推广几何布朗运动

将（10）乘以βeβxleads得到eβx的二次函数：β+αe2βx- βyeβx+β- α=0，x≥ 0, α ≥ 0, β > 0. （11） 通过二次方根公式：eβx=βy+pβy- (β- α） β+α，x≥ 0, α ≥ 0，β>0，（12），其中我们选择了+in±因为eβx>0。求解x:x=βlnβy+pα+β（y- 1） β+α，x≥ 0, α ≥ 0, β > 0. （13） 因此，对于y≥ （13）的RHS上的函数是我们的双参数指数函数的显式逆。注意，从（12）：β+α2βeβx=y+sy-β- α4β，（14）其中我们从（10）中观察到β-α4β只是两项之和的乘积。方程式（14）是一个明确的公式，将y映射到定义它的总和（10）中的第一项。当x=0且α=0时，第一项的大小与第二项相同，但除此之外，第一项的大小更大。要获得将y映射到求和中较小项的显式公式，请注意将（10）乘以βe-βx等于e的二次函数-βx：β- αe-2βx- βyeβx+β+α=0。（15） 通过平方根公式：e-βx=βy-pβy- (β- α)β - α、 （16）我们现在选择的地方- in±since e-βx<1。因此：β- α2βe-βx=y-sy公司-β- α4β. （17） 该方程是一个显式公式，将y映射到求和（10）中的最后一个较小项。对于单参数指数函数y=eβx，x≥ 0，β>0，向输入变量x添加一个会导致输出变量y按因子eβ>1增长。我们认为指数函数将加法转化为乘法。对于由（10）定义的双参数指数函数，向输入变量x添加一个会导致输出变量y增长，如下所示。首先，将y分解为（14）明确给出的涉及eβx的较大项和涉及e的较小项-βx，由（17）明确给出。接下来，将较大的项增大一个因子eβ>1，将较小的项缩小一个因子e-β∈ (0, 1). 最后，将两个修改后的项相加，以获得y的新值。

我们说，双参数指数函数将加法转化为乘法和除法的混合。3构造一个三参数非负连续鞅在本节中，我们使用上一节构造的两参数指数函数定义一个新的三参数非负连续鞅，用Ft表示。回想一下，要创建一个无漂移的GBM Fb，首先创建一个辅助正连续过程gt=eβzt，正漂移为β/2，然后通过设置fbtfb=gte来校正f-βt/2。我们将在下一小节中模拟这种构造，首先构造一个辅助的正连续过程G，其正常数漂移为β/2。然后，下面的小节通过在默认过程中添加一个跳转来纠正此恒定漂移。3.1构造一个正连续过程，其中常数floftlet 0为赋值时间，Z为Q下的标准布朗运动Z，其在t=0时的值通常为Z=0。我们允许Z在时间0之前存在。让t≤ 0，我们假设Z对于所有t都存在≥ t、 对于t≥ t、 letZt公司≡infs公司∈[t，t]zs表示标准布朗运动Z un der Q的运行最小值。请注意，Z的路径监视从时间t开始≤ 0，所以Z≤ 0.对于t≥ t、 letˇZt≡ Zt公司-ZT表示Z正在运行的绘图过程。Let：_Gt=eβ_Ztβ-α、 t型≥ t、 β>0，（18）是一个新的具有状态空间的随机过程[1，∞).回想一下，将α设置为零会减少双参数指数eβxβ-α、 x个≥ 0，β>0到指数eβx，x≥ 0, β > 0. GBM eβZt和过程cosh（βZt）、cosh（β| Zt |）和cosh（βˇZt）均以β/2的速率增长。超bolic余弦是指数βx，x的简单平均值≥ 0，β>0，及其倒数。

当非对称参数α为正时，这个简单的平均值将被一个非对称平均值所取代，该非对称平均值对递增指数施加了更多的权重。这种偏斜对平均值的影响与GBM eβZtif Z平均值的影响相同，如果Z恰好在访问其最小值时表现为不对称。特别是，如果Z被解释为缩放随机游动的极限，则高于最小值的概率越大，eβZtif的平均增长率就会高于β/2。设^Zdenote是斜布朗运动。这种罕见的不对称性对eβ^Zt平均值的影响可以通过乘以eα^Zt来消除。同样，我们将消除对用eβˇZtβ替换cosh（βˇZt）的平均值的影响-α, β > 0, α ≥ 0乘以ˇgtx eα′Zt。我们引入了一个新参数γ，用于确定t=0时的_Gtat值。我们要求γ在α和β之间。出于技术原因，我们允许γ=α，但不允许γ=β。这允许我们设置：_G=sα- βγ- β. （19） 半径为≥ 1，因此_G也是。我们接下来使用（13）来设置_Z:_Z=βlnβ_G+qα+β[_G- 1] β+α，x≥ 0, α ≥ 0, β > 0. （20） 自_G起≥ 1，ˇZ≥ 0、每t≥ 0，ˇGt≥ （18）中定义的1在其dr iverˇZt中增加≥ 方程（21）意味着（18）可以显式反转：ˇZt=βlnβˇGt+qα+β[ˇGt- 1]α + β, t型≥ t、 α≥ 0, β > 0. （21）我们接下来设置Z=-ˇZso that Z≡ Z+ˇZ=0。当zd确定为某个非正值时，设：Gt=eαZtt≥ t、 α≥ 0，（22）是状态空间为（0，1）的超鞅∈ （22）中定义的（0，1）在其驱动器zt中增加≤ 0，对于α>0，（26）可以显式反转：Zt=αln Gt，t≥ t、 （23）对于α≥ 0，β>0，γ在它们之间，设：Gt=GtˇGt，t≥ 0，（24）是状态空间（0，∞). 我们声称Gt=infs∈[t，t]Gs。

换句话说，我们认为超鞅Gt∈ （22）中定义的（0，1）只是（24）中定义的G过程的运行最小值。要了解原因，请注意，在（24）中替换（18）和（22）意味着α≥ 0，β>0，它们之间的γ：Gt=eαZteβˇZtβ-α、 t型≥ t、 （25）当71z=0时，由于区域性下降：infs∈[t，t]Gs=eαZt，t≥ t、 α≥ 0，β>0，（26），这与Gt的定义方程（22）相匹配。因此，GT是（24）中定义的G过程的运行最小值。由于G有状态空间（0，1），G永远是正的。从（24）：71gt=GtGt，t≥ 0，（27）so_G是G的相关绘制过程。将其^o公式应用于（18），（3）意味着：d_Gt=βeβ_Ztα-βdˇZt+βeˇZtβ-αdhˇZit，t≥ t、 （28）因此，71gt的增量取决于71zt的增量和71zt的平方增量。由于zi是一个有界变化的过程，它是零二次变化，因此：hˇZit=hZ- Zit=hZit=t，t≥ t、 （29）在（28）中替换（6）和（29）意味着系数仅取决于eβˇZtβ-α： dˇGt=βeβˇZtβ-αdt+βseβˇZtβ-α+α- ββdˇZt，t≥ t、 （30）在（30）中替换（18）意味着_G求解以下随机微分方程（SDE）：d_Gt=β_Gtdt+rα+βh_Gt- 1idˇZt，t≥ t、 （31）该SDE是单变量的，因为71gt的系数仅取决于71gt。除以ˇGt意味着：dˇGtˇGt=βdt+sαˇGt+β1.-_GtdˇZt，t≥ t、 （32）因此，当两个驱动因素为t和Z时，_G求解上述简单SDE。要确定ZtandZ的系数，请注意，替换d_Zt=dZt-dZtin（32）表示：dˇGtˇGt=βdt+sα_Gt+ β1.-_Gt（dZt- dZt），t≥ t、 （33）由于当_G=1时，Z仅为d，因此（33）中dZ的净系数为零。因此，_G还解决了以下SDE：d_Gt_Gt=-αdZt+βdt+sαˇGt+β1.-_GtdZt，t≥ t、 （34）dZtin的系数（34）是_G的瞬时对数正态波动率，它是α和β的随机加权Lmean。这种形式显然只是（9）的结果。

自从_Gt∈ （0，1），_G的瞬时对数正态方差率只是α和β的凸组合。当Z处于其最小值Z时，_Z=0，因此_G=1。此时，（34）意味着_G的瞬时波动率为α。相比之下，随着Z与其最小Z之间的差异接近实际值，_G也会出现实际值，并且（34）意味着_G的固有波动率接近β。这些结果清楚地遵循了我们的双参数指数函数eβxβ的行为-x=0和x=∞.（34）中的动力学显然取决于我们的两个参数α和β，这两个参数分别是_G在_G的一个和一个极值处的瞬时波动率。为了解释我们的第三个参数γ，注意（19）两边平方的th意味着：_G=α- βγ- β. （35）交叉乘重排列：γ_G=α- β+β（_G）。（36）除以ˇGand取平方根意味着：γ=sαˇG+β1.-_G. （37）将（37）与（34）中在t=0时评估的波动率进行比较，意味着我们的第三个参数γ只是_G的初始波动率。接下来，我们确定G过程的动力学，（24）定义为产品：Gt=Gt_Gtt≥ t、 （38）对于α≥ 0，β>0，γ介于两者之间。It^o公式暗示：dGtGt=dGtGt+dˇGtˇGt=αdZt+dˇGtˇGt，t≥ t、 （39）因为Gt=eαZt。代入（32）意味着G解出以下SDE：dGtGt=βdt+vuutαGtGt+ β\"1 -GtGt#dZt，t≥ t、 （40）因为_Gt=GtGt。与_G过程一样，G过程在速率β下具有恒定的比例漂移。与_G的S DE（34）不同，G的SDE（40）具有依赖于辅助过程G的系数。自GtGt∈ （0，1），G的对数正态方差率也是α和β的凸组合。当Gt=Gt时，G过程在局部表现为aGBM，具有恒定的比例漂移率β和恒定的比例方差率α。

当G上升到Gt以上时，对数正态方差率向β移动，并在极限值G中渐近于该值↑ ∞.替换_G=GGin（37）意味着：γ=VuTα游戏打得好+ β\"1 -游戏打得好#. （41）在t=0时评估dZtin（40）的系数，（41）意味着G的瞬时对数正态波动率为γ。因此，三个参数α、γ和β可分别解释为G在每个新低、初始时间和绝对高值时的瞬时对数正态挥发度。该对（Z，ˇZ）的双变量跃迁PDF以闭合形式已知，并在[2]中给出。由于G和_G分别是Zand_Z的单变量、递增、显式可逆变换，因此可以很容易地以闭合形式获得该对（G，_G）的双变量变换PDF。回想（25）中的内容：Gt=eαZteβˇZtβ-α、 t型≥ t、 （42）Asβ↓ 0时，G过程变为无漂移和双p参数指数函数eβxβ-（42）中的α收敛到线性函数1+αx。因此，当F=1时，过程G收敛到[2]中的鞅F。在（42）中设置α=β，双参数指数减少为单参数指数，结果为：Gt=eβZteβˇZt=eβ（Zt+ˇZt）=eβZt，t≥ t、 （43）因此，G过程通过添加参数α和γ，推广了标准布朗运动的指数。作为一个次鞅，G过程可以直接用于在风险中性度量中模拟现货价格（如即期外汇汇率）和写在G上的定价竞争。为此，我们引入了一个新的次鞅过程ft=FGt，t≥ t、 （44）其中F>0是过程的初始值。与G一样，F是正的，并且具有正漂移。注意，由于国际看跌期权等价，G漂移的正性不是一个绑定限制[6]。

例如，如果正过程St具有负漂移，可以使用它来建模具有正漂移的过程的逆过程，通过Ft=St。对于未来价格的衍生工具，基础证券需要由风险中性衍生工具定价度量中的m artin gale驱动。在下一小节中，我们将从Gby引入一个新的鞅过程，并将一个跳跃添加到具有负漂移的默认过程。然而，我们应该将sub-martin galeEqn（44）和新鞅解释为两种不同证券的动力学，而不是一种证券的现货和期货价格。3.2通过跳转到默认值为α构造非负鞅≥ 0，β>0，对于它们之间的γ，在最后一个子部分构造的G过程从1开始，并具有恒定的正漂移β。在本节中，我们将起点更改为F>0，并将此正漂移解释为可能跳到零的补偿。这允许我们构造一个可处理的非负鞅fw，它从F开始。设Ntbe为标准泊松过程，到达率β在Q以下。对于F>0，设：Ft=FGtNt=0，t≥ t、 （45）是在F>0时开始的非负过程。那么F是一个Q鞅，它以恒定速率β上升，以补偿可能跳到零的可能性。一旦F为零，它就会被吸收。Let：Ft=infs∈[t，t]Fs，t≥ t（46）是F的运行最小值。设τ为F跳到零的指数分布随机时间。对于t∈ [t，τ），（45）表示：Ft=FGt。（47）除以（47）除以（46）表示t∈ [t，τ）：FtFt=GtGt。（48）因此，F的SDE为：dFt=Ft-vuutα英尺-英尺-+ β\"1 -英尺-英尺-#dZt公司-dNt公司-βdt, t型≥ t、 （49）在（45）中替换（24）意味着Ft可以与对（Z，ˇZ）和Nt的同期值相关：Ft=FeαZteβZtβ-αNt=0，t≥ t、 （50）价格相对论是从1开始的非负鞅。

从（50）中，该价格相对分解为从1开始的正严格上鞅的乘积，eαZtNt=0和从1开始的正严格次鞅的乘积，即_Gt=eβ_Ztβ-α.如果α=β，则双参数指数函数eβxβ-（50）中的α减少为单参数指数函数eβx，因此（50）简化为：Ft=FeβZteβˇZtNt=0=Feβ（Zt+ˇZt）Nt=0=eβZtNt=0，t≥ t、 （51）这是带跳转到默认值的GBM。当β→ 0，然后（50）渐近线至：Ft→ FeαZt（1+αˇZt），t≥ t、 （52）是一个双p参数正连续鞅。设置γ=α进一步将F减少为[2]中的单参数正连续鞅。根据文献[2]，布朗极小值和布朗拔模的二元变换PDF:Qt{ZT∈ dj，ˇZT∈ dˇk；Zt=Z，ˇZt=ˇZ}=b（j，ˇk；w，T- t） djdˇkb（j，ˇk；w，t- t）≡sπ（T- t） （ˇk- j+w）e-（ˇk-j+w）2（T-t） ，j<w，ˇk≥ 0，（53），其中w=Z+ˇZ和w=Z。注意，在特殊情况下，当ZT=ZT时，b变量转换PDF变为非变量1：~Qt{ZT=ZT，ˇZT∈ dˇk；Zt=Z，ˇZt=ˇZ}=~b（ˇk；w，T- t） dˇkb（ˇk；w，t-t）≡sπ（T- t）e-71k2（T-t）-e-（k+w）-w） 2（T-t）,ˇk≥ 0 . （54）接下来，我们为双指数过程（50）构造二元转移P DF。设FsTbe为T处F的最小值，条件是生存到T。类似地，设F在T处的提取，条件是生存到T。布朗极小值和布朗拔模的双变量转换PDF可用于推导该对（FsT，ˇFsT）的双变量PDF，条件是生存到T和（FsT，ˇFt）=（F，ˇF）。ForJ公司∈ （0，F）和ˇK≥ 1，我们寻求：Q{FsT∈ dJ，ˇFsT∈ dˇK | NT=0，Fst=F，ˇFt=ˇF}。换句话说，当我们将变量从（j，ˇk）变为：（j，ˇk）=（Feαj，eβˇkβ时，我们希望知道二元条件PDF-α).设j（j）是j=Feαj的逆：j（j）=αlnJF公司, J∈ （0，F）。

（55）类似地，设ˇk（ˇk）为ˇk=eβˇkβ的逆-α： ˇk（ˇk）=βlnβˇK+qα+β（ˇK- 1)α + β,ˇK≥ 1.（56）变量变化的雅可比行列式为：αJqα+β（ˇK- 1)-1.（57）使用变量的标准变化公式，得出J∈ （0，F），K≥ 1，该对（FsT，71fst）的条件二变量df由以下公式给出：Q{FsT∈ dJ，ˇFsT∈ dˇK | NT=0，Fst=F，ˇFt=ˇF}=F（J，ˇK；w，T- t） dJdˇKf（J，ˇK；w，t- t）≡sπ（T- t）ˇk（ˇk）- j（j）+we-（k（k）-j（j）+w）2（T-t） αJqα+β（ˇK-1） ，（58）和w=j（F）+k（F）。（59）请注意，w=Zt，我们使用w的原因是，它写在市场可观察物上，而Zt不是。设FsT=FsTˇFsTbe为T的远期价格，条件是生存到T。该对的二元PDF（FsT，71fst）可用于计算FsT的条件转移PDF:Q{FsT∈ dF | NT=0，Fst=F，71ft=71f}=g（F；w，T- t） dF，（60），其中g（F；w，t- t） =ZFfJ、 FJ；w、 T型- t型dJ（61）=ZFsπ（T- t）kFJ公司- j（j）+we-（k（FJ）-j（j）+w）2（T-t） αJrα+βhFJ公司- 1idJ和w在（59）中给出。当F仅以存活到t而非t为条件时，则（FT，ˇFT）和FT的转移PDF仅由其相应的以su rvivato t为条件的转移PDF和进一步存活到t的概率的乘积给出，即e-β（T-t） ：Q{英尺∈ dJ，英尺∈ dˇK | Nt=0，Fst=F，ˇFt=ˇF}=F（J，ˇK；w，T- t） e类-β（T-t） dJdˇK，Q{FT∈ dF | Nt=0，Fst=F，71ft=71f}=g（F；w，T- t） e类-β（T-t） dF。（62）FTI的PDF是有界域上的积分，不能进一步简化。我们将发现，当公共支付与此PDF集成时，不会引入额外的求积。正是出于这个原因，我们认为过程F是可处理的。负鞅有两种类似的构造，它们也使用跳转到默认值。N的累积危险过程为∧t=eβt，具有确定性。

相反，假设累积危险过程为∧∧t=e-αZt，wh ich是随机的。设^N表示相应的计数过程，d设^F表示期望的非负鞅：^Ft=Fe-βteβˇZtβ-αNt=0，t≥ t（63）是一个从F＞0开始的非负鞅。由于Z=0，该过程开始时没有跳转到零的机会，但很快就会出现这种违约的可能性。更一般地说，可以从非正数m开始处理Zat≤ 0，并将进程重命名为Zto say m，因为Zis仍然为零。自ˇZt=Zt- mtstartsat卫星-m> 0，则还必须调整其原点：Ft=Fe-βteβ（ˇZt+m）β-α^Nt=0，t≥ t（64）还有一个非负马丁盖尔的构造，可能跳到零。现在假设N的累积危险过程为∧∧t=e-αZt+βt，其中我们返回到71zt=Zt- Z=0时的Z。让▄ndente记录相应的计数过程，让▄F表示所需的非负鞅：▄Ft=FeβˇZtβ-αОNt=0，t≥ t（65）是一个从F＞0开始的非负鞅。如果事件发生在F的第一个通行时间τ到恒定的上势垒H=eβHβ，则此过程很方便-α，其中h>0。在这种情况下，τ也是71ztoH的第一个通过时间。既然鞅从1开始，Zτ和τ的二元拉普拉斯变换就变得已知：=EeαZτ-βτeβhβ-α. （66）一个人可以通过再次改变累积hazard过程并通过如上所述的坐标变化进行补偿，来发展非负鞅的其他易于处理的构造。4在期权定价风险中性措施中，无套利确保证券的预期收益等于其当前价格。在本节中，我们将展示我们的模型如何应用于衍生品定价，前提是标的资产遵循风险中性度量中的次鞅方程（44）或鞅方程（50）的动力学。