基于Gibbs采样器的带跳跃的非高斯随机波动率模型

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英文标题：
《Non-Gaussian Stochastic Volatility Model with Jumps via Gibbs Sampler》
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作者：
Arthur T. Rego and Thiago R. dos Santos
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  In this work, we propose a model for estimating volatility from financial time series, extending the non-Gaussian family of space-state models with exact marginal likelihood proposed by Gamerman, Santos and Franco (2013). On the literature there are models focused on estimating financial assets risk, however, most of them rely on MCMC methods based on Metropolis algorithms, since full conditional posterior distributions are not known. We present an alternative model capable of estimating the volatility, in an automatic way, since all full conditional posterior distributions are known, and it is possible to obtain an exact sample of parameters via Gibbs Sampler. The incorporation of jumps in returns allows the model to capture speculative movements of the data, so that their influence does not propagate to volatility. We evaluate the performance of the algorithm using synthetic and real data time series.   Keywords: Financial time series, Stochastic volatility, Gibbs Sampler, Dynamic linear models.
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中文摘要：
在这项工作中，我们提出了一个从金融时间序列估计波动率的模型，用Gamerman、Santos和Franco（2013）提出的精确边际似然扩展了非高斯空间状态模型族。文献中有一些模型侧重于估计金融资产风险，然而，由于不知道完全条件后验分布，大多数模型依赖于基于Metropolis算法的MCMC方法。我们提出了一种能够自动估计波动率的替代模型，因为所有的条件后验分布都是已知的，并且可以通过Gibbs采样器获得精确的参数样本。收益跳跃的合并允许模型捕捉数据的投机运动，从而使其影响不会传播到波动性。我们使用合成和实时数据时间序列评估了算法的性能。关键词：金融时间序列，随机波动率，吉布斯采样器，动态线性模型。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Other Statistics        其他统计数字
分类描述：Work in statistics that does not fit into the other stat classifications
从事不适合其他统计分类的统计工作
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PDF下载：
--> Non-Gaussian_Stochastic_Volatility_Model_with_Jumps_via_Gibbs_Sampler.pdf (455.38 KB)

2022-6-10 15:46:59 上传

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关键词：波动率模型 Gibbs bbs 波动率 Quantitative

通过Gibbs采样器建立的带跳跃的非高斯随机波动率模型Arthur T.Rego和Thiago R.dos SantosUniversidade Federal de Minas Gerais，Brazilabstract这项工作我们提出了一个从金融时间序列估计波动率的模型，扩展了具有精确边际似然性的非高斯空间状态模型家族，由Gamerman、Santos和Franco（2013）提出。在文献中，有一些模型侧重于估计金融资产风险，然而，大多数模型依赖于基于Metropolis算法的MCMC方法，因为不知道完整的条件后验分布。我们提出了一种能够自动估计波动性的替代模型，因为所有的条件后验分布都是已知的，并且可以通过Gibbs采样器获得波动性参数的精确样本。收益跳跃的结合使模型能够捕捉数据的投机运动，从而使其影响不会传播到波动性。我们使用合成和实时数据时间序列对算法的性能进行了评估，结果令人满意。关键词：金融时间序列，随机波动率，吉布斯采样器，动态线性模型。1简介了解资产价格的行为对于可用投资选项之间的资本配置决策至关重要。这样的决定取决于onethinks对与这些投资选项相关的风险和回报的看法。最被接受的理论是，高波动性资产的回报率遵循一些异常值点的随机游走，这些异常值点通常发生在异常波动性增加期间，如金融和政治危机事件。未来的回报是不可预测的，但可以估计和监测波动性，以便检测此类事件并预测其变动。

在贝叶斯观点下，常用的股票波动率模型的推断程序大多基于密集的计算方法，例如，使用Metropolis-Hastingsalgorithms的马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）方法，这就提出了关于使用更自动化和更简单的计算实现方法的问题，这些方法可以用来带来快速可靠的结果。处理金融时间序列带来三大挑战。其中包括发现模型：与数据吻合良好，适应了非高斯回报中存在的厚尾；速度足够快，能够及时带来结果，供市场代理使用；并且可以灵活地包含新的数据源，并适应异常值和偏斜，从而改进模型。许多模型都是为了风险度量目的而开发的。例如，Eraker、Johannes e Polson（2003）采用了随机波动率模型（SV），并研究了插入跳跃对改进模型的影响。他们建议将jumpson收益率和波动率纳入其中，以便在波动率发生即期变化的情况下，如在金融危机时刻，改善模型的动态性。Omori等人（2006年）将杠杆效应纳入SV模型，该模型指的是之前股票收益率下降后波动性的增加，并通过股票收益误差项之间的负相关系数对其进行建模。

Nakajima和Omori（2007）将其应用扩展到具有重尾分布的SVJ模型，通过广义gamma分布混合成分与正态分布误差的比例混合获得，以生成广义斜t分布创新，并讨论了包含此类特征的FIT收益。Warty、Lopes和Polson（2017）研究了序贯或在线贝叶斯估计，以推断收益率方差gamma跳跃的随机波动率，并将其性能与使用o峈ine马尔可夫链蒙特卡罗的模型进行比较。Kanaya和Kristensen（2016）使用随机波动率模型和两步估计方法。在第一步中，他们对瞬时波动过程进行非参数估计，在第二步中，采用完全观察到的差异过程的标准估计方法，但过滤或估计的波动过程取代了最近的过程。Bandi和Reno（2018）还提供了随机波动率建模的非参数方法，允许使用非线性漂移和扩散函数、非线性杠杆效应以及具有状态相关跳跃强度的回报和波动率跳跃联合评估回报和波动率动态。

然而，这些模型要么是非参数的，要么参数估计有点复杂，因为完整的条件后验分布没有闭合形式，这是使用Metropolis-Hastings（MH）步骤的MMC方法所必需的。这项工作的主要目的是找到一个替代模型，该模型可容纳特定的金融资产回报数据，允许创新假设厚尾分布，包括回报跳跃，以获得金融市场上不寻常事件的影响，并具有更简单和更自动的推断程序，如吉布斯抽样和块抽样结构，用于估计模型参数，缓解收敛问题。我们介绍了一个带跳跃的非高斯随机波动率模型，以及在标准普尔500指数和布伦特原油期货收益率时间序列中的应用。2带有jumpson返回的非高斯随机波动率模型对于时间序列{yt}nt=1，带有收益跳跃的非高斯随机波动率模型（NGSVJ）由以下公式给出：yt=u+Jyt+Γt，其中Γt|t~ N（0，γ-1tλ-1t），（1）λt=ω-1λt-1ζt，其中ζt | Yt-1, φ ~ β（ωat-1, (1 - ω） 在-1） ，式中（2）Jyt=ξyt+1Nyt+1，ξy~ N（uy，σy），P r（Nyt+1=1）=ρy。在该模型中，yt表示对数回报率，定义为yt=100*（对数（St）- 日志（St-1） ，其中Sti是时间t上的资产价格。jyti是跳跃，由跳跃指标Nyt+1和幅度ξy组成~ N（uy，σy），与Eraker等人（2003）提出的方法相同。u表示yt的平衡对数返回。γ是方差混合成分【Gamerman等人，2013年】。使用γt~Γ（ν，ν），误差的无条件分布假定为tν（0，1）分布。λ-1是回报的波动性，主要兴趣在于估计其随时间的价值，因为它是风险和股票期权定价的主要变量。

ω是一个贴现因子，为了避免估计过程中出现MH步骤，通过Gibbs采样使估计过程更加自动化，对其进行了规定。在-1是λt滤波分布的形状参数，Gamerman等人（2013）对此进行了详细描述。该模型通过使用SSM形式和混合方差提供所需的灵活性，以实现创新的非高斯分布。它还有一个公式，允许使用完整的条件后验分布，因此Gibbs采样器可以从条件后验分布中采样，从而简化模型的实现。在这种情况下，参数空间没有维数问题，因为所有全条件后验分布都是通过模型属性获得的，可以通过Gibbs采样器进行采样。使用适当的先验参数可以得到完整的条件后验分布，其中先验参数的选择是为了获得共轭后验分布。另一个优势在于采样平均值u和波动率λ0:nin块，加快了采样过程。Gamerman等人（2013年）对模型程序进行了更详细的描述。包含跳跃的过程，改编自Eraker et al.（2003），获得了模型属性的优势，保证了更简单的计算实现采样方法。

对于这项工作，关注的是仅包括收益率的跳跃，因为将跳跃也包括在波动率上需要更复杂的结构，以便保留模型属性和快速推理过程，这将在未来的工作中解决。2.1贝叶斯推断对于对数回报的平均参数u，规定了先验N（m，C），其后验分布的样本可通过标准FFBS算法获得。为了便于记法，设Φ=（u，Jyf，γe，λe，uyf，σyf，ξe，ρe，Nyf），不包括正在评估的参数，即Φ[-λ] =（u，Jyf，γe，uyf，σyf，ξe，ρe，Nyf）。λt的先验分布由λt | Yt给出-1.~ γ（ωat-1，ωbt-1） ，并遵循Gamerman等人（2013）提出的方法，更新分布为：p（λt | Yt，Φ[-λ]) ~ 伽马射线ωat-1+，ωbt-1+γt（yt- u - Jt）. （3） 从（λt | Yt，Φ）取样的程序[-λ] ）见附录A【Gamerman等人，2013年】。ω是一个固定的贴现系数。对于混合物组分γt，定义了一个先验γ（ν，ν），当与γ混合时-1t产生反伽马射线，导致学生t具有创新的ν自由度。全条件后验分布为：p（γt | Yt，Φ[-γ]) ~ 伽马射线ν+，ν+λt（yt- u - Jt）. （4） 参数ν将被指定，因为其后验分布没有闭合形式，导致大都市步骤。对其进行了敏感性分析，比较了不同ν值的模型选择标准统计。回顾一下，NGSV模型的主要目标是为模型估计保留一个自动且简单的程序，一旦确定了特定资产时间序列，则无需为未来观测更改ν。跳跃大小ξyt+1在a N（uy，σy）以下。对于平均值，设置了uya非信息性先验（m，v），从而得到完整的条件后验值：p（uy | Yn，Φ[-uy]）~ Nmσy+vnξyσy+nv，vσyσy+nv！。

（5） 对于方差σya，假定先验逆Gamma（α，β），从而得到全条件后验：p（σy | Yn，Φ[-σy]）~ 反格玛α+n，β+Pti=1Ji6=0（ξyi+1- uy）. （6） 在这两种情况下，n是观察到跳跃的次数，以及跳跃大小的ξythemeanξy。由于假设跳跃大小的先验值是正常的，全条件后验值也是正常的，由以下公式得出：p（ξyt+1 | yt，Φ[-ξ]) ~ Nuyγ-1tλ-1t+ytσy- uσyσy+γ-1tλ-1t，σyγ-1tλ-1tσy+γ-1tλ-1t！。（7） 对于跳跃概率ρ，设置先验β（α，β）。全条件后验数由：p（ρ| Yn，Φ）给出[-ρ]) ~ βα+nXi=0Nyi，β+n-nXi=0Nyi！。（8） 因为跳跃指示器NY只能假定两个值，0或1。t+1处观察到跳跃的概率由以下公式给出：P（Nyt+1=1 | Yt+1，Φ[-N] （）∝ ρP（Yt+1 | Nyt+1=1，Φ[-N] ）。（9） 这很容易计算，因为P（Yt+1 | Nyt+1=1，Φ[-N] ）是正态分布。使用Brooks和Prokopczuk（2011）提出的概念，如果P（Nyt+1=1 | Yt+1，Φ[-N] ）大于阈值α，则Nyt+1=1。阈值α的选择应确保确定的跳跃次数与跳跃强度ρ的估计值相对应。2.2吉布斯取样器Yn={yt}nt=1，Je={Jyt}nt=1={ξyt+1Nyt+1}nt=1，γe={γt}nt=1，λe={λt}nt=1，ξe={ξyt+1}nt=1，Ne={Nyt+1}nt=1，先验概率密度π（γ），π（uy），π（σy），π（ρy）设置为γe、uy、σy、ξe、ρy。

然后，通过Gibbs采样器从联合后验分布π（u，λe，γe，uy，σy，Je，ρy | Yn）中提取大小为M的样本，其如下：i初始化u（0），λe（0），γe（0），u（0）y，（σy）（0），ξe（0），Ne（0）和ρ（0）y。ii设置j=1。iii样品u（j）| Yn，Je（j-1） ，λe（j-1） ，γe（j-1） 使用FFBS算法。iv块样品λe（j）| Yn，u（j），Je（j-1） ，γe（j-1） 使用附录A.v中描述的算法块样本γe（j）| Yn，u（j），Je（j-1） ，λe（j），如式（4）所示。vi样品u（j）y |ξe（j-1） ，（σy）（j-1） 如式（5）所示。vii样品（σy）（j）|ξe（j-1） ，式（6）中的u（j）yas。viii块试样Je（j）| Yn，u（j），λe（j），γe（j），u（j）y，（σy）（j）按式（7）中的块试样ξe（j）| Yn，u（j），λe（j），u（j）y，（σy）（j）。如式（9）所示，将样品Ne（j）| Yn、u（j）、λe（j）、γe（j）、ξe（j）分段。ix等式（8）中的样本ρ（j）y | Je（j）。x设置j=j+1。xi If j≤ M，转到3，否则停止。由于所有完整的条件后验分布都是闭合的，所以只使用吉布斯取样器步骤。2.3模型诊断和规格测试比较模型参数不同规格的方法是BIC和DIC标准，定义为：BIC=-2 ln（^L）+k×ln（n），（10）DIC=D（ye，\'Φ）+2pD，（11）pD=\'D（ye，Φ）- D（ye，’Φ）。（12） 其中，对于BIC，^L是模型似然函数的最大值，k是评估参数的数量，n是样本量，对于DIC，统计偏差（y，Φ）定义为：D（ye，Φ）=-2英寸p（ye |Φ）（13） 对于数据y和模型参数Φ。后验平均偏差由以下公式得出：\'D（ye，Φ）=EhD（ye，Φ）|yei。（14） 3模拟为了说明NGSVJ的性能，我们将该方法应用于Warty等人（2017）提出的模型中的合成数据。为了产生波动性，我们使用：vt=vt-1+ κ(θ - 及物动词-1) + ρσvpvt-1.1，t+σvp（1- ρ） vt公司-1.2，t（15），其中1，支架2，t~ N（0，1）。

然后根据以下公式生成收益的合成数据：rt=N（u+Jt，γ-1tvt），Jt=Ntξt，（16），其中跳跃时间，nTa由伯努利（ρy）生成，跳跃大小ξtfromN（uy，σy），γtfrom由γ（ν，ν）生成。参数设置为：log returns meanu=0.05；跳跃概率ρy=0.015；跳跃幅度平均uy=-2.5和标准偏差σy=4；方差混合自由度ν=30；波动性成分 = 1，θ=0.8，κ=0.015，σv=0.1，ρ=0.4，与Warty等人（2017）使用的相同。图1：模拟研究：模拟实现（n=5000）。模拟时间序列由大约20年的每日数据组成（n=5000）。图1显示了从模型生成的一个实现。模型估计的所有代码都是在R软件中编写的【R统计计算基金会，2015年】，使用Rcpp软件包，可从综合R存档网络（CRAN）获得。机器规格为：Intel Core i7-8700K 3.70 Ghz处理器，16GB RAM，使用64位Windows 10操作系统。MCMC在300000次迭代、60000次老化和11次迭代后保留了20000个样本。图2显示了真实瞬时波动率vt的时间序列，以及估计的波动率λ-1吨。NGSVJ能够密切跟踪潜在状态。真实波动率的几乎每个点都在95%可信区间内，即使估计平均值与真实值略有偏差。图2：模拟研究：模拟数据瞬时波动率VT的后验估计。真实波动率序列以实心灰色显示；后验平均估计λ-1灰黑色；95%可信区间为浅灰色区域。图3显示了真实瞬时跳数Jt的时间序列，以及估计跳数Jt。回想一下，这些跳跃代表了由市场投机运动引起的准时异常回报的时刻。