线性二次型随机控制的连续粘性解

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英文标题：
《Continuous viscosity solutions to linear-quadratic stochastic control
  problems with singular terminal state constraint》
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作者：
Ulrich Horst and Xiaonyu Xia
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  This paper establishes the existence of a unique nonnegative continuous viscosity solution to the HJB equation associated with a Markovian linear-quadratic control problems with singular terminal state constraint and possibly unbounded cost coefficients. The existence result is based on a novel comparison principle for semi-continuous viscosity sub- and supersolutions for PDEs with singular terminal value. Continuity of the viscosity solution is enough to carry out the verification argument.
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中文摘要：
本文建立了具有奇异终端状态约束和可能无界代价系数的马尔可夫线性二次型控制问题的HJB方程的唯一非负连续粘性解的存在性。存在性结果基于一个新的比较原理，即具有奇异终值的偏微分方程的半连续粘性子解和上解。粘度解的连续性足以进行验证论证。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Continuous_viscosity_solutions_to_linear-quadratic_stochastic_control_problems_w.pdf (265.98 KB)

2022-6-10 15:49:47 上传

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关键词：随机控制 Mathematical Verification Quantitative coefficients

具有奇异终端状态约束的线性二次随机控制问题的连续粘性解*Ulrich Horst+和Xiaonyu Xia2020年4月29日摘要本文建立了HJB方程的唯一非负连续粘性解的存在性，该方程与具有奇异终态约束和可能无界系数的线性二次随机控制问题相关。existenceresult基于一种新的比较原理，用于具有奇异终值的偏微分方程的半连续粘度子解和上解。粘度解的连续性不足以进行验证论证。AMS科目分类：93E20、91B70、60H30。关键词：HJB方程、粘度解、终态约束1简介∈ (0, ∞) 然后让(Ohm, F、 （Ft）t∈[0，T]，P）满足通常条件，并带有aPoisson过程N和独立的d维标准布朗运动W。分析了线性二次型随机控制问题infξ，uEZTη（Ys）|ξs |+θγ（Ys）|us |+λ（Ys）| Xξ，us | ds（1.1）受状态动力学影响，Yt=b（Yt）dt+σ（Yt）dWt，Y=ydXξ，ut=-ξtdt- utdNt，Xξ，u=X（1.2）和终端状态约束txξ，uT=0。(1.3)*感谢d-fine GmbH提供的财务支持。我们感谢Paulwin Graewe的许多讨论和宝贵意见。

我们感谢两位匿名推荐人的宝贵意见和建议，这些意见和建议极大地帮助改进了结果的呈现方式。+洪堡大学数学系和商业与经济学院，位于德国柏林大学林登分校，邮编：10099；电子邮件：horst@math.hu-柏林。德国洪堡大学数学系，地址：德国柏林大学林登分校6号，邮编：10099；电子邮件：xiaxiaon@math.hu-柏林。deWe假设θ处的th是一个正常数，成本系数η、λ、γ是连续的并且是多项式增长的，η是两次连续可微分的，而扩散系数b、σ是Lipschitz连续的。我们证明了所得到的HJB方程存在唯一的连续粘性解，并给出了最优控制的粘性解表示。当交易者可以同时在主场所和暗池中交易时，在市场影响下的最优投资组合清算模型中会出现形式（1.1）-（1.3）的控制问题。暗池是另一种交易场所，允许投资者通过提交避开公众视线的流动性来减少市场影响，从而降低交易成本。不过，交易执行情况尚不确定，因为只有当匹配的流动性可用时，交易才会结算。Insuch mod els，Xξ，u描述了当交易员以ξ的费率向主要场所提交订单以立即执行，并向暗池提交u大小的订单时的投资组合过程。暗池的执行由泊松过程N控制，速率为θ。η描述了即时市场影响的过程；它通常描述所谓的市场深度。过程γ描述与暗池交易相关的逆向选择成本，而λ通常描述市场风险，例如。

投资组合的波动性。从Almgren和Chriss的工作开始[1]最近，投资组合清算问题在金融数学和随机控制文献中受到了相当大的关注；详见【3、9、10、12、15-17、20、21、23】和其中的参考文献。从数学角度来看，它们的主要特征之一是由终端状态约束（1.3）诱导的值函数的奇异终端条件。该约束转化为相关HJB方程的sin-gu-larterminal状态约束，并在改善方程解的存在性和唯一性方面造成了巨大困难。在成本系数η，λ，γ的连续性和多项式增长条件下，【10】中指出，HJB方程最多允许一个多项式增长的连续粘性解。该证明使用了s奇异终值的连续v粘性解toPDEs的比较原理。由于比较原理仅适用于连续函数，因此不能用来确定粘度解的存在性。相反，文献[10]表明，在模型参数的强有界性和正则性假设下，HJB方程存在一个（唯一的）经典解。本文提出了一个新的具有奇异终值的偏微分方程半连续粘性解的比较原理，并利用Perron方法推导出HJB方程连续粘性解的存在性。连续粘度解的存在足以验证参数，并以反馈形式表示最优控制。有几篇论文提供了验证参数，但没有假设粘度解的连续性。

例如，在[8]中考虑了一个具有延迟和状态约束的效用优化问题。作者在假设效用函数满足Inad a条件的情况下，在粘性意义下求解了相关的HJB方程，该条件在我们的模型中不满足。在[6]中，作者研究了随机脉冲控制问题的一般验证结果，假设HJB方程不连续粘性解的比较原则成立。这是一个非常有力的假设，在我们的案例中可以避免。我们的控制问题的线性二次结构允许我们用无跳跃的偏微分方程来描述值，并且可以在确定粘度解存在后，用相关的FBSDE来给出验证参数。据我们所知，迄今为止，与（1.1）-（1.3）型控制问题相关的HJB方程的连续解的存在性仅在L∞p型参数的假设。在文献[4]中，当η为常数，λ为多项式增长时，建立了唯一连续粘性解的存在性。[9，13]证明了有界随机费用和扩散系数在合适的Sobolev空间中解的存在唯一性；文献[10]中考虑了经典解。对恒定市场影响项和/或有界影响函数和差异系数的限制不令人满意。在投资组合流动性框架中，自然会选择二维驱动因素，其中第一个因素是均值回复过程，例如描述流动性指数的anOrnstein-Uhlenbeck过程，第二个因素是描述未受影响股票价格过程动态的年龄计量布朗运动，零漂移。

然后，很自然地选择η作为流动性指数的严格单调无界函数，选择λ作为几何布朗运动的平方，以便通过投资组合价值的波动性来衡量市场风险。我们的结果适用于这种情况。论文[3,17,21]考虑到了无限系数。他们将值函数刻画为具有奇异终端值的BSDE的最小解。文献[20]首次研究了具有奇异终值的盲源数据集。在[21]中，同一作者指出，对某个奇异BSDE的最小解会产生相关PDE粘度解（可能不连续）的概率表示。我们的比较结果给出了该最小粘度溶液为唯一（且连续）溶液的充分条件。这补充了分析[3，17]。最近，在模型参数的（适当的正则性和）有界性假设下，在[11]中建立了更一般的驱动因素具有奇异终值的最小解toBSDEs的存在性（和唯一性）。[23]中的框架考虑到了未预测的系数，但需要对市场影响项进行强有力的先验估计，而这在我们的主要示例中并不令人满意。作为对[23]中分析的补充，我们的结果表明，当根据Dawson-Watson超过程导出的值函数在粘度意义下求解HJB方程时。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们总结了我们的主要结果。第3.1节证明了粘性解的存在性；验证论证见第3.2节。第4节将我们的唯一性结果推广到具有无界系数的非马尔可夫模型。符号我们用Cb（Rd）表示所有函数的集合φ：Rd→ R是连续的，在Rd上有界。

对于给定的m≥ 0，我们将Cm（Rd）定义为最多具有m阶多项式增长的连续函数集，即函数集φ∈ C（Rd）使得ψ：=φ（y）1+| y | m∈ Cb（Rd）。当端点为normkφkm时，此空间为Banach空间：=supy∈Rd |φ（y）| 1+| y | m。设I是R的紧集。函数φ属于USCm（I×Rd）（或LSCm（I×Rd）），如果它在第二个变量中最多有m阶多项式增长，则与tot一致∈ I和在I×Rd上是上（下）半连续的-出现在函数空间的定义中，我们是指当T-替换为任何s<T，例如Cm（[0，T-] ×Rd）={u：[0，T）×Rd→ R:u |[0，s]×Rd∈ Cm（[0，s]×Rd），适用于所有s∈ [0，T）}。自始至终，所有方程和不等式都是从a.s.的意义上理解的。我们同意C是一个常数，可能因行而异。2每个初始状态（T，y，x）的假设和主要结果∈ [0，T）×Rd×R我们定义byV（T，y，x）：=inf（ξ，u）∈A（t，x）EZTtη（Yt，ys）|ξs |+θγ（Yt，ys）|us |+λ（Yt，ys）| Xξ，us | ds（2.1）受状态动态影响的控制问题（1.1）的值函数dyt，ys=b（Yt，ys）ds+σ（Yt，ys）dWs，Yt，Yt=ydXξ，us=-ξsds- usdNs，Xt=x.（2.2），这里ξ=（ξs）s∈[t，t]描述了代理商在一级市场的交易价格，而u=（us）s∈[t，t]描述了分配给暗池的订单。在所有容许控制的集合A（T，x）上取最大值，即在所有控制对（ξ，u）上取最大值，以便ξ是渐进可测量的，使得u是可预测的，并且由此产生的状态处理xξ，us=x-Zstξrdr-ZsturdNr，t≤ s≤ T、 满足终端状态约束Txξ，uT=0。

（2.3）与可接受清算策略（ξ，u）相关的预期成本由j（t，y，x；ξ，u）：=E给出ZTtc（Yt，ys，Xξ，us，ξs，us）ds,其中，运行成本函数c（y，x，ξ，u）由c（y，x，ξ，u）给出：=η（y）|ξ|+θγ（y）|u|+λ（y）| x |。重新标记2.1。我们假设控制和状态变量的成本函数是二次函数。可以使用类似的参数建立[10]中一般幂p>1的推广，但这会使符号更加繁琐。动态p编程原理表明，值函数满足HJB方程- 电视（t、y、x）- LV（t、y、x）- infξ，u∈RH（t，y，x，ξ，u，V）=0，（t，y，x）∈ [0，T）×Rd×R，（2.4）我们在后面说明，我们将自己限制在单调的投资组合过程中，因此我们也可以假设u是有界的。其中l：=tr（σσ*Dy）+hb，dyide表示因子过程的最小生成元，哈密顿量H由H（t，y，x，ξ，u，V）给出：=-ξxV（t，y，x）+θ（V（t，y，x- u) - V（t，y，x））+c（y，x，ξ，u）。定量成本函数表示形式为V（t，y，x）=V（t，y）| x |的ansatz。以下结果证实了这一直觉。其证明见【10，第2.2节】。引理2.2。一个非负函数v:[0，T）×Rd→ [0, ∞) 是该DE的（子/超级）解决方案- 电视（t，y）- Lv（t，y）- F（y，v（t，y））=0，（2.5），其中F（y，v）：=λ（y）-|v |η（y）+θγ（y）vγ（y）+v|- θv，（2.6）当且仅当v（t，y）| x |是HJB方程（2.4）的（次/超）解。在这种情况下，在ξ处达到（2.4）中的最大值*（t，y，x）=v（t，y）η（y）x和u*（t，y，x）=v（t，y）γ（y）+v（t，y）x（2.7）和h（t，y，x，ξ*（t，y，x），u*（t，y，x），v（·，·）·····）=F（y，v（t，y））·x·。

（2.8）2.1假设为了证明HJB方程多项式增长的唯一非负连续粘性解的存在性，我们假设通过因子处理y，ys=y+Zstb（Yt，yr）dr+Zstσ（Yt，yr）dWr，t≤ s≤ T、 （2.9）满足以下条件。假设2.3。系数b:Rd→ Rd和σ：Rd→ Rd××dare L ipschitz连续。上述假设保证SDE（2.9）具有唯一的强解（Yt，ys）∈[t，t]对于每个初始状态（t，y）∈ [0，T]×Rdand映射（s，T，y）7→ Yt，ysis a.s.连续。我们反复使用以下众所周知的估计；参见[18，推论2.5.12]。对于所有m≥ 0，存在一个常数C>0，因此对于所有y∈ Rd，0≤ t型≤ s≤ T、 E支持≤s≤T | Yt，ys | m≤ C（1+| y | m）。（2.10）此外，我们假设成本系数是连续的，并且是多项式增长的，η是连续可微的两倍，并且满足温和有界条件。假设2.4。成本系数满足以下条件：（i）系数η，γ，λ，1/η：Rd→ [0, ∞) 是连续的并且是多项式增长的。（ii）η∈ Cand kLηηk有界。重新标记2.5。例如，如果Y是几何布朗运动或Ornstein-Uhlenb-eck（OU）过程且η（Y）=1+| Y |，则满足上述假设。在这两种情况下，都违反了【23】中的条件（2.13）。我们的假设也比thosein[10]弱。例如，OU过程不生成解析半群，它们不满足其中的假设。2.2主要结果在陈述我们的第一个主要结果之前，我们回顾了本文将使用的抛物方程粘度解的概念。以下定义可在【7，第8节】中找到。定义2.6。

对于半连续函数v:[0，T）×Rd→ R我们对抛物线PDE使用以下解决方案概念：- 电视（t，y）- G（t，y，v（t，y），Dyv（t，y），Dyv（t，y））=0，（2.11），其中G:[0，t）×Rd×R×Rd×Sd→ R和Sd表示对称d×d矩阵集。（i） 五∈ USCm（[0，T-]×Rd）是（严格的）粘度亚溶液∈ C1,2loc（[0，T）×Rd），以便≥ v和Д（t，y）=点（t，y）处的v（t，y）∈ [0，T）×Rdit保持-tИ（t，y）- G（t，y，v（t，y），DyИ（t，y），DyИ（t，y））（<）≤ 0.（ii）v∈ LSCm（[0，T-]×Rd）是（严格的）粘度上解∈ C1,2loc（[0，T）×Rd），以便≤ v和Д（t，y）=点（t，y）处的v（t，y）∈ [0，T）×Rdit保持-tИ（t，y）- G（t，y，v（t，y），DyД（t，y），DyД（t，y））（>）≥ 0.（iii）v是粘度溶液，如果v既是粘度亚溶液又是粘度上溶液。我们现在准备陈述本文的主要结果。其证明见下文第3节。定理2.7。在假设2.3、2.4下，奇异终值问题(-电视（t，y）- L v（t，y）- F（y，v（t，y））=0，（t，y）∈ [0，T）×Rd，limt→Tv（t，y）=+∞ Rd上的局部u ni形式，（2.12）和（2.6）中给出的非线性F允许唯一的非负粘度解inCm（[0，T-] ×Rd）对于某些m≥ 下一个结果表明，根据HJB方程的唯一粘度解给出了值函数和最优控制。以前的文献中已经建立了这种反馈的特殊形式。该命题表明，对HJB方程有一个连续的粘度解就足以进行验证论证。提案2.8。在假设2.3、2.4下，设v为奇异终值问题（2.12）的唯一非负粘性解。