推广几何布朗运动

前者适用于以证券现货价格书写的衍生品，后者适用于证券的未来价格。由于这两个过程只因包含跳转到默认过程而有所不同，因此它们的定价公式非常接近。因此，我们只给出鞅动力学定价的推导。次鞅动力学的结果用下标标记，以便于澄清。注：由于我们的模型跟踪资产的最低运行率和提取率，因此它在路径相关期权的障碍类型定价中特别有用。4.1一触即用较低的屏障我们的第一个价格是一触即用较低的屏障。一触式期权支付一美元，前提是在到期前，资产的价格触及较低的利率，否则到期时一文不值。假设当前时间为t，且标的资产未违约（Nt=0）。一触式低门槛土地成熟度的价格T isOTt（L，T）=Ft≤升+英尺>升·NT=0Et英尺≤L+NT6=0=英尺≤升+英尺>升·e-β（T-t） EthZT公司≤ln L公司-ln Fαi+1- e-β（T-t）, （67）为了得到第二条线，使用FT=Feαzt。替换ZTone上的过渡PDF后，得到的SOTT（L，T）=Ft≤L+Ft>L·e-β（T-t） “2Nln L-ln Fα- w√T- t！- 1#+ 1!, （68）其中，w在（59）中给出，N是标准正态分布函数。取α=1时，一次触碰的价格降低到[2]中的价格。这是因为从本质上讲，单触期权的收益仅由基础的最小值决定，这是由两种情况下布朗运动的运行最小值驱动的。一触式书面现货价格的定价与等式n（44）类似，这相当于降低了等式n（50）中跳转到默认过程所导致的可能性。p rice由otspott（L，T）=Ft给出≤L+Ft>L·Et英尺≤L=英尺≤L+Ft>L·2Nln L-ln Fα- w√T- t！。

（69）4.2回望期权lo-okback看涨期权在T到期，浮动履约价格支付资产终值与其最低值之间的差异，即终值d提取。如果发生默认情况（NT6=0），则选项过期无效（FT=FT）。因此，在鞅（50）下，该期权到期时的价值为thenLCfloat，t=NT=0Et[英尺- FT]=NT=0Et英尺ˇ英尺- 1.=NT=0EthFeαZTeβˇZTβ-α- 1.i、 （70）如果安全性在t之后达到新的最小值，则可以使用方程（53）中的（ZT，'ZT）的双变量转换PDF评估方程（70）中的期望值，或者如果ZT=ZT：EthFeαZT，则使用方程（54）中的单变量转换PDF评估方程（70）中的期望值eβˇZTβ-α- 1.i=FZZt-∞djZ公司∞dˇksπ（T- t） （ˇk- j+w）e-（ˇk-j+w）2（T-t） eαjeβˇkβ-α- 1.+ FZ公司∞dˇksπ（T- t）e-71k2（T-t）- e-（k+w）2（T-t）eαweβˇkβ-α- 1., （71）其中ˇw=w- w、 通过计算积分，我们得到了在tLCfloat下评估的该期权的价格，t=FeαwαβeβˇwN-ˇw- β（T- t）√T- t型-αβe-βˇwN-ˇw+β（T- t）√T- t型+β+αβNβ√T- t型+β - αβN-β√T- t型+ e-β（T-t）2N个-ˇw√T- t型- 1.- 2eαˇw+（α-β） （T-t） N个-ˇw- α（T- t）√T- t型. （72）lookb ack看涨期权现货价格的定价方法相同：LCSpotfloat，t=Et[英尺- FT]=EthFeαZTeβˇZTβ-α- 1.i=eβ（T-t） LCfloat，t.（73）如果我们转而考虑具有固定执行价格的回望期权，则支付由到期时看跌/看涨回望期权的最小/最大值决定。由于Eqn（50）跟踪最小值和提取，因此可以使用它来评估具有固定价格的回望看跌期权。价格由Pfixed给出，t（K，t）=NT=0Et（K）- 英尺）++NT6=0·K，LPSpotfixed，t（K，t）=Et（K）- 英尺）+, （74）其中K是履约价格。

这可以通过将一触式屏障的价格与屏障进行积分来评估，因此为了简单起见，我们将不进行推导。我们还可以设计另一种类似于回望看涨期权的衍生品，该期权具有浮动的履约价格，支付到期前终端价格与最低价格之间的比率。由于基础资产可以违约（FT=FT=0），我们假设在这种情况下，支付为零。此选项的价格由C给出*浮动，t=NT=0Et英尺- FTFT公司=NT=0Et公司FTFT公司- 1.=NT=0EtheβˇZTβ-αi- 1., （75）可使用双变量PDF评估期望值：EtheβˇZTβ-αi=ZZt-∞djZ公司∞dˇksπ（T- t） （ˇk- j+w）e-（ˇk-j+w）2（T-t） eβˇkβ-α+Z∞dˇksπ（T- t）e-71k2（T-t）- e-（k+w）2（T-t）eβˇkβ-α- 1.（76）可类似于方程式（72），LC进行评估*浮点数，t=β+αβNβ√T- t型+β - αβN-β√T- t型- 1.（77）注意LC的值*浮动，无单位，因为期权写在提取比率上。如果存在与基础证券相关的大小，则可以将其乘以LC*浮动，这给了它一个美元的数额。如等式（73）所示，该衍生工具的现货价格为isLC* Spotfloat，t=eβ（t-t） 信用证*float，t.（78）4.3 Vanilla和Down and In CallNow我们为Down and In Call（DIC）期权定价，如果较低的barrieris在到期前到达，该期权将从无价值变为van illa Call。普通呼叫可以被视为一种特殊情况，即在出现之前已击中较低屏障的下入障碍呼叫（DIC）。写在FTI上的DIC选项的值由DICT给出（L，K，T）=Ft≤L·NT=0·Ct（K，T）+Ft>L·NT=0·Et英尺≤L（英尺- K）+, （79）其中L是障碍，K是履约价格，T是到期日，CTI是以T定价的普通看涨期权。Note settingL=将DIC引入普通呼叫。如等式（79）所示，如果发生违约（NT6=0），则选项将变为无。

为了评估（79）中第二项的期望值，我们再次应用双变量转换PDF:Et英尺≤L（英尺- K）+= Et公司ZT公司≤αlnLF（FeαZTeβˇZTβ-α- K）+=Z 1αlnLF-∞djZ公司∞k*dˇksπ（T- t） （ˇk- j+w）e-（ˇk-j+w）2（T-t）Feαjeβˇkβ-α- K, （80）其中k*（j） 由K确定*= 最大值f-1.SFeαj, 0, f（x）=eβxβ-α. （81）对于k的依赖性*在j上，上述积分不能以闭合形式获得，类似于[2]中的情况。尽管如此，结果可以进一步简化英尺≤L（英尺-K）+= FZαlnLF-∞djeαj+β（T-t）（β+α）eβ（j-w） N个j- w- k*+ β（T- t）√T- t型-(β - α） e类-β（j-w） N个j- w- k*- β（T- t）√T- t型, （82）在用市场观察值代替ZT后，DIC期权的价值增加了，我们现在有了DIC期权的价格：DICt（L，K，T）=Ft≤LCt（K，T）+Ft>LFZαlnLF-∞djeαj（β+α）eβ（j-w） N个j- w- k*+ β（T- t）√T- t型-(β - α） e类-β（j-w） N个j- w- k*- β（T- t）√T- t型. （83）在L=F的特殊情况下，DIC期权减少为普通看涨期权，价格为Ct（K，T）=FZ-∞djeαj（β+α）eβ（j-w） N个j- w- k*+ β（T- t）√T- t型-(β - α） e类-β（j-w） N个j- w- k*- β（T- t）√T- t型, （84）完成了等式（50）上DIC期权的定价。对于DIC期权现货价格，方程式（79）becomesDICSpott（L，K，T）=Ft≤L·CFX Sp ott（K，T）+Ft>L·Et英尺≤L（英尺- K）+, （85），这导致方程（83）和方程（84）都有轻微的修改，结果是dicspott（L，K，T）=Ft≤LCSpott（K，T）+Ft>LFeβ（T-t） ZαlnLF-∞djeαj（β+α）eβ（j-w） N个j- w- k*+ β（T- t）√T- t型-(β - α） e类-β（j-w） N个j- w- k*-β（T- t）√T- t型,CSpott（K，T）=Feβ（T-t） Z-∞djeαj（β+α）eβ（j-w） N个j- w- k*+ β（T- t）√T- t型-(β - α） e-β（j-w） N个j- w- k*- β（T- t）√T- t型. （86）在结束本节之前，我们想指出，等式（83）与几个选项有关。例如，当α=1和β=0时，结果减少到[2]中的结果。

在零罢工DIC选项（K=0）的特殊情况下，Eqn（83）具有闭合形式表达式：DICt（L，0，T）=FLF公司α+βe-βwNαlnLF- w+β（T- t）√T- t！-2eαw+（α-β） （T-t） NαlnLF- w- α（T- t）√T- t+LF公司α-βeβwNαlnLF- w- β（T- t）√T- t！.（87）5总结与推广我们提出了一个状态空间为[0，∞). 这是通过在Az'ema Yorsetting中首先生成一个正漂移的过程，该过程由运行最小值和布朗运动的上升驱动，并向默认过程添加一个跳跃。该过程通过增加两个参数来推广无漂移几何布朗运动，同时保持其可跟踪性。特别是，其运行最小值和drawuprate（水位和运行最小值之间的比率）都是可分析的。三个模型参数α、γ和β可分别解释为标的证券在每一个新低、初始时间和标的证券价格极高时的瞬时波动率。参数α控制着低阶次的隐含波动率，而参数β控制着高阶次的隐含波动率。只要隐含波动率在执行价格中是单调的，参数γ可以用来满足货币隐含波动率。结果表明，在一定的范围内，这个新过程可以归结为几何布朗运动和[2]给出的正鞅。我们还提出了流程运行最小值和提取率的二元转换PDF。通过使用过渡PDF，我们对几个选项进行了定价，假设动态由风险中性度量中的三个参数驱动。

这些选项包括具有较低门槛的一键式选项、具有浮动和固定履约价格的回望选项、普通看涨期权和看跌期权。由于并非所有隐含波动率切片都是单调的，因此未来的研究应通过引入随机波动率或jum P来扩展模型。人们也可以使用不跳到违约的过程来建模涉及正漂移的动态，例如，投资策略的累积回报。此外，Girsanov定理可用于消除G的漂移，此时可使用反射原理。为了简洁起见，最好将这些扩展留给未来的研究。感谢Matthew Lorig、Vasily Strela、Jane Yu，尤其是Travis Fisher的评论。他们不对任何错误负责。附录1关于eβxβ的更多信息-α本技术附录证明了结果（6）。对于x≥ 0, α ≥ 0，且β>0，我们的双参数指数函数定义为：eβxα-β≡α+β2βeβx+α- β2βe-βx.（88）将该结果平方表示：eβxα-β=α + β2βe2βx+α- β2β+α - β2βe-2βx.（89）考虑（88）的队列：eβxβ-α≡α+β2βeβx+β- α2βe-βx.（90）将该队列平方表示：eβxβ-α=α + β2βe2βx-α- β2β+α - β2βe-2βx.（91）从（89）中减去（91）意味着：eβxα-β-eβxβ-α=α- ββ. （92）取每边的正平方根，得出d esir ed结果：eβxα-β=seβxβ-α+α- ββ. （93）参考文献[1]Black，F.，1976，“商品合同的定价”，金融经济学杂志，3，167–179。[2] C arr P.，2014，《一阶微积分与期权定价》，金融工程杂志，第1期，第1页。[3] Guyon，J.，2014，“路径依赖性波动”，风险，10。[4] 霍布森，D.G.和L.C.G。

Rogers，1998，“随机波动的完整模型”，MathematicalFinance，8，27-48。[5] 默顿，R.C.，1976年，《基础股票收益不连续时的期权定价》，《金融经济学杂志》，3125-144。[6] Grabbe，J.O.，1983，“外汇看涨期权和看跌期权的定价”，《国际货币与金融杂志》，2239-253。