线性二次型随机控制的连续粘性解

然后，函数（2.1）的值由v（t，y，x）=v（t，y）| x |和最优控制（ξ）给出*, u*) ξ以反馈形式给出*s=v（s，Yt，ys）η（Yt，ys）X*砂u*s=v（s，Yt，ys）γ（Yt，ys）+v（s，Yt，ys）X*s-. （2.13）尤其是，由此产生的最优投资组合过程（X*s） s∈[t，t]是gi ven byX*s=x扩展-Zstv（r，Yt，yr）η（Yt，yr）dr！Nr6=0Yt<r≤s1级-v（t，Yt，yr）γ（Yt，yr）+v（t，Yt，yr）！。（2.14）让我们用一个最优投资组合清算模型来结束这一部分，其中市场影响由Ornstein-Uhlenbeck过程驱动，而市场风险由几何布朗运动驱动。具体而言，假设Y=（Y，Y）是dyt=-Ytdt+dwtanddyty=σdWt，其中Wand是两个（可能相关的）布朗运动，letη（Y）=1+| Y |，如果Y<0，1+| Y |，如果Y≥ 0，γ（Y）=1，λ（Y）=σ| Y |。该流程规定了一个流动性指标，该指标围绕一个固定水平（标准化为零）波动，当流动性低于平均水平时，市场影响增大，当流动性高于平均水平时，市场影响减小。另一方面，假设资产价格遵循几何布朗运动，瞬时市场风险由投资组合价值的波动性捕获。对于上述模型参数的选择，满足了成本和扩散系数的所有假设。因此，存在唯一的最优清算策略。重新标记2.9。据我们所知，用数值方法来模拟具有单一终值的一般模型的解仍有待开发。在模拟具有奇异终端状态约束的HJB方程的解时，至少会出现两个问题。最明显的问题是奇异终端条件。

不使用函数w（t，y）：=（t）可以潜在地克服此问题- t） v（t，y），（t，y）∈ [0，T）×Rsatis用有限的终值表示以下PDE，但驱动因素是单一的（详情见[10,11]和第3节f）-tw（t，y）- Lw（t，y）-w（t，y）t- t型- （T- t） F（y，w（t，y）t- t） =0，（t，y）∈ [0，T）×Rd，limt→Tw（t，y）=Rd上的η（y）。对变换后问题的唯一经典解的了解打开了应用高阶数值模式并在可接受的计算时间内获得精确解的可能性。一种可能性是研究无界控制集到紧集的一对一映射，并结合控制的离散化，类似于[22]中应用于非最优投资问题的思想；文献[11]概述了一种基于单调性论证的替代方法。第二个问题是为数值模拟确定适当的边界条件（在空间）；如果约束状态约束被有限的惩罚项替代，则会出现类似的问题。第3节中的分析表明，对于风险中性投资者的基准情况（σ=0），w（t，y）≤ Cη（y），（t，y）∈ [0，T）×rf对于某些C>0，如果η（y），我们从中推导出零边界条件→ 0表示| y |→ ∞. 总的来说，我们不能期望上述不等式是一个等式，即使在| y |时也不是渐近的→ ∞. 如果我们选择σ=0，dy-namicsdYt=- tanh（Yt- Yt）dt+dwt对于流动性指数，则指数平均值恢复到±1的水平，即“平均流动性状态”。选择η（y）=1+满足模型参数的所有假设。在这种情况下，我们可以考虑区间(-1，+1）作为低位和设定值[-1、1]cas高流动性制度。自w（t，y）→ 0为| y |→ ∞, 边界问题可以处理。3解与验证3.1解的存在性在本节中，我们证明定理2.7。

在第一步中，我们建立了（2.12）的半连续粘度溶液的比较原则。考虑到奇异的终端状态约束，我们不能遵循通常的方法来证明，如果l.s.c.上解在边界处支配u.s.c.下解，那么它也支配整个域上的下解。相反，我们证明了如果某种形式的渐近优势在终端时间成立，那么优势在终端时间附近成立。第二步，我们构造（2.12）的光滑子解和su解，满足所需的渐近优势条件。随后，我们应用Perron的方法建立了一个u.s.c.子解和一个l.s.c.上解，它由光滑解从上/下限定。由此，我们推断半连续解可以应用于比较原理，这意味着期望的连续粘性解的存在。3.1.1比较原则在本节中，我们计算δ∈ （0，T）对于某些m≥ 0，乐图∈ LSCm（[T- δ、 T型-] ×Rd）和u∈ U SCm（[T- δ、 T型-] ×Rd）是（2.12）的超粘度和亚粘度。提案3.1。在假设2.3、2.4下，如果，u ni formly on Rd，lim supt→Tu（t，y）（t- t）- η（y）1+| y | m≤ 0≤ lim信息→Tu（t，y）（t- t）- η（y）1+| y | m，（3.1）和u（t，y）（t- t） ，u（t，y）（t- t）≥η（y），t∈ [T- δ、 T），（3.2）thenu≤ u开[T- δ、 T）×Rd.假设（3.1），（3.2）在粘度文献中并不常见。然而，我们只能通过比较结果来确定解的存在性，而不是唯一性。因此，我们只需要保证通过Perron方法建立的半连续解满足这两个假设。比较原理的证明基于三个辅助结果。第一个引理来自【10，引理A.2】。这是对[5，引理3.7]的修改。引理3.2。

差异w：=u- u∈ USCm（[T- δ、 T型-] ×Rd）是粘度亚溶液- tw（t，y）- Lw（t，y）- l（t，y）w（t，y）=0，（t，y）∈ [T- δ、 T）×Rd，（3.3），其中l（T，y）：=F（y，u（T，y））- F（y，u（t，y））u（t，y）- u（t，y）Iu（t，y）6=u（t，y）。下一个引理构造了多项式增长（3.3）的光滑严格上解。引理3.3。对于每n∈ N、 存在足够大的kn，使得χ（t，y）：=eKn（t-t） （1+| y |）nT- tsatis公司-tχ（t，y）- Lχ（t，y）+χ（t，y）t- t> 0，（t，y）∈ [T- δ、 T）×Rd证明。直接计算验证h（t，y）：=eKn（t-t） （1+| y |）nsatis fies-th（t，y）-左侧（t，y）>0英寸[t- δ、 T）×rd当选择的刀足够大时；另见【2，提案5】。这里使用的是b和σ是Lipschitz，因此是线性增长。因此-tχ（t，y）- Lχ（t，y）+χ（t，y）t- t型=-th（t，y）- 左（t，y）t- t> 0。following引理是比较原理的关键。引理3.4。如果n∈ 引理3.3中的N选择得足够大，然后与α>0无关，函数Φα（t，y）：=w（t，y）- αχ（t，y）是另一个非正的或在[t]中的某个点（tα，yα）达到其上确界- δ、 T）×Rd证明。假设在[T]上Φα的supr emum- δ、 T）×RDI为正，并用[T]中的（tk，yk）序列表示- δ、 T）×Rd接近上确界点。表示法Φα（t，y）=hu（t，y）（t-t）-η（y）1+| y | m-u（t，y）（t-t）-η（y）1+| y | mi（1+| y | m）- αeKn（T-t） （1+| y |）nT- t、 条件（3.1）表明，对于任何n>m，lim支持→TΦα（T，y）=-∞, 在Rd上一致。因此limktk<T。此外，w∈ U SCm（[T- δ、 T型-] ×Rd）由远离终点时间的多项式增长函数所限定。选择足够大的n表示limk | yk |<∞. 因此，由于Φα是上半连续的，因此在某个点（tα，yα）上达到了上确界。这证明了这一说法。我们现在准备证明比较原则。命题3.1的证明。让我们fα>0。

让α→ 0表示函数Φα为非正函数是足够的。根据引理3.4，我们只需要考虑存在点（tα，yα）的情况∈[T- δ、 T）×rdw（T，y）- αχ（t，y）≤ w（tα，yα）- αχ（tα，yα），（t，y）∈ [T- δ、 T）×Rd。该不等式可解释为w- ψα在（tα，yα）处具有全局最大值，其中ψα：=αχ（t，y）+（w- αχ）（tα，yα）。由于ψα是光滑的，w是（3.3）的粘度子解，-tψα（tα，yα）- Lψα（tα，yα）- l（tα，yα）w（tα，yα）≤ 利用中值定理以及uF、条件（3.2）和事实vF（y，v）≤ -2vη（y）我们得到l（t，y）=F（y，u（t，y））- F（y，u（t，y））u（t，y）- u（t，y）Iu（t，y）6=u（t，y）≤ vF（y，η（y）2（T- t） （）≤ -T- t、 （3.4）因此，引理3.3 im plies0≥ - tψα（tα，yα）- Lψα（tα，yα）- l（tα，yα）w（tα，yα）=α[-tχ（tα，yα）- Lχ（tα，yα）- l（tα，yα）w（tα，yα）]>- αχ（tα，yα）t- tα- l（tα，yα）w（tα，yα）≥αl（tα，yα）χ（tα，yα）- l（tα，yα）w（tα，yα）=- l（tα，yα）Φα（tα，yα）。（3.5）自l≤ 0，我们可以得出以下结论：Φα（tα，yα）≤ 0，因此Φα≤ 0.3.1.2通过Perron方法的存在性根据我们的比较原则，只要确定合适的子解和上解，就可以使用Perron方法确定HJB方程的粘度解的存在性。鉴于假设2.4，η，λ∈ Cm（Rd）对于某些m≥ 0和kLηηk定义明确。因此δ：=1/kLηηk∧ T>0。（3.6）通过直接计算，我们可以找到一个足够大的常数K′，使得函数：^h（t，y）：=eK′（t-t） （1+| y |）m/2满意-t^h（t，y）- L^h（t，y）- λ（y）≥ 0.然后让我们定义ˇv（t，y）：=η（y）- η（y）kLηηk（T- t） eθ（t-t） （t- t） 和^v（t，y）：=η（y）+η（y）kLηηk（t- t） （t- t） +^h（t，y）。提案3.5。在假设2.3，2.4下，函数71v，^v是[T]上（2.12）的非负经典次上解- δ、 T）×Rd。证据

为了验证^v的上解性质，我们首先验证- t^v（t，y）- L^v（t，y）=-η（y）+Lη（y）（T- t） +Lη（y）kLηηk（t- t） （t- t）- t^h（t，y）- L^h（t，y）（3.7）回顾F的定义（2.6），我们自^v≥ 0,-F（y，^v（t，y））≥ -λ（y）+^v（t，y）η（y）。接下来，我们应用不等式（u+v+w）≥ u、v、w的u+2uv≥ 0至^v（t，y）toobtain项- F（y，^v（t，y））≥ -λ（y）+η（y）+2η（y）kLηk（T- t） η（y）（t- t） 。（3.8）添加（3.7）和（3.8）产量-t^v（t，y）- L^v（t，y）- F（y，^v（t，y））≥2η（y）kLηηk- Lη（y）- Lη（y）kLηηk（T- t） （t- t）- t^h（t，y）- L^h（t，y）- λ（y）。δ的定义产生1≥ kLηηk（T- t） 对于t∈ [T- δ、 T）和so，2η（y）kLηηk- Lη（y）- Lη（y）kLηηk（T- t）≥η（y）kLηk·1+kLηηk（T- t）- Lη（y）- Lη（y）kLηηk（T- t）=1+kLηηk（T- t）·η（y）kLηk- Lη（y）≥ 我们使用约定1/0=∞.我们的结论是-t^v（t，y）- L^v（t，y）- F（y，^v（t，y））≥ 接下来，我们通过直接计算验证了ˋv的次分辨率，- tˇv（t，y）- Lˇv（t，y）=-η（y）+Lη（y）（T- t）- Lη（y）kLηηk（T- t） eθ（t-t） （t- t）- θˇv（t，y）。（3.9）另一方面，由于λ，γ≥ 0和ˋv≥ [T]上的0- δ、 T）×Rd，-F（y，ˇv（t，y））≤ˇv（t，y）η（y）+θˇv（t，y）。我们使用不等式（u）估计ˋv（t，y- 五）≤ u- u的uv≥ v≥ 0并获取，- F（y，ˇv（t，y））≤η（y）- η（y）kLηηk（T- t） e2θ（t-t） （t- t） +θˇv（t，y）。（3.10）自e-2θ（T-t）≤ e-θ（T-t） ，添加g（3.9）和（3.10）产量-tˇv（t，y）- Lˇv（t，y）- F（t，ˇv（t，y））≤ -η（y）kLηηk+Lη（y）- Lη（y）kLηηk（T- t） eθ（t-t） （t- t） 。再次使用1≥ kLηηk（T- t） 我们得到，η（y）kLηηk+Lη（y）- Lη（y）kLηηk（T- t）≥η（y）kLηk·1.- kLηηk（T- t）+ Lη（y）- Lη（y）kLηηk（T- t）=1.- kLηηk（T- t）·η（y）kLηηk+Lη（y）≥ 0.因此，-tˇv（t，y）- Lˇv（t，y）- F（t，ˇv（t，y））≤ 定理2.7的证明。

从ˋv的定义来看，我们有（T- t） ˋv（t，y）=η（y）+η（y）O（t- t） 在y方向上与t方向一致→ T（T- t） ^v（t，y）=η（y）+（1+| y | m）O（t- t） 在y方向上与t方向一致→ T（3.11）对于ε=，存在δ∈ （0，δ），使得对于所有t∈ [T- δ、 T），ˇv（T，y）（T- t） >η（y）-η（y）=η（y）自η起在Rd上均匀分布∈ Cm（Rd），我们从（3.11）thatlimt中获得→Tˇv（T，y）（T- t）- η（y）1+| y | m=极限→T^v（T，y）（T- t）- η（y）1+| y | m=0，在Rd.（3.12）上一致。为了应用Perron的方法，我们将{u | u设置为[T- δ、 T）×Rd和u≤ ^v}。从命题3.5中，我们知道∈ S、 所以S是非空的。因此，函数v（t，y）=s up{u（t，y）：u∈ S} 定义明确。经典论证表明上s emi连续包络v*是（2.12）的aviscosity次分辨率。根据[24，引理A.2]，下半连续包络v*v也是（2.12）的粘度上解。自ˋv起≤ v*≤ v*≤ ^v，我们有这一切∈ [T- δ、 T）、v*（t，y）（t- t） ，v*（t，y）（t- t）≥η（y），在Rd和ˋv（t，y）（t）上均匀分布- t）- η（y）1+| y | m≤v*（t，y）（t- t）- η（y）1+| y | m≤v*（t，y）（t- t）- η（y）1+| y | m≤^v（t，y）（t- t）- η（y）1+| y | m。因此，遵循fr om（3.12），limt→电视*（t，y）（t- t）- η（y）1+| y | m=极限→电视*（t，y）（t- t）- η（y）1+| y | m=0，在Rd.（3.13）上一致。根据我们的比较原则[建议3.1]，我们得出结论，v*≤ v*开[关]- δ、 T）×Rd，表示v是所需粘度溶液，为（2.5），属于Cm（[T-δ、 T型-]×Rd）。根据[2，备注6]，存在唯一的粘度溶液v∈ 厘米（[0，T- δ] x Rd）至（2.5），当t=t时- δ，终端值以Cm（Rd）为单位。因此，从连续粘度解的比较原理[10，引理3.1]，我们得到了唯一的全局粘度解v∈ 厘米（[0，T-] ×Rd）。重新标记3.6。

如果生成元f和SDE（2.9）的所有系数都有界，则可以证明η不需要二次微分；选择满足条件（3.1）和（3.2）的连续解只需要一致连续性。因此，可以通过上述相同的参数获得唯一粘度解。3.2验证本节专门讨论验证论证。贯穿，v∈ 厘米（[0，T-]×Rd）表示奇异终值问题（2.12）的唯一非负v正解。我们将证明粘性解确实是随机控制问题的价值函数。在第一步中，我们现在将证明（2.13）中给出的反馈控制是不可容许的。椭圆偏微分方程粘度解的标准Perron方法见【7】。关于抛物型方程的这种方法的证明，请参考【24，附录A】。引理3.7。反馈控制对（ξ*, u*) 允许（2.13）给出n。证据给出（2.13）中的反馈形式，可以很容易地得到一对控制（ξ*, u*)是可接受的，并且由此产生的投资组合过程（X*s） s∈[t，t]是单调的。仍需验证清算约束。自ˋv起≤ v≤ ^v开[T- δ、 T）当eδ在（3.6）中定义时，它适用于任何r∈ [T- δ、 T）该，1- kLηηk（T- r） eθ（T-r） （T- r） η（Yt，yr）≤ v（r，Yt，yr）≤1+kLηηk（T- r） T型- rη（Yt，yr）+^h（r，Yt，yr）。对于s∈ [T- δ、 T），| X*s |≤ |x |扩展-Zstv（r，Yt，yr）η（Yt，yr）dr！≤ |x |扩展-ZsT公司-δv（r，Yt，yr）η（Yt，yr）dr！≤ |x |扩展-ZsT公司-δ1 - kLηηk（T- r） eθ（T-r） （T- r） 博士！≤ |x | expZsT-δeθ（T-r）- [1 - kLηηk（T- r） ]eθ（T-r） （T- r） 博士！经验值-ZsT公司-δT- rdr公司≤ |x | expZsT-δ“eθ（T-r）- 1eθ（T-r） （T- r） +kLηηkeθ（T-r） #博士·T- sδ≤ C | x | T- sδ。（3.14）最后一个不等式成立，因为limr→Teθ（T-r）-1eθ（T-r） （T-r） =θ。

因此，X*T-= 0，因此为X*T=0。[10，引理5.2]表明，我们可以将自己限制在可容许的控制范围内，从而导致单调的投资组合过程。我们用A（t，x）表示投资组合过程单调的所有可容许控制的集合。接下来，我们给出（2.12）粘度解的概率表示。在[21]中，作者指出，具有奇异终端条件的某个后向随机微分方程的可能间断最小解给出了相关偏微分方程最小粘度解的概率表示；解决方案的连续性尚未建立。然而，执行验证论证需要连续性。我们以不同的方式获得了相应FBSDE的解，因为已经证明了（连续）粘度解的存在。提案3.8。根据假设2.3和2.4，对于任何固定的∈ （0，T）和（T，y）∈ [，T）×Rd，存在一对进程（Ut，y，Zt，y）∈ SF（t，t；R）×LF（t，t；R1××d），满足Ut，yt=v（t- ，y）和任何≤ t型≤ r≤ s≤ T、 Ut，yr=Ut，ys+ZsrF（Yt，yρ，Ut，yρ）dρ-ZsrZt，yρdWρ。证据我们考虑前向b反向系统dYs=b（Ys）ds+σ（Ys）dWs，s∈ [t，t]，dUs=-f（s，Ys）ds+ZsdWs，s∈ [t，t]，Yt=y，UT=v（t- ，YT），（3.15）和相应的PDE(- wt（t，y）- Lw（t，y）- f（t，y）=0，（t，y）∈ [，T）×Rd，w（T，y）=v（T- ，y），y∈ Rd（3.16），其中f（t，y）：=f（y，v（t- ，y）和F在（2.6）中定义。

回顾假设2.4中成本系数的多项式增长条件和定理2.7中建立的解v的多项式增长性质，我们知道f∈ Cm′（[，T]×Rd），对于某些m′≥ m、 加上假设2.3和v（T- , ·) ∈ Cm（Rd），我们从[14，定理2.1]得出结论，系统允许唯一解（Yt，y，Ut，y，Zt，y）∈ SF（t，t；Rd）×SF（t，t；R）×LF（t，t；R1××d）。设w（t，y）：=Ut，yt。根据Feynman-Kac公式【19，定理3.2】，w是（3.16）的唯一粘度解，驱动因子为f。由于（2.12）中PDE的时间均匀性，粘度解在时间移动时保持粘度解。设v（t，y）：=v（t- ，y）开[，T]。通过对f的定义，我们可以看出，v也是（3.16）的粘度溶液，驱动因子f为[，T]。因此，w=~v。根据马尔可夫性质，我们对任何r∈ [t，t]0≤ Ut，yr=v（r- ，Yt，yr）。因此，Ut也是以下FBSDE的解决方案：dYs=b（Ys）ds+σ（Ys）dWs，s∈ [t，t]，dUs=-F（Ys，Us）ds+ZsdWs，s∈ [t，t]，Yt=y，UT=v（t- ，YT）。对于任何∈ （0，T），我们可以将间隔限制在[T，T- ]重复上述论点，不要及时转移。这就产生了一个解决方案（▄Ut，y，▄Zt，y）∈ SF（t，t- ; R） ×LF（t，t- ; R1××d）满足以下条件：Ut，yt=v（t，y）且对于任何0≤ t型≤ r≤ s<T- ,dYs=b（Ys）ds+σ（Ys）dWs，s∈ [t，t- ]，dUs=-F（Ys，~Us）ds+~ZsdWs，s∈ [t，t- ]，Yt=y，~UT-=v（T- ，YT-).由于是任意的，因此可以得到[0，T）上的全局解。推论3.9。在假设2.3，2.4下，存在过程（~Ut，y，~Zt，y）∈ SF（t，t-; R） ×LF（t，t-; R1××d）满足以下条件：Ut，yt=v（t，y），且对于任何0≤ t型≤ r≤ s<T，~Ut，yr=~Ut，ys+ZsrF（Yt，yρ，~Ut，yρ）dρ-Zsr▄Zt，yρdWρ。（3.17）Followin g引理是验证论点的关键。引理3.10。固定∈ （0，T）和（T，y）∈ [，T）×Rd。