时间演化写为：Ui，t=（pt- pt公司-1） xi，t+Jxi，txet+εi，t（73），其中pti是时间t的预期（对数）价格，而社会互动强度J的解释与前面讨论的模型中的解释相同。作者将他们的模型扩展到包括代理人的财富分配动态、预算约束和正交易成本。这些数据足以模拟市场崩溃的动态，其中包括一段金融危机时期（PFD），在这段时期内，市场达到峰值，可能已经在一个新的平衡点上稳定下来，甚至正在下降，但这段危机时期实际上先于市场危机。这段时间可能持续几天或几年。这一观点是微观经济学的，并用代理人互动的角度加以描述【51，第31页】：这是一个很大比例的代理人几乎处于需要清算资产作为其偿债能力的时期。在林德伯格（Indelberger）的《狂热、恐慌和崩溃》（Manias，Panics and Crash）一书中确定的46次历史危机中，有36次出现了这种PFD，这似乎是资产市场危机的一个关键指标。最近的一些市场动态，包括美国次级抵押贷款危机之前的时期和当前澳大利亚住房市场的某些部分（在撰写本文时），似乎都有PFD方面的影响。突变理论的势函数在整个市场分析中起着关键作用，其中存在梯度动态【59】。在这种情况下，方程3和6是可积的，且解的形式为方程8。在博弈论中，这适用于两人两选择博弈，其中均值策略将策略变量的数量从2减少到1。

这意味着Brock和Durlauf二元模型是可积的，因此可以找到势函数，参见Sandholm【60，示例4.4】。梯度系统（局部）可积的要求等价于市场的Slutsky矩阵的对称性[1]，Slutsky矩阵、势函数和突变理论之间的关系见Balasko[10]。文[67]涵盖了与潜在函数和经济动力学相关的一般问题，瓦根·梅克斯（Wagenmakers）的分析[68]允许将计量经济学技术应用于灾难的检测。本综述中关于不同观点之间关系的最后说明。金蒂斯呼吁博弈论统一社会科学[41]，这与用于检测主体之间社会互动的计量经济学技术[32]是一致的。这反过来又解决了卢卡斯的批评[53]，因为驱动博弈论中代理之间交互的参数可以从集体社会行为的宏观测量中恢复。这在一定程度上有助于理解如何以一致的方式整合经济理论不同分支中发展的不同方法。致谢这项工作得到了澳大利亚研究委员会拨款DP170102927的支持。参考文献[1]Sydney N Afriat。Slutsky和Frobenius。《国家报》，37（3-4）：307-3221977。[2] 青木正男。不对称商业周期的简单模型：具有离散选择的大量代理的交互动力学。宏观经济动态，2（4）：427–44219998年。[3] 弗拉基米尔·伊戈雷维奇·阿诺（VladimirIgorevichArnol\'d.）。突变理论。Springer，1992年。[4] W布莱恩·亚瑟。归纳推理和有限理性。《美国经济评论》，84（2）：406–4111994。[5] W布莱恩·亚瑟。非均衡经济学和基于agent的建模。

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