基于Gibbs采样器的带跳跃的非高斯随机波动率模型

NGSVJ能够捕捉到大部分模拟的跳跃及其大小。未被模型跳跃分量捕获的跳跃点传播到波动率λ-1或重尾γ-1部件。图3：模拟研究：模拟数据瞬时跳跃JT的后验估计。灰色显示的时间序列真值；后验平均值估计为Jtin黑色。表1给出了每个静态参数的模型估计值。NGSVJmodel能够得到非常接近真实参数的估计值。图4比较了NGSVJ和NGSSM（无跳跃）模型的瞬时波动率后验概率。可以看出，跳跃成分吸收了异常回报的影响，因此它们不会传播到波动性度量。此外，NGSVJ模型的BIC和DIC值比NGSSM（不含跳跃分量）小，这表明尽管有更多的参数需要估计，但其拟合效果更好。NGSVJ NGSSMTrue MEANCE SD RMSE MEANCE SD RMSEu0.05 29 0.0024 0.0037 0.0187 0.0012 0.0313ρy0.015 0.01544 0.0022 0.0024-uy-2.5-2.2799 0.5648 0.6245-σy4 4 4.4445 0.4016 0.7475-对数L-5783-6322BIC-11634 12669DIC-12139 13938表1：模拟日收益的NGSVJ和NGSSM（无跳跃）静态参数的后验估计（n=5000）。图4：模拟研究：顶部图表显示了模拟数据的主要瞬时跳跃JT的后验估计以及模拟回报。底部图显示瞬时波动率λ的方差估计-1吨。NGSVJ平均估计数以实线表示，NGSSM（无跳跃结构）平均估计数以虚线表示。如图5所示，该模型的另一个优点是，由于其自动且简单的采样结构，它可以快速实现收敛。

这使得该模型可以用于在线日交易操作，如下一节所示，以估计市场波动性并确定日交易套利策略。图5:MCMC链收敛：使用三个不同初始值的模拟时间序列模型静态参数的跟踪图。每条线代表一条链。通过对参数使用不同的初始值，可以在不同的模拟场景中获得类似的结果。随着样本量n的增长，模型的维数呈指数增长，因为需要估计四个动态参数：波动率λ-1.混合物成分，γ-1.跳跃次数，N；AND跳跃大小，ξ。因此，它受到计算时间和可用计算机内存等问题的限制。处理高维数据的一种方法是减少样本量和MCMC算法进行的迭代，利用模型的推理过程以及Gibbs采样器的自动特性使链快速收敛。如图5所示，FIRST200迭代实现了收敛，与参数的初始值无关。在实际应用方面，基于文献中其他模型的结果，如Eraker et al.（2003）、Warty et al（2014）、Nakajima andOmori（2007），我们已经有了良好初始值的想法，可以使用这些模型更快地实现收敛。4模型应用在本节中，我们展示了NGSVJ模型的两个应用，并将其与Gamerman等人（2013）提出的NGSSM和Kastner（2016）提出的SV模型进行了比较，该模型在CRAN上可用的R stochvol软件包上实现，以测试其效率。正如doneby Eraker et al.（2003）和Warty et al（2014）所述，第一部分涉及标准普尔500指数波动率的估计。

第二个是对布伦特原油期货日内收益的应用，在下一分钟收益信息到达之前估计波动性，以便在用户在市场上操作时，将模型作为现实决策问题中的战略制定工具。4.1标准普尔500指数数据NGSVJ应用于股票市场指数数据，结果将与Gamerman等人（2013）提出的NGSSM和Kastner（2016）提出的股票收益数据SV模型进行比较，其中不包括收益跳跃。该数据集包含1980年1月2日至1999年12月31日的标准普尔500指数回报。不包括周末和节假日，标准普尔500指数每天观测5055次。表2提供了日志返回的描述性统计，按100缩放。样本量平均方差偏度峰度最小值MAX5055 0.05205 0.9978-2.6357 63.0710-22.8997 8.7089表2：S＆P500对数回归[×100%]描述性统计。图6:1980年1月2日至1999年12月31日标准普尔500指数的对数收益率（n=5055）。4.1.1适用于股市指数数据的参数规范，基于敏感性分析结论，表明ν=30，γtin规定了G（15,15）先验分布，以获得观测和系统干扰的Student t误差。回想一下，weavoid呼吁Metropolis步骤来估计ν，以便通过Gibbs采样器保持自动采样过程。阈值固定在α=0.7，贴现因子ω固定在0.9。对于平均组分，规定了u和uy，N（0100）优先，σya逆伽玛（0.1,0.1）优先。此外，Gamerman et al.（2013）引用的West et al.（1987，第333页）中建议的a=0.1和b=0.1。β（2,40）先验分布被指定为ρy，如Eraker等人（2003）所述。

对于NGSSM型号，制定了相同的规范，但该型号不包括跳线组件。结果是通过300000次迭代链获得的，60000次观察的老化，11次观察的滞后，产生20000个样本。MCMC链收敛通过图解法进行验证。所有编程都是在RSSoftware（R统计计算基金会，2015）中使用Rcpp包完成的。4.1.2结果表3显示了每个静态参数的模型估计值。Eraker等人（2003）观察到，对于NGSVJ而言，回报率的跳跃并不频繁，因为跳跃概率ρi很小，但幅度很大，正如跳跃大小平均值uy所示。BIC和DIC标准支持NGSVJ而非NGSSMand SV模型，这表明前者对数据的拟合更好。NGSVJ的计算时间接近SV模型，这使得它具有竞争力，因为它包含跳跃结构，利用自动推理过程来提高速度。包含跳跃使得NGSVJ比NGSSM模型慢55.6%，但它对波动性有更好的估计，更精确，因为异常回报是由跳跃分量捕获的。NGSVJ NGSSM SVMean SD Mean SD SD Mean SD SD Mean SDu0.0616 0.0020 0.0522 0.0012 0ρy0.0042 0.0012----uy-2.4598 1.4302----σy5.2793 1.2598----对数L-5972-6086-8468bic 12012 12197 12206dic 12338 12763 21719 comp。时间738 474 753表3：标准普尔500日收益率的NGSVJ、NGSSM和SV模型静态参数的后验推断。计算时间以秒为单位。图7显示了瞬时平方根波动率λ的后验平均估计值-2对于NGSVJ、NGSSM和SV型号。

正如预期的那样，NGSVJ模型估计了一个较低幅度的波动性度量，因为部分对数收益变化被跳跃分量吸收，因此它们不会随着风险的增加而传播到波动性。图7：上图显示了主要瞬时跳跃JtforS和P500的后验估计值以及对数回报[×100%]。下图显示了波动率瞬时平方根λ的后验估计-2T标准普尔500指数数据。NGSVJ实线平均估计数；用虚线表示的NGSSM平均估计值；以及点虚线中的SV平均估计值。图8显示了瞬时波动率λ的后验平均估计值-1对于NGSVJ，95%可信区间。此外，还可以放大市场危机所揭示的两个特定时刻：黑色星期一（1987年）和亚洲/俄罗斯金融危机（1997年1998年）。连续线表示后验平均值，灰色区域表示现货波动率的95%可信区间。结果与withEraker等人（2003）的发现一致，波动性峰值同时出现。图8：瞬时波动率λ的后验估计-1标准普尔500指数数据。NGSVJ实线平均估计；95%可信区间为灰色区域。图9提供了每次观测的跳跃大小和概率。

在波动性较高的时刻之前，与波动性较低的时期相比，可以观察到跳跃大小和概率的增加，因此，证明此类时刻之前有投机运动，在模型中被捕获为跳跃。图9:NGSVJ模型中标准普尔500指数数据的跳跃时间N和跳跃大小J的后验估计。4.2日内收益数据NGSVJ模型应用于布伦特原油期货的日内收益，以便市场代理可以使用此信息选择日内交易操作的策略。为了在市场运作期间使用，该模型必须能够提供可靠和快速的结果。将提议的模型性能与NGSSM和SVM模型进行比较。该数据集包含布伦特原油期货、ICE:BRN、2018年8月13日至2018年8月17日的日志收益，共6241分钟的观察。下表提供了按100缩放的日志返回的汇总统计信息。样本量平均方差偏度峰度最小值MAX6241-0.00026 0.00204-1.6751 42.3833-0.95748 0.39991表4：ICE描述性统计：BRN日志返回[×100%]4.2.1参数规范NGSVJ设置与第4.1.1节中定义的规范相同（如适用）。结果是通过10000次迭代链获得的，6000次观测的老化，滞后2个样本，产生1667个样本。通过图解法验证MCMC链的收敛性。该规范利用了快速收敛的优势，因此模型可以在大约30秒内给出结果，以便在下一分钟观测到来之前做出战略决策。4.2.2结果表5显示了每个静态参数的模型估计值。BIC和DIC标准强烈支持NGSVJ、NGSSM和SV模型，因为后者模型上的所有参数都无法实现链收敛。

NGSVJ和NGSSM模型都能够在不到一分钟的时间内，在下一个信息到达之前，提供可靠的结果，但前者具有包括收益跳跃的优势，因此，提供了更好的数据拟合和更精确的波动性估计。NGSVJ NGSSM SVMean SD Mean SD SD Mean SD SDu0.000101-0.000099 0.000001 0ρy0.008716 0.001532----uy-0.023048 0.033438----σy0.049826 0.011876----对数L 12737 12407 4235BIC-25405-24787-8435DIC-24919-23747-8409Comp。时间31.83 20.60 28.64表5：ICE的NGSVJ、NGSSM和SV模型静态参数的后验推断：BRN分钟返回。计算时间以秒为单位。图10显示了老化和滞后后，ICE静态参数的轨迹图：NGSVJ模型的BRN时间序列。从仿真研究可以看出，该模型能够快速收敛到其自动且简单的采样结构。此属性使NGSVJ既能在一分钟内快速提供结果，又可靠，因此用户可以信任此结果，以便做出策略决策。图10:MCMC链收敛：ICE静态参数跟踪图：NGSVJ模型的BRNtime系列，老化和滞后后。所有静态参数均实现了收敛。图11显示了老化后由stochvol包提供的SVmodel的ICE:BRN时间序列的静态参数跟踪图。尽管SV模型速度足够快，能够在要求的时间范围内产生结果，但它无法实现所有参数的收敛。可以看出，在6000次迭代之后，phi和sigma参数仍然没有收敛，因此，这些结果不可靠，无法用于战略决策。图11:MCMC链收敛：ICE静态参数跟踪图：SV模型的BRNtime系列，由stochvol包提供，老化后。

并非所有静态参数都能收敛。图12显示了瞬时平方根波动率λ的后验平均估计值-2对于NGSVJ、NGSSM和SV型号。正如前面所观察到的，NGSVJmodel估计了一个较低幅度的波动性度量，因为部分对数收益变化被跳跃分量吸收，因此它们不会随着风险的增加而传播到波动性。图12：上图显示了主要瞬时跳跃JtforICE:BRN的后验估计值以及日志返回[×100%]。下图显示了波动率瞬时平方根λ的后验估计-2t对于ICE：BRN数据。NGSVJ实线平均估计值；用虚线表示的NGSSM平均估计值；以及点划线中的SV平均估计值。图13显示了瞬时波动率λ的后验平均估计值-1具有95%可信区间、每次观察的跳跃大小和概率的跳跃VJ。连续线表示后验平均值，灰色区域表示现货波动率的95%可信区间。图13：上图显示了瞬时波动率λ的后验估计值-1tforICE：BRN数据。NGSVJ实线平均估计；95%可信区间为灰色区域；中间图显示了跳跃大小的后验平均估计，Jt；跳跃时间n的后验估计值显示在底部的图表上。5讨论NGSVJ模型能够通过跳跃成分捕捉市场中的投机运动，并通过波动成分检测市场风险增加的时期。将该模型应用于标准普尔500指数收益率序列得到的结果与Eraker等人（2003）的发现一致，因为波动率峰值出现在同一时间。

该模型可以准确地检测已知波动性对金融市场影响的历史事件，如黑色星期一和亚洲/俄罗斯金融危机。此外，与NGSSM和SVM模型相比，跳跃的加入提高了模型的拟合度。使用NGSVJ最显著的优点是其计算简单性和NGSSM的结构，并为参数提供了自动采样过程，允许通过Gibbs采样器对区块中的波动性进行采样。这种结构允许模型参数以较少的MCMC迭代实现收敛，提供快速可靠的估计，并允许模型用于实际情况，例如决定日内操作套利策略。使用Gibbs采样器从条件后验分布中抽取样本比使用基于Metropolis的算法在计算上更便宜。由于Metropolis是一种接受-拒绝算法，它可以采取几个步骤，直到获得一个完全代表性的样本，以便作出适当的统计推断，除非该算法具有很好的提议分布。使用吉布斯取样器，可以用较少的步骤获得具有代表性的样本。这在处理小时间段时尤其相关，例如在日间操作中。由于该模型是在Gamerman等人（2013）提出的具有比例混合的动态线性模型上建立的，因此波动率参数λ的精确样本-1已绘制。这一过程的三个主要优点是：不需要为了估计波动性而进行近似计算；波动率从所提出的模型中分块采样；而且没有必要求助于基于大都市的算法。另一个优点是模型灵活性。它可以包括跳跃、协变量、重尾，并且可以根据所使用的混合成分采用不同的分布。

在这项工作中，Student-t分布是通过Gammamixed分量获得的，但也可以使用其他分布来给出令人满意的结果。此外，与NGSSM模型相比，加入跳跃可以提高模型的性能。在模型中加入跳跃大大降低了波动性估计。这将对风险分析产生多方面的影响，因为波动性越小表明风险越小，换句话说，知道某些事件是跳跃或尾部事件，而不是重复发生的市场事件将意味着此类资产仍然是安全的赌注。通常，在出现市场异常情况（如黑色星期一和亚洲及俄罗斯金融危机）附近会观察到跳跃频率的增加，这可能表明它也可用于预测近期市场风险的增加。对于日常运营，自动模型是有效的，可用于估计市场波动性，可用于期权定价、VaR计算、衡量市场制度等。对于未来的工作，旨在将模型扩展到多变量情况，而不是单独分析一项资产，而是将资产组合风险作为一个整体进行分析。另一个扩展是如Eraker et al.（2003）所建议的那样，包括波动率的跳跃，而不必求助于基于Metropolis的算法，以保持模型的参考过程快速且可访问。其他一些可能性包括使用倾斜重尾分布，如Nakajima和Omori（2007）所述，但仍保持区块抽样，以便捕获杠杆效应以及均值和波动率之间的相关性。参考文献【1】Abanto Valle，C.Lachos，V.和Dey，D.（2015）。斜tStochastic波动率模型的贝叶斯估计。《应用概率的方法和计算》，17:721–738。[2] Bandi，F.M.和Reno，R。