线性二次型随机控制的连续粘性解

对于每（ξ，u）∈\'A（t，x）和s∈ [t，t），v（t- ，y）| x|≤ 超高压- ，Yt，ys）| Xξ，us | i+EZstc（Yt，yr，Xξ，ur，ξr，ur）dr.证据通过命题3.8，我们知道（Ut，y，Zt，y）解决了以下BSDE：Ut，yt=Ut，ys+ZstF（yt，yr，Ut，yr）dr-ZstZt，yrdWr。这允许我们将半鞅的经典分部积分公式应用于Ut，ys | Xξ，us |，以得到，yt | X |=Ut，ys | Xξ，us |+ZstF（Yt，yr，Ut，yr）| Xξ，ur |+2ξ车辙，yrsgn（Xξ，ur）| Xξ，ur |- θUt，yr（| Xξ，ur- ur|- |Xξ，ur |）博士-Zstσ（Yt，yr）Zt，yr | Xξ，ur | dWr-ZstUt，yr（| Xξ，ur-- ur|- |Xξ，ur-|) deNr，其中ENR=Nr- θr表示补偿泊松过程。此外，| Xξ，u|≤ |x |和|u|≤ |x |，由于投资组合过程的单调性。Fu rthermore，Zstσ（Yt，yr）Zt，yr | Xξ，ur | dWris一致可积鞅，因为2e“Zst |σ（Yt，yr）|·| Zt，yr | Xξ，ur | dr1/2#≤ E支持≤r≤s |σ（Yt，yr）|+| x | Zst | Zt，yr | dr< ∞.因此，上述随机积分是真鞅。因此，回顾（2.8），Ut，yt | x |=EhUt，ys | xξ，us | i+EZstc（Yt，yr，Xξ，ur，ξr，ur）dr+ EZst公司F（Yt，yr，Ut，yr）| Xξ，ur|- H（r，Yt，yr，Xξ，ur，ξr，ur，Ut，yr | Xξ，ur |）博士≤ EhUt，ys | Xξ，us | i+EZstc（Yt，yr，Xξ，ur，ξr，ur）dr. （3.18）自Ut起，yt=v（t- ，y），Ut，yr=v（r- 我们有- ，y）| x|≤ 超高压- ，Yt，ys）| Xξ，us | i+EZstc（Yt，yr，Xξ，ur，ξr，ur）dr.我们现在准备好进行验证论证。命题2.8的证明。Let（ξ，u）∈\'A（t，x）。通过Xξ，u，出租的清算施工→ T yieldsEhv（s- ，Yt，ys）| Xξ，us | i→ 因此，v（t- ，y）| x|≤ J（t，y，x；ξ，u）。最后，让→ 0，我们得出Dev（t，y）| x|≤ J（t，y，x；ξ，u）。在[0，T）×rdv上，利用v的连续性和J的非负性。利用与BSDE（3.17）上命题3.10的证明相似的参数，我们可以得到v（T，y）×x|≤ 超高压（s，Yt，ys）| Xξ，us | i+EZstc（Yt，yr，Xξ，ur，ξr，ur）dr.通过引理2.2，如果ξ=ξ，则前面的不等式中的等式成立*和u=u*.

因此，v（t，y）| x |=超高压（s，Yt，ys）| xξ*,u*s | i+EZstc（Yt，yr，Xξ*,u*r、 ξ*r、 u*r） dr公司≥ EZstc（Yt，yr，Xξ*,u*r、 ξ*r、 u*r） dr公司由此我们得出结论V（t，y）| x|≥ J（t，y，x；ξ*, u*).这表明策略（ξ*, u*) 确实是最佳选择。4非马尔可夫框架的唯一性在本节中，我们假设过滤完全由布朗运动生成。最小非负解（Y，Z）的存在性∈ LF公司(Ohm; C（[0，T-]; R+）×LF（0，T-; R1××d）至BSDE- dYt公司=λt-|Yt |ηtdt公司- ZtdWt，0≤ t<t；限制→TYt=+∞ （4.1）已在[3]中建立，假设η∈ LF（0，T；R+），η-1.∈ LF（0，T；R+），λ∈ LF（0，T-; R+、E[RT（T- t） λtdt]<∞.在本节中，我们将我们的唯一性结果推广到非马尔可夫模型，并证明了在下列条件下唯一非负解的存在性；它们对应于马尔可夫环境中的那些。假设4.1。（i） 过程η是一个正的It^o微分，满足dηt=αtdt+βtdWtwith（α，β）∈ LF（0，T；R×R1××d）。（ii）过程η，η-1.∈ LF公司(Ohm; C（[0，T]；R））和η-1α ∈ L∞F（0，T；R）。（iii）存在正的It^o扩散HTT，使得dht=α′tdt+β′TDWT与（α′，β′）∈LF（0，T；R×R1××d）和h-1λ，h-1α′∈ L∞F（0，T；R）。提案4.2。假设假设4.1成立。设置τ：=1/kη-1αkL∞∧T和￠K：=kh-1α′kL∞+kh公司-1λkL∞. 对于任何溶液（Y，Z）∈ LF公司(Ohm; C（[0，T-]; R+）×LF（0，T-; R1××d）至（4.1）以下估计值适用于T- τ ≤ t<t：ηtT- t型- kη-1αkL∞≤ 年初至今≤ ηtT- t+kη-1αkL∞+ eK（T-t） ht。（4.2）证明。

对于0<<τ，我们定义（Yt）t∈[T-τ、 T型-）byYt=ηtT-  - t+kη-1αkL∞+ eK（T- -t） ht。我们将证明这些过程是（4.1）的上解，但在t=t时具有奇点-，限制→T-Yt=+∞.精确地-dYt=g（t，Yt）dt- ZtdWt，T- τ ≤ t<t- ，其中g（t，Yt）：=-ηt（t-  - t）- αtT-  - t+kη-1αkL∞+Ke  K（T- -t） ht- eK（T--t） α′tandZ∈Tt∈[T-τ、 T型-）LF（T- τ、 t；R1××d）。命题3.5证明中的计算验证了- τ ≤ t<t- ，g（t，Yt）≥ λt-|Ytηt=：f（t，Yt）。实际上，应用不等式（u+v+w）≥ u、v、w的u+2uv≥ 0到| Yt|，我们得到| Yt|ηt≥ηt+2ηtkη-1αkL∞（T-  - t） ηt（t-  - t） 。注意τ：=1/kη-1αkL∞∧ T，kη-1αkL∞（T-  - t）≤ t为1∈ [T- τ、 T型- ，我们有| Ytηt-ηt（t-  - t）- αtT-  - t+kη-1αkL∞≥2ηtkη-1αkL∞- αt（1+kη）-1αkL∞（T-  - t） ）（t-  - t）≥ηtkη-1αkL∞（1+kη）-1αkL∞（T-  - t） )- αt（1+kη）-1αkL∞（T-  - t） ）（t-  - t） =（ηtkη-1αkL∞- αt）（1+kη-1αkL∞（T-  - t） ）（t-  - t）≥0回顾▄K：=kh-1α′kL∞+ kh公司-1λkL∞, 我们有这个K（T--t） ht公司- eK（T--t） α′t≥eK（T- -t） λt≥ λt。在此之前，我们可以得出以下结论：g（t，Yt）≥ λt-|Ytηt。我们现在考虑Y andY对t的差异- τ ≤ t型≤ s<T- ：Yt- Yt=EYs- Ys+Zstg（r，Yr）dr-Zstf（r，Yr）dr英尺≥ EYs- Ys+Zstf（r，Yr）- f（r，Yr）dr英尺= EYs- Ys+Zst（年）- 年）rdr公司英尺哪里r=f（r，Yr）- f（r，Yr）Yr- 年，如果- Yr6=0,0，否则。请注意 ≤ 0、通过线性BSDE解的显式表示，Yt- 年初至今≥ E“（Ys- 支持≤s≤T-Ys）expZst公司rdr公司#.自那时起≥ 0，E[表面≤s≤T-Ys]<+∞ 由于Y∈ LF公司(Ohm; C（[0，T-]; R+），我们可以将Fatou\'slemma应用于上述期望，如s→ T- 以获得Yt- 年初至今≥ 0、取→ 0我们获得较高的估计值。较低的估计值可以通过类似的参数确定。引理4.3。假设假设假设4.1成立。

设（Y，Z）为LF空间中（4.1）的解(Ohm; C（[0，T-]; R+）×LF（0，T-; R1××d）。Le t X*t=经验值(-RtYsηsds）表示关联的投资组合过程。然后是X*Z∈ LF（0，T；R）。证据设Mt=YtX*t+RtλsX*sds。按部件集成yieldsdMt=X*tZtdWt。（4.3）因此，M是[0，T]上的非负局部鞅，尤其是非负上鞅。因此，当T到T时，它几乎在R上收敛。与（3.14）类似，我们使用（4.2）中的较低估计来获得s的较低估计∈ [T- τ、 T）| X*s |≤ C（T- s） 。根据（4.2）中的上估计值，我们得到了“supT”-τ ≤t型≤s | YtX*t型|#≤ CE“支持-τ ≤t型≤T（|ηT |+| ht |））#，其中常数C独立于s。因此，应用支配收敛理论简化了“sup0≤t型≤吨|公吨|#≤ CE“sup0≤t型≤T-τ| Yt |#+E“支持-τ ≤t型≤T（|ηT |+| ht |）#+EZT |λs | ds!< +∞.回顾等式（4.3），我们得到X*Z∈ LF[0，T；R），M确实是[0，T]上的非负鞅。根据[3，命题4.4]，Y是（4.1）的最小解。因此，我们可以得到唯一性结果。定理4.4。在假设4.1中，存在BSDE（4.1）inLF的唯一解决方案(Ohm; C（[0，T-]; R+）×LF（0，T-; R1×d）。5结论在本文中，我们建立了市场影响下最优投资组合清算模型中具有奇异终端条件的HJB方程粘性解的一个新的比较原理。我们的方法足够灵活，可以考虑可能的无界系数。比较原理允许我们证明HJB方程存在唯一的连续粘性解，因此存在唯一的最优交易策略。

没有连续性，通常不可能进一步研究值函数的正则性性质。利用我们的连续性结果，可以证明在模型参数的轻微附加条件下，该值函数是HJB方程的π-强解。这意味着在紧集上，值函数可以用C1,2函数一致逼近。未来的研究还有其他几种途径。例如，显然需要对无限市场影响系数η进行规律性假设。需要正则性假设来在终端时间对值函数进行泰勒型逼近。参考文献[1]R.Almgren和N.Chriss，《投资组合交易的最佳执行》，J.Risk，3（2001），第5-39页。[2] O.Alvarez和A.Tourin，《非线性积分微分方程的粘度解》，Ann。Poincar\'e Anal研究所。《非爱尔兰》，1 3（199 6），第29 3–317页。[3] S.Ankirchner，M.Jeanbla n c和T.Kruse，具有奇异终端条件和约束控制问题的BSDE，SIAM J.控制优化。，52（2014），第893-913页。[4] S.Ankirchner和T.Kruse，《连续时间价格敏感清算》，SSRN，（2012年）。[5] G.Barles、R.Buckdahn和E.Pardoux，《反向随机微分方程和积分偏微分方程》，随机学，6 0（1997），第57-83页。[6] C.Belak、S.Christensen和F.T.Seifried，《随机脉冲控制问题的一般验证结果》，SIAM J.C control Optim。，55（2017年2月），第627-649页。[7] M.G.Crandall、H.Ishii和P.-L.Lions，《二阶偏微分方程粘度解用户指南》，Bull。美国。数学Soc。（N.S.），27（1992），第1-6-8页。[8] S.Federico、B.Goldys和F。

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